El problema de Waring

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El Problema de Waring

Francisco Barreras

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Capítulo 1

Introducción

En 1770 Edward Waring en suMeditationes algebraicaepropuso una generaliza-ción del problema de los cuatro cuadrados de Lagrange. A saber, que cada número naturalktiene asociado un entero positivog(k)tal que todo número natural es la suma de a lo más g(k)potencias k-ésimas de números naturales. La respuesta afirmativa, conocida como elTeorema de Hilbert-Waringfue provista por Hilbert en 1909.

Relacionado con el problema de Waring, está el problema de determinar con exac-titud el valor deg(k)o, por lo menos, el de acotarlo. También existe el problema más complejo de determinar o acotar el valor deG(k), definido como el menor entero po-sitivostal que cada entero positivo suficiente grande (i.e. todo entero mayor a alguna constante) puede ser representado como la suma de a lo másspotencias k-ésimas de números naturales.

El objetivo de este proyecto es presentar una demostración analítica completa del Teorema de Hilbert-Waring, basada en las ideas expuestas en [Newmann]. La técnica que utilizaremos para la demostración del Teorema de Hilbert-Waring es el célebre Método del Círculo, y entre las herramientas principales que introduciremos junto con esta técnica están el concepto de densidad definido por Schnirelmann y la evaluación de sumas de Weyl. A manera de ejemplo para introducir el Método del Círculo, también mostraremos un estimativo por arriba de la función de partición de un número, que aunque peor en comparación a la dada por Hardy y Ramanujan, permite exponer las bases de dicho método de manera amigable.

Por otro lado, también mostraremos estimativos conocidos deg(k)yG(k). Dare-mos deDare-mostraciones para algunas de estas cotas en casos particulares, que usan apro-ximaciones inteligentes y argumentos elementales, a nuestro parecer muy elegantes y que merecen ser conocidos por cualquier matemático.

Cabe anotar que la demostración propuesta por D. Newman tiene bastantes errores, así que este trabajo también sirve como una correción y revisión al resultado expuesto por Newman.

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Capítulo 2

problema de Waring y la

densidad de Schnirelmann

El problema de Waring se puede entender más fácilmente si se enuncia en térmi-nos de sumas de sucesiones. Para evitar cualquier tipo de confusión con el concepto tradicional de sucesión, presentamos la siguiente definición.

Definición 2.0.1. Se entenderá porsucesiónuna secuencia infinita de números natura-les, ordenados en orden creciente y que incluyen al 0.

Como ejemplo tenemos la sucesión de cuadrados perfectos: A={0,1,4,9, . . .}.

Dos sucesiones se pueden sumar de manera natural de la siguiente manera: Definición 2.0.2. Dadas dos sucesionesA y B definimos su suma A+B como la sucesión compuesta de elementos que son la suma de un elemento deAy uno deB; es decir

A+B={a+b: a∈A, b∈B}. Este concepto se extiende naturalmente a sumas n-arias.

Ahora estamos listos para reformular el teorema de Waring. Parak∈_N, seaAk la sucesión dada porAk={0,1k_,₂k_{, . . .}_}_{. Defina}_Sm_{como la suma de}_m_{copias de}_S. Teorema 2.0.3(Hilbert-Waring). Para todok∈Nexiste unm∈Ntal queN=Amk . En la demostración que presentaremos de este teorema será de gran utilidad el concepto de densidad de Schnirelmann. Antes de dar la definición de densidad de Sch-nirelmann, introduciremos un poco de notación: El intervalo[a, b]denota el conjunto

{a, a+ 1, . . . , b}.

Dada una sucesiónAy un entero positivonse defineA(n)como: A(n) :=|A∩[0, n]|,

donde|D|representa la cardinalidad del conjuntoD. Con ayuda de esto podemos de-finir la densidad de Schnirelmann como sigue

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6 CAPÍTULO 2. WARING Y SCHNIRELMANN

Definición 2.0.4. Dada una sucesiónA, se define la densidad de Schnirelmann deA como

d(A) = ´ınf n

A(n) n

Veamos algunas propiedades de la densidad de Schnirelmann (las demostraciones se dejan al lector interesado):

1. Sir >0yan=r(n−1)entoncesd(A) = 1/r

2. Una progresión geométrica tiene densidad 0, al igual que la sucesión de los cua-drados perfectos.

3. Para queA=_Nes necesario y suficiente qued(A) = 1. 4. Sid(A) = 0entonces∀ε >0∃M :A(M)≤εM.

Para propósitos de nuestra demostración va a ser fundamental el siguiente teorema: Teorema 2.0.5. SiSes una sucesión con densidad de Schnirelmann positiva, entonces existe unm∈_Ntal que

N=Sn

Demostración. Nos apoyaremos principalmente en el siguiente lema:

Lema 2.0.6(Lema de Schnirelmann). Dadas dos sucesionesAy Bse cumple la si-guiente desigualdad:

d(A+B)≥d(A) +d(B)−d(A)d(B).

Demostración. En virtud de la prueba definamos aC:=A+By digamos qued(A) := αyd(B) :=β. Para nuestro propósito es suficiente demostrar que para todon∈Nse

tiene que:

C(n)

n ≥α+β−αβ.

Se estudiará lo que sucede en el segmento[1, n]. Debido a que 0∈ B todos los ele-mentos deAestán enC. Sean0 = a0 < a1 < . . . < aA(n) los elementos deA.

Consideremos dos elementos consecutivos, a saberakyak+1. Entre ellos hay un total

deak+1−ak−1 =lnaturales, a saber los elementos:

ak+ 1, ak+ 2, . . . , ak+l.

Algunos de estos también están enC, en particular aquellos que sean de la formaak+r conr∈Byr≤l, es decir,B(l)de ellos.

Consecuentemente cada segmento de longitudlentre dos elementos deAmenores o iguales an, y entre ny el mayor elemento deA menor an, tiene al menosB(l) elementos que pertenecen aC. Por lo tanto:

C(n)≥A(n) +B(a1−a0−1) +· · ·+B(aA(n)−aA(n)−1−1) +B(n−aA(n)−1).

Pero se cumple queB(l)≥βl, por lo tanto: C(n) ≥ A(n) +β n−aA(n)−1

+β A(n)−1

X

k=0

(ak+1−ak−1)

≥ A(n) +β(n−a0−A(n))

≥ A(n) +β(n−A(n))

≥ A(n)(1−β) +βn

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7

y por tanto podemos concluir que C(n)

n ≥α+β−αβ.

Este lema fácilmente se puede reescribir de la siguiente manera: 1−d(A+B)≤(1−d(A)) (1−d(B)),

y visto de esta forma es más fácil ver la inducción que nos lleva a demostrar que en el caso general se tiene que:

1−d(A1+· · ·+An)≤(1−d(A1)). . .(1−d(An)).

