UNIDAD 04 POLINOMIOS 4º-B

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

1-A) QUE SON LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

 EXPRESIÓN ALGEBRAICA  Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionados mediante signos que indican las operaciones entre ellos.

 Ejemplos:

5x +7 ; Vol = 4/3 · π· r3 _{; 2x + y = 8 ; etc…}

 VALOR NÚMERICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA  Toda expresión algebraica conlleva un RESULTADO, llamado valor numérico de la expresión algebraica. Es el resultado de sustituir los valores de las “variables” (letras que componen la expresión algebraica) y realizar las

operaciones descritas en la “expresión” (en la expresión algebraica que se trate).  Ejemplo:

3· a2 _{+ b – 1  Para a=2 y b=3  3· 2}2 _{+ 3 – 1 = 14}

1-B) QUE SON LOS MONOMIOS:

 MONOMIOS  Toda expresión algebraica donde ÚNICAMENTE ESTA FORMADA POR

OPERACIONES DE PRODUCTOS y/o POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL (Números Naturales «Unidad 01»  ℕ = 0 ; 4 ; ; ; 7 ; 2585; etc..).

 Ejemplos:

5x2 _{= 5 · x}2_{. ; 4x}3_y2 _{= 4 · x}3 _{· y}2_.

 PROPIEDADES DE LOS MONOMIOS:

 Valor Numérico de un Monomio: Es el resultado que se obtiene al sustituir la variable (letra  x, y, etc…) por un número determinado.

 Ejemplo: P(x) = x2 _{+ 2x – 5 x}3 _{+ 7 para x = 2.} P(2) = (2)2 _{+ (2 · 2) – (5 · 2}3_{) – 7 = 39.}

 Ejemplo: P(x,y) = x2_{y – 5xy + 3 para x = 2 e y = 1.} P(2,1) = (22 _{· 1) - (5 · 2 · 1) 3 = -3.}

 Grado de un Monomio: Es el MAYOR DE LOS GRADOS de los MONOMIOS o TERMINOS que lo forman. Si un Monomio las letras tiene varios grados el grado del monomio será la suma de los grados de estas.  Ejemplos:

18x2_{ El grado del Monomio es 2. ; 6x}2_y3_{ El grado del Monomio es 5. ; 25xy}2_{ El grado del Monomio es 3.}

 Monomios Semejantes: DOS MONOMIOS son semejantes si TIENEN LA MISMA PARTE LITERAL.  Ejemplos:

 OPERACIONES CON MONOMIOS:

 Suma de Monomios: SÓLO SE PUEDEN SUMAR MONOMIOS SEMEJANTES. La suma de los mo-nomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente (número) es la suma de los coeficientes (números).

 Ejemplos:

8x2 _{+ 17x}2 _{= 25x}2 _{; 6x}2_y3 _{+ 29 x}2_y3 _{= 35x}2_y3 _{; 25xy}2 _+10x2_{y  NO SE PUEDE SUMAR NO SON SEMEJANTES.}

Producto de un número por un monomio: El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

 Ejemplos:

8x2 _{· 3 = 24x}2 _{; 10 · 6x}2_y3 _{= 60x}2_y3 _{; 15 · 10x}2_{y = 150x}2_y

 Producto de monomios: El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.

 Ejemplos:

8x2 _{· 3x = 24x}3 _{ 8 x}2 _{· 3 x = (8 · 3) · (x}2 _{· x) = 24 · x}3 _{= 24x}3

5xy2 _{· 6x}2_y3 _{= 30x}3_y5 _{ 5 x y}2 _{· 6 x}2 _y3 _{= (5 · 6) · (x · x}2_{) · (y}2 _{· y}3_{) = 30 · x}3 _{· y}5 _{= 30x}3_y5

25y3_x2 _{· 10x}2_{y = 250y}4_x4 _{ 25 y3 x}2 _{· 10 x}2 _{y = (25 · 10) · (y}3 _{· y) · (x}2 _{· x}2_{) = 250 · y}4 _{· x}4 _{= 250y}4_x4

 Cociente de monomios: El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

 Ejemplos:

8x2 _{÷ 2x = 4x  8 x}2 _{÷ 2 x = (8/2) · (x}2_{/x) = 4 · x = 4x}

9x2_y5 _{÷ 3xy}3 _{= 3xy}2 _{ 9 x}2 _y5 _{· 3 x y}3 _{= (9/3) · (x}2_{/x) · (y}5_/y3_{) = 3 · x · y}2 _{= 3xy}2

 Que es un Monomio: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.  2x²y³z.

