Método de las sustituciones sucesivas (Iteración de punto fijo) para aproximar raíces de funciones.
Consideré la función , si se le suma x en ambos lados de la función, resulta ,que es una nueva función, la cual se puede reescribir de la forma siguiente; , donde g(x) es la nueva función. Si tuviéramos el valor de x que satisficiera a la función original, ,como te darás cuenta la nueva función será,
, y por lo tanto x = x. Sin embargo , para las funciones no lineales no están fácil conocer su raíz. Las gráficas de y = x y , Son las siguientes.
0 ) (x f
x x f
x ( )
x x f x x
g( ) ( )
0 ) (x f
x x
x
g( ) 0
x x f x
Método de las sustituciones sucesivas (Iteración de punto fijo) para aproximar raíces de funciones.
El punto fijo, p, resulta ser la raíz de la función
La estrategia geométrica que el método utiliza es la siguiente.
1. La función , se transforma a una nueva función x = g(x).
2. se propone un valor inicial x0 cercano a la raíz buscada.
3. En x0 se traza una recta vertical hasta
tocar la función, x = g(x). 4. Sobre el punto (x0, y0) se traza una
recta horizontal hasta el lugar geométrico de. recta y = x
5. La recta vertical que sale del punto (x1, y1)) hasta el eje x, es la nueva
aproximación x1.
6. Este proceso se repite hasta que se llegue muy cerca del punto fijo, p.
0 ) (x f
En general el proceso básico consiste de lo siguiente:
1. Modificar la función , para obtener las .
2. Teniendo las , se puede aplicar el método de las iteraciones de punto fijo para cada una de las modificaciones y obtener el punto fijo correspondiente a cada modificación.
3. Se pueden graficar las funciones y = x y una g(x), y observar en que punto de intersección se cumple la condición | g’(x) | < 1. Así, en el punto de intersección que cumpla la condición anterior, es donde la g(x) es convergente por lo que ahí estará su único punto fijo, p.
0 ) (x
f g's(x)
) ( 's x g
Por ejemplo, para la función f(x) = x3 – 3 x2 + 5 x – 4, existen cuando menos 4
modificaciones:
x
x
x
x
x
x
g
(
)
3
3
2
5
4
1
5
3
4
)
(
2 3 2x
x
x
x
g
3
4
5
)
(
3 3
x
x
x
x
g
3 2
4
(
x
)
x
3
x
5
x
4
Para la modificación
g
1(
x
)
se tiene la gráfica siguiente
en la que se puede ver si ésta modificación tiene un
punto fijo,
p
.
g
1(
x
)
x
3
3
x
2
5
x
4
x
Se puede ver claramente que en el punto de intersección de y = x y
x = g1(x) una recta tangente a la g1(x) tiene mayor pendiente que la recta y
Para la modificación
g
2(
x
)
se tiene la gráfica siguiente
en la que se puede ver si ésta modificación tiene un
punto fijo,
p
.
Se puede ver claramente que en el punto de intersección de
y = x y x = g2(x) una recta tangente a la g2(x) tiene menor pendiente que la recta y = x, por lo anterior se puede concluir que la modificación cumple con la condición |g’(x)| < 1, por lo que ésta modificación es convergente para el punto fijo.
5
3
4
)
(
2 3
2
x
x
x
Para la modificación
g
3(
x
)
se tiene la gráfica siguiente
en la que se puede ver si ésta modificación tiene un
punto fijo,
p
.
3
4 5
) (
3
3
x x
x g
Se puede ver claramente que en el punto de intersección de y = x y x = g3(x) una recta tangente a la g3(x) tiene mayor pendiente que la recta y = x, por lo consiguiente se puede concluir que la
Para la modificación
g
4(
x
)
se tiene la gráfica siguiente
en la que se puede ver si ésta modificación tiene un
punto fijo,
p
.
3 24
(
x
)
3
x
5
x
4
g
Se puede ver claramente que en el punto de intersección de y = x y x = g4(x) una recta tangente a la g4(x) tiene menor pendiente que la recta y = x, por lo
consiguiente se puede
concluir que la modificación cumple con la condición |
Aplicación el método de iteración de punto fijo a cada
g
(
x
)
.
La siguiente sucesión resulta de la g1(x) y se puede ver que no es convergente.
i xi
0 1.5 1 1.625 2 2.1191406 3 4.7591184 4 64.397347 5 254998.3 6 1.658E+16 7 4.558E+48 8 9.47E+145
La siguiente sucesión resulta de la g2(x) y se puede ver que si es convergente.
i xi
0
1.5
1 1.475 2 1.4635656 3 1.458216 15 1.4533983 16 1.453398 17 1.4533978 18 1.4533977 La siguiente sucesión resulta de la g3(x) y se puede ver que no es convergente.
i xi
0 1.5 1 1.5138252 2 1.5316993 3 1.5547798 28 4.289E+34 29 5.128E+51 30 2.12E+77 31 5.64E+115
La siguiente sucesión resulta de la g4(x) y se puede ver que si es convergente.
i xi
Conclusión:
dos modificaciones,
g
1(
x
) y
g
3(
x
), no son
convergentes, mientras que las otras dos,
g
2(
x
) y
g
4(
x
) si lo son, estas últimas cumplen la condición |
g
’(
x
)| < 1, lo anterior confirma lo analizado en las
gráficas. Sin embargo, las modificaciones
g
1(
x
) y
g
3(
x
) también tienen un punto fijo pero son
Algoritmo del Método de
las sustituciones sucesivas
(Iteración de punto fijo).
Inicio
1. Leer x0, Es, ni
2. Hacer Ea = 100, i = 0
3. Mientras Ea > Es y i < ni hacer 4. x1 = g(x0)
5. Ea = |(x1 – x0) / x1) 100 6. i = i + 1
7. x0 = x1 8. Fin-Mientras
9. Si Ea <= Es entonces
La raíz aproximada es x0 De lo contrario
No hay convergencia después de ni iteraciones.
