Capítulo 5.2.2 - Leyes de Faraday y Lenz

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(1)aletos. TEMA 2.2 LEYES. Física para Ciencias e Ingeniería. DE. FARADAY. Y. LENZ. 2.7. 2.3.Ley de Faraday. Los resultados obtenidos por Faraday y Henry en el estudio del fenómeno de la inducción electromagnética fueron consecuencia de las observaciones efectuadas en la realización de una serie de experimentos que vamos a describir a continuación:. C1 I. Supongamos un circuito C 1 en forma de espira, de resistencia eléctrica R1, al cual se hace llegar por medio de un hilo conductor una corriente de intensidad I1, y se le hace salir a lo largo de otro hilo conductor paralelo al anterior. El circuito se cierra con un generador de f.e.m., un interruptor y una resistencia variable (reostato), no representados en la figura. Una segunda espira C2, de resistencia R2, que no está conectada a ningún otro circuito y que no contiene ningún generador de f.e.m., se encuentra próxima a la espira C1, como indica la figura 2-8. Supondremos intercalado un galvanómetro suficientemente sensible en la espira C 2, que no está representado en la figura, para detectar la circulación de cualquier intensidad de corriente, por pequeña que ésta sea. Se observa experimentalmente que el galvanómetro intercalado en la espira C2 señala el paso de corriente eléctrica en los siguientes casos:. C2. I Fig. 2-8. I.- Si las espiras C1 y C2 son rígidas, y por tanto indeformables, y se encuentran sujetas por algún procedimiento de forma que estén fijas, o estacionarias, a) Cuando se establece o se suprime la corriente eléctrica en la espira C1, cerrando o abriendo el interruptor intercalado en su circuito. Se observa que circula por la espira C2 una corriente transitoria, que se amortigua, normalmente, al cabo de un tiempo muy corto, cuyo sentido es opuesto al de la corriente que se establece o se suprime en la espira C1. b) Cuando se hace variar la intensidad de la corriente en la espira C1 por medio del reostato intercalado en su circuito. Mientras varía la corriente en la espira C1, circula corriente por la espira C2, y cambia de sentido si la variación de la intensidad de la corriente I1 cambia asimismo de sentido, es decir, si aumenta en lugar de disminuir o si disminuye en lugar de aumentar. II.- Si las espiras C1 y C2 son rígidas, y la intensidad de la corriente I1 permanece constante, c) Cuando una cualquiera de las dos permanece fija y la otra cambia de posición efectuando un movimiento de traslación, acercándose o alejándose a la primera, o girando alrededor de un eje, o efectuando ambos movimientos simultáneamente. d) Si las dos espiras efectúan un movimiento relativo de traslación, rotación, o ambos simultáneamente. III.-Si las espiras C1 y C2 están fijas y la intensidad de la corriente I1 permanece constante, e) Cuando una cualquiera de las dos espiras, o ambas, experimentan deformaciones en su configuración geométrica. IV.- f) Cuando se combinan entre sí varias de las situaciones descritas anteriormente. V.-Si se sustituye el circuito C1 por un imán en forma de barra, como muestra la figura 2-9, g) Cuando, permaneciendo el imán fijo, la espira C2 cambia de posición, efectuando un movimiento de traslación o de rotación, o cualquier movimiento arbitrario que sea combinación de ambos, o bien experimenta una deformación, cambiando su estructura geométrica. h) Cuando la espira C2 permanece fija e indeformable y el imán se acerca, o se aleja, o efectúa una rotación alrededor de un eje, o cualquier movimiento arbitrario. i) Cuando se combinan las situaciones descritas en los apartados anteriores g) y h). S. N. Fig. 2-9. C2.

(2) 2.8. aletos. TEMA 2.2 LEYES. DE. FARADAY. Y. Física para Ciencias e Ingeniería. LENZ. Si se analizan detenidamente los casos anteriormente descritos, puede observarse que en todos ellos varía el número de líneas de fuerza del campo magnético que atraviesan a la espira C2, y, en consecuencia, varía el flujo magnético a través de dicha espira. Conviene insistir en que La corriente que detecta el galvanómetro instalado en la espira C2 circula por dicha espira mientras se producen los cambios descritos, es decir, mientras varía el flujo magnético a través de la espira C2, amortiguándose su intensidad casi instantáneamente al cesar dichos cambios.. En consecuencia, se pueden explicar los resultados de las experiencias anteriores interpretando que en la espira C2 se induce una f.e.m. dada por la expresión,. ε = − dΦ. [2.7]. dt. independientemente de cómo se produzca la variación de flujo magnético. Estos resultados se conocen con el nombre de ley de FARADAY y LENZ de la inducción electromagnética. El signo negativo de la expresión anterior constituye la denominada ley de Lenz que se explicará más adelante. dΦ La expresión que recibe el nombre de Ley de Faraday, refleja la forma según la cual varía el flujo dt magnético a través de una superficie conforme varía el tiempo, es decir, a medida que transcurre el tiempo. La ley de Faraday, que se estableció experimentalmente, no constituye una deducción obtenida a partir de otras leyes, y no es, en absoluto, como a veces se indica, una consecuencia de la conservación de la energía aplicada a los fenómenos que tienen lugar entre corrientes en presencia de campos magnéticos. Puesto que el flujo magnético a través de la superficie que abarca un circuito es   Φ = ∫ dΦ = ∫ B ⋅da = ∫ Bda cos θ S. S. se puede expresar la f.e.m. inducida en la forma. S.  . ε = − dΦ = − d ∫ B ⋅da = − d ∫ Bda cos θ dt dt dt S. S. [2.8]. donde S representa la superficie que abarca el circuito.. d representa la variación temporal de la integral que figura a continuación, es decir, dt refleja la forma en que que varía dicha integral conforma transcurre el tiempo. El símbolo −. De modo que, Se inducirá una f.e.m. en un circuito si varía con el tiempo cualquiera de los factores que aparecen en el integrando.. Así que, si uno cualquiera de los tres factores que aparecen en el integrando es variable con el tiempo, es decir: dB ≠0   dt  da d Si  ≠ 0 o dos de ellos, o los tres simultáneamente, son no nulos, evidentemente, ∫ Bda cos θ ≠ 0 dt S  dt  dθ ≠0   dt y se inducirá en el circuito una f.e.m.. ε = − d ∫ Bda cos θ dt S. En el caso de que el circuito sea rígido y esté sujeto por algún procedimiento, es decir, sea fijo, la superficie que encierra es invariable en tamaño y en posición y, en consecuencia, la derivada respecto al tiempo puede pasar dentro de la integral,   ∂B ε = − ∫ da [2.9] S ∂t.