 Partes de un Monomio:

1 Coeficiente: El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

 Ejemplos:

El coeficiente del monomio 3x³y²z es 3 El coeficiente del monomio ¾xy²z es 3/4 El coeficiente del monomio x²z es 1 El coeficiente del monomio 5/3 es 5/3 El coeficiente del monomio x es 1

2 Parte literal: La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

 Ejemplos:

La parte literal del monomio 3x³y²z es x³y²z La parte literal del monomio y²z es y²z La parte literal del monomio 2abc es abc El monomio 5 no tiene parte literal

La parte literal del monomio x es x

3 Grado: El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

 Ejemplos:

El grado del monomio 2x²y³z es: 2 + 3 + 1 = 6 El grado del monomio x²z es: 2 + 1 = 3 El grado del monomio 2abc es: 1 + 1 + 1 = 3

El grado del monomio 5 es: 0 (se podría escribir como 5x0₎

El grado del monomio x es: 1

 Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.  Ejemplos:

1-C) QUE SON LOS POLINOMIOS:

 POLINOMIOS  Toda expresión algebraica donde ESTA FORMADA POR SUMAS y/o RESTAS DE DOS o MÁS MONOMIOS o TERMINOS. Se representa en función de la naturaleza del numero y de la variable que tenga (la letra o incógnita)  P(x) ; Q(x), F(x), etc..

 Ejemplo:

P(x) = 5x3 _{– 8 x – 1 El grado del Polinomio es 3.}

P(x,y) = 4x2_y2 _{– 5 xy}2 _{+ 3y – 2  El grado del Polinomio es 4 y el TÉRMINO INDEPENDIENTE es -2.}  Se denomina TÉRMINO INDEPENDIENTE al número que se encuentra en el polinomio sin variable (sin letra).

 PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS:

 Valor Numérico de un Polinomio: Es el resultado que se obtiene al sustituir la variable (letra  x, y, etc…) por un número determinado.

 Ejemplo: P(x) = x2 _{+ 2x – 5 x}3 _{+ 7 para x = 2.} P(2) = (2)2 _{+ (2 · 2) – (5 · 2}3_{) – 7 = 39.}

 Ejemplo: P(x,y) = x2_{y – 5xy + 3 para x = 2 e y = 1.} P(2,1) = (22 _{· 1) - (5 · 2 · 1) 3 = -3.}

 Grado de un Polinomio: Es el MAYOR DE LOS GRADOS de los MONOMIOS o TERMINOS que lo forman. Si un Polinomio las letras tiene varios grados el grado del Polinomio será LA SUMA DE LOS GRADOS de estas.

 Ejemplos:

P(x) = 5x3 _{– 8 x – 1 El grado del Polinomio es 3.}

P(x,y) = 4x2_y2 _{– 5 xy}2 _{+ 3y – 2  El grado del Polinomio es 4.}

 Polinomio Ordenado: Es cuando todos sus monomios o términos (que lo forman) están orde-nados de MAYOR A MENOR GRADO.

 Ejemplos:

Q(x) = 7x4 _{– x}3 _{– x + 2  POLINOMIO ORDENADO.} Q(x) = -2 – x + 7x4 _{– x}3 _{POLINOMIO NO ORDENADO.} Q(x,y) = 5x3_y2 _{- 6x}2_{y  POLINOMIO ORDENADO.} Q(x,y) = - 6x2_{y + 5x}3_y2 _{POLINOMIO NO ORDENADO.}

 Polinomio Completo: Un POLINOMIO ESTA COMPLETO CUANDO POSEE TODOS LOS TÉRMINOS CON GRADO, desde el mayor hasta el menor que es el de grado cero. En el CASO CONTRARIO se dice que el POLINOMIO ES INCOMPLETO.

 Ejemplos:

Q(x) = 7x4 _{– x}3 _{+ 3x}2 _{– x + 2  POLINOMIO COMPLETO (polinomio completo y ordenado).} Q(x) = 7x4 _{– x}3 _{– x + 2 POLINOMIO INCOMPLETO (polinomio incompleto pero ordenado).} Q(x,y) = 5x3_y2 _{- 6x}2_{y + 3x - 8  POLINOMIO COMPLETO (polinomio completo y ordenado).}

 Raíces de un Polinomio: Es un VALOR que HACE QUE SE ANULE EL POLINOMIO, o es aquel va-lor/es o número/s que al llevarlo a la variable/s del Polinomio y al realizar sus operaciones da como resultado cero al operar dicho polinomio con ese valor.

 Ejemplo:

P(x) = - x3 _{+ 2x}2 _{+ 5x -10}

P(2) = - (2)3 _{+ 2· (2)}2 _{+ 5 · (2) – 10 = - 8 + 8 + 10 - 10 = 0  LA RAÍZ DEL POLINOMIO ES 2.}

EL número de raíces de un polinomio viene determinado por el grado del polinomio. Un Polinomio de grado «n» tendrá como mucho “n” raíces o soluciones.

 Ejemplo:

P(x) = -x2 _{+ 5x - 6  Es de grado 2 puede tener 2 Raíces o dos soluciones  x= 2 ; x =3.} P(2) = - (2)2 _{+ 5· (2) - 6 = - 4 + 10 - 6 = 0  LA RAÍZ DEL POLINOMIO ES 2.}

P(3) = - (3)2 _{+ 5· (3) - 6 = - 9 + 15 - 6 = 0  LA RAÍZ DEL POLINOMIO ES 3.}

Se pueden calcular las raíces resolviendo su ecuación de segundo grado.  Ejemplo:

P(x) = -x2 _{+ 5x - 6  El POLINOMIO se transforma en ecuación  -x}2 _{- 5x - 6 = 0}

x = - 2_{-4 c}

2·



x =

-( ) ( ) – (- ) (- )

(- )



x =

- –

-



x =

-

-

→ x = -

-

→ x =

-

-

→ x =

--

→ x = +2 → x = - -

-

→ x =

-

--

→ x = -

-

→ x = +3

 OPERACIONES CON POLINOMIOS:

 Suma de polinomios: Para sumar dos polinomios SE SUMAN LOS COEFICIENTES DE LOS TÉRMINOS DEL MISMO GRADO.

 Ejemplos:

P(x) = 6x2 _{+ 11x}2 _{= (6+11) · x}2 _{= 17x}2

P(x,y) = 25x2_{y + 10x}2_{y + 3x}3_{y = (25+10)· x}2_{y + 3x}3_{y = 35x}2_{y + 3x}3_y P(x) = (8x2 _{+ 3x – 2) + (3x}2 _{+ 10) = (8+3)· x}2 _{+ 3x - 2 + 10 = 11x}2 _{+ 3x + 8}

 Diferencia de polinomios: La diferencia consiste en SUMAR EL OPUESTO DEL SUSTRAENDO. Es decir, SE OPERAN LOS COEFICIENTES DE LOS TÉRMINOS DEL MISMO GRADO CON SU SIGNO CORRESPONDIENTE (sumar o restar dependiendo del signo que tengan los coeficientes).

 Ejemplos:

P(x) = 6x2 _{- 11x}2 _{= (6-11) · x}2 _{= -5x}2

 Multiplicación de polinomios: Se pueden dar distintos casos, que a continuación se muestran.

Producto de un número por un polinomio: Es otro POLINOMIO que TIENE DE GRADO EL MISMO DEL POLINOMIO y como COEFICIENTES el PRODUCTO DE LOS COEFICIENTES POR EL NÚMERO. Es decir, SE MULTIPLICAN LOS NÚMEROS y se QUEDAN LOS GRADOS DEL POLINOMIO (las letras con su correspondiente exponente).

 Ejemplos:

P(x) = 3· (6x2 _{- 5x}3_{) = (3· 6) · x}2 _{+ (3· -5) · x}3 _{= 18x}2 _{– 15x}3

P(x,y) = (-2)· (25x2_{y - 3x}3_{y) = (-2 · 25)· x}2_{y + (-2· -3) · x}3_{y = -50x}2_{y + 6x}3_y P(x) = (-3)· (8x2 _{+ 3x – 2) = (-3 · 8) · x}2 _{+ (-3 · 3) · x + (-3 · -2) = -24x}2 _{- 9x +6}

 Producto de un monomio por un polinomio: SE MULTIPLICA EL MONOMIO POR TODOS

y cada uno de los MONOMIOS QUE FORMAN EL POLINOMIO. (Se debe recordar que la multiplicación con exponentes con la misma base  SE SUMAN LOS EXPONENTES).

 Ejemplos:

P(x) = (3x)· (6x2 _{- 5x}3_{) = (3· 6) · (x· x}2_{) + (3· -5) · (x · x}3_{) = 18x}3 _{– 15x}4

P(x,y) = (-2xy)· (25x2_{y - 3x}3_{y) = (-2 · 25)· (xy · x}2_{y) + (-2· -3) · (xy · x}3_{y) = -50x}3_y2 _{+ 6x}4_y2

P(x,y) = (-3xy)· (8x2 _{+ 3x – 2) = (-3 · 8) · (xy · x}2_{) + (-3 · 3) · (xy· x) + (-3 · -2) · (xy) = -24x}3_{y - 9x}2_{y + 6xy}

 Producto de polinomios: P(x) · Q(x)  Cuando se realice la multiplicación de 2 o más poli-nomios entre sí, se debe realizar los siguientes pasos para su correcta resolución:

1º) Multiplicar cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. 2º) Sumar los monomios del mismo grado.

 Ejemplos:

P(x) = (3x4 _{+ 5x)· (6x}2 _{- 5x}3_{) = (3· 6)· (x}4 _{· x}2_{) + (3· -5)· (x}4 _{· x}3_{) + (5· 6)· (x · x}2_{) + (5· -5)· (x · x}3_{) =}

= 18x6 _{– 15x}7 _{+30 x}3 _{-25 x}4

P(x,y) = (-2xy + 3x)· (25x2_{y - 3x}3_{y) = (-2 · 25)· (xy · x}2_{y) + (-2· -3) · (xy · x}3_{y) + (3 · 25)· (x · x}2_{y) + (3· -3) · (x · x}3_y)

 División de polinomios: P(x) ÷ Q(x)  Cuando se realice la multiplicación de 2 o más polino-mios entre sí, se debe realizar los siguientes pasos para su correcta resolución:

1º) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

2º) A la derecha situar el divisor dentro de una caja.

3º) Dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

4º) Multiplicar cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y se resta del poli-nomio dividendo:

4º-A) Dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. 4º-B) El resultado del paso anterior se multiplica por el divisor y se resta al dividendo.

4º-C) Repetir el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del di-visor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.

 Para comprobar si la operación es correcta, se debe utilizar la prueba de la división:

 Ejemplos:

P(x) = (x4 - 2x3 -11x2+ 30x -20) ÷ Q(x) = (x2 + 3x -2)

X4 _-2x3 _-11x2 _{+ 30x -20 X}2 _{+3x -2}

-x4 _-3x3 _+2x2 _X2 _{-5x +6}

-5x3 _+9x2 _+30x

5x3 _+15x2 _{-10 x}

6x2 _{+20x -20}

-6x2 _{-18x +12}

2x -8

PRUEBA DE LA DIVISIÓN D = d · c + r

P(x) = (x6_{+ 5x}4 _{+ 3x}2 _{- 2x) ÷ Q(x) = (x}2 _{- x + 3)}

x6 _{0 5x}4 _{0 +3x}2 _{-2x 0 x}2 _{-x +3}

-x6 _+x5 _-3x4 _x4 _+x3 _+3x2 _-6

x5 _+2x4 ₀

-x5 _+x4 _-3x3

3x4 _-3x3 _+3x2

-3x4 _+3x3 _-9x2

-6x2 _-2x

6x2 _{-6x +18}

-8x +18

P(x) = x5 _{+ 2x}3 _{-x - 8 ÷ Q(x) = x}2 _{-2 x + 1}

x5 _{0 +2x}3 _{0 -x -8 x}2 _{-2x +1}

-x5 _2x4 _-x3 _X3 _+2x2 _{+5x +8}

+2x4 _+x3 ₀

-2x4 _+4x3 _-2x2

5x3 _-2x2 _-x

-5x3 _10x2 _-5x

8x2 _{-6x -8}

-8x2 _{16x -8}

 Regla de Ruffini: Si el divisor es un binomio de la forma « (x – a) », entonces se debe utilizar un método más breve para hacer la división, llamado REGLA DE RUFFINI.

La metodología para realizar este tipo de división de polinomios es la siguiente (se enumeran los pasos a continuación y posteriormente se realiza un ejercicio explicando cada uno de los pasos, además se ha descrito de forma grafica en el ejercicio de ejemplo en la parte derecha los pasos y resultados que se van obteniendo, así como por colores se va indi-cando cada una de las partes de la división de este tipo de polinomios):

1º) Si el polinomio no es completo, se debe completar añadiendo los términos que faltan con ceros. 2º) Colocar los coeficientes del dividendo en una línea.

3º) Abajo a la izquierda se colocara el opuesto del término independiente del divisor. 4º) Trazar una raya y bajar el primer coeficiente.

5º) Multiplicar ese coeficiente por el divisor y colocarlo debajo del siguiente término. 6º) Sumar los dos coeficientes.

7º) Repetir los pasos 5º y 6º las veces que fuera necesarias. 8º) El último número obtenido es el resto.

9º) El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que se han obtenido.

 Ejemplo:

(x4 _{−3x² ) ÷ (x −3)}

(x4 _{−3x² ) ÷ (x −3)  Dividendo (x}4 _{−3x² ) ÷ (x −3)Divisor}

1º) Si el polinomio no es completo, se debe completar añadiendo los términos que faltan con ceros. 2º) Colocar los coeficientes del dividendo en una línea. (En Rojo).

3º) Abajo a la izquierda se colocara el opuesto del término independiente del divisor. (En Azul).

4º) Trazar una raya y bajar el primer coeficiente.

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

3 3

1 1

5º) Multiplicar ese coeficiente por el divisor y colocarlo debajo del siguiente término.

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

3 · 1

3 3 3 3

6º) Sumar los dos coeficientes.

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

3 3 3 3

1 3 1 3+0=3

7º) Repetir los pasos 5º y 6º las veces que fuera necesarias.

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

3 · 3

3 3 3 3 9

1 3 1 3

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

3 3 9 3 3 9

1 3 1 3 -3+9=6

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

6 · 3

3 3 9 18 3 3 9 18

1 3 6 1 3 6

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

3 3 9 18 3 3 9 18

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

18· 3

3 3 9 18 3 3 9 18 54

1 3 6 18 1 3 6 18

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

3 3 9 18 54 3 3 9 18 54

1 3 6 18 56 1 3 6 18 54+2=56

8º) El último número obtenido es el resto.

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

3 3 9 18 54 3 3 9 18 54

1 3 6 18 56 1 3 6 18 56

RESTO RESTO

9º) El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que se han obtenido.

1 0 -3 0 2 1 0 -3 0 2

3 3 9 18 54 3 3 9 18 54

1 3 6 18 56 1 3 6 18 56

Otros ejercicios de ejemplo son los siguientes: Dividir por Ruffini: (x3 _{+ 2x +70) ÷ (x+4)}

 RESULTADO: C(x) = x2 _{– 4x}3 _{+ 18 R(x)= -2}

Dividir por Ruffini: (x5 _{– 32) ÷ (x - 2)}

 RESULTADO: C(x) = x4 _{+ 2x}3 _{+ 4x}2 _{+ 8x + 16 R(x)= 0}

Dividir por Ruffini: (x4 _-3x2 _{+2 ) ÷ (x -3)}

 RESULTADO: C(x) = x3 _{+ 3 x}2 _{+ 6x +18 R(x)= 56}

 Existen otros tipos de operaciones con Polinomios, que por su singularidad se tratan como conceptos, u otro punto, separados de las operaciones de Polinomios, las cuales se van a pasar a ver a continuación, en los siguientes puntos del presente tema.

1-D) IDENTIDADES NOTABLES:

Existen operaciones de multiplicación entre binomios, Polinomios de 2 términos, que presentan una estructura fija y que se pueden simplificar las operaciones mediante una fórmula fija que siempre se da para este tipo de Polinomios que se les conoce como IDENTIDADES NOTABLES.

Binomio al cuadrado:

(a ± b)² = a² ± (2 · a · b) + b² Cuadrado de una suma  (a + b)² = (a)² + (2 · a · b) + (b)² Cuadrado de una diferencia  (a - b)² = (a)² - (2 · a · b) + (b)²

Suma por diferencia  (a + b) · ( − ) = ² − ²

Binomio al cubo:

(a ± b)³ = a³ ± 3 · a² · b + 3 · a · b² ± b³

Suma de Binomio al cubo  (a + b)³ = (a)³ + (3 · a² · b) + (3 · a · b²) + (b)³

 Binomios al cuadrado (Suma/Diferencia de Binomios al Cuadrado):  Ejemplo:

(2x+y)2 _{= (2x+y) · (2x+y) = 4x}2 _{+ 2xy + 2xy + y}2 _{→ Ordenando → 4x}2 _{+ 4xy + y}2

Utilizando la fórmula  (2x)2 _{+ (2 · 2x · y) + (y)}2 _{= 4x}2 _{+ 4xy + y}2 Utilizando la multiplicación clásica  (2x+y) · (2x+y)

2x + y

x 2x + y

+2xy +y2

+4x2 _+2xy

+4x2 _{+4xy +y}2

 Ejemplo:

(2x-y)2 _{= (2x - y) · (2x - y) = 4x}2 _{- 2xy - 2xy + y}2 _{→ Ordenando → 4x}2 _{- 4xy + y}2

Utilizando la fórmula  (2x)2 _{- (2 · 2x · y) + (y)}2 _{= 4x}2 _{- 4xy + y}2 Utilizando la multiplicación clásica  (2x - y) · (2x - y)

2x - y x 2x - y -2xy +y2

+4x2 _-2xy

 Ejemplo:

(x2_+5x)2 _{= (x}2_{+5x) · (x}2_{+5x) = x}4 _{+ 5x}3 _{+ 5x}3 _{+ 25x}2 _{→ Ordenando → x}4 _{+ 10x}3 _{+ 25x}2

Utilizando la fórmula  (x2₎2 _{+ (2 · x}2 _{· 5x) (5x)}2 _{= x}4 _{+ 10x}3 _{+ 25x}2 Utilizando la multiplicación clásica  (x2_{+5x) · (x}2_+5x)

x2 _+5x

x x2 _+5x

+5x3 _+25x2

+x4 _+5x3

+x4 _10x3 _+25x2

 Ejemplo:

(x2_-5x)2 _{= (x}2 _{- 5x) · (x}2 _{- 5x) = x}4 _{- 5x}3 _{- 5x}3 _{+ 25x}2 _{→ Ordenando → x}4 _{- 10x}3 _{+ 25x}2

Utilizando la fórmula  (x2₎2 _{- (2 · x}2 _{· 5x) + (5x)}2 _{= x}4 _{- 10x}3 _{+ 25x}2 Utilizando la multiplicación clásica  (x2 _{- 5x) · (x}2 _{- 5x)}

x2 _-5x

x x2 _-5x

-5x3 _+25x2

+x4 _-5x3

+x4 _-10x3 _+25x2

 Suma por diferencia de Binomios:  Ejemplo:

(2x+y) · (2x - y) = (2x+y) · (2x- y) = 4x2 _{+ 2xy - 2xy - y}2 _{→ Ordenando → 4x}2 _{- y}2

Utilizando la fórmula  (2x)2 _{- (y)}2 _{= 4x}2 _{- y}2

Utilizando la multiplicación clásica  (2x+y) · (2x-y) 2x + y

x 2x - y -2xy -y2

+4x2 _+2xy

 Ejemplo:

(7x2_{+5x) · (7x}2 _{- 5x) = (7x}2_{+5x) · (7x}2 _{- 5x) = = 49x}4 _{- 35x}3 _{+ 35x}3 _{- 25x}2 _{→ Ordenando → 49x}4 _{- 25x}2

Utilizando la fórmula  (7x2₎2 _{- (5x)}2 _{= 49x}4 _{- 25x}2 Utilizando la multiplicación clásica  (2x-y) · (2x-y)

7x2 _+5x

x 7x2 _-5x

-35x3 _+25x2

+49x4 _+35x3

+49x4 _{0 +25x}2

 Binomios al cubo (Suma/Diferencia de Binomios al Cubo):  Ejemplo:

(2x+y)3 _{= (2x+y) · (2x+y) = 4x}2 _{+ 2xy + 2xy + y}2 _{→ Ordenando → 4x}2 _{+ 4xy + y}2

Utilizando la fórmula  ( x)3 3 x ( ) 3 x ( ) ( )3 = 8x3 _{+ 12x}2_{y + 6xy}2 _{+ y}3 Utilizando la multiplicación clásica  (2x-y) · (2x-y) · (2x-y)

2x +y

x 2x + y

+2xy +y2 _{(2x-y) · (2x-y)}

+4x2 _+2xy

+4x2 _{+4xy +y}2

+4x2 _{+4xy +y}2

x +2x + y (2x-y)2 _{· (2x-y)}

4x2_{y +4xy}2 _+y3

+8x3 _8x2_{y +2xy}2

 Ejemplo:

(2x-y)3 _{= (2x - y) · (2x - y) = 4x}2 _{- 2xy - 2xy + y}2 _{→ Ordenando → 4x}2 _{*- 4xy + y}2

Utilizando la fórmula  ( x)3 3 x ( ) 3 x ( ) ( )3 = 8x3 _{- 12x}2_{y + 6xy}2 _{+ y}3  Ejemplo:

(x2_+5x)3 _{= (x}2_{+5x) · (x}2_{+5x) = x}4 _{+ 5x}3 _{+ 5x}3 _{+ 25x}2 _{→ Ordenando → x}4 _{+ 10x}3 _{+ 25x}2

Utilizando la fórmula  ( x)3 3 x ( ) 3 x ( ) ( )3 = x6 _{+ 15x}4_{x + 75x}2_x2 _{+ 125x}3 = x6 _{+ 15x}5 _{+ 75x}4 _{+ 125x}3  Ejemplo:

(x2_-5x)3 _{= (x}2 _{- 5x) · (x}2 _{- 5x) = x}4 _{- 5x}3 _{- 5x}3 _{+ 25x}2 _{→ Ordenando → x}4 _{- 10x}3 _{+ 25x}2

1-E) FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS:

 FACTORIZAR UN POLINOMIO  ES EXPRESAR dicho POLINOMIO COMO PRODUCTO DE OTROS POLINOMIOS PRIMOS, es decir reducir los polinomios al máximo.

 Ejemplos:

P(x) = x3 _-3x2 _{+ x – 3 Resultado  P(x) = (x-3) · (x}2₊₁₎ P(x) = x2 _{+4x -21  Factorizar este Polinomio:}

x = - 2_{-4 c}

2·



x =

-( ) ( ) – ( ) (- )

( )



x =

-



x = - -

→ x = -

→ x = -

→ x =

→ x = +3

→ x = - -

→ x = - -

→ x = -

→ x = -7 Resultado  P(x) = (x+3) · (x-7)

 ESTRATEGIAS o TÉCNICAS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO  Existen diferentes técnicas o métodos o estrategias para poder Factorizar un polinomio, a continuación se van a enumerar los métodos más utilizados.

 SACAR FACTOR COMUN: Se basa en EXTRAER UN MONOMIO QUE SE REPITE EN TODOS LOS TÉRMINOS DEL POLINOMIO.

 Ejemplos:

P(x) = 15x5 _{+ 20x}3 _{– 5x}2 _{– x → Factorizando el « 5x » que se repite en todo el polinomio, quedaría: P(x) = 5x · (3x}4 _{+ 4x}2 _{– x – 9)} P(x,y) = 15x4_y3 _{+ xy}2 _{→ Factorizando el “« x} 2 »” que se repite en todo el polinomio, quedaría: P(x,y) = xy2 · (15x2y + 1)

 APLICAR LA FÓRMULA PARA ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS SI ES UN POLINOMIO DE GRADO2: Se basa en transformar el poliomio en una ecuación completa de segundo grado y aplicar su fórmula para así obtener los monomios que la forman.

P(x) = x2 _{+4x -21  Factorizar este Polinomio:}

x = - 2_{-4 c}

2·



x =

-( ) ( ) – ( ) (- )

( )



x =

-



x = - -

→ x = -

→ x = -

→ x =

→ x = +3

→ x = - -

→ x = - -

→ x = -

→ x = -7 Resultado  P(x) = (x+3) · (x-7)

Consiste en aplicar la propiedad distributiva  a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Fórmula para solucionar Ecuaciones de 2º Grado Completas: x = - 2_{-4 c}

 APLICACIÓN DE IDENTIDADES NOTABLES: Se basa en CONVERTIR UN POLINOMIO EN SU CORRES-PONDIENTE IDENTIDAD NOTABLE CON EL FIN DE PODER DESCOMPONERLO EN SUS FACTORES que lo forman (explicadas las identidades notables en el punto anterior, por ello se recomienda sa-ber las fórmulas de estas identidades notables, ya que facilitan el trabajo de resolución y en es-te caso de factorización).

 Ejemplos:

P(x) = x2 _{+ 6x + 9 → Factorizando por Identidades Notables, quedaría: P(x) = (x + 3)}2

P(x) = 16x4 _{- 4x}2 _{→ Factorizando por Identidades Notables, quedaría: P(x) = (4x}2 _{+ 2x) · (4x}2 _{- 2x)}

 APLICACIÓN DE LA DIVISIÓN POR RUFINI Y EL TEOREMA DEL RESTO: Se basa en CONVERTIR UN PO-LINOMIO EN SU CORRESPONDIENTE MONOMIO POR OTRO MONOMIO ó POPO-LINOMIO. Para ello DEBE APLICARSE RUFINI (ya explicado en puntos anteriores) Y QUE EL RESTO DE LA DIVISIÓN SEA IGUAL A CERO « 0 », de esta forma se puede POSTERIORMENTE APLICAR EL TEOREMA DEL RESTO.

 Ejemplos:

P(x) = x3 _{- 3x - 2 → Factorizando por RUFINI y TEOREMA DEL RESTO, quedaría : P(x) = (x + 1)}2 _(x-2)

→ A continuación se muestra paso a paso esta estrategia de factorización para llegar al resultado:

Binomio al cuadrado: (a ± b)² = a² ± (2 · a · b) + b²

Cuadrado de una suma  (a + b)² = (a)² + (2 · a · b) + (b)² Cuadrado de una diferencia  (a - b)² = (a)² - (2 · a · b) + (b)²

Suma por diferencia  (a + b) · ( − ) = ² − ² Binomio al cubo:

(a ± b)³ = a³ ± 3 · a² · b + 3 · a · b² ± b³

Suma de Binomio al cubo (a + b)³ = (a)³ + (3 · a² · b) + (3 · a · b²) + (b)³ Resta de Binomio al cubo  (a - b)³ = (a)³ - (3 · a² · b) + (3 · a · b²) – (b)³ FORMULAS PARA RESOLVER IDENTIDADES NOTABLES

1º) APLICAR RUFFINI AL POLINOMIO P(x) = x3 _{- 3x – 2}

 APLICAR RUFFINI SIENDO EL DIVISOR « 1 » para que me de de resto CERO,, es decir  (x3 _{- 3x – 2) ÷ (x+1)}

1 0 -3 2

-1 -1 1 2

1 -1 -2 0 Siendo el resultado: (x2 _{- x – 2) · (x+1)}

2º) SE VUELVE A APLICAR RUFFINI AL POLINOMIO RESULTANTE HASTA QUE QUEDE A EXPONENTE 1 o EL RESTO NO SEA EXACTO (es decir cero).

 APLICO RUFFINI SIENDO EL DIVISOR « -2 » para que me de de resto CERO, es decir  (x2 _{- x – 2) ÷ (x-2)}

1 -1 -2

+2 +2 +2

1 +1 0 Siendo el resultado: (x + 1) · (x-2)

3º) FACTORIZAR UNIENDO LOS MONOMIOS OBTENIDOS COMO RESULTADOS POR LAS SUCESIVAS DIVISIONES REALIZADAS POR RUFFINI y se obtiene la raíz como factor del Polinomio dado: