Transformaciones lineales
Definición
Ejemplos
Propiedades
transformaciones lineales
transformaciones lineales
Dados V y W e.v. sobre K,
transformaciones lineales
Dados V y W e.v. sobre K,
llamamos transformación lineal a cualquier función
T : V → W
transformaciones lineales
Dados V y W e.v. sobre K,
llamamos transformación lineal a cualquier función
T : V → W
que verifique
transformaciones lineales
Dados V y W e.v. sobre K,
llamamos transformación lineal a cualquier función
T : V → W
que verifique
I T (v1 + v2) = T(v1) + T (v2) para todo v1, v2 ∈ V
Ejemplo 1 - producto por una matriz
Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn
y W = Km .
Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn
y W = Km .
Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn
y W = Km .
Entonces A ∈ Mm×n(K) determina
A : Kn
Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn
y W = Km .
Entonces A ∈ Mm×n(K) determina
A : Kn
→ Km
Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn
y W = Km .
Entonces A ∈ Mm×n(K) determina
A : Kn
→ Km
I A.(X + Y ) = A.X + A.Y X, Y ∈ Kn
I A.(λX) = λA.X X ∈ Kn
Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn
y W = Km .
Entonces A ∈ Mm×n(K) determina
A : Kn
→ Km
I A.(X + Y ) = A.X + A.Y X, Y ∈ Kn
I A.(λX) = λA.X X ∈ Kn
y λ ∈ K
Ejemplo 2 - coordenadas
Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada
Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada
B = {v1, . . . , vn} base de V
Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada
B = {v1, . . . , vn} base de V
para cada v ∈ V teníamos
coordB(v) = (λ1, . . . , λn) ∈ K n
Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada
B = {v1, . . . , vn} base de V
para cada v ∈ V teníamos
coordB(v) = (λ1, . . . , λn) ∈ K n
si
Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada
B = {v1, . . . , vn} base de V
para cada v ∈ V teníamos
coordB(v) = (λ1, . . . , λn) ∈ K n
si
v = λ1v1 + · · · + λnvn la transformación
coordB : V → Kn
Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada
B = {v1, . . . , vn} base de V
para cada v ∈ V teníamos
coordB(v) = (λ1, . . . , λn) ∈ K n
si
v = λ1v1 + · · · + λnvn la transformación
coordB : V → Kn
Ejemplo 3 - derivada
Ejemplo 3 - derivada
Sean V = C1(R) y W = C0(R), la transformación
d : C1(R) → C0(R)
f 7→ df
Ejemplo 3 - derivada
Sean V = C1(R) y W = C0(R), la transformación
d : C1(R) → C0(R)
f 7→ df
verifica
Ejemplo 3 - derivada
Sean V = C1(R) y W = C0(R), la transformación
d : C1(R) → C0(R)
f 7→ df
verifica
I d(f + g)(x) = df(x) + dg(x) I d(λf)(x) = λdf(x)
Ejemplo 3 - derivada
Sean V = C1(R) y W = C0(R), la transformación
d : C1(R) → C0(R)
f 7→ df
verifica
I d(f + g)(x) = df(x) + dg(x) I d(λf)(x) = λdf(x)
Ejemplo 4 - integral definida
Ejemplo 4 - integral definida
Sean V = C0(R) y W = C1(R), dado a ∈ R, la transformación
R .
a : C 0
(R) → C1(R)
f 7→ Rax f(t)dt
Ejemplo 4 - integral definida
Sean V = C0(R) y W = C1(R), dado a ∈ R, la transformación
R .
a : C 0
(R) → C1(R)
f 7→ Rax f(t)dt
verifica
I R x
a (f + g)(t)dt =
R x
a f(t)dt +
R x
Ejemplo 4 - integral definida
Sean V = C0(R) y W = C1(R), dado a ∈ R, la transformación
R .
a : C 0
(R) → C1(R)
f 7→ Rax f(t)dt
verifica
I R x
a (f + g)(t)dt =
R x
a f(t)dt +
R x
a g(t)dt
I R x
a λf(t)dt = λ
R x
Ejemplo 4 - integral definida
Sean V = C0(R) y W = C1(R), dado a ∈ R, la transformación
R .
a : C 0
(R) → C1(R)
f 7→ Rax f(t)dt
verifica
I R x
a (f + g)(t)dt =
R x
a f(t)dt +
R x
a g(t)dt
I R x
a λf(t)dt = λ
R x
a f(t)dt
Otros ejemplos
Otros ejemplos
I producto escalar (con un vector fijo)
Otros ejemplos
I producto escalar (con un vector fijo)
I producto vectorial (con un vector fijo)
Otros ejemplos
I producto escalar (con un vector fijo)
I producto vectorial (con un vector fijo)
I determinante (respecto de una columna)
Proposición
Dados V y W e.v. sobre K, la función
T : V → W
es lineal
Proposición
Dados V y W e.v. sobre K, la función
T : V → W
es lineal
m
Proposición
T : V → W
Proposición
T : V → W
transformación lineal
⇓
Demostración
Demostración
Demostración
Demostración
Teorema
Una transformación lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una
Teorema
Una transformación lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una
base.
Es decir, si conocemos
Teorema
Una transformación lineal queda completamente determinada por los valores que toma en una
base.
Es decir, si conocemos
T (B) para alguna base B de V
entonces hay una única t.l. T : V → W que en B vale T (B)
demostración - hay una
Si
demostración - hay una
Si
B = {v1, . . . , vn} defino
demostración - hay una
Si
B = {v1, . . . , vn} defino
demostración - hay una
Si
B = {v1, . . . , vn} defino
T (v) = T (λ1v1+· · ·+λnvn)
def
demostración - hay una
Si
B = {v1, . . . , vn} defino
T (v) = T (λ1v1+· · ·+λnvn)
def
= λ1T(v1)+· · ·+λnT (vn)
demostración - es única
Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces
demostración - es única
Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces
demostración - es única
Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces
demostración - es única
Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces
T (v) = T(λ1v1 + · · · + λnvn)
demostración - es única
Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces
T (v) = T(λ1v1 + · · · + λnvn)
= λ1T (v1) + · · · + λnT(vn) = λ1S(v1) + · · · + λnS(vn)
demostración - es única
Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces
T (v) = T(λ1v1 + · · · + λnvn)
= λ1T (v1) + · · · + λnT(vn) = λ1S(v1) + · · · + λnS(vn) = S(λ1v1 + · · · + λnvn)
demostración - es única
Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces
T (v) = T(λ1v1 + · · · + λnvn)
= λ1T (v1) + · · · + λnT(vn) = λ1S(v1) + · · · + λnS(vn)
demostración - es única
Si hay otra t.l. S que coincide con T en B, entonces
T (v) = T(λ1v1 + · · · + λnvn)
= λ1T (v1) + · · · + λnT(vn) = λ1S(v1) + · · · + λnS(vn)
= S(λ1v1 + · · · + λnvn) = S(v)
Proposición
T : V → W
transformación lineal biyectiva
Proposición
T : V → W
transformación lineal biyectiva
⇓
Proposición
T : V → W
transformación lineal biyectiva
⇓
