1. Termodinámica, introducción.
Gases ideales.
1)
Conservación de la Energía. Un objeto de masa m está cayendo libremente (bajo la acción de la gravedad únicamente). En un momento dado, se encuentra a una altura z bajando con una velocidad v.a. Escribir la energía mecánica del objeto, E. ¿Se conserva durante la caída?
¿Por qué?
b. Calcular explícitamente la derivada temporal de la energía E, dE/dt, y mostrar que es igual a cero.
c. Poco tiempo después de impactar en el piso, queda en reposo. ¿Qué sucedió con su energía mecánica?
2)
Fuerzas viscosas a escala microscópica. Para objetos reales, la fuerza disipativa depende de las dimensiones del objeto sumergido y de las características propias del fluido.Experimentalmente, se verifica que al restringir un fluido entre dos superficies, la fuerza por unidad de área que hay que aplicar para mover una superficie respecto de la otra a una velocidad pequeña v es proporcional a la variación de velocidad con la profundidad del fluido, F/A = ηdv/dx (ver figura). La constante η es una propiedad del fluido que toma el nombre de viscosidad, con [η] = Pa·s.
Microscópicamente,la fuerza disipativa puede modelarse pensando en ligaduras temporarias entre las moléculas de las superficies del objeto y del fluido.
a)
Suponga que estas ligaduras pueden modelarse como fuerzas elásticas de constante kb que mantienen unidas las superficies durante un tiempo promedio τb antes de despegarse (figura 2). Escriba la fuerza promedio por molécula para velocidades v pequeñas.b)
Si δ es la dimensión típica de una molécula, la cantidad de moléculas por unidad de área A es ∼ 1/δ2. Deduzca que F/A = κτb/δ · v/δ.Así escrita, la fuerza resulta proporcional a la variación de la velocidad v entre las superficies del objeto y del fluido, que están a una distancia d~δ, es decir, dv/dx~
v/δ. De este modo podemos asociar la viscosidad con los parámetros microscópicos del problema, η ≃ κτb/δ.
c) Con este modelo, una fuerza viscosa, que disipa energía, se puede vincular a un sistema través de fuerzas elásticas microscópicas, que son conservativas. Interpretar el concepto de fuerzas conservativas y no conservativas.
d) Piense cómo adaptar este caso a las fuerzas de rozamiento de los problemas de mecánica estudiados en Física I.
3)
Formas de Energía. Si os convencisteis de que la conservación de la energía es una ley fundamental de la naturaleza y que no hay pérdida de energía en el universo sino procesos de conversión de energía, ¿Por qué la preocupación por no desperdiciar energía?1) Un cilindro contiene un gas a 27 ºC y está dividido en dos partes iguales de volumen V por un pistón móvil sin rozamiento. El gas en ambas divisiones está a la misma presión. Se eleva hasta 100 ºC la temperatura del gas de una de las divisiones y se mantiene la temperatura del gas en la otra división en el valor original. Se supone que el pistón del cilindro es aislador perfecto.
a) Describa cualitativamente cómo cambia el estado de equilibrio del sistema b) ¿Qué variables (P, V, T) cambian en cada compartimiento?
c)
Según lo respondido anteriormente: ¿cambia Vfinal y Vinicial para cada compartimiento? Muestre cuál es la relación de volúmenes en el nuevo estado de equilibrio.2)
Dos bulbos de igual volumen V están unidos por medio de un tubo delgado de volumen despreciable y contienen n moles de hidrógeno a 0ºC y 1 atm de presión.Este estado de equilibrio es perturbado de la siguiente manera: uno de los bulbos se sumerge en un baño de vapor a 100 ºC mientras que el otro se mantiene a 0ºC.
a) ¿Cómo llega al equilibrio el nuevo sistema? Sin hacer cuentas, piensen que variables están fijas y cuales deben cambiar.
b) ¿Es igual o diferente la cantidad de moles de gas de cada bulbo en el nuevo equilibrio? ¿De qué variable/s depende esto para este sistema? Muéstrelo.
