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(1)

Resolución de triángulos rectángulos

Ejercicio nº 1.-

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.

Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área?

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos.

Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos.

Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80. Halla la altura de la torre.

Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:

a Calcula la altura del árbol.

(2)

Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:

Halla el valor de c y la longitud del cable.

Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:

(3)

Soluciones

Resolución de triángulos rectángulos

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.

Solución:

Como el triángulo es rectángulo, los ángulos son:



   

90

36 54 90 90



    

Cˆ

Bˆ Aˆ

Hallamos los lados:

cm 93 5 54 8 4 8

4

54 ,

sen , c c

, sen

c b Bˆ

sen       _ 

cm 49 3 54

8 4 8

4

54 ,

tg , a a

, tg

a b Bˆ

tg       _ 

Por tanto:

 



90 ˆ cm; 93 , 5

54 ˆ cm; 8 , 4

36 ˆ cm; 49 , 3

 

C c

B b

A a

Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área?

Solución:

Para hallar la altura hacemos:

cm 3 6 2

3 12 60 12 12

60  h  h sen   

sen

. A 20 6 3 120 3 cm2

será área

(4)

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos.

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto:

cm 9 81 144 225 225 144 15 12 2 2 2 2 2 2 2 2             b b b b c b a

Hallamos los ángulos:

" 12 ' 52 36 6 0 15

9 _ _ _ 

 

 senBˆ , Bˆ c b Bˆ sen 48" ' 7 53

90  

 Bˆ Aˆ  90  Cˆ Por tanto:    90 ˆ cm; 15 " 12 ' 52 36 ˆ cm; 9 48" ' 7 53 ˆ cm; 12       C c B b A a

Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos.

Solución:

Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:

cm 6 8 74 5

72 2 l2  l2   l ,

Hallamos los ángulos:

" 44 ' 27 54 90 " 16 ' 32 35 7

5 _ _  _ _ _ _ 

 Aˆ Bˆ Aˆ Aˆ

tg

(5)

" 29 ' 55 108 ˆ 2

" 31 ' 4 71 ˆ 2

 

  B A

Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

Solución:

Como es un triángulo rectángulo, los otros ángulos serán:



   

90

ˆ 90 40 50

ˆ 90 ˆ



     C

B A

Hallamos los otros lados:

m 17 4 40

5 3 5

3 40

40 ,

tg , a a

, tg

a b

tg        _ 

m 45 5 40 5 3 5

3 40

40 ,

sen , c c

, sen

c b

sen        _ 

Por tanto, el cable de 5,45 m lo sujetaremos a 4,17 m del poste.

(6)

Solución:





                     60 5 80 5 60 80 tg x h tg x h x h tg x h tg





     60 5 60 80 60 5 80 tg tg x tg x tg x tg x    



 



    60 5 60 80 60 5 60 80 tg tg tg x tg tg x tg x     m 20 2 60 80 60 5 , tg tg tg x       m 47 12 60 80 80 60 5 , tg tg tg tg h       

La torre tiene una altura de 12,47 metros.

Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:

a Calcula la altura del árbol.

b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?

(7)

x , h tg h x x h x , h tg x h tg               5 7 35 1 5 7 35 45    h , h tg   5 7 35



7,5h



tg35 h  7,5tg35htg35 h







   35 1 35 5 7 35 35 5

7, tg hhtg  , tg h tg

x ,

tg tg ,

h  



 309 m 35 1 35 5 7  

a El árbol mide 3,09 metros.

b Pablo está a 3,09 metros del árbol.

Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:

Halla el valor de c y la longitud del cable.

Solución: m 77 5 60 5 5 60 , sen a a

sen     _ 

m 89 2 60 5 5 60 , tg x x

tg     _ 

Por otra parte, si consideramos el otro triángulo:

m 78 7 40 5 5 40 , sen b b

sen     _ 

m 96 5 40 5 5 40 , tg y y

tg     _ 

Por tanto:

(8)

Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:

Solución:

cm 30 2 50 3 3

50 h h sen ,

sen      

cm 93 1 50 3 3

50 a a cos ,

cos      

Si consideramos el otro triángulo, tenemos que:

cm 58 3 40 30 2 30

2

40 ,

sen , x x

, x h

sen      _ 

74 2 40 58

3 58

3

40 b , cos ,

, b x b

cos        

Por tanto:

x 3,58 cm

ya b 1,93  2,74  4,67 cm h 2,30 cm

Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60. Nos alejamos 6 metros en línea recta y este ángulo es de 50.¿Cuál es la altura del edificio?

(9)





 

50 6

60

6 50

60

tg x h

x h tg

 



     

  





   



50 6 50 60

50 6

60 x tg xtg xtg tg

tg

x     



 





 

 ₅₀ ₆ ₅₀ ₆₀ ₅₀ ₆ ₅₀

60 xtg tg xtg tg tg

tg

x     

m 23 , 13 50 60

50

6 _

  _  _

tg tg

tg x

m 92 22 50 60

60 50 6

60 ,

tg tg

tg tg tg

x

h 

 

  _  _