(3) aletos. TEMA 2.2 LEYES. Física para Ciencias e Ingeniería. DE. FARADAY. Y. LENZ. 2.9. donde aparece como derivada parcial, ya que, en el caso más general, B es función tanto del tiempo como de las coordenadas de cada punto del espacio; es decir, B puede ser distinto en cada punto, en un instante dado, y variar a su vez conforme transcurre el tiempo, en todos los puntos. Y, a su vez, puesto que,   ε = ∫ Eeq ⋅dl C. se puede escribir,.     ∂B ε = ∫ Eeq ⋅dl = − ∫ da C S ∂t. expresión que sirve como punto de partida para la obtención de una de las ecuaciones de Maxwell que constituyen la base del estudio de las ondas electromagnéticas. 2.4 Ley de Lenz. HEINRICH FRIEDRICH EMIL LENZ (1804-1865) fué un físico ruso que llevó a cabo casi simultáneamente, sin conocer los descubrimientos de Faraday y de Henry, muchos de sus experimentos. La ley de Lenz se refiere al signo negativo de la expresión de la f.e.m. inducida:. ε = − dΦ. dt que indica, como se comprueba experimentalmente, que. La f.e.m. inducida en un circuito, a causa de la variación de flujo a través del mismo, origina una corriente de un sentido tal que tiende a oponerse a dicha variación.. Se puede enunciar, pues, que El sentido de la f.e.m. inducida es tal, que se opone a la causa que la produce.. Este enunciado se conoce como ley de Lenz y constituye una regla muy útil cuya aplicación es, en muchos casos, la manera más rápida, y a veces la única, de determinar el sentido de la f.e.m. inducida. Se debe tener cuidado, no obstante, en analizar en cada caso cuál es realmente la causa que origina la f.e.m. inducida. En ningún caso debe interpretarse que la f.e.m. inducida es negativa.. Es un error dar como resultado numérico de la f.e.m. inducida, en un ejercicio o en un problema, por ejemplo, un valor de ε = -8 voltios. No tiene ningún sentido, porque cuando una f.e.m. es negativa significa que está conectada en un circuito en oposición con otra u otras f.e.m., y ésta no es la situación. Solamente se debe conservar el signo negativo en la expresión de la f.e.m. cuando el flujo magnético es una función explícita del tiempo, y su derivada respecto al tiempo es asimismo una función del tiempo.. Para aclarar todos estos aspectos consideremos el siguiente ejemplo: Supongamos una espira circular conductora muy delgada, de radio a y resistencia R, situada en una región del espacio donde existe un campo magnético cuyas líneas de inducción son perpendiculares al plano de la espira, alejándose del lector, como indica la figura 2-10. B. O. a. Fig. 2-10. Denominaremos a este campo como campo magnético exterior o impues to, para distinguirlo del que aparece como consecuencia de los fenómenos magnéticos que se originan a causa de la variación temporal de dicho campo magnético exterior, y que describiremos a continuación. En el caso más general, el módulo del campo magnético es función a la vez del tiempo y de las coordenadas de cada punto del espacio, B(r, t), es decir, que en un cierto instante, el campo magnético es distinto en los diferentes puntos del espacio, y, a su vez, en cada punto varía con el tiempo. Comenzaremos por considerar el caso sencillo en el que el campo magnético depende solamente del tiempo, es decir, B = B(t). Supongamos que el módulo del campo magnético representado en la figura aumenta conforme transcurre el tiempo, de modo que,. dB >0 dt Vamos a determinar el sentido de la f.e.m. inducida en la espira, por medio de la ley de Lenz..

(4) 2.10. aletos. TEMA 2.2 LEYES. DE. FARADAY. Y. Física para Ciencias e Ingeniería. LENZ. Para ello, se pueden seguir diferentes métodos. El que se explica a continuación puede parecer, tal vez, un poco extenso, pero es probablemente más claro y seguro que otros. El razonamiento para interpretar la ley de Lenz, en este caso, es el siguiente: a) El aumento del módulo del campo magnético conforme trascurre el tiempo da lugar a un aumento del flujo magnético Φ a través de la superficie que abarca la espira. b) Este aumento del flujo magnético origina una f.e.m. inducida en la espira, que, a su vez, produce una corriente inducida. c) Esta corriente inducida, al circular por la espira, crea un campo magnético inducido Bi cuyas líneas de fuerza son perpendiculares al plano de la espira y cuyo sentido debe ser tal que se oponga a la varia ción del campo magnético exterior. d) Puesto que éste está aumentando, el campo magnético inducido Bi debe ser de sentido contrario para oponerse a ese aumento. Por consiguiente, el sentido de Bi estará dirigido hacia el lector. e) Para que el campo magnético inducido Bi tenga ese sentido, la corriente que lo origina debe circular por la espira en sentido contrario al de las agujas del reloj y, en consecuencia, la f.e.m. inducida que da lugar, a su vez, a esta corriente, deberá tener este mismo sentido. El sentido de la f.e.m. inducida en la espira es contrario al de las agujas del reloj.. B. a. O. Ii. εi. La interpretación de la ley de Lenz, en este caso, lleva a la conclusión de que el campo magnético inducido Bi debe ser de sentido contrario al campo magnético exterior porque así actúa oponiéndose a su aumento, y por consiguiente, el campo magnético exterior tiende tiende a quedar disminuido. De esta forma la f.e.m. se opone a la causa que la produce, que, en este caso, es el aumento del campo magnético exterior. Es muy importante entender que, en situaciones como la descrita anteriormente, El campo magnético inducido Bi no se opone al campo magnético exterior, sino a su variación.. Fig. 2-11. Otro ejemplo aclarará este aspecto. Supongamos ahora que la espira se encuentra sometida a un campo magnético exterior de igual dirección y sentido que el del ejemplo anterior, pero cuyo módulo disminuye conforme transcurre el tiempo, es decir, B. O. a. Ii. εi Fig. 2-12. dB <0 dt. El razonamiento, ahora, para interpretar la ley de Lenz es el siguiente: a) La disminución del módulo del campo magnético conforme trascurre el tiempo da lugar a una disminución del flujo magnético Φ a través de la superficie que abarca la espira. b) Esta disminución del flujo magnético origina una f.e.m. inducida en la espira, que, a su vez, produce una corriente inducida. c) Esta corriente inducida, al circular por la espira, crea un campo magnético inducido Bi cuyas líneas de fuerza son perpendiculares al plano de la espira y cuyo sentido debe ser tal que se oponga a la variación del campo magnético exterior.. d) Puesto que éste está disminuyendo, el campo magnético inducido Bi debe ser del mismo sentido que el campo magnético exterior para oponerse a su disminución. Por consiguiente, el sentido de Bi estará dirigido hacia adentro alejándose del lector. e) Para que el campo magnético inducido Bi tenga ese sentido, la corriente que lo origina debe circular por la espira en el sentido de las agujas del reloj y, en consecuencia, la f.e.m. inducida que da lugar, a su vez, a esta corriente, deberá tener ese mismo sentido. La interpretación de la ley de Lenz en este caso, lleva a la conclusión de que el campo magnético inducido Bi debe ser de igual sentido que el campo magnético exterior para compensar su disminución, y por consiguiente, éste tiende tiende a quedar reforzado. De esta forma la f.e.m. se opone a la causa que la produce, que, en este caso, es la disminución del campo magnético exterior..

(5) aletos. TEMA 2.2 LEYES. Física para Ciencias e Ingeniería. DE. FARADAY. Y. 2.11. LENZ. Obsérvese que en los dos casos estudiados anteriormente el campo magnético exterior es de igual dirección y sentido, y sin embargo, la f.e.m. inducida en cada caso tiene distinto sentido. La explicación, como ya se ha indicado anteriormente, radica en el hecho de que, El campo magnético inducido Bi no se opone al campo magnético exterior, sino a su variación.. A la vista de los resultados anteriores, y siguiendo un razonamiento similar, el lector podrá llegar fácilmente a la conclusión de que, en los dos casos correspondientes a las figuras 2-13 y 2-14, el sentido de la f.e.m. inducida es el que aparece indicado en las mismas. B. B. Si. dB >0 dt. O. Si. a. dB <0 dt. Ii. εi. O. a. Ii. εi Fig. 2-14. FIG. 2-13. Veamos ahora cómo se calcula el valor de la f.em. inducida para cualquiera de los casos discutidos anteriormente. La expresión de la f.e.m. inducida es   ε = − dΦ = − d ∫ B da = − d ∫ Bda cos θ dt dt S dt S donde como se recordará, el vector da y el ángulo θ tienen el mismo significado que en la definición del flujo del campo eléctrico. Puesto que en los casos discutidos anteriormente el campo magnético es perpendicular al plano de la espira, el vector que represente a cualquier elemento de área de la misma será un vector de igual dirección que el campo magnético, y puesto que en estos casos el sentido no está determinado por ninguna propiedad física, se puede tomar arbitrariamente, de forma que lo consideraremos, en cada caso, de igual sentido que el campo magnético. Por consiguiente, el ángulo θ formado por los vectores B y da es 0º, y, por tanto, cos θ =1. De modo que, ε = − d ∫ Bda cos 0º = − d ∫ Bda dt S dt S En la expresión anterior, el módulo del campo magnético, B, puede salir fuera de la integral porque aunque es variable con el tiempo, geométricamente es constante en cada instante para todos los puntos de la superficie abarcada por la espira. Habrá que tener especial cuidado, de ahora en adelante, en distinguir claramente cuándo una magnitud varía temporalmente, y cuándo geométricamente, o espacialmente. La expresión anterior queda, pues, en la forma:. ε = − dB ∫ da = −πa dt. 2. S. dB dt. y puesto que el signo negativo ya se ha interpretado por medio de la ley de Lenz, indicando en el caso de la figura [2.13], que el sentido, tanto de la corriente inducida como de la f.e.m., es el de las agujas del reloj, y que en el caso de la figura [2.14], son de sentido contrario al de las agujas del reloj, queda en definitiva,. ε = πa. 2. dB dt. Se puede calcular ahora la intensidad de la corriente que circula por la espira, en los sentidos indicados en cada caso, sin más que aplicar la ley de Ohm,. I=. ε = πa. R. dB R dt 2.

(6) 2.12. aletos. TEMA 2.2 LEYES. DE. FARADAY. Y. Física para Ciencias e Ingeniería. LENZ. Conviene volver a insistir en un aspecto que ya se ha comentado anteriormente: En ningún caso debe interpretarse la ley de Lenz en el sentido de que la f.e.m. inducida sea negativa. El signo negativo, se debe conservar en la expresión de la f.e.m. solamente cuando el flujo magnético es una función explícita del tiempo, y su derivada respecto al tiempo es asimismo una función del tiempo.. Veamos ahora un ejemplo de esto último. Supongamos que la espira conductora de radio a, y resistencia R, de los ejemplos discutidos anteriormente, se encuentra en una región del espacio donde existe un campo magnético cuyas líneas de fuerza son perpendiculares al plano de la espira y cuyo módulo varía conforme transcurre el tiempo según la relación B = B0 sen ωt Para interpretar correctamente los resultados finales, conviene representar gráficamente esta función sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando B sobre el eje de ordenadas y ωt sobre el eje de abscisas. Así se obtiene la gráfica indicada en la figura 2-15. B0 O. π/2. 3π/2. π. 2π. –B0 Fig. 2-15. Se observa que el módulo del campo magnético es nulo en el instante t = 0, aumenta hasta su valor máximo B0 en t = π/2ω, se anula en t = π/ω, en cuyo instante el campo magnético cambia de sentido, aumenta en este sentido ωt hasta alcanzar su valor máximo –B0 en el instante t = 3π/2, decrece a continuación a medida que transcurre el tiempo, y finalmente se anula para t = 2π. Para tener una referencia temporal y geométrica, supondremos que, a partir del instante t = 0, en que comenzamos a contar el tiempo, el campo magnético está dirigido. hacia el lector, como indica la figura 2-16, en el sentido positivo del eje OZ. Tomaremos el plano de la espira como plano XY, y el punto, O, como origen de coordenadas. B. O. a. Con este convenio, cuando el campo magnético en un cierto instante sea positivo en la representación gráfica en función de ωt, estará dirigido hacia el lector en la figura correspondiente al plano de la espira, y cuando sea negativo se alejará del lector. El flujo magnético a través de la espira es,   Φ = ∫ B da = ∫ B da cos θ = ∫ B da cos 0º = ∫ B da = πa 2B = πa 2B0 sen ωt S. S. S. S. El módulo del campo magnético puede salir fuera de la integral de superficie extendida al área encerrada por la espira, por la razón que ya se ha expuesto anteriormente:. Fig. 2-16. Porque aunque es variable con el tiempo, geométricamente es constante en cada instante para todos los puntos de la superficie abarcada por la espira. Si llamamos, para abreviar, Φ0 = πa2B0, que representa el valor máximo del flujo, la f.e.m. inducida en la espira es, según la ley de Lenz y Faraday,. ε = − dΦ = − d (πa B. ε0. 2. dt. Φ0 B0 O. π/2. π. 3π/2. –B0. −Φ0 –ε0 Fig. 2-17. dt. 0. sen ωt) = −πa 2B0ω cos ωt = −ε0 cos ωt. relación en la que se ha sustituido πa2B0w por ε0, para abreviar, y representa el valor máximo de la f.e.m. induΦ(t) cida. Se debe conservar el signo negativo por ser una funB(t) ción explícita del tiempo, ya que de esta forma quedan ωt fielmente reflejados en dicha expresión el valor de la f.e.m. 2π inducida y su sentido conforme transcurre el tiempo. Se comprenderá mejor esto último si hacemos una representación gráfica de B, Φ y ε sobre unos ejes de coordenadas, en función del tiempo. Se pueden dibujar superpuestas las tres gráficas si se ε(t) adoptan escalas adecuadas para cada magnitud, tomando valores de B, Φ y ε, sobre el eje de ordenadas, y valores de ωt sobre el eje de abscisas..

(7) aletos. TEMA 2.2 LEYES. Física para Ciencias e Ingeniería. DE. FARADAY. Y. LENZ. 2.13. Se puede representar asimismo la gráfica de la intensidad de la corriente que circula por la espira, que se obtiene fácilemnte a partir de la ley de Ohm, pero se ha omitido para simplificar la figura. Puesto que el módulo del campo magnético, B, el flujo magnético, Φ y la f.e.m., ε, son funciones armónicas del tiempo basta hacer la representación gráfica para un periodo, es decir desde ωt = 0, hasta ωt = 2π. Las gráficas que se obtienen son las que aparecen en la figura 2-17. Vamos a analizar, a la vista de estas gráficas, la interpretación de la ley de Lenz en cada cuarto de periodo. En la figura 2-18 se ha representado la misma gráfica que en la figura precedente, 2-17, con la diferencia de que se ha extendido la escala del eje de abscisas, con objeto de poder superponer en la parte inferior de la figura la situación correspondiente a la espira conductora en cada cuarto de periodo. Como puede observarse, aparecen indicados los sentidos de la f.e.m. y de la corriente inducidas en la espira, aunque no se ha representado la gráfica de la intensidad, como ya se ha indicado anteriormente, por razones de claridad. No obstante, el sentido de la intensidad de la corriente inducida y su variación temporal son en cada instante iguales que los de la f.e.m. inducida.. ε0 Φ0 B0. Φ(t) B(t). O. π/2. 3π/2. π. 2π. ωt. –B0. −Φ0. ε(t). –ε0. εi. Ii. εi. Ii. εi. Ii. εi. Ii. Fig. 2-18. Si se examinan atentamente las cuatro situaciones en las que aparece representada la espira, correspondientes a cada cuarto de periodo mientras varía el campo magnético, se puede comprender la correcta interpretación de la ley de Lenz: I.- Para 0 ≤ ωt ≤ π/2. Durante este intervalo de tiempo el módulo del campo magnético exterior aumenta en sentido positivo, es decir, en la figura de la espira que hemos considerado, está dirigido hacia el lector, o lo que es igual, en el sentido positivo del eje OZ. Como ya hemos visto anteriormente, se induce en la espira una f.e.m. en el sentido de las agujas del reloj, que aparece representada en la parte negativa del eje de ordenadas, como corresponde a su expresión ε = –ε0 cos ωt Obsérvese que mientras el módulo del campo magnético aumenta, el valor absoluto de la f.e.m. inducida disminuye de |–ε0 | a 0. Es otra característica más de la f.e.m. inducida que queda reflejada en la ley de Lenz..

(8) 2.14. aletos. TEMA 2.2 LEYES. DE. FARADAY. Y. LENZ. Física para Ciencias e Ingeniería. De modo que durante este intervalo de tiempo disminuye el valor de la fuerza electromotriz inducida y tiene el sentido de las agujas del reloj. II.- Para π/2 ≤ ωt ≤ π. A partir del instante t = π/2ω, comienza a disminuir el módulo del campo magnético exterior manteniendo éste su sentido, como queda reflejado en la gráfica, y como consecuencia, se induce en la espira una f.e.m. de un sentido tal, que la corriente que origina, produce, a su vez, un campo magnético que tiende a oponerse a la disminución del campo magnético exterior. Por esta razón, el campo creado por la corriente de la espira es del mismo sentido que el campo exterior. Su comportamiento es como si tratase de “reforzar” el valor del campo exterior que está disminuyendo, de esta forma se “superpone” a él, y así se opone a su disminución. En consecuencia, el sentido de la f.e.m. inducida en la espira es contrario al de las agujas del reloj, y, por tanto, ha cambiado respecto del que tenía en el intervalo de tiempo correspondiente al primer cuarto de periodo, como muestra la gráfica. Además, su valor aumenta a medida que disminuye el del campo magnético exterior, B. Obsérvese que el campo magnético exterior tiene el mismo sentido, dirigido hacia el lector, en los dos primeros cuartos de periodo y, sin embargo, la f.e.m. inducida en la espira no tiene el mismo sentido en el primer cuarto de periodo que en el segundo. La razón estriba en que la f.e.m. inducida no se opone en realidad al campo magnético exterior, sino a su variación. III.- Para π ≤ ωt ≤ 3π/2. En el instante t = π/ω, cambia el sentido del campo magnético exterior, aumentando su módulo. Por consiguiente, la f.e.m. que se induce en la espira es de un sentido tal, que la corriente que origina, produce, a su vez, un campo magnético que tiende a oponerse al aumento del campo magnético exterior. Así que, en este caso, el campo creado por la corriente inducida en la espira es de sentido contrario al del campo exterior. Su comportamiento es como si tratase de “debilitar” el valor del campo exterior que está aumentando, y así se opone a su aumento. En consecuencia, el sentido de la f.e.m. inducida en la espira es contrario al de las agujas del reloj, y, por tanto, se mantiene respecto del que tenía en el intervalo de tiempo correspondiente al segundo cuarto de periodo, como muestra la gráfica. Además, su valor disminuye a medida que aumenta el del campo magnético exterior, B. IV.- Para 3π/2 ≤ ωt ≤ 2π. En el instante t = 3π/2ω, comienza a disminuir el módulo del campo magnético exterior manteniendo éste su sentido, como queda reflejado en la gráfica, y como consecuencia, se induce en la espira una f.e.m. de un sentido tal, que la corriente que origina, produce, a su vez, un campo magnético que tiende a oponerse a la disminución del campo magnético exterior. Por esta razón, el campo creado por la corriente de la espira es del mismo sentido que el campo exterior. Su comportamiento es como si tratase de “reforzar” el valor del campo exterior que está disminuyendo, de esta forma tiende a compensar su disminución superponiéndose a él, y así se opone a su disminución. En consecuencia, el sentido de la f.e.m. inducida en la espira es el de las agujas del reloj, y, por tanto, ha cambiado respecto del que tenía en el intervalo de tiempo anterior correspondiente al tercer cuarto de periodo, como muestra la gráfica. Además, su valor aumenta en sentido negativo a medida que disminuye el del campo magnético exterior B. Obsérvese que el campo magnético exterior tiene el mismo sentido, dirigido hacia el lector, en los dos últimos cuartos de periodo y, sin embargo, la f.e.m. inducida en la espira no tiene el mismo sentido en el tercer cuarto de periodo que en el último. La razón estriba en que, como ya se ha repetido anteriormente, la f.e.m. inducida no se opone en realidad al campo magnético exterior, sino a su variación. Desde otro punto de vista, conviene recordar el estudio realizado acerca del movimiento de una varilla conductora que se desliza apoyada sobre un alambre conductor doblado en forma de U, en presencia de un campo magnético exterior. Vimos que, como consecuencia de los fenómenos de inducción, aparece una fuerza dFB ejercida por el campo magnético exterior sobre la varilla en movimiento, como muestra la figura 2-19, y, en consecuencia, la varilla es frenada por el campo magnético exterior..

(9) aletos. TEMA 2.2 LEYES. Física para Ciencias e Ingeniería. DE. FARADAY. Y. LENZ. 2.15. Conviene analizar detenidamente cuál es la verdadera causa de la aparición de tal fuerza, es decir, la causa última, porque, en principio, podría razonarse que es debida a la acción del campo magnético exterior sobre la corriente que circula por la varilla, lo cual es cierto, pero esta corriente no circularía por la varilla si no se indujese en ella una f.e.m. Y el origen de esta f.e.m. inducida no radica, en este caso, en la existencia de un campo magnético exterior, ni en su variación, ya que no hay tal variación puesto que se supuso un campo uniforme y constante.. I a.  dFB. I.  v. I b I FIG. 2-19. La verdadera causa reside, en este caso, en el movimiento de la varilla, ya que si ésta se detuviese, cesarían todos los fenómenos originados por el campo magnético exterior, y la f.e.m. inducida en ella, cuya expresión es, como ya vimos, ε = vBl, sería nula por ser v = 0. Este efecto es una manifestación más de la naturaleza de la f.e.m. inducida, oponiéndose a la causa que la produce. Hay otros aspectos importantes, a tener en cuenta, en relación con la f.e.m. inducida en el caso de una espira que se encuentra en presencia de un campo magnético exterior variable con el tiempo. Uno de ellos, pone de manifiesto la importancia que tiene, en algunos casos, interpretar la f.e.m. inducida en la forma,   ε = ∫ Eeq ⋅dl [2.11] C. donde, Eeq, representa un campo eléctrico ficticio que, si existiese realmente, produciría los mismos efectos que los que son producidos por otros agentes, bien sean magnéticos, químicos, mecánicos, etc. Por ejemplo, supongamos que, en uno cualquiera de los casos estudiados anteriormente, la región del espacio donde existe el campo magnético exterior, variable solamente con el tiempo, queda circunscrita a una región cilíndrica de radio r0, cuyo eje de simetría es el eje perpendicular al plano de la espira que pasa por su centro.. B r O. a. S. r0 Ii. εi. FIG.2-20. Supongamos que el módulo del campo magnético está aumentando con el tiempo y, para mayor sencillez, que la derivada de su módulo es un valor constante dado. Es evidente que a través del área que abarca la espira, es decir, a través del círculo de radio a existe un flujo magnético, Φ, dado por la expresión,   Φ = ∫ B da = ∫ B da cos 0º = ∫ B da = πa 2B S. S. Como ya se ha explicado anteriormente, el módulo del campo magnético exterior, aunque varía con el tiempo, geométricamente tiene el mismo valor, en un cierto instante, en todos los puntos del espacio y, por consiguiente, puede salir fuera de la integral, porque es una integral de superficie extendida al área que abarca la circunferencia. En cuanto al sentido del vector da, que representa a cualquier elemento infinitesimal de superficie, puesto que no está determina-. do por ninguna propiedad física, lo podemos tomar arbitrariamente, así que lo consideramos de igual sentido que el vector campo magnético, y, por esta razón, el ángulo que forman dichos vectores es de 0º. Puesto que el módulo del campo magnético aumenta conforme transcurre el tiempo, el flujo magnético que atraviesa al círculo de radio a aumenta asimismo con el tiempo, dando lugar, por tanto a una f.e.m. inducida , cuya expresión es, ε = − dΦ = − d (πa 2B0 ) = −πa 2 dB dt dt dt y cuyo sentido, según la ley de Lenz, es contrario al de las agujas del reloj. Aunque se ha dejado expresado el signo negativo en la relación anterior, no es necesario conservarlo, ya que, en este caso, la f.em. inducida no es una función del tiempo. Vamos a interpretar esta f.e.m. inducida a partir de la relación [2-11]..

(10) 2.16. aletos. TEMA 2.2 LEYES. DE. FARADAY. Y. Física para Ciencias e Ingeniería. LENZ. Como se recordará, el campo equivalente que aparece en la relación anterior representa un campo eléctrico ficticio, que se supone que es el responsable de las acciones a las que quedan sometidos los electrones libres presentes en el material conductor que forma el generador. En este caso, el “generador” es la propia espira, considerada globalmente, y puesto que la variación de flujo magnético afecta a toda ella por igual, debido a la simetría del campo magnético, la f.e.m. inducida estará repartida de una manera uniforme a lo largo de toda ella. De modo que esta clase de f.e.m. no está localizada en un dispositivo determinado, como ocurre en los generadores convencionales, sino que está extendida a lo largo de todo el conductor afectado por la variación de flujo magnético, y cada elemento de longitud dl se puede considerar que es un generador de f.e.m inducida elemental dε. Si ahora tenemos en cuenta que en el interior de la espira circula una corriente eléctrica en sentido contrario al de las agujas del reloj, y, por consiguiente, se produce un movimiento de electrones libres en el sentido de las agujas del reloj, podemos interpretar que este movimiento circular de los electrones libres es debido a un campo ficticio que, en cada punto, ejerce sobre cada electrón una fuerza tangente a su trayectoria, dirigida en el sentido del movimiento. Y, puesto que, la fuerza que actúa sobre cada electrón libre, debida al campo eléctrico ficticio, es,   FE = −eEeq se deduce que el campo eléctrico ficticio debe ser, en cada punto de la trayectoria circular de cualquiera de los electrones libres, un vector de igual dirección y de sentido contrario que la fuerza que actúa sobre cada electrón. Si se tiene en cuenta que las líneas de fuerza de un campo tienen la propiedad de que, en cada uno de sus puntos, el vector campo es tangente a dichas líneas, se concluye que las líneas de fuerza del campo eléctrico ficticio, que suponemos que actúa sobre los electrones libres, son circunferencias concéntricas con la espira, cuyo sentido es, en este caso, contrario al de las agujas del reloj. En consecuencia, si designamos por dl a un elemento de longitud a lo largo de la espira, en el sentido de las agujas del reloj, el vector que lo representa tiene la dirección de la tangente a la espira y su sentido el ya mencionado de las agujas del reloj. Así que en cada punto de la espira, los vectores Eeq y dl son de igual dirección y sentido. Por tanto,   ε = ∫ Eeq ⋅dl = ∫ Eeqdl cos 0º = ∫ Eeqdl =Eeq ∫ dl = 2πa Eeq C. C. C. C. y como por otra parte, la f.e.em. inducida, según la ley de Faraday y Lenz es:. ε = − dΦ = − d (πa B ) = −πa 2. dt dt resulta, igualando los segundos miembros, y despejando: Eeq =. 0. 2. dB dt. a dB 2 dt. La f.e.m. que se induce en la espira conductora se puede interpretar que es originada por un campo eléctrico equivalente, ficticio, cuyas características, módulo, dirección y sentido, son las descritas anteriormente.. B r a. O. r0. εi. ε’i. FIG. 2-21. Ii. Se plantea ahora la cuestión de analizar si se induce igualmente una f.e.m. a lo largo de una circunferencia de radio r<r0, concéntrica con la espira conductora, es decir, de una simple línea geométrica, a pesar de no ser un soporte material, ya que se está produciendo igualmente una variación de flujo magnético, conforme transcurre el tiempo, a través del área que encierra. Y si es así, cómo se manifiesta y cómo se determina su sentido, ya que en este caso no puede circular ninguna corriente eléctrica, a lo largo de la misma, que sirva cómo referencia para averiguar cuál es el sentido del campo magnético producido por dicha corriente y, en consecuencia, determinar el sentido de la corriente y el de la f.e.m. inducida. Pues bien, para encontrar la solución a las cuestiones planteadas, basta imaginar qué sucedería si colocásemos una espira conductora, muy delgada, de igual radio, r, que la circunferencia, coincidiendo superpuesta con ella..

(11) aletos. TEMA 2.2 LEYES. Física para Ciencias e Ingeniería. DE. FARADAY. Y. LENZ. 2.17. Naturalmente, se puede aplicar a esta espira todo el razonamiento efectuado con la espira conductora de radio a, para lo cual, basta sustituir en las expresiones anteriores del flujo magnético y de la f.e.m. inducida, a por r, para obtener las correspondientes expresiones de estas magnitudes para dicha espira:   Φ = ∫ B da = ∫ B da cos 0º = ∫ B da = πr 2B S. ε' = −. dΦ dt. S. =−. S. d. (π r B) = −πr 2 2. dt. dB dt. Ahora bien, puesto que la circunferencia de radio r es inmaterial, no puede circular corriente eléctrica por ella; pero la f.e.m. inducida existe de una forma latente, que se puede interpretar originada por un campo eléctrico equivalente, cuyo módulo se obtiene sin más que sustituir a por r en la expresión obtenida para la espira de radio a,. Eeq =. r dB 2 dt. siendo la propia circunferencia una línea de fuerza de dicho campo, en sentido contrario al de las agujas del reloj. En resumen: se efectúa el cálculo de la variación del flujo magnético, de la f.e.m. inducida y del campo eléctrico equivalente, como si la circunferencia fuese una espira conductora, aplicando todo lo expuesto anteriormente. Se prescinde de la corriente eléctrica, que en este caso no puede existir, y Se interpreta que la f.e.m. inducida es originada por un campo eléctrico equivalente cuyas líneas de fuerza, en este caso, son circunferencias concéntricas con centro en el punto O, y cuyo sentido es contrario al de las agujas del reloj.. El hecho de ser las líneas de fuerza del campo equivalente circunferencias y, por tanto, líneas cerradas, es una evidencia más del carácter ficticio de este campo equivalente. Las líneas de fuerza de un verdadero campo electrostático son líneas abiertas que van dirigidas desde las cargas positivas hacia las negativas.. Hay otro aspecto importante a destacar en el caso de la espira conductora de radio a, o de cualquier otra espira conductora de radio r < r0, con centro en el punto O, que se pone de manifiesto si se calcula la diferencia de potencial que existe entre dos puntos arbitrarios de la espira, C y D. Veamos cuál es su valor.. C. D. O. Como consecuencia de la f.e.m. inducida en la espira, circula por ella una corriente en sentido contrario al de las agujas del reloj, cuya intensidad se calcula a partir de la ley de Ohm, B. I=. I ΣRif = Σεif −(Vf −Vi ). Ii. FIG. 2-22. R. dB R dt 2. y en cuya expresión se puede prescindir del signo negativo, puesto que en este caso se supone que la intensidad no es función del tiempo. Si aplicamos la ley general de Ohm, entre los puntos C y D:. a r0. εi. ε = πr. Como se recordará, esta expresión sirve para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito cuando entre ellos hay intercalados generadores de f.e.m. y resistencias. Puede parecer que en este caso no procede aplicar esta expresión. porque, aparentemente, no hay intercalados generadores de f.e.m. entre los puntos C y D de la espira. Hay que tener cuidado con esta apreciación, puesto que, si bien no hay intercalados generadores convencionales, la f.e.m. inducida en la espira está repartida uniformemente a lo largo de toda su longitud l = 2πa, y por consiguiente, existe una f.e.m. inducida por unidad de longitud, cuyo valor es,. ε= ε l. 2πa. =. πa 2 dB a dB = 2πa dt 2 dt. Recordemos ahora cuál es el significado de los diferentes términos que intervienen en la expresión de la ley general de Ohm. I es la intensidad de la corriente que circula por el tramo de circuito comprendido entre los puntos designados como i y f, y que se debe calcular previamente a partir de la ley de Ohm para el circuito completo:.

(12) 2.18. aletos. TEMA 2.2 LEYES. DE. FARADAY. Y. Física para Ciencias e Ingeniería. LENZ. I=. ε = πa. R. dB R dt 2. ΣRif representa la suma de las resistencias comprendidas entre los puntos i y f. El punto i es el punto del tramo elegido desde el cual “parece” que procede la corriente, y f, el punto al cual se dirige. En realidad, la corriente no “procede” del punto i en el sentido de que dicho punto no es su origen. La corriente se establece simultáneamente en toda la espira tan pronto como se produce la variación de flujo magnético a través de la superficie encerrada por ella. En este caso la suma de resistencias es la resistencia del tramo de espira comprendido entre los puntos C y D. Puesto que se supone que la espira es homogénea, su valor se obtiene multiplicando la resistencia por unidad de longitud de la espira, por la longitud del arco de espira, lCD, ΣRif = RCD =. R l 2πa CD. Σεif representa la suma algebráica de las f.e.m. intercaladas en el tramo de circuito comprendido entre los puntos i y f. Se consideran positivas aquellas f.e.m. que favorezcan la circulación de la corriente, es decir, aquéllas que sean de su mismo sentido, y negativas, las que se opongan, es decir, las que sean de sentido contrario al de la intensidad de la corriente. Puesto que la f.e.m. inducida en la espira está repartida uniformemente a lo largo de toda ella, la f.e.m. correspondiente al tramo de espira comprendido entre los puntos C y D se obtiene multiplicando la f.e.m. por unidad de longitud, calculada anteriormente, por la longitud lCD de dicho tramo, Σεif = ΣεCD =. ε 2πa. lCD =. a dB πa 2 dB lCD = l 2 dt CD 2πa dt. El término Vf–Vi representa la diferencia de potencial entre los puntos final f e inicial i. Se debe tomar esta diferencia siempre en este sentido y encerrada dentro de un paréntesis precedido, a su vez, de un signo negativo. Sustituyendo todas las expresiones de los diferentes términos en la ley general de Ohm, I ΣRif = Σεif −(Vf −Vi ). se obtiene, a dB πa 2 dB R ⋅ lCD = l −(Vf −Vi ) 2 dt CD R dt 2πa. y simplificando a dB a dB l = l −(Vf −Vi ) 2 dt CD 2 dt CD. de donde, finalmente,. Vf −Vi = 0 Todo el razonamiento anterior es válido, cualesquiera que sean los puntos C y D de la espira, así que, La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de la espira es nula.. A primera vista, no deja de ser sorprendente la conclusión anterior porque entre los puntos C y D hay una resistencia RCD y, por lo tanto, al circular una corriente eléctrica debería haber una caída de tensión entre dichos puntos, debida a la conversión de energía eléctrica en calor, lo que se conoce como efecto Joule. En un circuito convencional, es decir, en un circuito con generadores ordinarios, solamente es nula la diferencia de potencial entre dos puntos cuando no circula corriente entre ellos, es decir, cuando el circuito está abierto, o en el caso ideal de que la resistencia eléctrica del tramo de conductor que existe entre ellos sea nula. Para comprender el significado físico que tiene el hecho de que exista una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito convencional por el que circula una cierta corriente, entre los cuales hay una cierta resistencia y uno o varios generadores de f.e.m., hay que tener presentes los siguientes puntos: I.- La circulación de una corriente eléctrica por un conductor metálico consiste en un movimiento de electrones libres en sentido contrario al sentido convencional de la intensidad, lo que determina una conversión de energía eléctrica en cinética, y ésta, a su vez, en calor, que se desarrolla en el propio conductor, a causa de los choques inelásticos que efectúan los electrones libres con las moléculas y átomos del conductor, lo que se conoce como efecto Joule..

(13) aletos Física para Ciencias e Ingeniería. TEMA 2.2 LEYES. DE. FARADAY. Y. LENZ. 2.19. II.- La f.e.m. está “concentrada” en los dispositivos que denominamos generadores, en lugar de estar extendida a lo largo del circuito. Por consiguiente, en todo tramo conductor que tenga una cierta resistencia y no contenga ningún generador, se produce un desarrollo de calor que origina una pérdida de energía eléctrica, lo que se traduce en una caída de tensión, o diferencia de potencial entre los extremos de dicho tramo. Recuérdese que la definición de diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo realizado por unidad de carga puesta en circulación, y puesto que las fuerzas eléctricas son conservativas, este trabajo se interpreta como una disminución de energía potencial eléctrica. Evidentemente, no es éste el caso de la espira conductora sometida al campo magnético variable con el tiempo. La explicación a esta aparente contradicción estriba en la especial naturaleza de la f.e.m. inducida, que aparece, en general, extendida a lo largo de todo el conductor en el cual se induce, lo que determina que cualquier elemento de longitud dl de la espira sea, al mismo tiempo, una resistencia dR y un generador de f.e.m. dε. Por consiguiente, Cada elemento de longitud infinitesimal de la espira se autosuministra la energía que se disipa en el mismo. Es decir, se cumple para cualquier elemento, energía disipada en forma de calor = energía suministrada por la f.e.m. inducida y, en consecuencia, el balance de energía neta es nulo, con lo cual queda justificado el hecho de que, Vf – Vi = 0.

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