Con la ayuda de este lema, podemos demostrar que siS tiene densidad positiva, entonces para algún m, Sm _{debe tener densidad mayor a} 1

2 puesto que d(S m₎ _≥ 1−(1−d(S))m.

Ahora se puede demostrar fácilmente que sid(A)> 1

2 entoncesd(A+A) = 1. Para esto demostraremos queA+Acontiene todos los naturales. En efecto:

Fije un naturaln, seaA(n)el conjunto de los elementos deAmenores o iguales an, y seaB := n−Ael conjunto de los naturales que son de la forman−acon a ∈ A. Como d(A) > 1

2 se tiene que necesariamente |A(n)| > n

2 y por la misma razón|B| ≥ n

2. Por el principio de casillas, estos dos conjuntos deben coincidir en al menos un elementok. Por lo tantok∈Apero tambiénk=n−aparaa∈Apor lo tantok+a=nyn∈A+A.

Lo que queda de la prueba es entonces, demostrar que paraAk la sucesión de las kpotencias, existe unspara el cuálAs_ktiene densidad de Schnirelmann positiva. Para esto nos centraremos en el siguiente lema, que llamaremos Lema Fundamental: Lema 2.0.7(Lema Fundamental). Para cada entero positivosvamos a definir:

rs(n) :=

X

nk

1+···+nks=n

1,

sujeto ani>0. Entonces existengyCdependiendo solo dektales que: rg(m)≤CNkg−1, (1≤m≤N)

Se pospondrá la prueba de este lema para demostrar primero cómo de éste se des-prende la demostración del teorema2.0.3. Para unkfijo suponga que el lema funda-mental ya ha sido demostrado.Para elsdado por el Lema Fundamental, vamos a llamar Rs(N)al número de sistemas de enteros no negativos(x1, . . . , xs)tales que:

xk₁+xk₂+· · ·+xk_s≤N. En particular tenemos que

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8 CAPÍTULO 2. WARING Y SCHNIRELMANN

Ahora vamos a acotar por debajo el número de dichos sistemas observando que

todos aquellos sistemas en los quexi ≤

_N

s

1 k

obviamente cumplen la condición. Un conteo ingenuo nos diría que, dado que la escogencia de los valores dexies inde-pendiente, entonces en total tendríamos que:

Rs(N)≥

_N

s

s k .

Sin embargo, dicho razonamiento está equivocado en la medida en que

_N

s

1 k

no necesariamente es un entero. Pero observando quebxc ≥ x

2 (x >1)podemos ajustar esta cota a:

Rs(N)≥

_N

2s

s k

. (2.2)

El paso siguiente es combinar los resultados que tenemos hasta ahora para demos-trar queAs_kno tiene densidad 0. El razonamiento se hará por contradicción y la idea es más o menos esta: Según (2.1), enRs(N)solo son distintos de 0 los sumandos donde rs(m)>0lo que sucede sólo sim∈Ask. Además, si la densidad deA

s

kes 0, enton-ces para unN grande, el número de tales sumandos distintos de 0 sería relativamente pequeño. Por la desigualdad del Lema Fundamental, la magnitud de cada uno de esos sumandos es relativamente pequeña también, por lo que vamos a encontrar una cota que contradiga el resultado en (2.2).

En virtud de una contradicción suponga qued(As

k) = 0, entonces paraε >0hay unN ∈_Ntal que

As_k(N)< εN.

Usando la estimación del lema fundamental obtenemos que:

Rs(N) = N

X

m=0

rs(m)

= rs(0) + N

X

m=1

rs(m)

< 1 +CN s k−1_As

k(N) < 1 +εCN

s k_,

y paraNsuficientemente grande se tiene que: Rs(N)≤1 +εCN s

k _<_2εCN s k_,

podemos asumir ahora queεera suficientemente pequeño como para que:

2Cε <

₁

2s

s k ,

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de modo que obtenemos que:

Rs(N)<

_N

2s

s k ,

contradiciendo (2.2), por lo tanto la densidad es positiva.

El siguiente capítulo lo dedicaremos a la demostración de dicho Lema Fundamental para así concluir con la demostración del Teorema de Hilbert-Waring.

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Capítulo 3

El método del círculo

El método del círculo de Hardy y Littlewood es una herramienta poderosa en la Teoría de Números Analítica. La idea central es la estimación del coeficiente n-ésimo en una serie de Taylor de una función analítica que ha sido construida de manera conve-niente a partir del problema a estudiar, y donde la información relevante queda captu-rada en los coeficientes de dicha serie de Taylor. Luego, mediante la técnica del cálculo de residuos (Teorema de Cauchy), y luego acotando la integral de camino que calcula dicho coeficiente, típicamente sobre un círculo, se obtiene la estimación deseada.

3.0.1. Un ejemplo

A manera de ilustración para mostrar el poder del método del círculo, encontrare-mos una cota superior para la función de partición de un número. Esta cota no es tan buena como la encontrada por Hardy y Ramanujan, pero constituye un ejemplo simple sobre cómo se implementa su método.

Dado un entero positivo n, una partición de dicho número es una sucesión1 ≤

n1≤n2≤ · · · ≤nk ≤nde enteros tales quen=n1+n2+· · ·+nk

Definimosq(n)como el número de particiones den(por conveniencia se define q(0) := 1). Escribimos la función generatriz de la sucesiónq(n)así:

F(z) =

∞

X

n=0

q(n)zn.

Notando que:

1 1−x =

∞

X

n=0

xn.

Gracias a la convergencia de las series involucradas, podemos "factorizar"dicha función generatriz como:

F(z) =

∞

Y

k=1

1 1−zk.

Esto es fácil de demostrar con un argumento de conteo, pues al ”expandir"la produc-toria del lado derecho, el coeficiente del término zn _{es precisamente el número de} sistemas(a1, a2, . . .)tales que:

n=a1+ 2a2+. . . ,

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12 CAPÍTULO 3. EL MÉTODO DEL CÍRCULO

y estas son justamente las particiones den. Lema 3.0.8. Paran≥4se cumple que:

−log(1−x)≤xlog(n),

0≤x≤1−√1

n

Demostración. Es suficiente con demostrar que la desigualdad se satisface en el límite x = 0 y que la función −log (1−x)

x es decreciente, y para esto estudiaremos su derivada. Vamos a calcular el límite:

l´ım x→0+

−log(1−x)

x .

Siendo una indeterminación de tipo infinito sobre infinito, hacemos L’Hôpital: = l´ım

x→0+ 1 1−x = 1.

Ahora mostraremos que la función es decreciente, esto se puede ver porque la de-rivada es

x

1−x+ log(1−x) x2

cuyo signo está determinado por el numerador, el cual se anula cuandox= 0y luego es creciente pues su derivada cumple que:

x

(1−x)2 >0

0≤x≤1−√1

n

,

por lo cual es suficiente demostrar que en el valor extremox= 1−_√1

n se cumple la desigualdad. Lo cual equivale a demostrar que:

1

2log(n)≤(1− 1

√

n) log(n).

Esto claramente se cumple paran≥4

Utilizando el lema anterior, podemos ver que para|z|<1−√1

nse tiene que:

log (|F(z)|) ≤

∞

X

k=1

−log(1− |z|k)

≤ log(n)

∞

X

k=1

|z|k_{= log(n)} |z| 1− |z|,

por lo que

|F(z)| ≤exp

log(n) |z| 1− |z|

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13

Aplicando el Teorema de Cauchy sobreΓel círculo de radio1−√1

n obtenemos que la función de partición paranes:

q(n) = 1 2πi

ˆ

Γ

F(z) zn+1dz.

Tras parametrizar z = exp(iθ)R, R = 1− √1

n, 0 ≤ θ ≤ 2πobtenemos la siguiente integral:

1 2π

2π ˆ

0

F(exp(iθ)R) (exp(iθ)R)ndθ.

Como sabemos queq(n)es real, podemos usar desigualdad triangular:

q(n) =|q(n)| ≤ 1

2π

2π ˆ

0

|F(exp(iθ)R| |(exp(iθ)R)|ndθ

≤ 1

2π

2π ˆ

0

explog(n)_1−||exp(_exp(iθ_iθ)R₎_R|_|

|(exp(iθ)R)|n dθ

= 1

2π

2π ˆ

0

exp

log(n) R 1−R

Rn dθ

=

explog(n)₁₋R_R

Rn .

Ahora notemos que

1−√1

n

√

n > 1

3e esto porque es una sucesión eventual-mente monótona y acotada superioreventual-mente, que tiene como subsucesión a 1−1

k

cu-yo límite es1_e > ₃1_e, y la desigualdad se cumple paran= 4(Note que no se cumpliría para la cota₂1_e). Note además que

R 1−R =

√

n−1. Por otro lado, 1

Rn ≤exp (

√

n(1 + log(3)),e insertando esto en la desigualdad ante-rior obtenemos que:

q(n)≤exp log(n)(√n−1) +√n(1 + log(3))=exp (

√

n(1 + log(3n))

n ,

la cual es una cota cercana a la encontrada por Hardy y Ramanujan.

3.0.2. El método del círculo en el problema de Waring

Nuestro objetivo principal es la demostración del lema2.0.7,a saber que existeng yCdependiendo solo dektales que:

rg(m)≤CN g

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De aquí en adelante emplearemos la notacióne(x)para denotarexp(2πix). Proce-demos a construir la función generatriz para el problema de Waring

F(x) =

∞

X

m=0

e(mkx)

!s

.

Un simple argumento de conteo nos muestra que el coeficiente dee(nx)es precisa-mente el número de formas de obtenerncomo la suma des k−potencias.

Teniendo en cuenta que

1

´

0

e(M x)dx= 0siempre queM 6= 0,y es igual a 1 cuando M = 0obtenemos la siguiente identidad:

rs(n) =

1 ˆ 0   X

m≤n1/k

e(mkx)

 

s

e(−nx)dx,

y por lo tanto el Lema Fundamental se reduce a demostrar que existen C y g solo dependiendo denpara los cuales:

1 ˆ 0 N X n=1

e(nkx)

g

· |e(nx)|dx=

1 ˆ 0 N X n=1

e(nkx)

g

dx≤CNg−k.

Antes de entrar en materia en la demostración de este resultado, observemos que es una propiedad que se cumple para todos losgsuficientemente grandes. Pues si ya lo tuviéramos para unC y ung0entonces, ya que

PN

n=1e(n

k_x)

≤ N entonces se

cumple para cualquierg > g0.

Para esta demostración vamos a hacer uso de los siguientes resultados:

Teorema 3.0.9(Dirichlet). Dadox ∈ RyM ∈ N, existe un entero positivoay un

entero positivob≤M tales que:

|x−a

b| ≤ 1 (M+ 1)b.

Demostración. Consideremos los números0, x,2x, . . . , M x. Cuando los observamos módulo 1, por el principio de casillas hay 2 de ellos a distancia menor a _M1₊₁. Sea bel entero positivo tal que dichos dos números difieren enbx. Siaes el entero más próximo abxnecesariamente tenemos que:

|bx−a|< 1 M+ 1,

que equivale a

|x−a

b| ≤ 1 (M+ 1)b.

Este lema nos ayudará al momento de dividir el círculo unitario en intervalos y garantizará que la unión de dichos intervalos lo cubre en su totalidad. El siguiente lema es mucho más central a la demostración y concierne la evaluación de sumas de Weyl. Las sumas de Weyl son sumatorias de exponenciales con exponentes de la forma 2πif(n)y existen técnicas para su evaluación. El lema que usaremos para la evaluación de las sumas de Weyl es el siguiente, cuyo enunciado y demostración han sido tomados de [Davenport H. (2004)]:

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15

Lema 3.0.10(Desigualdad de Weyl). Seab ∈ Zconb 6= 0y k ≤ N, seaaprimo

relativo conby seaf(n)un polinomio de gradoky coeficiente principalα. Suponga queαse puede aproximar con el racionala_b con(a, b) = 1de modo que:

α−

a b

≤

1 b2.

Entonces se tiene que: N

X

x=1

e(f(α))N1+o(1)

₁

b + 1 N +

b Nk

21−k

,

donde la constante depende únicamente dek.

Demostración. La idea central de la prueba es la de elevar al cuadrado la norma de la suma exponencial, y por este medio relacionar la suma a un promedio de sumas similares con polinomios de un grado menor. Sea

Sk(f) = N2

X

x=N1+1

e(f(x)),

donde0≤N2−N1≤N, y elken el subíndice nos sirve para indicar el grado def.

Entonces se tiene que:

|Sk(f)|2 = X x1

X

x2

e(f(x2)−f(x1))

= N2−N1+ 2R

X

x2>x1

e(f(x2)−f(x1)).

Denominex2=x1+y.Entonces1≤y≤N2−N1,y

f(x2)−f(x1) =f(x1+y)−f(x1) := ∆yf(x1),

luego

|Sk(f)|2=N2−N1+ 2R

N

X

y=1

X

x

e(∆yf(x)),

donde la sumatoria enxes sobre un intervalo que depende deypero que está contenido en N1 < x ≤ N2. Este intervalo podría estar vacío para algunos valores dey, en

particular:

|Sk(f)|

2

≤N+ 2 N

X

y=1

|Sk−1(∆yf)|,

donde el intervalo paraSk−1es de la naturaleza que se acaba de describir. Repitiendo

el argumento obtenemos:

|Sk−1(∆yf)|2≤N+ 2

N

X

z=1

|Sk−2(∆y,zf)|,

Donde el intervalo para la suma enSk−2depende deyy dezpero está contenido en

N1< x≤N2. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad

ab≤ 1

2 a

2₊_b2

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podemos sustituir aSk−1de la segunda desigualdad, en la primera:

|Sk(f)|

4

N2+N N

X

y=1

|Sk−1(∆yf)|

2

N3+N N X y=1 N X z=1

|Sk−2(∆y,zf)|.

Se puede continuar este proceso e inductivamente establecer la siguiente desigualdad:

|Sk(f)|

2ν

N2ν−1+N2ν−ν−1 N X y1=1 · · · N X

yν=1

|Sk−ν(∆y1,...yνf)|. (3.1)

Debe entenderse de nuevo que el intervalo sobre el que se sumaxenSk−νdepende de y1, . . . , yνpero está contenido enN1< x≤N2. Tomeν =k−1y en elSkoriginal tomeN1= 0yN2=N. Además observe que, dado quef es un polinomio:

∆y1,...,yk−1f(x) =k!αy1. . . yk−1x+β, dondeβes constante. Por lo tanto:

S1(∆y1,...,yk−1f)

= X x

e(k!αy1. . . yk−1x)

. (3.2)

La suma de la derecha, tomada sobre un intervalo cualquiera (de longitud a lo másN) es geométrica de la forma:

x2−1 X

x=x1 e(λx) ≤ 2 |1−e(λ)| =

1

|sinπλ|

1

kλk,

dondekλk denota la distancia de λal entero más próximo. Esto falla si λestá de-masiado cerca de un entero, pero podemos corregir usando la obvia cota superiorN. Entonces:

|Sk(f)|K NK−1+NK−k N

X

y1=1

· · ·

N

X

yk−1=1

m´ınN,kk!αy1. . . yk−1k−1

,

dondeK= 2ν_{. Ahora note que, si}_d(m)_{es el número de divisores de}_m_{entonces (ver} apéndice):

d(m)mε,

este resultado nos sirve para agrupar todos los términos de la última sumatoria para los cualesk!y1. . . yk−1tenga un mismo valor, a saberm. Haciendo esto obtenemos:

|Sk(f)|KNK−1+NK−k+ε k!Nk−1

X

m=1

m´ın N,kαmk−1

.

Dividiendo en bloques de tamañoby usando la aproximación deαy la aproximación de Taylor de la función logaritmo, se puede demostrar que:

k!Nk−1

X

m=1

m´ın N,kαmk−1

(N+blogb)

_Nk−1

b + 1

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17

Donde el término de la derecha representa el número de bloques. Reemplazando en la desigualdad anterior obtenemos:

|Sk(f)|KNK−1+NK−k+ε(N+blogb)

_Nk−1

b + 1

,

Y se observa que se puede absorber el factorlogbenNε, dado que se puede asumir queb ≤ Nk _{pues de lo contrario el lema es trivial. Entonces el lado derecho queda} siendo:

NK+ε

N−1+

_N−1

b +N

−k

(N+b)

NK+ε N−1+b−1+N−kb

,

obteniendo el resultado.

Debemos hacer algunas anotaciones respecto a esta desigualdad. En el libro guía para la elaboración de este proyecto [Newman D., Analytic Number Theory] este lema aparece de la siguiente forma:

Lema 3.0.11. Para b un entero positivo tal queb 6= 0y seak ≤ N. SeaP(n)un polinomio de gradokcon coeficientes enteros y coeficiente principal primo relativo conbentonces se tiene que:

X

n∈I

e(P(n) b )

N1+o(1)

b21−k

Este versión del lema está equivocada, y su uso subsecuente en toda la demostra-ción de Newman merece mendemostra-ción. Basta notar que paraP(n) = n, y paraN ≡ 1 m´od (b)el lado izquierdo siempre tiene norma 1, pero tomando valores cada vez ma-yores debel lado derecho tiende a 0. Afortunadamente la prueba es rescatable con la versión correcta de la desigualdad, demostrada en (3.0.10).

De ahora en adelante se dejarákfijo. Dividase el intervalo(0,1)en sub intervalos de la forma|x−a

b|<

1

bNk−12 con

b≤Nk−1

2 que llamaremosI_a,b,N. Por el teorema de Dirichlet, estos intervalos cubren todo(0,1)para unN dado. Adicionalmente a esto, seaJ = Nk_|_x₋ a

b|. Note queJ es función dex, ay b, y que está acotada (por la construcción de los intervalos), porJ(x)≤ N

1 2

b , y llamaremosja la parte entera de J. Esta notación nos permite enunciar un lema que, en la práctica , termina la prueba. Lema 3.0.12. Existe unε >0y una constanteC2tal que dentro de cualquier intervalo

Ia,b,N se cumple que:

N X n=1

e2πixnk

≤ C2N

(b+j)ε.

Demostración. Este resultado es más fácil de probar parabgrande. Considereb > N23. Para esto vamos a aplicar el teorema del valor medio, notando que la norma de la derivada de

N

P

n=1

e(xnk₎_es

N X n=1

(2πink)e(xnk)

≤ 2πiNk N X n=1

(18)

por lo tanto tenemos que: N

X

n=1

e(xnk)≤

N

X

n=1

e(a bn

k_{) +}_|_x₋a b|2πN

k+1_.

Ahora como estamos en el intervaloIa,b,N tenemos queb≤Nk−1/2. Combinando esto con el lema de sumas de Weyl obtenemos que:

N

X

n=1

ea bn

k _≤ _C

0N1+o(1)

₁ b + 1 N + 1 √ N

21−k

≤ C₀∗N1+o(1)

₁

b + 2

√

N

21−k

.

Ahora notemos queb21k <

√

N, y por lo tanto tenemos que:

N

X

n=1

ea bn

k _< _C∗∗ 0 N1+o(1)

1 b +

2

b21k

21−k

(3.3)

< C1N1+o(1)b− 2−k

k _.

Por otra parte, por estar dentro deIa,b,N tenemos también que

|x−a

b|2πN

k+1_<_2πN

3 2 b .

Combinando estos dos resultados obtenemos que: N

X

n=1

e(xnk)< C1

N1+o(1)

b

2−k

k

+ 2πN 3 2 b < C1

N1+o(1)

b

2−k

k

+ 2πN b14

. (3.4) Notemos que, en este caso, j es necesariamente igual a cero, por lo que casi te-nemos nuestra desigualdad. Basta notar que si tomamosδ := 1

k2k+1 entonces

obser-vando el término de la izquierda del final de la desigualdad anterior, podemos dividirlo así:

C1

N1+o(1)

b

21−k

k

=C1

N bδ

No(1)

bδ .

Gracias a queb > N23, podemos tomarb >0de modo que No(1)

bδ <1. Esto es sufi-ciente dada la condición, pues para este casojsiempre es cero.

Ahora consideremos el caso restante, dondeb≤N23. Para su demostración vamos a usar los dos siguientes hechos, cuya prueba está en el apéndice:

Lema 3.0.13(A). Si M es el máximo entre los módulos de las sumas parciales de N

P

n=1

an,V es la variación total de la funciónf(x)para0≤x≤NyM0es el máximo del módulo def(x)entre0≤x≤N, entonces:

|

N

X

n=1

(19)

19

Lema 3.0.14(B). SiV es la variación total def(t)en0≤t≤N entonces:

|

N

X

n=1

f(n)−

N ˆ

1

f(t)dt| ≤V.

Ahora tomemos

α:= 1 b b X 1 e(a bn k_).

Algunas manipulaciones sencillas nos muestran que: N

X

n=1

e xnk

=S1+αS2,

donde

S1=

N

X

n=1

e(x−a

b)n k _e(a

bn

k₎₋_α_,

S2=

N

X

n=1

e(x−a

b)n k_.

Note que esta desigualdad se tiene para cualquier valor deα.

Pasemos a estimar la norma deS1. Observe inicialmente que para cualquier entero

mse tiene la siguiente identidad: ea bt

k₌_ea

b(mb+t) k_.

Esto dado que todos los términos, salvo el último, en la expansión binomial de(mb+ t)k_{son múltiplos de}_b_{y sabemos que}_{e(n) = 1}_si_n_{es un entero. Por lo tanto podemos} concluir que: m X n=1 h (a bn

k₎₋_αi

=

0 + X

bbm bc<n≤m

h

(a bn

k₎₋_αi

.

Tenemos entonces a lo másbsumandos, cada uno menor que1 +α≤2(usando desigualdad triangular), por lo que podemos acotar la m-ésima suma parcial como:

m X n=1 ha bn

k₋_αi

≤2b.

Dado que la variación total def(t)en[a, b](cuando es continuamente diferencia-ble) cumple:

V = ˆ b

a

|f0(t)|dt, entonces podemos decir que la variación total dee (x−a

b)t k

es

2π(x−a

b)N k_≤_2π

√

N b

(20)

yM0es claramente 1, por lo que tenemos que:

S1≤2b

 1 + 2π

N12

b

 ≤5πN

2 3_.

Ahora aplicamos(B)aS2y se usa desigualdad triangular para obtener:

|S2| ≤

ˆ N 1

e(x−a

b)t k_dt

+ 2π √ N b ,

y tras hacer el cambio de variableu= x−a b

1k_t_{obtenemos que:}

N ˆ 0

eh(x−a

b)t ki_dt

= N Jk1

N ˆ 0

e(uk)du

, dado que ∞ ´ 0

e(uk_)du_{converge para}_k_≥₂_{(ver apéndice ) entonces necesariamente la} función

x ´

0

e(uk_)du_{está acotada uniformemente por una constante}_C

3parax≥0, pues

es continua. Por lo que tenemos que: N

J1k

N ˆ 0

e(uk)du

≤N C3

Jk1

,

es decir que al final tenemos:

|αS2| ≤

N C3

Jk1

+ 2π|α|

√

N b

≤ N C4

(1 +j)k1

+ 2πN23.

Si aplicamos ahora el Lema3.0.11al casoN =bobtenemos que|α| ≤ C1

bη con η= _k₂k1+1. Combinando esto con la ecuación (3.0.16) obtenemos:

N X 1

e(xnk)

≤ C5N

bη_{(1 +}_j)1

k

+ 7πN23,

y ahora observe que, comoj < N12 < N 2

3 yb < N 2

3, tenemos que: (b+j)12 _{< C}₆_N31 _y _7πN23 _< C6N

(b+j)12 .

De manera similar observamos que, siβ= m´ın(η,_k1) C5N

bη_{(1 +}_j)1_k ≤

C5N

bβ_{(1 +}_j)β ≤ C5N

(b+j)β.

Por lo tanto, tomandoC7 = C1+C5+C6+ 2πyε = m´ın(β, δ,1₄)se satisface la

(21)

21

Finalicemos la demostración del lema2.0.7. Tomemos ung > 4_εpara elεdado por el lema 4. Entonces, como la longitud de cada intervaloIa,b,N es menor a

2

bNk−1 2

<

1

Nk−1 se tiene:

ˆ

Ia,b,N

|

N

X

n=1

e(xnk)|

g

dx≤ C7N

g (b+j)4

1 Nk−1.

Sumando sobre todas las combinaciones factibles dea, b, Npara unN, la suma es menor a:

C7Ng−k+1

X

b,j∈N

1

(b+j)4 < CN

g−k+1

puesto que P

b,j∈N

1

(b+j)4 <∞(ver apéndice). Vemos entonces queg

0 ₌_g_{+ 1}

(22)

(23)

Capítulo 4

Un recuento histórico de la

estimación de

g

(

k

)

y

G

(

k

)

4.0.3. g(k), G(k) y el problema de Waring

Mucho antes de que Edward Waring propusiera su problema, Diofanto había pro-puesto en su tratadoArithmeticaeque todo entero positivo podía ser representado como la suma de cuatro cuadrados perfectos mayores o iguales a cero. Esta pasó a conocerse como la conjetura de Bachet, a nombre de su traductor Claude Gaspard Bachet de Mé-ziriac en 1621. Esta conjetura fue resuelta por Lagrange en suteorema de los cuatro cuadradosen 1770, el mismo año en que Waring propuso su conjetura enMeditationes Algebraicaeantes de la demostración de Lagrange.

El problema de Waring plantea la representación de todo número natural como la suma des k−potencias de números naturales. Pensándolo como sucesiones, es mostrar que los naturales son la suma descopias de:

Ak:=0k,1k,2k, . . .

Tal representación resultaría imposible sises demasiado pequeño. Por ejemplo, si s= 1es claro que la mayoría de los naturales no sonk−potencias. De hecho cuando s < ktampoco es posible, pues el número de enteros para los quexk ≤nno excede n1k+ 1. Por ende el número de tuplas de tamaño(k−1)de enteros(x₁, x₂, . . . x_k₋₁)

para los cuales:

xk₁+. . . xk_k₋₁≤n

no excede a(n1k+ 1)k < n, y por lo tanto una fracción cada vez mayor de los naturales

no podría representarse como la suma dek−1o menosk−potencias. Por otro lado, si existe tal enterosque satisface que:

xk₁+. . . xk_s=n

tiene solución en los enteros para todon ∈ N, entonces debe existir un mínimos, a

saberg(k), tal que dicho sistema tiene solución para todos los Naturales. La pregunta sobre la existencia de dichog(k)que se abordó en este trabajo no tiene, para nada, una respuesta intuitiva. Si uno intenta representar los naturales como la suma descopias de1,2,22, . . . parasfijo, se encuentra con que el número:

2m+1−1 = 1 + 2 +· · ·+ 2m 23

(24)

24 CAPÍTULO 4. UN RECUENTO HISTÓRICO

requiere al menos dempotencias de 2 para ser representado, por lo que unsfijo fallaría en representar a todos los naturales.

Edward Waring conjeturó, sin prueba, que todos los naturales eran la suma de a lo más 4 cuadrados, 9 cubos y 19 bicuadrados, y así sucesivamente. En su propio lenguaje, planteaba la existencia de unsfijo al que hacemos referencia, que depende solo dek. Es improbable que Waring tuviera herramientas suficientes para dar una demostración, y no fue sino hasta 100 años después que Hilbert lo demostró por primera vez.

Hay otro número en muchas maneras más interesante queg(k). Supongamos, pa-ra clarificar esta idea, que ya sabemos queg(3) = 9, es decir, todo número es re-presentable como la suma de a lo más 9 cubos, pero cada número con excepción de 23 = 2·23_{+ 7}_·₁3_y

293 = 2·43+ 4·33+ 3·13,

se puede representar como la suma de a lo más 8 cubos perfectos. De hecho todo número natural suficientemente grande es la suma de a lo más 7 cubos [Linnik, 1942]. La evidencia numérica muestra que, tan solo 15 otros números necesitan de 8 cubos para su representación y que de 455 en adelante todos son representables por 7 cubos.

Pareciera que el número que mejor describe la propiedad de representabilidad por kpotencias, y que es más interesante y difícil de encontrar, esG(k)el menor entero positivostal que todos los naturales, salvo finitas excepciones, son representables por s k−potencias. De la discusión anterior se sigue queG(3)≤7. Por otra parte, se ha probado que, por ejemplo,G(3)≥4.

Resulta clara la relación G(k) ≤ g(k)y en general se tiene queG(k)es mucho menor, puesg(k)está inflado por las representaciones de algunos números comparati-vamente pequeños.

4.0.4. El problema de los cuatro cuadrados

En [Hardy G.H., Wright E.M. An introduction to the theory of numbers, 6 ed 2008] se aborda el casok= 2. La prueba de que todo número se puede expresar como la suma de 4 cuadrados, y que combinado con el resultado trivial de que ningún número de la forma8m+ 7se puede escribir como la suma de 3 cuadrados (los residuos cuadráticos módulo 8 son 0,1 y 4) nos permite concluir que:

g(2) =G(2) = 4.

Vamos a ver la primera prueba de este hecho, dada por Joseph Louis Lagrange en 1770, y que es elemental. Esta se basa en el elegante método del descenso infinito (propuesto inicialmente por Fermat). En primer lugar, se observa que si dos números son representables como la suma de cuatro cuadrados, entonces usando la identidad:

(x2₁+x2₂+x2₃+x2₄)(y₁2+y₂2+y₃2+y2₄) (4.1)

=

(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)2+ (x1y2−x2y1+x3y4+x4y3)2

+(x1y3−x3y1+x4y2−x2y4)2+ (x1y4−x4y1+x2y3−x3y2)2,

su producto también es representable. Luego el resultado se desprende de demostrar que para cada primop,pes la suma de cuatro cuadrados.

Parap= 2es claro, y por tanto podemos suponer quepes impar. Nuestro primer paso va a ser mostrar que existe un múltiplo depque es suma de cuatro cuadrados.

(25)

25

Para esto observe que entre todos los elementos del conjunto {x2 _{: 0} _≤ _{x <} p

2}

no hay dos congruentes módulop. De igual manera, entre los elementos del conjunto

{−1−y2: 0≤y < p₂}no hay dos congruentes módulop. Pero como en la unión de ambos conjuntos hayp+ 1números y sólo,presiduos módulop, debe haber dos que sean congruentes, por lo que hayxyytales que:

1 +x2+y2=mp.

Por la construcción hecha en la prueba, sabemos además quem < p.

El siguiente paso es tomar el mínimo múltiplo depque es la suma de cuatro cua-drados, a saberm0p, es decir quem0 es el mínimo entero tal quem0pes la suma de

cuatro cuadrados, en particular:

m0p=x21+x22+x23+x24,

como vimos ya,m0< pnecesariamente.

El objetivo ahora, y como lo resolvió Lagrange, es demostrar mediante una contra-dicción quem0= 1. Para esto supongamos quem0 >1. Si sucediera quem0es par,

entoncesx1, x2, x3yx4 son (i) todos pares, (ii) todos impares o (iii) dos son pares y

dos son impares; sin pérdida de generalidad podemos asumir que en este último caso x1yx2son pares, yx3yx4son impares.

Entonces en todos los casos:

x1+x2, x1−x2, x3+x4, x3−x4

son todos pares, y por ende podemos construir: 1

2m0p=

_x

1+x2

2

+

_x

1−x2

2

+

_x

3+x4

2

+

_x

3−x4

2

,

contradiciendo la minimalidad dem0. Por lo tanto, se debe tener quem0 es impar, y

es claro que no es posible quex1, x2, x3yx4sean todos divisibles porm0, pues esto

implicaría:

m2₀|m0p,

lo que es imposible.

Luego podemos escoger enterosb1, b2, b3yb4tales que:

yi=xi−bim0 (i= 1,2,3,4)

satisfaga que:

|yi|< 1

2m0, y

2 1+y

2 2+y

2 3+y

2 4 >0,

de modo que:

y2₁+y2₂+y₃2+y₄2<4

1 2m0

2

=m2₀

y2₁+y2₂+y₃2+y₄2≡0 (modm0),

se sigue que:

x2₁+x2₂+x2₃+x2₄=m0p (m0< p)

(26)

Ahora utilizando la ecuación (4.1) obtenemos que: m1m20p=z

2 1+z

2 2+z

2 3+z

2

4, (4.2)

dondez1, z2, z3yz4son los cuatro sumandos que ocurren en la derecha de la ecuación

(4.1). De acuerdo a esta, se tiene que: z1=

X

xiyi=

X

xi(xi−bim0)≡

X

x2_i ≡0 (modm0);

De manera análoga se demuestra quez2, z3yz4son divisibles porm0, y por lo tanto

escribimos:

zi =m0ti (i= 1,2,3,4); por lo que la ecuación (4.2) se vuelve:

m1p=t21+t 2 2+t

2 3+t

2

4, (4.3)

y como(m1< m0)se contradice la minimalidad dem0. Por lo tantom0= 1.

4.0.5. Bicuadrados

Aunque ya se conoce queg(4) = 19, hay una prueba sencilla que nos muestra que g(4)existe y no excede 53. Reparemos en la identidad siguiente:

6(a2+b2+c2+d2)2= (a+b)4+ (a−b)4+ (c+d)4 +(c−d)4+ (a+c)4+ (a−c)4+ (b+d)4 +(b−d)4+ (a+d)4+ (a−d)4+ (b+c)4+ (b−c)4.

Si denotamos conBsun número que es la suma deso menos bicuadrados, entonces tenemos que:

6(a2+b2+c2+d2)2=B12.

Más aún, por el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, tenemos que para todo xse tiene:

6x2=B12.

Ahora, dado que todo número entero positivones de la forma n= 6N+r= 6(x21+x22+x23+x24) +r,

con0≤r <6entonces necesariamente:

n=B12+B12+B12+B12+B5=B53.

4.0.6. Cotas inferiores para

g

(

k

)

Ya hemos encontrado queg(k)≥k, pero con algunos cálculos sencillos se puede encontrar una cota inferior mucho mejor parag(k)y por ende paraG(k). Considere-mosq=b 3

2

k

c. El número

n= 2kq−1<3k

solo puede ser representado con lask−ésimas potencias1k_y₂k_{, de hecho:} n= (q−1)2k+ (2k−1)1k,

entoncesnrequiere de al menosq−1 + 2k−1 = 2k+q−2k−potencias, por lo que se puede concluir:

(27)

27

Teorema 4.0.15.

g(k)≥2k+q−2.

En particularg(2)≥4, g(3)≥9, g(4)≥19, g(5)≥37. En un trabajo posterior de Dickson, Pillai, Rubuguday y Niven [An unsolved case of the Waring problem, 1944] se demostró que:

g(k) = 2k+b(3 2)

k_{c −}₂ _si ₂k_{₍3 2)

k_}₊_b₍3 2)

k_{c ≤}₂k_;

g(k) = 2k+b(3₂)kc+b(4₃)kc −2 si 2k_{₍3

2)

k_}₊_b₍3 2)

k_c_>₂k _y _b₍3 2)

k_cb₍4 3)

k_c₊_b₍4 3)

k_c₊_b₍3 2)

k_c_{= 2}k_;

g(k) = 2k₊_b₍3 2)

k_c₊_b₍4 3)

k_{c −}₃ si 2k_{₍3

2)

k_}₊_b₍3 2)

k_c_>₂k _y _b₍3 2)

k_cb₍4 3)

k_c₊_b₍4 3)

k_c₊_b₍3 2)

k_c_>₂k_. No se ha encontrado ningún valor dekpara el que2k_{₍3

2)

k_}₊_b₍3 2)

k_c _>₂k_{. Y} se ha probado que solo puede haber finitos de ellos [Mahler, K. 1957], y además se ha probado que de satisfacerse dicha desigualdad, se tendría quek > 471,600,000, por lo cual se conjetura que esto nunca sucede y que en efecto:

g(k) = 2k+b(3 2)

k_{c −}_2, para todo entero positivok.

4.0.7. Cotas para

G

(

k

)

En [Hardy G.H., Wright E.M. An introduction to the theory of numbers, 1998] se demuestra el siguiente teorema:

Teorema 4.0.16.

G(k)≥k+ 1 (k≥2)

La prueba básicamente se trata de mostrar que no es posible queG(k) = kpara valores grandes den. Para ello se plantea que el número de soluciones al sistema de desigualdades:

0≤x1≤x2≤ · · · ≤xk≤N

1

k_,

a saber,B(N), se comporta como N

k!. Por otra parte, siG(k)≤kentonces el número de números menores aNrepresentables por la suma deG(k)k−potencias seríaN−

C conC independiente deN (pues hay solo finitos números no representables). En general se tendría que:

N−C < N k!,

lo cual es imposible cuandok >1. Esta es la mejor cota general paraG(k)que se co-noce hasta el momento. El siguiente teorema recoge otras cotas para casos específicos. Teorema 4.0.17. G(k)tiene las siguientes cotas inferiores:

(28)

2. pθ+1_si_{p >}₂_y_k₌_pθ_(p₋_1); 3. 1₂(pθ+1−1)sip >2yk= 1₂(pθ−1) 4. k+ 1en cualquier caso.

Estas son las cotas inferiores demostradas hasta el momento, y, como se puede apreciar, ninguna supera4k, de modo que son mucho más pequenños que los valores conocidos deg(k).

En cuanto a cotas superiores, usando el método del círculo de Hardy y Littlewood, I.M. Vinogradov logró encontrar la siguiente cota superior:

G(k)≤k(3 logk+ 11),

la cual, usando su versión p-ádica del método del círculo de Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov, estimando sumas trigonométricas sumando sobre números con divisores primos pequeños, fue mejorado por Anatolli Alexeevitch Karatsuba:

G(n)<2nlogn+ 2nlog logn+ 12n.

Finalmente, en la mejor cota conocida hasta el momento, Trevor Wooley estableció que existe una constanteCtal que:

G(k)≤klogk+klog logk+Ck.

El lector puede observar entonces que aún hay un hueco enorme que separa las cotas inferiores de las mejores cotas superiores conocidas, ¿Alguna idea para achicarlo?

(29)

Capítulo 5

Apéndice A

Para una funciónf definida sobre un intervalo[a, b]definimos la variación totalV como:

V := sup

( N

X

n=1

|f(an+1−f(an)| :N ∈N, a=a1≤. . . aN+1=b

)

.

Lema 5.0.18. La variación total de una función es aditiva, es decir, si b ∈ [a, c] en-toncesV[a,c] =V[a,b]+V[b,c]dondeV[x,y]es la variación total def sobre el intervalo

[x, y].

Demostración. Por la aditividad del operador supremo tenemos que:

Va,b+Vb,c = sup

( N

X

n=1

|f(cn+1)−f(cn)|+

M

X

n=1

|f(dn+1)−f(d)|:N, M ∈N

)

Paraa= c1 ≤ · · · ≤ cN+1 = bya= d1 ≤ · · · ≤ dM+1 =bparticiones de[a, b]

y[b, c]respectivamente. Es claro quec1, c2, . . . cN, d1, . . . dM+1 es una partición de

[a, c]que incluye ab. Siendo este (las particiones que incluyen ab) un subconjunto propio de todas las particiones de[a, c]obtenemos que:V[a,c]≥V[a,b]+V[b,c].

La otra dirección es igualmente fácil de demostrar, dándose cuenta de que toda par-tición de[a, c]se puede refinar a otra que incluya ab. Usando esto se puede demostrar que para cualquierε > 0se tiene V[a,c] −ε ≤ V[a,b]+V[b,c]. Tomando el límite se

termina la demostración.

Para el siguiente lema es útil darse cuenta de que para funciones continuamente diferenciables la variación total es igual def(t)sobre[1, N]es igual a´₁N|f0(t)|dtesto sigue fácilmente de la definición de integral de Riemman y del teorema fundamental del cálculo.

Lema 5.0.19(A). Seaf una función diferenciable. SiM es el máximo entre los mó-dulos de las sumas parciales de

N

P

n=1

an,V es la variación total de la funciónf(x)para 0≤x≤NyM0es el máximo del módulo def(x)entre0≤x≤N entonces:

|

N

X

n=1

anf(n)| ≤M(V +M0).

(30)

30 CAPÍTULO 5. APÉNDICE A

Demostración. Esto resulta de una aplicación sencilla de la formula de sumatoria de Abel, que dice que si{ai}es una sucesión de números complejos, yf(t)una función continuamente diferenciable, entonces:

N

X

n=1

anf(n) =A(N)f(N)− N ˆ

1

A(u)f0(u)du,

dondeA(x) = x

P

n=1

an.

Usando desigualdad triangular y la fórmula de sumatoria de Abel se obtiene que:

|

N

X

n=1

anf(n)| ≤ |A(N)f(N)|+ N ˆ

1

|A(u)||f0(u)|du.

Basta ahora con notar que|f(N)| ≤M0, queA(x)≤Mpara obtener el resultado. Lema 5.0.20(B). SiV es la variación total def(t)en0≤t≤Nentonces:

|

N

X

n=1

f(n)−

N ˆ

0

f(t)dt| ≤V

Demostración. Usando desigualdad triangular y el hecho de que la variación total es aditiva, es suficiente demostrar que:

|f(1)−

ˆ 1

0

f(t)dt| ≤V[0,1].

Vamos a demostrarlo primero para el caso en el quef(1) = 0. Es claro que

|

ˆ 1

0

f(t)dt| ≤M0,

dondeM0 es el máximo del módulo def(t)en0 ≤ t ≤ 1. Dado que la función es continua, alcanza su máximo. Sea entoncesb ∈ [0,1]tal que|f(b)| = M0, luego se tiene que

V[0,1] ≥ |f(0)−f(b)|+|f(b)−f(1)| ≥f(b) =M0,

puesto quef(1) = 0.

Para el caso más general, seag(t)cualquier función continua en[0,1], ya sabemos queG(t) =g(t)−g(1)satisface el lema, y obviamente tiene la misma variación, por lo tanto tenemos que:

|

ˆ 1

0

G(t)dt| ≤V, de lo cual se deduce que

|

ˆ 1

0

g(t)dt−g(1)| ≤V. Esto termina la demostración.

(31)

31

Lema 5.0.21. Las siguientes integrales impropias convergen parak≥2:

S=

∞

ˆ

0

sin(2πxk)dx,

C=

∞

ˆ

0

cos(2πxk)dx.

Demostración. Tras hacer la sustitucióny= 2πxk_{, obtenemos que} dx= 1

2kπy1−1

k

dy,

y la integral resultante es:

1 2kπ

∞

ˆ

0

sin(y)

y1−1

k

dy.

Es fácil ver que esta nueva integral la podemos dividir en 2 partes, la primera: π

ˆ

0

sin(y)

y1−1k

dy

converge pues se puede comparar con π ´

0

1

y1−1k

dy. La segunda parte es:

∞

X

1

(nˆ+1)π

nπ

sin(y)

y1−1

k

dy

que, como podemos observar, esta es una serie alternante. El término general claramen-te converge a cero, y para ver que en valor absoluto es decrecienclaramen-te, se puede comparar punto a punto y se tiene que:

|sin(y)|

y1−1

k

< |sin(π+y)| (y+π)1−1

k

.

Por lo tanto, usando el criterio de Leibniz, la segunda parte también converge. Paracos la prueba es análoga.

Como corolario tenemos que

∞

´

0

e(uk_)du_{converge, pues sus partes real e imaginaria} convergen respectivamente.

Lema 5.0.22.

∞

X

b=1 ∞

X

j=0

1

(32)

32 CAPÍTULO 5. APÉNDICE A

Demostración. Dado que 1

(b+j)4 es una función positiva y decreciente enby enj,

el test de la integral para series nos dice que:

∞

X

j=0

1 (b+j)4 <

1 b4 +

ˆ ∞

0

1

(b+x)4dx=

1 b4 +

4 b3 <

5 b3.

Sumando ahora sobrebobtenemos que:

∞

X

b=1 ∞

X

j=0

1 (b+j)4 <

∞

X

1

5 b3 <∞

Teorema 5.0.23.

X

d|n

1 =no(1),

o equivalentemente, para todoε >0existe una constanteCεtal que

X

d|n

1≤Cεnε

Demostración. Seaε > 0, es suficiente demostrar que hay una cota uniforme para τ(n)

nε . Al escribir anen su factorización canónica obtenemosn= m

Q

1

pαi

i por lo tanto se trata de acotar uniformemente la expresión:

τ(n) nε =

m

Y

1

αi pεαi

Cuando los primos en dicha productoria son muy "grandes", como la exponencial domina a una función lineal, entonces la expresiónα+ 1

pεα i

está uniformemente acotada por 1. De manera más precisa, dado que paraα ≥1se tiene que2α _≥ _α_{+ 1, para} todos los primos tales quelog(pi)·ε≥log(2)se cumple que

α+ 1 pεα

i

≤1 ∀α≥1.

Para la otra cantidad (finita) de primos tales quepi< log 2

ε , se cumple que: l´ım

α→∞

α+ 1 pεα

i = 0

Por lo tanto, como toda sucesión convergente está acotada, existe una constanteCi(que depende deε) tal que α+ 1

pεα i

< Ci. Se sigue que la multiplicación de las constantes correspondientes a esos finitos primos pornεacota a la funciónτ(n).

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Bibliografía

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Edition

[4] Vaughan R.C. (1997).The Hardy-Littlewood method ISBN 052157347 Second Edition.

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