CAP3 3

(1)

Sistemas de coordenadas más utilizados en

Geodesia

Sistema Global de Coordenadas (Cartesianas, Rectangulares)

⇒ Coordenadas derivadas de satélite (GPS)

→ Origen: Geocentro

→ Eje Z: Eje de rotación terrestre

→ Eje X: Sobre el ecuador en dirección del meridiano de Greenwich

Sistema Horizontal Local de Coordenadas (Tangencial)

⇒ Observaciones sobre la superficie terrestre (instrumentos

ópticos, electrónicos)

→ Origen: Punto de observación (Topocentro) → Eje u: Dirección norte

→ Eje v: Dirección este

(2)

Sistema de coordenadas curvilíneas (Elipsoidales o geodésicas) ⇒ Coordenadas básicas en los sistemas geodésicos clásicos ⇒ Preferibles para aplicaciones prácticas: navegación, cartografía,

ingeniería

→ Latitud (ϕ), Longitud (λ), Altura (h) → Origen: centro geométrico del elipsoide

→ Eje Z': eje menor del elipsoide en dirección del polo norte

→ Eje X': sobre el plano ecuatorial e dirección al meridiano de referencia ⇒ XYZ Global (ITRF) ⇔ Dátum Global (GRS80 = WGS84)

⇒ X'Y'Z' Local (PSAD56) ⇔ Dátum Local (Hayford)

Coordenadas planas (Proyecciones cartográficas)

⇒ Desarrollo de aplicaciones que no requieren de la curvatura

terrestre

Proyección Gauss - Krüger (Transversa de Mercator, UTM)

→ Origen: meridiano de tangencia (de referencia) con paralelo de referencia (ecuador)

(3)

Conversión entre coordenadas cartesianas y

coordenadas elipsoidales

De coordenadas geodésicas a coordenadas cartesianas:

(

)

(

)

(

)

(

)

_ =

(

− ϕ

)



 

  

 

ϕ +

−

λ ϕ +

λ ϕ

+ =

  

 

  

  =

2 2

2 1 e cos

a N

; sin

h N e 1

sin cos h N

cos cos

h N

Z Y X X

De coordenadas cartesianas a coordenadas geodésicas:

(

2 2

)

2 3

(

2 2

)

3 2

Y X b

Z a ;

cos a e Y X

sin b ’ e Z arctan

+ =

Θ 

   

  

Θ −

+

Θ +

= ϕ

    =

λ

X Y

arctan ;

(

)

N cos

Y X h

2 2

− ϕ + =

Parámetro Elipsoide de Hayford GRS80

Semieje mayor: a 6 378 388, 000 00 6 378 137, 000 00

Aplanamiento: f 1 / 297 1/298 257 222 101

(4)

Conversión entre coordenadas planas

(Gauss - Krüger) y coordenadas elipsoidales

De coordenadas elipsoidales a coordenadas planas:

Coordenada Norte:

( )

(

)

(

)

(

1385 3111t 543t t

)

l ... cos N 40320 t l t 330 270 t t 58 61 cos N 720 t l 4 9 t 5 cos N 24 t cos l N 2 t G x 8 6 4 2 p 8 6 2 2 2 4 2 p 6 4 4 2 2 p 4 p 2 2 p + − + − ϕ + η − η + + − ϕ + η + η + − ϕ + ϕ + ϕ = Coordenada Este:

(

)

(

)

(5)

Arco de meridiano del punto de cálculo G(ϕp):

( )

[

]

b a b a n ... n 512 315 .... n 256 105 n 48 35 ... n 32 15 n 16 15 ... n 32 3 n 16 9 n 2 3 ... n 64 1 n 4 1 1 2 b a ... 8 sin 6 sin 4 sin 2 sin G 4 5 3 4 2 5 3 4 2 p + − = + = ε − + − = δ + − = γ + − + − = β       ₊ ₊ ₊ + = α + ϕ ε + ϕ δ + ϕ γ + ϕ β + ϕ α = ϕ

De coordenadas planas a coordenadas elipsoidales:

Latitud:

(

)

(

)

(

)

(

1385 3633t 4096t 1575t

)

y ... N 320 40 t y t 45 t 162 107 t 45 t 90 61 N 720 t y t 9 3 t 6 6 t 3 5 N 24 t y 1 N 2 t 8 6 f 4 f 2 f 8 f f 6 2 f 4 f 2 f 2 f 2 f 4 f 2 f 6 f f 4 4 f 2 f 4 f 2 f 2 f 2 f 2 f 4 f f 2 2 f 2 f f f + + + + + η + η + η − − − − + η − η − η − η + + + η − − + ϕ = ϕ Longitud:

(

)

(

)

(6)

siendo:

f 2 2 f

2 2 2 f f

f

cos e 1

a N

; cos

’ e ;

tan t

ϕ −

= ϕ

= η ϕ

=

Latitud del punto guía (ϕf):

b a

b a n

... n 512 1097

.... n 128 417 n

96 151

... n 32 55 n

16 21

... n 512 269 n

32 27 n 2 3

... n 64

1 n 4 1 1 2

b a

... x 8 sin x

6 sin x

4 sin x

2 sin x

4

5 3

4 2

5 3

4 2

f

+ − =

+ =

ε

− −

= δ

+ −

= γ

+ +

− = β

   



 ₊ ₊ ₊

+ = α

+ α ε

+ α δ

+ α γ

+ α β

(7)

Transformación de Coordenadas

Dátum geodésico

→ Orientación y ubicación de un sistema local de referencia con respecto al sistema global convencional

Necesidades

→ Conexión de los sistemas locales de referencia al sistema global de referencia (P. ej. CAMPO INCHAUSPE a SIRGAS)

→ Conexión entre diferentes realizaciones del sistema global de

referencia (P. ej. Campaña SIRGAS 1995 y Campaña SIRGAS 2000) → Compatibilidad del posicionamiento GPS con la cartografía referida a

los sistemas clásicos de referencia

Condición fundamental

→ Puntos comunes en los sistemas a transformar!! Tipos de transformación

→ Transformación de coordenadas rectangulares (3D) [X, Y, Z] ⇔ [X', Y', Z']

→ Transformación de coordenadas curvilíneas (2D) (ϕ, λ) ⇔ (ϕ', λ')

(8)

Transformación entre dos sistemas de referencia

con coordenadas cartesianas tridimensionales

Transformación de Similitud o de Helmert:

⇒

( )

1

Z Y

X

2 _; ₍₁ ₎_R _R _R _X

X = + +µ α β γ

Siendo:

→ (1+µ) : Factor de escala entre los dos sistemas (relación métrica) → X1 = [X1, Y1, Z1]T : Coordenadas en el sistema 1 (conocido)

→ X2 = [X2, Y2, Z2] T

: Coordenadas en el sistema 2 (nuevo)

→ 'X = [∆X, ∆Y, ∆Z]T : Vector de traslación entre los dos sistemas → Rx(α), Ry(β), Rz(γ): Rotaciones de los ejes

( )

  

 

  

  − = 

 

 

  



 −

= 

 

 

  

 

− =

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

cos 0 sin

0 1 0

sin 0

cos

cos sin

0

sin cos

0

0 0

1

γ γ

γ β

β

β β

β α

α

α α

α _y _z

x R R

R

Si los ángulos α, β, γ son muy pequeños (α, β, γ << 1), se tiene:

( ) ( ) ( )

  

 

  

 

α − β

α γ

−

β − γ =

γ β α =

1 1 1

Z Y X

G R R R

R

⇒ 1

G 2

) 1

( R X

;

X = + +µ

(9)

Determinación de los parámetros de una transformación de similitud 3D

→ Formulación matemática de la transformación de Helmert

(

)

1 2

d )

1

( I X

;

X = + + µ +

→ Puntos con coordenadas determinadas en ambos sistemas ⇒ X2 y X1 conocidos

          + α − β + µ + ∆ + α + γ − µ + ∆ + β − γ + µ + ∆ =                     α − β α γ − β − γ µ + +           ∆ ∆ ∆ =           1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Z Z Y Z Z Y Z X Y Y X Z Y X X Z Y X 1 1 1 ) 1 ( Z Y X Z Y X

→ Una estación idéntica ⇒ un sistema de tres ecuaciones con siete incógnitas (parámetros a determinar)

⇒ Mínimo tres puntos para resolver el sistema de ecuaciones → Las coordenadas de los puntos comunes no tienen diferencias

homogéneas entre los dos sistemas, sus desviaciones son tratadas como errores aleatorios de observación y son compensados

mediante el método de los mínimos cuadrados

→ Ecuaciones de compensación

(

I

)

X X AU L

;

V = +(1+ µ) + d 1 − 2 = −

→ Solución

7 n 3 V m ; ) ( ) ( 2 i o T 1 T − ± = = −

∑

L A A A U

→ Matrices

          − − − =           − − − = 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Z Z Y Y X X ; 0 X Y X Y Z 0 Z Y Z 0 X 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L

A ; U=

[

∆X,∆Y,∆Z,µ,α,β,γ

]

T

→ Transformación del sistema uno al sistema dos

(

)

1 2

d )

1

( I X

;

X = + +µ +

→ Transformación del sistema dos al sistema uno

) (

1

1 _T ₂

G

1 _R _X _;

X −

(10)

Transformación entre dos sistemas de referencia

con coordenadas planas (Gauss - Krüger)

Transformación de Similitud 2D:

⇒ 2 1

x R

;

x = + µ

Siendo:

→ µ : Factor de escala entre los dos sistemas (relación métrica) → x1 = [x1, y1]T : Coordenadas en el sistema 1 (conocido)

→ x2 = [x2, y2] T

: Coordenadas en el sistema 2 (nuevo)

→ 'x1 = [∆x, ∆y]T : Vector de traslación entre los dos sistemas → R: Rotación entre los ejes

   

 

α α

α − α =

cos sin

sin cos

R

(11)

Determinación de los parámetros de una transformación de similitud 2D

→ Formulación matemática de la transformación de similitud 2D 1

2

x R

;

x = + µ

→ Puntos con coordenadas determinadas en ambos sistemas ⇒ x2 y x1 conocidos

      α µ + α µ + ∆ α µ − α µ + ∆ =             α α α − α µ +       ∆ ∆ =       sin x cos y y sin y cos x x y x cos sin sin cos y x y x 1 1 1 1 1 1 2 2

haciendo: a = µ cos α ; b = µ sin α, se tiene:

x2 = ∆x + a x1 - b y1 y2 = ∆y + a y1 + b x1

→ Una estación idéntica ⇒ un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas (parámetros a determinar)

⇒ Mínimo dos puntos para resolver el sistema de ecuaciones → Aplicación del método de mínimos cuadrados

⇒ Ecuaciones de compensación vx = ∆x + a x1 - b y1 - x2

xy = ∆y + a y1 + b x2 - y2

⇒ Representación en matrices

L U A

v = −

      =       − = 2 2 1 1 1 1 y x ; x y y x 1 0 0 1 L

A ;

[

]

T

b , a , Y , X ∆ ∆ = U

⇒ Solución

(12)

Consideraciones especiales de la aplicación de parámetros de transformación en las redes de triangulación clásicas

→ Transformación de similitud 3D:

⇒ Cambio de las coordenadas causado por la posición y las

diferencias geométricas del elipsoide entre el sistema global (p. ej. SIRGAS) y el sistema local (p. ej. PSAD56)

Pero...

→ Desplazamiento de los vértices geodésicos clásicos por movimientos tectónicos

→ Disminución de la precisión de las posiciones clásicas a medida que aumenta la distancia al punto dátum (PSAD56: La Canoa)

→ Deficiente conocimiento del geoide cuando las redes clásicas fueron establecidas (cómo conocer la altura elipsoidal de los vértices?)

⇒ Cambio aleatorio de las coordenadas!!

⇒ Deformación de los parámetros de transformación!!

Alternativa:

→ Transformación de Similitud 3D:

⇒ Componente sistemática: igual para toda la región de estudio (país)

→ Transformación de Similitud 2D:

⇒ Componente aleatoria: diferentes comportamientos en la región de estudio, zonificación de los parámetros de transformación

⇒ Mayor coherencia en la representación cartográfica de los

(13)

Precaución:

→ La precisión de las coordenadas transformadas depende de la precisión de los parámetros de transformación y la precisión de los parámetros de transformación depende de la precisión de las

coordenadas de los puntos comunes a los dos sistemas. ⇒ Sistema Global (GPS): Alta precisión (cm ... mm) ⇒ Sistema local: (m ... dm ? )

→ Los parámetros de transformación son muy útiles para la representación de los levantamientos GPS en las cartografías nacionales, pues la precisión de éstos es superior a los

levantamientos geodésicos utilizados para la elaboración de dicha cartografía