3)
Gases ideales a escala microscópica. La descripción de variables macroscópicas de un gas, tales como su presión, volumen y temperatura, pueden relacionarse con magnitudes microscópicas tales como la molecularidad y velocidad de las moléculas que lo componen. Así, podemos considerar al sistema gas como un conjunto de moléculas que realizan choques elásticos entre sí y con las paredes del recipiente que las contiene (ver figura). Si no actúan fuerzas externas sobre el sistema, podemos considerar que las moléculas tendrán una misma velocidad media de traslación en cada dirección (vx, vy, vz).La presión que un gas ejerce sobre un recipiente se debe a las colisiones de las moléculas de gas sobre las paredes del recipiente. Deduzca que el número de moléculas que chocarán contra una pared vertical de área A en un intervalo de tiempo ∆t es:
tA V v N
x
∆ 2 1
donde N es el número de moléculas de gas.
Para eso, piense que la cantidad de moléculas que chocarán con la pared es la mitad de las partículas que están en el volumen A ∆ t.
Deduzca que la variación en la cantidad de movimiento de todas las moléculas que chocan contra la pared (∆p) en este intervalo es:
( ) mv A t
V tA N V v mv N
p
x x =
x∆
∆
=
∆
22 2 1
a) Muestre que la presión del gas se relaciona con la energía cinética mediade las moléculas por:
=
22 2 N 1 mv
xPV
Sugerencia: tenga en cuenta que F=dp/dt.
b) Teniendo en cuenta la relación anterior y la ecuación de estado de un gas ideal (PV=NkT), muestre cómo se relaciona la energía cinética media de traslación en la dirección x de las moléculas del gas con su temperatura absoluta T. Cómo se podría calcular la energía cinética media de traslación en todas las direcciones (x, y, z)?
c) Usando estos resultados, interprete qué ocurre a nivel molecular cuando se cambia la temperatura como en los problemas 1 y 2.
d) Interprete qué tipo de energía refleja la energía interna U en el caso de un gas ideal. En los gases "reales", U no depende únicamente de la temperatura absoluta T sino también de su presión y volumen específico (ver ecuación de estado del gas de Van der Waals); en este caso, qué otras formas de energía entre las moléculas pueden contribuir a la energía interna del gas?
4)
Experimentalmente, se observa que para un gas ideal tanto a presión como a volumen constante, existe una relación lineal entre la cantidad de calor entregada al gas y la variación en su temperatura, donde cv y cp son las capacidades caloríficas medidas a volumen y presión constantes respectivamente. Es decir que puede escribirse:Q
p= nc
p∆ T
, yQ
v= nc
v∆ T
, donde cv y cp no dependen de la temperatura. Teniendo esto en cuenta, y usando la primera ley, muestre que:a) La energía interna de un gas es función solo de la temperatura según:
dT nc dU =
v .b) En una transformación adiabática se cumple
P . V
γ= cte
, donde γ= ccpv
.
5)
Trabajo realizado por un gas. Un gas puede realizar trabajo al expandirse desde un volumen V1 hasta un volumen V2.a) Utilizando la definición de trabajo de una fuerza, muestre que el trabajo de volumen realizado por un gas es
∫ ⋅
=
21
) (
V V
dV V P W
Ahora suponga que se transfiere una cantidad de calor Q a una masa de gas contenida en un volumen V como muestra la figura i) a temperatura constante y dejando el pistón móvil; ii) dejando el pistón fijo, de modo que el gas no puede expandirse. Ambos procesos ocurren de manera reversible.
b) Calcule el trabajo realizado por el gas, y la variación en la energía interna del sistema en ambos casos, y grafique las transformaciones en un diagrama PV.
6)
Se tiene un cilindro con un pistón sin rozamiento que contiene V1 de gas ideal monoatómico(γ =5/3) a presión atmosférica (P1=1 atm) temperatura T1. Se comprime el gas hasta que el volumen sea V2 (menor que V1).
a) Sin hacer las cuentas numéricas, calcule el trabajo realizado por el gas en cada uno de los siguientes casos:
i. Si el proceso es isotérmico.
ii.
Si el proceso es a Pext = cte.iii. Si el proceso es adiabático reversible.
b)
Grafique en un diagrama P-V los procesos isotérmico y adiabático partiendo del estado inicial P1,V1,T1 y muestre gráficamente el trabajo en cada caso.¿Cuál es mayor y por qué?
c) El proceso a presión externa constante, ¿es reversible? Si es reversible,
un diagrama P-V la evolución del estado del sistema. ¿Cómo calcula el trabajo entonces?
d) ¿Cuánto varía la energía interna del gas en el proceso adiabático? ¿y en el isotérmico? (sin hacer cuentas, sólo diga si se puede calcular y cómo).
7)
Expansión libre. La expansión libre fue un experimento diseñado por Joule para poder determinar si la energía interna de un gas depende o no de su volumen. El aparato de la figura contiene gas en el compartimiento de la izquierda, mientras que el de la derecha se encuentra al vacío. Partiendo desde el equilibrio a temperatura T, se abre la válvula que conecta los dos compartimientos y se deja expandir al gas hasta llegar al equilibrio nuevamente. El recipiente se encuentra aislado de forma adiabática.a) Este experimento involucra una transformación reversible o irreversible?
Explique.
b) Teniendo en cuenta las diferencias entre un gas ideal y un gas real, diga cómo se espera que sea la temperatura final (igual, mayor o menor que al principio) cuando se hace el experimento con estos dos tipos de gases.
Ayuda: analice qué tipo de energías que contribuyen a la energía interna U en cada caso.
8) Un mol de gas ideal se expande irreversiblemente en contacto con una fuente de calor a T=373°K contra una presión exterior constante de 5 atm, partiendo del estado en que la presión termodinámica es de 10 atm, hasta llegar al volumen de equilibrio.
a) Calcule el trabajo realizado por el gas.
b) Calcule ahora ese trabajo, en el caso en que el gas se expanda reversiblemente.
9)
Diferencias entre un gas ideal y un gas real. La ecuación de estado de los gases ideales es una muy buena descripción de la termodinámica de los gases en condiciones de altas temperaturas y muy baja densidad. Sin embargo, cuando la temperatura y la presión son tales que el gas está cerca de la condensación, la descripción de ‘gas ideal’ se aleja notoriamente de la realidad. Hay muchas ecuaciones de estado que se propusieron para tener en cuenta el comportamiento de los gases reales. Entre ellas, sobresale por su simplicidad, la que elaboró en 1873 Johannes Diderik van der Waals. Teniendo en cuenta el tamaño de las moléculas y la atracción entre ellas, propuso una ecuación de estado que hoy lleva su nombre y que describe muy bien la termodinámica de los gases en un rango amplio de temperaturas y presiones. La ecuación de van der Waals es:2
−
= −
V
a n
nb
V
P nRT
La ecuación tiene dos parámetros, a y b, que dependen de cada gas. ¿Qué efectos tiene en cuenta cada uno de ellos?
10)
Sistema líquido–vapor. Consideremos un sistema de dos fases, líquido–vapor.Consideremos un líquido encerrado en un cilindro que tiene un émbolo en un extremo. El espacio entre la superficie del líquido y la de contacto del émbolo estará lleno de vapor saturado a la presión P, que sólo depende de la temperatura del vapor y no de su volumen. Las isotermas para este sistema líquido–vapor se muestran en la figura de abajo (diagrama P-V).
Figura obtenida del libro Termodinámica de Enrico Fermi.
Analicen las isotermas. En las isotermas de temperaturas menores a la que C (temperatura crítica), se distinguen claramente 3 regiones por sus diferentes pendientes. ¿A qué se debe esa diferencia? ¿Cómo interpreta que la pendiente de las isotermas sea mucho mayor en la fase líquida que en la fase gaseosa?
11) Algunas isotermas que predice la ecuación de estado de van der Waals se muestran en la figura de abajo. Como vemos tienen un máximo y un mínimo de presión.
Compare con las isotermas mostradas antes). Encuentre similitudes y diferencias.
Analice especialmente lo que ocurre para temperaturas inferiores y superiores a la temperatura crítica.
Figura obtenida del libro Termodinámica de Enrico Fermi.
a) ¿Cuál es la razón de las diferencias cualitativas entre los dos conjuntos de
b) Consideremos más en detalle lo que ocurre con una isoterma de una temperatura menor a la temperatura crítica. En la siguiente figura se muestran dos isotermas, una de la ecuación de van der Waals (curva que une los puntos ABCDEFG) y otra que tiene en cuenta la coexistencia de fases líquido–vapor (tramo BHDIF). Las dos isotermas son de la misma temperatura. ¿Cómo es esto posible?
Figura obtenida del libro Termodinámica de Enrico Fermi.
c)
Generalmente si se comprime un vapor no saturado hasta la presión de saturación, y luego reducimos aún más el volumen, generalmente se produce la condensación de una parte del vapor sin un nuevo incremento de la presión (tramo GFI…). Sin embargo, si comprimimos el vapor de forma muy cuidadosa y lentamente, y lo mantenemos libre de partículas de polvo, podemos alcanzar una presión considerablemente mayor que la de saturación, sin llegar a la condensación. En esta situación decimos que el vapor está sobresaturado. Pero los estados sobresaturados son lábiles;cualquier leve alteración puede producir la condensación, haciendo que el sistema pase de un estado estable, caracterizado por una fase líquida y una de vapor. Dicho esto, considere el ciclo FEDIF y discuta si es reversible o irreversible.
12)
El problema de calcular una integral. El trabajo de un gas durante una expansión se calcula como:∫
=
21
).
(
V V
dV V P W
¿Cómo se podría calcular el trabajo hecho por un gas si la función P(V) es tal que no se puede calcular de forma analítica la integral? Este es un problema más común de lo que parece, ya que hay muchas situaciones (no sólo en termodinámica) en las que queremos integrar una función complicada o que ni siquiera conocemos su fórmula y sólo tenemos los valores numéricos (como en un experimento). En esos casos tenemos que calcular la integral numéricamente. ¿Cómo se puede hacer?
Ayuda: recuerde que geométricamente, la integral es el área bajo la curva de la función.
Por ejemplo, supongamos que queremos calcular la integral de la función f(x) (ver figura) entre x=1 y x=4.5. Haga un cálculo a mano alzada de la integral y luego compare el resultado con el resultado exacto:
La función que graficamos es
f ( x ) = ( x − 1 )( x − 3 )( x − 4 ) + 4
y la integral calculada en forma analítica es:[ ( 1 )( 3 )( 4 ) 4 ] . 16 . 8
5 . 4
1
≅ +
−
−
−
= ∫ x x x dx
I
13)
Máquinas térmicas. Se tiene una maquina que opera según el ciclo de Carnot entre las temperaturas T1 y T2 utilizando un gas ideal. El primer tramo del ciclo es una expansión isotérmica desde el volumen inicial V1 hasta un volumen V2 como se muestra en la figura.a)
Conociendo T1, T2, V1 y V2 (o sea, los primeros dos estados del ciclo y la temperatura de la segunda fuente), ¿queda determinado cuanto deben valer los volúmenes V3 y V4? Si se puede, halle V3 en función de los datos. (para simplificar suponga que nR=1 (n= 12,19512 moles de gas en este ciclo)b)
Ahora, supongamos que la misma maquina realiza un ciclo entre las mismas temperaturas T1 y T2 pero con una expansión inicial al doble del volumen (V2*=2V2)¿Serán iguales o distintos la eficiencia y el trabajo entregado de estos dos ciclos? Responda explicando por qué. Ilustrar su respuesta con un gráfico en el plano P-V.
Constantes:
