ELECTIVA I
PROGRAMA DE FISICA
Departamento de Física y Geología
Universidad de Pamplona
Marzo de 2010
En esta sección nos enfocaremos en una clase muy limitada, pero importante que
involucra modificaciones sencillas de la variable independiente.
Estas modificaciones no permiten introducir varias propiedades de las señales y
los sistemas.
EJEMPLOS DE TRANSFORMACION DE VARIABLES
CORRIMIENTO DE TIEMPO
Ocasiona desplazamiento de la señal en el eje de la variable independiente
Esta desplazamiento es ocasionado por la adición de una constante en
el argumento de la función.
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
( )
(
o
)
o
0
x t
x t
t
con
t
[ ]
[
o
]
o
0
IN VERSION DE TIEMPO
( )
( )
x t
x t
[ ]
[
]
x n
x n
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
ESCALAMIENTO DEL TIEMPO.
( )
x t
(2 )
x
t
( / 2)
( )
(
)
x t
x
t
Alargada linealmente si:
Comprimida linealmente si:
Invertida si:
Desplazada si:
1
1
0
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
Ejemplo 1.
0,
0
( )
0
1,
1
1
2,
2
2
0
t
x
x t
t
x
t
x
t
t
x
Encontrar,
x t
(
1), (
x
t
1), (
x
2
3
t
), (
x
3
2
t
1)
(
1)
x t
1,
0
1
0,
1
0
1,
1
1,
0
t
x
t
x
t
x
t
(
1)
x t
1,
0
1
0,
1
0
1,
1
1,
0
t
x
t
x
t
x
t
t
x
3
2
(
)
x
t
2 3 3 2 43 3 2
4 3
0,
0
0
,
1
,
2
,
0
t
x
t
x
t
x
t
t
x
3
2
(
1)
x
t
2 3 2 3 3 2 3 2,
0
0,
1
0
,
1
t
x
t
x
SEÑALES PERIODICAS
( )
(
),
x t
x t
mT
con
m
entero
Es periódica en
periodos igual a:
, 2 ,3 , 4 ,...
T T T T
El
Periodo Fundamental
es:
o
T
T
Señal periódica
continua
Señal periódica
discreta
[ ]
[
]
x n
x n
N
Es periódica en
periodos igual a:
, 2 ,3 , 4 ,...
N
N N
N
El
Periodo Fundamental
es:
N
N
3
oNESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
Ejemplo :
probar que la siguiente señal es periodica.
cos( ),
0
( )
( ),
0
t
si t
x t
sen t
si t
T
o2
cos(
t
2 )
cos( )
t
sen t
(
2 )
sen t
( )
SEÑALES PARES E IMPARES
( )
( )
x t
x t
PAR
IMPAR
x t
( )
x t
( )
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
Cualquier señal se puede separar o descomponer en la suma de una señal par y una
impar.
EJEMPLO:
consideremos las siguientes funciones.
1
2
{ ( )}
( )
(
)
Od x t
x t
x
t
1
2
{ ( )}
( )
(
)
Ev x t
x t
x
t
Parte Par
Parte Impar
Verificar que la parte Par es realmente Par y de igual forma con la parte Impar y que
la suma de las dos es
x t
( )
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
SEÑALES EXPONENCIALES Y SENOIDALES
Señales continuas exponencial compleja y senoidal
( )
tx t
Ce
donde
y C son Complejos
Si
y C son reales
Señal exponencial real
Pero;
x t
( )
e
jw t
oSeñal exponencial compleja
La cual es posible probar que es una señal periódica, con periodo
T
(
)
o
jw t T
e
e
jw t
o
e
jw T
o
e
jw t
o
Para el valor positivo mas pequeño de T
se cumple
2
o
o
T
w
( )
cos(
o
)
x t
A
w t
2
o o
w
f
cos(
o
)
A
w t
(
)
(
)
2
o o
j w t
j w t
e
e
A
(
o
)
Asen w t
(
)
(
)
2
o o
j w t
j w t
e
e
A
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
cos(
o
)
A
w t
Re Ae
j w t
(
o)
(
o
)
Asen w t
Im
Ae
j w t
(
o)
Tambien;
Ejemplo:
Calcular al magnitud de la señal
x t
( )
e
j t
3
e
j t
2
( )
2 cos(0.5 )
Señales exponenciales complejas generales
( )
tx t
Ce
donde
y C son Complejos
j
o
C
C e
y
r
jw
Entonces,
t
Ce
C e e
j
(
r
jw t
o)
C e e
rt
j w t
(
o)
Usando Euler,
t
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
0
r
0
r
rt
Señales Disctretas exponencial compleja y senoidal
[ ]
n nx n
C
Ce
donde
y C son Complejos
Si
y C son reales
Señal discreta exponencial real
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
1
0
Pero, si
x n
[ ]
e
jw n
oSeñal discreta exponencial compleja
La cual es posible escribir como
o
jw
[ ]
cos(
o
)
x n
A
w n
cos(
o
)
A
w n
(
)
(
)
2
o o
j w n
j w n
e
e
A
(
o
)
Asen w n
(
)
(
)
2
o o
j w n
j w n
e
e
A
j
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
Señales exponenciales complejas generales
[ ]
nx n
C
donde
y C son Complejos
o
jw
j
C
C e
y
e
Entonces,
n
C
C
n
e
jw n
oUsando Euler,
n
1
1
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
PROPIEDADES DE LAS EXPONENCIALES CONTINUAS
•
Mientras mas grande se la magnitud w
mayor es la velocidad de oscilación de la
señal. Para cada w
una señal periódica diferente.
•
Una función exponencial continua es
periódica
para cualquier w.
¨Existen diferencias en estas propiedades para las señales exponenciales
discretas.¨
Consideremos la exponencial discreta con frecuencia
w
o
2
(
o2 )
j w
n
e
e
jw n
oe
j
2
n
e
jw n
oLa exponencial con frecuencia es la misma que la exponencial
w
ow
o2
Por tanto, en las exponenciales discretas es
necesario tomar solo un intervalo
0
o
2
o
w
o
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
Analizando la otra propiedad, que tiene que ver con la periodicidad
(
)
o
o
o
jw n N
jw n
jw N
e
e
e
Para que sea periódico, debe cumplirse la condición :
e
jw N
o
1
(
)
o
o
jw n N
jw n
e
e
Esto quiere decir que:
w N
o
2
m
2
o
w
m
N
Es un numero racional o
Entonces, una señal es periodica si la fraccion anterior es un racional y no lo es
en otro caso.
2
o
w
m
La frecuencia fundamental de una señal periódica discreta
e
jw n
o2
w
o
N
m
FRECUENCIA
FUNDAMENTAL
El periodo fundamental de una señal periódica discreta
e
jw n
o2
o
m
N
w
PERIODO
SEÑALES DISCRETAS
PERIODICAS
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
Ejemplo: Encontrar el periodo fundamental de la señal discreta
(2 /3)
(3 / 4)
[ ]
j
n
j
n
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
