Sistemes d equacions lineals

Texto completo

(1)

L’oncle Petros i la conjectura de Goldbach

Constantinos Apostulu Doxiadis

Petros Papachristos vivia en una casa als afores d’Atenes, retirat del món, sense dona ni fills; les seves úniques ocupacions eren tenir cura del jardí i jugar a escacs. Havia estat un matemàtic notable, tot i que en opinió dels seus dos germans petits, que mantenien amb el seu esforç l’empresa heretada del pare, era el «fiasco de la família». En canvi, un dels seus nebots, el narrador de la història que hi ha dins d’aquesta novel·la, l’admirava per l’antiga reputació que havia tingut. Quan va acabar el penúltim curs del batxillerat, un dia li va preguntar si ell també podria arribar a ser un bon matemàtic.

El noi accepta la prova que li proposa el seu oncle i que consisteix a resoldre al llarg de l’estiu, sense consultar els llibres, el problema següent: demostrar que tot enter parell més gran que 2 és igual a la suma de dos primers.

Després d’emplenar durant els mesos estivals centenars de quartilles que van acabar a la paperera, el noi no va aconseguir demostrar aquella «senzilla» conjectura. Va admetre que era incapaç de fer-ho i va complir la seva promesa, es va matricular en la llicenciatura d’Econòmiques, en una de les millors universitats nord-americanes. Al tercer any li va tocar compartir habitació amb Sammy Epstein, un noi famós entre els estudiants del primer cicle perquè era un prodigi de les matemàtiques. Durant la seva primera trobada, li demana que resolgui el problema que li havia proposat l’oncle Petros. Aquesta conversa és la que recull el text seleccionat.

Quan descobreix la «broma», el jove grec decideix venjar-se’n, i aquesta és la trama de la segona part d’aquesta novel·la, en la qual es narra la lluita d’una persona per construir les matemàtiques: els temptejos, els desànims, els èxits i els fracassos.

LITER ATUR A I MATEMÀTIQUES

L’oncle Petros i la conjectura de Goldbach

En la nostra primera nit junts, mentre sopàvem al menjador de la universitat per conèixer-nos millor, li vaig dir amb naturalitat [al meu company d’habitació]:

–Com que ets un geni de les matemàtiques, Sammy, estic segur que podràs provar fàcilment que qualsevol nombre parell més gran que 2 és la suma de dos nombres primers.

Es va posar a riure.

–Si pogués demostrar això, company, no seria aquí sopant amb tu; ja seria catedràtic, potser fins i tot tindria la medalla Fields, el Nobel de les matemàtiques.

Abans que acabés de parlar, en un instant de revelació, vaig endevinar l’horrible veritat. En Sammy ho va confirmar amb el que va dir tot se-guit:

–L’afirmació que acabes de fer és la conjectura de Goldbach, un dels problemes irresolts més difícils de tots els camps de les matemàti-ques!

Les meves reaccions van passar per les fases anomenades (si no recor-do malament el que vaig aprendre en Psicologia elemental a la univer-sitat) les quatre etapes del dol: negació, ira, depressió i acceptació. De totes quatre, la primera va ser la que va durar menys. –No... no és possible! [...]

–Què vols dir, que no és possible? –va preguntar–. Ho és! La conjectu-ra de Goldbach, que així s’anomena la hipòtesi, ja que no s’ha demos-trat mai, és que tots els nombres parells són la suma de dos nombres primers. Ho va afirmar per primera vegada un matemàtic anomenat Goldbach en una carta que va escriure a Euler. Tot i que s’ha demos-trat que és veritat fins i tot en nombres primers altíssims, ningú n’ha aconseguit formular una prova general. [...]

–Maleït! –vaig exclamar en grec–. Que Déu el condemni! Que es podreixi a l’infern!

El meu nou company d’habitació, totalment al·lucinat davant del fet que una hipòtesi de teoria de nombres pogués provocar un rampell de passió mediterrània semblant, em va pregar que li expliqués què em passava; però jo no estava en condicions de donar explicacions.

Constantinos apostulu DoxiaDis

(2)

L’oncle Petros i la conjectura de Goldbach

Constantinos Apostulu Doxiadis

Petros Papachristos vivia en una casa als afores d’Atenes, retirat del món, sense dona ni fills; les seves úniques ocupacions eren tenir cura del jardí i jugar a escacs. Havia estat un matemàtic notable, tot i que en opinió dels seus dos germans petits, que mantenien amb el seu esforç l’empresa heretada del pare, era el «fiasco de la família». En canvi, un dels seus nebots, el narrador de la història que hi ha dins d’aquesta novel·la, l’admirava per l’antiga reputació que havia tingut. Quan va acabar el penúltim curs del batxillerat, un dia li va preguntar si ell també podria arribar a ser un bon matemàtic.

El noi accepta la prova que li proposa el seu oncle i que consisteix a resoldre al llarg de l’estiu, sense consultar els llibres, el problema següent: demostrar que tot enter parell més gran que 2 és igual a la suma de dos primers.

Després d’emplenar durant els mesos estivals centenars de quartilles que van acabar a la paperera, el noi no va aconseguir demostrar aquella «senzilla» conjectura. Va admetre que era incapaç de fer-ho i va complir la seva promesa, es va matricular en la llicenciatura d’Econòmiques, en una de les millors universitats nord-americanes. Al tercer any li va tocar compartir habitació amb Sammy Epstein, un noi famós entre els estudiants del primer cicle perquè era un prodigi de les matemàtiques. Durant la seva primera trobada, li demana que resolgui el problema que li havia proposat l’oncle Petros. Aquesta conversa és la que recull el text seleccionat.

Quan descobreix la «broma», el jove grec decideix venjar-se’n, i aquesta és la trama de la segona part d’aquesta novel·la, en la qual es narra la lluita d’una persona per construir les matemàtiques: els temptejos, els desànims, els èxits i els fracassos.

2

Solucionari

comprova que la conjectura de Goldbach es compleix per a tots els nombres parells més petits que 20. Troba un nombre parell que sigui, alhora, suma d’un nombre primer amb 11 i d’un altre nombre primer amb 17; els dos nombres primers són més petits que 30.

Resposta oberta. Per exemple: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 12 = 5 + 7 14 = 3 + 11 16 = 5 + 11 18 = 7 + 11 Resposta oberta. Per exemple:

11 + 29 = 40 17 + 23 = 40

LITER ATUR A I MATEMÀTIQUES

L’oncle Petros i la conjectura de Goldbach

En la nostra primera nit junts, mentre sopàvem al menjador de la universitat per conèixer-nos millor, li vaig dir amb naturalitat [al meu company d’habitació]:

–Com que ets un geni de les matemàtiques, Sammy, estic segur que podràs provar fàcilment que qualsevol nombre parell més gran que 2 és la suma de dos nombres primers.

Es va posar a riure.

–Si pogués demostrar això, company, no seria aquí sopant amb tu; ja seria catedràtic, potser fins i tot tindria la medalla Fields, el Nobel de les matemàtiques.

Abans que acabés de parlar, en un instant de revelació, vaig endevinar l’horrible veritat. En Sammy ho va confirmar amb el que va dir tot se-guit:

–L’afirmació que acabes de fer és la conjectura de Goldbach, un dels problemes irresolts més difícils de tots els camps de les matemàti-ques!

Les meves reaccions van passar per les fases anomenades (si no recor-do malament el que vaig aprendre en Psicologia elemental a la univer-sitat) les quatre etapes del dol: negació, ira, depressió i acceptació. De totes quatre, la primera va ser la que va durar menys. –No... no és possible! [...]

–Què vols dir, que no és possible? –va preguntar–. Ho és! La conjectu-ra de Goldbach, que així s’anomena la hipòtesi, ja que no s’ha demos-trat mai, és que tots els nombres parells són la suma de dos nombres primers. Ho va afirmar per primera vegada un matemàtic anomenat Goldbach en una carta que va escriure a Euler. Tot i que s’ha demos-trat que és veritat fins i tot en nombres primers altíssims, ningú n’ha aconseguit formular una prova general. [...]

–Maleït! –vaig exclamar en grec–. Que Déu el condemni! Que es podreixi a l’infern!

El meu nou company d’habitació, totalment al·lucinat davant del fet que una hipòtesi de teoria de nombres pogués provocar un rampell de passió mediterrània semblant, em va pregar que li expliqués què em passava; però jo no estava en condicions de donar explicacions.

Constantinos apostulu DoxiaDis

(3)

002 Determina una solució d’aquest sistema:

Resposta oberta. Per exemple: x = 0, y = 2, z = 2

003 classifica aquests sistemes segons el nombre de solucions que tenen: a) b) c) a) Té infinites solucions. El sistema és compatible indeterminat. b) No té solució. El sistema és incompatible.

c)

Té solució única. El sistema és compatible determinat.

004 converteix aquest sistema en un d’escalonat i troba’n la solució:

005 resol aquests sistemes d’equacions lineals per mitjà del mètode de Gauss:

ABANS DE COMENÇAR... RECORDA

001 resol aquests sistemes:

a) x y x+− y==   3 0 2 2 4 b) x y x−− y= −=   2 1 2 2 0 a) 4 4 0 2 2 4 1 1 x y x y x y + = − =     = = −     → b) 42 22 01 1 3 2 3 x y x−− y= −= x y    → = , =

002 Escriu tres equacions equivalents a aquestes: a) x - 2 = 7 b) 2x = -3 c) x

2 − =4 6 a) Resposta oberta. Per exemple:

x - 9 = 0 2x - 4 = 14 2 - x = -7 b) Resposta oberta. Per exemple:

4x + 6 = 0 1 - 6x = 10 10x + 15 = 0 c) Resposta oberta. Per exemple:

x - 8 = 12 16 - 2x = -24 3x = 60

003 Escriu dos sistemes equivalents a aquest. a) − + = + =   x y x y 2 0 2 2 5 b) x y x−− y==   0 2 2 3

a) Resposta oberta. Per exemple: 4 4 2 0 2 5 x y x+− y==     4 4 2 0 3 5 x y x−− y==    

b) Encara que el sistema és incompatible, podem considerar sistemes equivalents. Hem obtingut els sistemes següents multiplicant les equacions

per una constant:

− + = − =     x y x y 4 0 2 2 3 4 4 0 4 4 6 x y x−− y==    

ACTIVITATS

001 Escriu una equació amb tres incògnites de coeficients 4, -1 i 1, respectivament,

i amb terme independent -2.

calcula tres solucions d’aquesta equació.

L’equació és 4x - y + z = -2, i tres solucions són: x = 1, y = 6 i z = 0

x = -1, y = 0 i z = 2 x = 0, y = 2 i z = 0

(4)

Sistemes d’equacions lineals

Solucionari

2

002 Determina una solució d’aquest sistema:

− − + = = − =   x y z x y z 0 2 0 0 Resposta oberta. Per exemple: x = 0, y = 2, z = 2

003 classifica aquests sistemes segons el nombre de solucions que tenen: a) − + = − = −   2 2 2 2 x y x y b) − + = =   x y x y 2 4 2 4 1 c) 3 2 1 2 3 x y x+− y==  

a) Té infinites solucions. El sistema és compatible indeterminat. b) No té solució. El sistema és incompatible.

c) 3 2 1 2 3 1 1 4 x y x y x y + = − =     = = −     →

Té solució única. El sistema és compatible determinat.

004 converteix aquest sistema en un d’escalonat i troba’n la solució:

x y z y z x + − = − + = − =   1 2 1 5 x x y y zz x yy y z z z − + − −+ == =      + − − − + − = 2 11 5 2 → == =      + − −+ == =      1 1 6 2 11 7 → x yy zzz xx y z = − = =      5 13 7

005 resol aquests sistemes d’equacions lineals per mitjà del mètode de Gauss:

a) x y z b) x y z y z y z x + = − − + = =   = 2 2 1 0 1 1 2 22 3 3 2 7 y z x +− z==   a) − − − − − − − − −          1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 → 11 2 2 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 − − −          − − → 11 0 0 0 1 1 0 2 2 1 1 −          + − = − = → x yy zz   = − = + = ∈      → yx z 1 1 λ λ λ amb R b) 0 1 1 2 2 1 3 0 2 1 3 7 2 2 − − − − − −          − → − −− − − − − −          − 1 0 1 1 3 0 2 3 1 7 2 2 1 0 → 11 1 0 6 7 3 1 5 2 2 1 0 1 − − −          − − − − → − −−−          − + = − − −1 0 0 1 3 1 1 2 2 3 → x yy zz== =      = = =      1 1 3 2 1 z x y z

ABANS DE COMENÇAR... RECORDA

resol aquests sistemes:

a) b)

a) b)

Escriu tres equacions equivalents a aquestes: a) x - 2 = 7 b) 2x = -3 c)

a) Resposta oberta. Per exemple:

x - 9 = 0 2x - 4 = 14 2 - x = -7 b) Resposta oberta. Per exemple:

4x + 6 = 0 1 - 6x = 10 10x + 15 = 0 c) Resposta oberta. Per exemple:

x - 8 = 12 16 - 2x = -24 3x = 60

Escriu dos sistemes equivalents a aquest.

a) b)

a) Resposta oberta. Per exemple:

b) Encara que el sistema és incompatible, podem considerar sistemes equivalents. Hem obtingut els sistemes següents multiplicant les equacions

per una constant:

ACTIVITATS

Escriu una equació amb tres incògnites de coeficients 4, -1 i 1, respectivament,

i amb terme independent -2.

calcula tres solucions d’aquesta equació.

L’equació és 4x - y + z = -2, i tres solucions són: x = 1, y = 6 i z = 0

x = -1, y = 0 i z = 2 x = 0, y = 2 i z = 0

(5)

008 Discuteix mitjançant el mètode de Gauss:

Sistema incompatible

009 Escriu mitjançant equacions aquest sistema i soluciona’l amb el mètode de Gauss:

010 Determina l’expressió matricial d’aquest sistema i soluciona’l com si fos una equació matricial:

006 resol mitjançant el mètode de Gauss:

a) y z x y x y zz + = − = = −   + + + 5 2 0 4 b) − − + + = − = − + − = + x y z t x y t x y z t y z z 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 2 0 = −     4t 4 a) 0 1 1 2 1 0 1 0 1 5 0 4 1 0 − − − − − − −         → 11 0 1 1 2 1 0 4 5 0 1 0 1 0 − − − − − − − −         → 0 111 21 4 5 8 1 0 1 0 1 1 − − − − − − − −         → 00 0 1 4 5 3 − − −          + + − = = = − − → x y z z z 44 5 3 1 2 3 −        = − = − = −      → yx z b) − − − − − − − − −  − − − − − − − − − − − 1 1 1 1 3 2 0 1 1 2 2 1 0 1 1 4 4 2 0 4           − − − − − − − − − → 1 2 2 1 0 1 1 4 33 2 0 1 1 1 1 1 0 4 2 4 − − − − − −          − − − − −  − − − − − − − − − − − − − − − − → 1 2 2 1 0 1 1 4 0 8 6 2 0 1 1 0 0 4 2 44 1 2 2 1 0 1 1 4 0 0 0 0            − − − → 114 30 0 0 2 4 0 4 34 8 0 3 0 − − − − −          −   − − − − − − − − − − → 1 2 2 1 0 1 1 4 0 0 14 30 0 0 0 2 0 4 34 0 0 0 0 222 2 2 14            + − + − → x y y z z z 334 34 30 2 0 4 34 22 t t t t x − − − = = = = − −        = → − − = − = − = −        19 22 26 11 y z t

007 Discuteix aquests sistemes d’equacions lineals per mitjà del mètode de Gauss: a) x x y y y z z z +− −+ = = =   2 2 1 0 1 b) − + − = − = − − =   2 1 2 2 3 2 7 x y z x y z y z a) − − − − − − − −          1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 2 → −−− −          − − 2 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 0 → 00 0 1 1 0 −          Sistema compatible indeterminat

b) − − −          − − − − 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 3 7 2 → − −− − − − − − − −          − 1 1 0 1 2 0 1 2 1 4 7 2 → 0 111 21 0 0 0 1 4 3 − − −          − − − − Sistema incompatible

(6)

Sistemes d’equacions lineals

Solucionari

2

008 Discuteix mitjançant el mètode de Gauss: −

+ + + + + + = = = = x x x x y y y z z z t t t t 2 2 2 3 5 0 2 0     − − − − − − − − −    − − − − − − − − − − − 1 1 1 2 2 1 0 1 1 0 1 3 1 1 2 1 5 0 2 0          − − − − − − − − − − → 1 0 1 3 1 1 1 2 2 11 0 1 1 1 2 1 2 5 0 0 − − −− −− − − − −            − − − − − − − − −  − − − − − → 1 0 1 3 0 1 2 5 0 1 2 5 0 1 1 2 2 7 4 2           − − − → 1 0 1 3 0 1 2 5 0 0 0 0 0 0 33 3 2 7 3 5 − − − − −            Sistema incompatible

009 Escriu mitjançant equacions aquest sistema i soluciona’l amb el mètode de Gauss:

1 2 2 2 1 1 0 2 1     ⋅   x y z    = −−      1 2 1 x y x y y z z z + − + − − − + = = =−−      2 2 2 2 1 2 1 2 → − −− − − − − − − − −−          1 2 2 2 1 1 0 2 1 1 2 1 − − − −          − − − − − → 01 25 25 0 2 1 1 0 1 → 0 51 2 25 → 0 0 5 1 0 5 − − − −          − − x yy zz z x y z + − = − = − = −      = = = − −25 25 −01 5 5 1 1 → 11      010 Determina l’expressió matricial d’aquest sistema i soluciona’l com si fos

una equació matricial:

−+ + + + = = =−   3 2 2 0 2 1 x x x y y y z z z A X x y z = −− − −          =  − − 3 1 2 1 2 1 1 1 1 →         = −         − − → B 02 1 AX=BX=A B−1  A = ≠ →A = − −− −        − − − 11 0 1 11 1 3 5 2 5 1 3 2 7 1   X= − −− −          − − − − 1 11 1 3 5 2 5 1 3 2 7 0 · 22 1 1 1 1 −         =          = = =      → xy z 1 1 1 resol mitjançant el mètode de Gauss:

a) b) a) 0 1 1 2 1 0 1 0 1 5 0 4 1 0 − − − − − − −         → 11 0 1 1 2 1 0 4 5 0 1 0 1 0 − − − − − − − −         → 0 111 21 4 5 8 1 0 1 0 1 1 − − − − − − − −         → 00 0 1 4 5 3 − − −          + + − = = = − − → x y z z z 44 5 3 1 2 3 −        = − = − = −      → yx z b) − − − − − − − − −  − − − − − − − − − − − 1 1 1 1 3 2 0 1 1 2 2 1 0 1 1 4 4 2 0 4           − − − − − − − − − → 1 2 2 1 0 1 1 4 33 2 0 1 1 1 1 1 0 4 2 4 − − − − − −          − − − − −  − − − − − − − − − − − − − − − − → 1 2 2 1 0 1 1 4 0 8 6 2 0 1 1 0 0 4 2 44 1 2 2 1 0 1 1 4 0 0 0 0            − − − → 114 30 0 0 2 4 0 4 34 8 0 3 0 − − − − −          −   − − − − − − − − − − → 1 2 2 1 0 1 1 4 0 0 14 30 0 0 0 2 0 4 34 0 0 0 0 222 2 2 14            + − + − → x y y z z z 334 34 30 2 0 4 34 22 t t t t x − − − = = = = − −        = → − − = − = − = −        19 22 26 11 y z t

Discuteix aquests sistemes d’equacions lineals per mitjà del mètode de Gauss:

b)

a)

Sistema compatible indeterminat

b)

(7)

013 resol aquest sistema:

Per tant, rang (A) = 3 →

014 Escriu un sistema d’equacions lineals homogeni amb quatre equacions i que tingui: a) Solució única. b) infinites solucions.

a) Resposta oberta. Per exemple: b) Resposta oberta. Per exemple:

015 Planteja un sistema per al problema següent:

«En Joan, en Pere i en Xavier volen aconseguir 26 € per comprar un regal. Han decidit que en Joan n’hi ha de posar el doble que en Pere i que en Xavier n’hi ha de posar les dues terceres parts del que hi posi en Joan. Quant ha de posar cadascun?».

Considerem x, y, z les quantitats que han de posar en Joan, en Pere i en Xavier, respectivament.

016 En una fàbrica treballen 22 persones entre obrers, oficinistes i directius. El doble del nombre d’oficinistes més el triple del nombre de directius és igual al doble del nombre d’obrers.

amb aquestes dades, és possible saber el nombre d’obrers que hi ha a la fàbrica? Considerem x, y, z els obrers, els oficinistes i els directius que treballen a la fàbrica, respectivament.

El nombre d’equacions és més petit que el nombre d’incògnites, per la qual cosa el sistema no pot ser compatible determinat. Amb aquestes dades, no podem determinar el nombre d’obrers.

011 Discuteix els sistemes per mitjà del teorema de rouché-Frobenius i troba’n la solució

a) 2 3 2 02 4 3 2 x y z x y z x y z + = − − − + = + = −   b) xx x y y zz z + −+ = = =   2 33 2 10 7 a) Treballem amb la matriu ampliada:

− − − − − − − − −          + 2 3 1 2 1 1 2 0 1 4 3 2 1 F 22 22 2 1 3 3 2 3 1 2 0 5 5 2 0 5 5 2 F F F F →→F →− −− −− −  − − − −         − − − − + F2 F3 F3 2 3 1 2 0 5 5 → → 22 0 −0 0 −0          Per tant, rang (A) = rang (A*) = 2 → Sistema compatible indeterminat:

x yy zzx y − + = − − + = −     = − + = + 4 3 2 5 5 2 2 5 5 2 5 5 λ λ zz= ∈        λ λ amb R

b) Treballem amb la matriu ampliada: − − − − − − − − −          1 3 2 1 2 3 1 0 1 0 1 7 2F1++ + − −     F F F1 F32 F32 1 3 2 1 0 3 3 2 0 3 3 8 → → →       − −   − − F2 F3 F3 1 3 2 1 0 3 3 2 0 0 0 10 → →       Per tant, rang (A) = 2 i rang (A*) = 3 → Sistema incompatible

012 Discuteix el sistema utilitzant el teorema de rouché-Frobenius i troba’n la solució. 2 3 3 2 2 1 0 1 4 x x x y y y y z t z t z + + + == = =    

Treballem amb la matriu ampliada:

2 1 1 1 1 3 1 1 3 2 0 0 0 1 2 0 1 0 1 4 − − − − − − − − − − − −            − − − F F F F11 F23 F23 2 3 2 2 1 1 → → → 11 0 7 3 3 0 7 3 3 0 1 2 0 1 1 1 4 − − −            − − − − − F F F F22 7F34 F34 2 1 1 1 0 7 3 3 0 0 0 0 0 0 → → → 111 3 1 1 0 27 2 2 2 − − − −            Per tant, rang (A) = rang (A*) = 3 < 4 → Sistema compatible indeterminat: si

anomenem t = λ → 2 10 7 31 1 31 0 0 11 27 3 2 2 − − − − − −        − − λλ λ = − − = − + = − − =    → x y t z t 3 4 11 10 6 11 27 3 11 λ λ λ        ∈ ambλ R

(8)

Sistemes d’equacions lineals

Solucionari

2

013 resol aquest sistema: 5 2 0

2 0 0 x y z x y z x y z − + = − + − = − − − =   A F = − − − − − −          − − − + 5 1 2 2 1 1 1 1 1 21 55 5 2 2 1 3 3 5 1 2 0 3 1 0 6 3 F F F F →→F →+ − − − −     − −       − − −  − − − + 22 3 3 5 1 2 0 3 1 0 0 5 F FF →        

Per tant, rang (A) = 3 → xy z = = =      0 0 0

014 Escriu un sistema d’equacions lineals homogeni amb quatre equacions i que tingui: a) Solució única. b) infinites solucions.

a) Resposta oberta. Per exemple: b) Resposta oberta. Per exemple: x x x y y y y z z z z t t t 2 0 0 0 0 + + + + − − + + − + = = = =        x x x y y y y z z z t t t + + + + − + + − + = = = =        0 0 0 0

015 Planteja un sistema per al problema següent:

«En Joan, en Pere i en Xavier volen aconseguir 26 € per comprar un regal. Han decidit que en Joan n’hi ha de posar el doble que en Pere i que en Xavier n’hi ha de posar les dues terceres parts del que hi posi en Joan. Quant ha de posar cadascun?».

Considerem x, y, z les quantitats que han de posar en Joan, en Pere i en Xavier, respectivament. x y z x y z x x y z + + = = =        + + = 26 2 2 3 26 2 2 2 2 → xx y x− − z ==      2 0 2 3 022

016 En una fàbrica treballen 22 persones entre obrers, oficinistes i directius. El doble del nombre d’oficinistes més el triple del nombre de directius és igual al doble del nombre d’obrers.

amb aquestes dades, és possible saber el nombre d’obrers que hi ha a la fàbrica? Considerem x, y, z els obrers, els oficinistes i els directius que treballen a la fàbrica, respectivament. x y z y z x x y z x y + + = + =     + + = − − 22 2 3 2 22 2 2 22 2 2 2 → 33z=02    

El nombre d’equacions és més petit que el nombre d’incògnites, per la qual cosa el sistema no pot ser compatible determinat. Amb aquestes dades, no podem determinar el nombre d’obrers.

Discuteix els sistemes per mitjà del teorema de rouché-Frobenius i troba’n la solució

a) Treballem amb la matriu ampliada: − − − − − − − − −          + 2 3 1 2 1 1 2 0 1 4 3 2 1 F 22 22 2 1 3 3 2 3 1 2 0 5 5 2 0 5 5 2 F F F F →→F →− −− −− −  − − − −         − − − − + F2 F3 F3 2 3 1 2 0 5 5 → → 22 0 −0 0 −0          Per tant, rang (A) = rang (A*) = 2 → Sistema compatible indeterminat:

b) Treballem amb la matriu ampliada: − − − − − − − − −          1 3 2 1 2 3 1 0 1 0 1 7 2F1++ + − −     F F F1 F32 F32 1 3 2 1 0 3 3 2 0 3 3 8 → → →       − −   − − F2 F3 F3 1 3 2 1 0 3 3 2 0 0 0 10 → →       Per tant, rang (A) = 2 i rang (A*) = 3 → Sistema incompatible

Discuteix el sistema utilitzant el teorema de rouché-Frobenius i troba’n la solució.

Treballem amb la matriu ampliada:

2 1 1 1 1 3 1 1 3 2 0 0 0 1 2 0 1 0 1 4 − − − − − − − − − − − −            − − − F F F F11 F23 F23 2 3 2 2 1 1 → → → 11 0 7 3 3 0 7 3 3 0 1 2 0 1 1 1 4 − − −            − − − − − F F F F22 7F34 F34 2 1 1 1 0 7 3 3 0 0 0 0 0 0 → → → 111 3 1 1 0 27 2 2 2 − − − −            Per tant, rang (A) = rang (A*) = 3 < 4 → Sistema compatible indeterminat: si

(9)

Anomenem x, y i z el nombre d’ampolles de cada classe. Les condicions del problema són:

Resolem per Gauss:

Com que les variables han d’agafar valors enters positius, z ha de ser múltiple de 4: • z = 4 → y = 5 i x = 11. Solució vàlida.

• z = 8 → y = 0. Solució no vàlida, i per a qualsevol valor més gran que 8, la y agafaria valors negatius, i aleshores no compliria les hipòtesis del problema; per tant, l’única solució possible és z = 4, y = 5 i x = 11.

020 De tres nombres, A, B i C, sabem que si al doble del segon li restem el primer, el resultat és 3; que si al triple del segon li restem C - A, el resultat és 4,

i que si al quíntuple de A + B li restem el triple del tercer, el resultat és 6.

a) Demostra que no tenim prou dades per determinar els tres nombres. b) Si C = 3, determina A i B.

a) Les condicions del problema són:

Resolem per Gauss:

Per tant, rang (A) = rang (A*) = 2 i es tracta d’un sistema indeterminat, per la qual cosa no podem determinar els nombres.

b) Si C = 3, obtenim el sistema: 017 El preu de l’estada diària en un hotel és de 30 € per persona. Els nens paguen el 50 %

d’aquest preu, i els jubilats paguen el 70 % d’aquest preu.

Determina el nombre de nens i de jubilats que hi havia un dia a l’hotel si saps que: hi havia 200 persones, el nombre de jubilats era igual al 25 % del nombre de nens i que van recaptar 4.620 € per l’estada de tots.

Considerem x, y, z el nombre de persones que no són ni nens ni jubilats, el nombre de nens i el nombre de jubilats, respectivament.

x y z z y x y z + + = = + + =      200 0 25 30 15 21 4.620, → xx x y y y z z z 30 0 2515 21 200 0 + + + − + = = =      , 4.620 1 0 30 1 0 25 15 1 1 21 200 0 4 620 , . −         → 11 0 0 1 1 15 1 4 9 200 0 1 380 1 0 − −−          . → 00 1 1 0 1 4 69 200 0 1 380 − − −          . x y y z z z x y + + − − = = = −      = = 4 69 200 0 100 1.380 → 880 20 z=     

Hi havia 80 nens, 20 jubilats i 100 persones que no eren ni nens ni jubilats. 018 El pressupost per a mobles d’un institut és cinc vegades la suma del de llibres

més el del material d’oficina. El pressupost per a llibres és el triple del de material d’oficina. la suma del pressupost per a mobles i material d’oficina és 7 vegades el pressupost de llibres.

a) amb aquestes dades, podem saber els diners destinats a cada compra? b) Determina’n les quantitats si per a llibres hi ha 1.800 €.

a) Considerem x, y, z els pressupostos per a mobles, llibres i material d’oficina, respectivament. x y z y z x z y x y z y z = + = + =      − − = − = 5 3 7 5 5 0 3 0 ( ) → xxy+ z=      7 3 0 1 5 5 0 1 3 1 7 1 1 3 3 − − − −          − − − F FF → 1 5 5 0 1 3 0 2 6 22 − − − −          − − − F FF3 F3 1 5 5 0 1 3 0 0 0 → → − −−         − − −  Per tant, rang (A) = 2 i és un sistema és compatible indeterminat, per la qual cosa no podem saber quant han destinat a cada compra.

b) Si y=1.800→z=600 x= ⋅5 2 400. =12 000.

Per a mobles destinen 12.000 €, i per a material d’oficina, 600 €.

019 una persona va a la bodega i compra tres classes de vi, A, B i C. En total, en compra 20 ampolles i gasta 100 €.

l’ampolla de A val 3 €, la de B 7 € i la de C 8 €.

Troba el nombre d’ampolles de cada classe que ha comprat si saps que, almenys, n’ha comprat una de cada.

(10)

Sistemes d’equacions lineals

Solucionari

2

Anomenem x, y i z el nombre d’ampolles de cada classe. Les condicions del problema són: x y z x y z x y z + + = + + = ≥ ≥ ≥        20 3 7 8 100 1 1 1  Resolem per Gauss:

1 1 1 20 3 7 8 100 1 1 1 1 31 2 2     →F+−FF 220 0 4 5 40 10 4 40 5 4 10 5 4     = + = − = − → x y z λ λ λ = =          λ

Com que les variables han d’agafar valors enters positius, z ha de ser múltiple de 4: • z = 4 → y = 5 i x = 11. Solució vàlida.

• z = 8 → y = 0. Solució no vàlida, i per a qualsevol valor més gran que 8, la y agafaria valors negatius, i aleshores no compliria les hipòtesis del problema; per tant, l’única solució possible és z = 4, y = 5 i x = 11.

020 De tres nombres, A, B i C, sabem que si al doble del segon li restem el primer, el resultat és 3; que si al triple del segon li restem C - A, el resultat és 4,

i que si al quíntuple de A + B li restem el triple del tercer, el resultat és 6.

a) Demostra que no tenim prou dades per determinar els tres nombres. b) Si C = 3, determina A i B.

a) Les condicions del problema són:

2 3 3 4 5 3 6 B A B C A A B C − = − − = + − =     ( () ) ordenem  → − ++ − == + − =      −AA BB C A B C 2 3 3 4 5 5 33 6

Resolem per Gauss: − − −          − − − + 1 2 0 3 1 3 1 5 5 3 64 1 2 F F → FF F1 F3 F23 5 01 25 01 3 0 15 3 21 1 2 1 27 + − −   − − − → →       − − − − − 32 3 3 1 2 0 3 0 5 1 F FF → 77 0 0 0 0 − −          − − −          − − − + 1 2 0 3 1 3 1 5 5 3 6 4 1 2 F F → FF F1 F3 F23 5 01 25 01 3 0 15 3 21 1 2 1 27 + − −   − − − → →       − − − − − 32 3 3 1 2 0 3 0 5 1 F FF → 77 0 0 0 0 − −          Per tant, rang (A) = rang (A*) = 2 i es tracta d’un sistema indeterminat, per la qual cosa no podem determinar els nombres.

b) Si C = 3, obtenim el sistema: − + = − =     = = =      − A B B A B C 2 3 5 3 7 1 2 3 3

El preu de l’estada diària en un hotel és de 30 € per persona. Els nens paguen el 50 % d’aquest preu, i els jubilats paguen el 70 % d’aquest preu.

Determina el nombre de nens i de jubilats que hi havia un dia a l’hotel si saps que: hi havia 200 persones, el nombre de jubilats era igual al 25 % del nombre de nens i que van recaptar 4.620 € per l’estada de tots.

Considerem x, y, z el nombre de persones que no són ni nens ni jubilats, el nombre de nens i el nombre de jubilats, respectivament.

Hi havia 80 nens, 20 jubilats i 100 persones que no eren ni nens ni jubilats.

El pressupost per a mobles d’un institut és cinc vegades la suma del de llibres més el del material d’oficina. El pressupost per a llibres és el triple del de material d’oficina. la suma del pressupost per a mobles i material d’oficina és 7 vegades el pressupost de llibres.

a) amb aquestes dades, podem saber els diners destinats a cada compra? b) Determina’n les quantitats si per a llibres hi ha 1.800 €.

a) Considerem x, y, z els pressupostos per a mobles, llibres i material d’oficina, respectivament.

Per tant, rang (A) = 2 i és un sistema és compatible indeterminat, per la qual cosa no podem saber quant han destinat a cada compra.

b) Si

Per a mobles destinen 12.000 €, i per a material d’oficina, 600 €.

una persona va a la bodega i compra tres classes de vi, A, B i C. En total, en compra 20 ampolles i gasta 100 €.

l’ampolla de A val 3 €, la de B 7 € i la de C 8 €.

Troba el nombre d’ampolles de cada classe que ha comprat si saps que, almenys, n’ha comprat una de cada.

(11)

Sistema incompatible

022 Discuteix els sistemes d’equacions següents. 021 resol mitjançant el mètode de Gauss.

a) 2 3 5 1 4 7 13 1 2 3 7 3 1 1 x y z x y z x y z + + = + + = − + + = −   d) 3 3 3 4 11 2 2 8 2 2 4 y z x y x z z y + = + = + = −   + + g) 3 2 7 2 5 2 3 4 19 8 2 1 1 x y z x y z x y z + = − + + = − + + =   b) x y z x y z x y z + + = + − = + + =   2 1 1 2 33 1 e) x y z x y z x y z = − + = + + =   2 1 2 2 2 3 2 2 2 h) 2 4 7 3 2 3 4 3 8 12 a b c a b c a b c − = − − + = − − − = −   c) 5 2 3 5 3 2 12 2 3 3 x y z x y z x y z + + = − + = + + =   f ) − + = + = + =   + p q r p r p q r q 3 12 3 2 7 5 6 4 5 2 3 a) 2 3 5 4 7 13 2 3 7 1 1 3 2 3 5 0 1 3 − −         → 00 0 2 1 3 4 2 3 5 3 2 − −          + + + → x yy z z z = = = =−−      = = = −      1 3 4 1 3 2 → xy z b) 1 2 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 0 1 2 −         → 00 − −1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 2 0 0 1 1 0 − − −         → − − −−          + − +− == = − 1 2 2 1 0 2 →x yy z z z x 11 2 2 1      = − = = −      → xy z c) 5 2 3 1 3 2 1 1 1 5 12 2 1 1 1 1 3 − −         → − −−          − −− 2 5 2 3 2 12 5 1 1 1 0 4 1 0 3 2 2 → 114 5 1 1 1 0 4 1 0 0 11 2 14 22 −          − −  →         + + − − = = = →x yy z z z 4 11 2 14 11 11 222 1 3 2      = = = −      → xy z d) 0 3 1 3 4 0 2 0 2 − −          3 11 8 3 4 0 0 3 1 → − − −          − 2 0 2 11 3 8 3 4 0 0 3 1 0 8 6 11 3 → 22 3 4 0 0 3 1 0 0 10 11 3 30          −    →       + + == = −    − →3 43 10 11 3 30 10 x y y z z    = = = −      → xy z 1 2 3 e) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1 − − − −          − − → 00 1 3 0 4 2 1 3 4 1 2 1 0 1 3 0 0 1 −          − − − → 00 1 3 8 2 3 10 10 1 − −          − − + − → x yy z z zz x y z = = = − −      = = =       1 3 8 1 3 5 4 5 → 

(12)

Sistemes d’equacions lineals

Solucionari

2

f ) − − −          − − 1 3 1 3 0 2 5 6 4 12 7 5 1 3 1 → 00 9 1 0 9 1 12 43 65 1 3 1 0 9 − −          − − − → 11 0 0 0 12 43 22          Sistema incompatible g) 3 1 2 1 2 5 3 4 19 7 2 8 1 2 − − −          − − − → 55 3 1 2 3 4 19 2 7 8 1 2 5 0 5 17 0 − −          − → 110 34 2 1 2 −          → − − →          + + 1 2 5 0 5 17 0 0 0 2 1 0 2 5 x y y++ ==−  = − = − = 5 17 2 1 12 9 5 1 17 5 z z x y z → λ λ λ λ amb ∈∈        R h) 2 4 1 3 2 3 1 3 8 7 4 12 − − − − − − − − − −          − − −− −−          → 13 32 83 → 2 4 1 12 4 7 1 33 8 0 11 21 0 10 17 12 32 31 − − −          → 1 30 11 218 → 0 0 23 12 32 21 3   −          + x y 111 8 21 23 12 32 21 123 23 y z z z x y + + == = −      = = → 1107 23 21 23 z= −          022 Discuteix els sistemes d’equacions següents.

a) 6 4 3 2 9 6 x x y y +− == −   e) 2 3 4 3 4 6 2 11 19 28 13 1 1 1 x y z x y z x y z + = − + + = − + + =   i) 3 2 3 11 2 4 2 5 19 a a b b b c c c ++ +− + = = =   b) − − + == −   x x y y 2 3 2 1 f) + ==−  4 6 2 3 8 5 p p q q j) 3 2 9 5 2 4 2 7 5 a b c c a b b b c c + ( ) = − − + − = − − = −  ( ) ( )   c) x x x y y y z z z 2 5 2 5 2 4 4 6 16 + + + = = =   g) 3 2 3 3 0 x x y = =   d) 3 2 2 3 2 2 1 0 1 a a b b b c c c + + ++ + = = = −   h) 2 3 5 3 4 7 2 3 5 1 x x x y y y z z z + + + + + = = =   a) 6 3 S 4 2 9 6 6 3 0 0 9 0 − − −  

 → − → iistema compatible indeterminat

b) − − −     − −−     1 3 2 1 2 1 1 3 0 5 2 3

→ →→ Sistema compatible determinat resol mitjançant el mètode de Gauss.

g) 3 2 7 2 5 2 3 4 19 8 2 1 1 x y z x y z x y z + = − + + = − + + =   h) 2 4 7 3 2 3 4 3 8 12 a b c a b c a b c − = − − + = − − − = −   d) 0 3 1 3 4 0 2 0 2 − −          3 11 8 3 4 0 0 3 1 → − − −          − 2 0 2 11 3 8 3 4 0 0 3 1 0 8 6 11 3 → 22 3 4 0 0 3 1 0 0 10 11 3 30          −    →       + + == = −    − →3 43 10 11 3 30 10 x y y z z    = = = −      → yx z 1 2 3

(13)

023 Troba totes les solucions del sistema d’equacions lineals següent:

(Activitat de Selectivitat)

024 Discuteix pel mètode de Gauss el sistema:

025 resol i classifica el sistema d’equacions:

(Activitat de Selectivitat)

026 resol el sistema:

canvia’n només un signe i transforma’l, si és possible, en compatible indeterminat. (Activitat de Selectivitat) c) 1 1 2 2 2 1 5 5 4 4 6 16 1 1 2 0 − − −          − → 00 3 0 0 6 4 2 4 1 1 2 0 0 3 0 0 − − −−          − − → 00 4 2 0 −          Sistema compatible indeterminat

d) 3 2 2 2 1 1 0 3 2 1 0 1 3 2 2 0 1 1 0 3 −         → 22 1 2 1 3 2 2 0 1 1 0 0 1 1 2 7 −          − −    →       Sistema compatible determinat

e) −− −− −         2 1 3 1 3 4 2 11 19 4 6 28 2 2 2 2  − − −         − − → 21 31 43 2 11 19 6 4 28 2 2 2 2  −         − − → 0 5 111 3 4 0 5 11 6 16 16 2 2  −         − − → 0 5 111 3 4 0 0 0 6 16 0 2 2 2 2  Sistema compatible indeterminat

f ) − − −     − −−     4 2 6 3 85 → 4 20 0 87 →→ Sistema incompatible g) 3 3 2 0 3 0 2 3 0 3 0 3 2 0 0 −     −     → → − −    3  0

3 → Sistema compatible determinnat

h) 2 3 1 3 4 2 5 7 1 3 5 1 2 3 1 0 1 7 −          − − → 00 1 7 3 1 13 2 3 1 0 1 7 0 0 0 3 1 − −          − − → − −          14 Sistema incompatible i) 3 1 1 2 3 2 0 11 4 2 5 19 3 1 1 0 − −          − → 111 4 0 11 4 2 19 19 3 1 1 0 11 4 0          − − → 00 0 2 19 0 1 1 −          Sistema compatible indeterminat

j) 3 2 9 4 6 14 5 a b c a b b c + − = − + = − =      − − − − − −          − 3 2 1 1 4 0 0 14 1 9 6 5 1 2 2 → 222 4 0 3 2 1 0 14 1 6 9 5 1 1 − − − −−          − → 0 1444 01 0 14 1 6 27 5 2 2 − − − −−          → − −          − − − − 1 4 0 0 14 1 0 0 0 6 27 22 2 2 2 → Sistema incompatible

(14)

Sistemes d’equacions lineals

Solucionari

2

023 Troba totes les solucions del sistema d’equacions lineals següent:

x y z x y z x y z + + = − + = − + + = −   2 2 1 2 0 2 7 4 (Activitat de Selectivitat) − − − − − − − − − −          1 1 1 2 1 1 2 7 1 1 0 4 1 → 0 311 11 0 9 3 1 2 6 1 1 − − − − − − − − −         → − − − − −− − − −          1 0 3 1 0 0 0 1 2 0 → x yy z z x y z + − +− ==−  = + = = − −    3 1 2 1 2 2 3 λ λ λ    ambλ R∈

024 Discuteix pel mètode de Gauss el sistema:

x y z x y z x y z + + = − + + = − + + =   2 2 3 0 1 2 − − −          1 2 1 1 3 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 0 5 2 0 3 → 22 2 2 3 1 2 1 0 5 2 0 0 4 2 2 9              →     

→ Sistema compatible determinat 025 resol i classifica el sistema d’equacions:

x y z x z y y z + = + + = + =   1 2 2 (Activitat de Selectivitat) 2 1 2 2 0 x y z x y z y z + − = − + = − =      − → 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 1 − − − − − − −          − → 00 3 3 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 3 − −          − − − − − − → 33 0 0 0 1 0 0 − −          x y z y z x y z + − = − + =     = = =      3 2 1 3 3 0 1 → λ λ aambλ ∈ R 026 resol el sistema: x y z x y z x y z + + = − + = + − =   1 1 1

canvia’n només un signe i transforma’l, si és possible, en compatible indeterminat. (Activitat de Selectivitat)

Sistema compatible indeterminat

Sistema compatible determinat

Sistema compatible indeterminat

Sistema incompatible

Sistema compatible indeterminat

(15)

028 Escriu mitjançant equacions aquests sistemes.

a) b)

029 Escriu en forma matricial aquests sistemes d’equacions lineals.

030 considera la matriu dels coeficients d’un sistema d’equacions lineals i

la matriu dels seus termes independents.

a) Escriu les tres equacions que formen el sistema. b) Troba totes les solucions del sistema.

(Activitat de Selectivitat) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − −         → 000 20 02 1 0 0 − −          −

− → Sistema compatible determinat

x y z y z x y z + + = − = − =      = = =    2 2 1 2 0 2 0 1 0 0 →   Resposta oberta. Per exemple: x y z x y z x y z + + = − + = + + =      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 − − − −         → 00 −0 0 1 0 0 −        

→ Sistema compatible indeterminat 027 considera les matrius A=

31, B = (x m), C = 15, D= 19, E y m x my = − +− − ++  2 2 25.

a) Si (A ⋅ B)(2C - D) = E, planteja un sistema de dues equacions i dues incògnites

(representades per x, y) en funció de m.

b) Per a quins valors de m el sistema té solució? Quan és única? resol el sistema si m = 4. (Activitat de Selectivitat) a) (AB C)(2 D) E 3 · (x m) · 1 2 − =          → 11 5 1 9 2    −       = − −− +2y m++225    x my 3 3 1 1 2 2 2 x m x m yx m    ·= − −− + + m my+ xx mm y m    5→3 ++3 = − −− +2 2 ++225    x my 3 3 2 2 2 5 3 3 x m y m x m x my x x y my + = − + + + = − − +     + + = → −− + = − +     m m 2 5

b) Resolem per Gauss: 3 1 3 2 5 3 1 0 1 1 2 2 m m m m F F F − + − +     − + − → → −− + −    m3 2

Per tant, si m = 1 → rang (A) = 1 i rang (A*) = 2, i el sistema serà incompatible, per tant per a valors m ≠ 1 el sistema tindrà solució:

Sim 4 x y x y x y = ++ = −=   = − =     − →33 44 12 → 11 

(16)

Sistemes d’equacions lineals

Solucionari

2

028 Escriu mitjançant equacions aquests sistemes.

a) 2 3 5 1 2 1 3 1  ⋅     = x y z    b) 1 4 2 3 1 5 6 7        ⋅ ab =        1 4 2 5 a) 2 3 2 5 3 1 x x++ yy+− zz== −  b) a b a b a b a b + = − + = + = − + =        4 1 2 3 4 5 2 6 7 5

029 Escriu en forma matricial aquests sistemes d’equacions lineals. a) x x yy y z z z +− −+ = = = −    2 3 3 2 5 2 3 0 c) x x y z z t v v 2 3 6 1 8 + − + −+ == −    b) 2 2 2 2 3 2 2 5 3 5 1 p q r s p q s q r s r + + = + = + = −  +  d) x y z x z x y z y z y + = + = − + + = = − + 2 2 2 2 2 3 7 2 4 5 3 9 1     a) 1 2 3 1 1 2 0 3 5 − − − −            ·xy z      = −          2 3 0 c) 1 1 1 1 1 2 0 −−3 0 −6          · x y z t v         = −   81 b) 1 1 1 1 2 1 0 2 0 1 3 5 − − −            · p q r s          = −         3 5 1 d) 1 1 1 1 0 1 2 1 4 0 3 9 − − −            ⋅ x yy z         = − −         3 7 5 1    030 considera 2 2 12 3 1 2 5 1    

la matriu dels coeficients d’un sistema d’equacions lineals i

1 1 1    

la matriu dels seus termes independents.

a) Escriu les tres equacions que formen el sistema. b) Troba totes les solucions del sistema.

(Activitat de Selectivitat) a) 2 2 1 2 3 1 2 5 1 x y z x y z x y z + + = + + = + + =      b) 2 2 1 2 3 1 2 5 1 1 1 1 2 2 1 0 1 0 0 3 0         → 11 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0              →       2 2 1 0 0 x y z y x y + + = =     = =                      → λ          z= −      1 2λ ambλ∈ R Sistema compatible determinat

Resposta oberta. Per exemple:

Sistema compatible indeterminat

considera les matrius , B = (x m), , , E y m x my

= − +− − ++

 2 2 25.

a) Si (A ⋅ B)(2C - D) = E, planteja un sistema de dues equacions i dues incògnites

(representades per x, y) en funció de m.

b) Per a quins valors de m el sistema té solució? Quan és única? resol el sistema si m = 4.

(Activitat de Selectivitat)

b) Resolem per Gauss:

Per tant, si m = 1 → rang (A) = 1 i rang (A*) = 2, i el sistema serà incompatible, per tant per a valors m ≠ 1 el sistema tindrà solució:

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects : sistemes d'equacions lineals