Microeconomia 2 - Slides 7.pdf

Microeconomía II

Federico Weinschelbaum

UdeSA

Juegos repetidos

¿Bajo qué condiciones conseguimos que los jugadores juegen algo distinto al Equilibrio de Nash?

¿Cuando se consigue que en alguna etapa los jugadores juegen algo distinto al Equilibrio de Nash?

Precisamos que los juegos se interconecten. Juegos repetidos.

Dilema del prisionero jugado 2 veces

Forma normal de cada etapa (C por "cooperar"):

C -C

C 2,2 0,3

Dilema del prisionero jugado 2 veces

Dilema del prisionero jugado 2 veces

Cada jugador tiene 5 nodos donde toma decisiones. Entonces #(si) =25 =32

(C,C,C,C,C) (C,C,C,C, C) (C,C,C, C,C)

...

( C, C, C, C, C)

Si jugaran 3 veces en vez de dos tendríamos

#(si) =2 24 216 =221 =2097152

Si juegan n veces la cantidad de estrategias es

#(si) =2(4

Dilema del prisionero jugado 2 veces

Equilibrio en subjuegos perfecto:

Sabemos que los 4 subjuegos de la segunda etapa se debe jugar "no cooperar" pues es el único equilibrio de Nash (de hecho es EEED). Como en la segunda etapa no se va a cooperar (independientemente de lo que se haya hecho en la primera, no hay incentivos para hacer algo distinto al equilibrio de Nash en la primer etapa.

Entonces el único equilibrio en subjuegos perfecto del juego es

(( C, C, C, C, C),( C, C, C, C, C))

Es el único Nash?

Hay algun Nash donde no se juega (-C-C) en las dos etapas?

¿Qué pasa si se juega 3 veces? Lo mismo

El único ESP es que los jugadores no cooperen nunca.

Si se juega N veces?

Que pasa si es otro juego con estrategias dominantes?

Teorema: juegos repetidos …nitas veces

Theorem

Juegos con múltiples equilibrios repetidos …nitas veces

Tomemos ahora el siguiente juego:

L C R

U 1,1 5,0 0,0 M 0,5 4,4 0,0 B 0,0 0,0 3,3

Los jugadores juegan el juego dos veces.

#(si) =310

Juegos con múltiples equilibrios repetidos …nitas veces

En la segunda etapa no porque son subjuegos (tienen que jugar un Nash).

Pensemos la siguiente estrategia S1 :

Empezar jugandoM.

Si en la primer etapa el resultado fue(M,C)jugarB.

Si no, jugarU.

S2 :

Empezar jugandoC.

Si en la primer etapa el resultado fue(M,C)jugarR.

Juegos con múltiples equilibrios repetidos …nitas veces

Suma de pagos dadas las estrategias para la segunda etapa:

L C R

U 2,2 6,1 1,1 M 1,6 7,7 1,1 B 1,1 1,1 4,4

Dilema del prisionero in…nitas veces

C -C

C 4,4 0,5

-C 5,0 1,1

Dilema del prisionero in…nitas veces

Problema de comparación de pagos.

Haremos que los jugadores descuenten el futuro a tasa 0<δ<1.

Si los jugadores juega siempre (C;C):

Sn = 4+ ( 4)δ+ ( 4)δ2+...= ( 4)/(1 δ)

Si juegan siempre ( C, C)

Sn = 1+ ( 1)δ+ ( 1)δ2+...= ( 1)/(1 δ)

Teoria de los Juegos

Estrategias Trigger o disparadoras

Empezar con –C

Si en todos los períodos anteriores el resultado fue (-C;-C), jugar –C Si hubo algún caso tal que fue distinto de (-C;-C), entonces jugar C

Si sigo la estrategia el pago es ( 1)/(1 δ)

Si me desvío en algún período (si conviene el desvío, el mismo es mejor lo antes posible) digamos: en el primer período, el pago es

0 4δ+ ( 4)δ2+ ( 4)δ3+...= δ( 4)/(1 δ)

Para que no ocurra el desvió

( 1)/(1 δ) δ( 4)/(1 δ)

O similarmente

Teoria de los Juegos

Que pasa si la estrategia es

comenzar con –C

si en todos los períodos anteriores el otro jugador jugó –C, jugar -C sino, jugar C

Teoria de los Juegos

Fuera de sendero de equilibrio,

-c -c -c -c -c -c c -c,

que indica las estrategias

-c c c c c c

Teoria de los Juegos

Estrategia:

empezar con –C

si todos los períodos el jugador #1 juega –C, jugar -C si el jugador #1 jugó c en algún período, jugar C

Teoria de los Juegos

Pagos Socialmente Posibles

(-5;0)

(-1;-1)

U1

(-4-4)

Teoria de los Juegos

Theorem

Teoria de los Juegos

Proof.

(e1; ...;eN)Son los pagos de un Equilibrio de Nash

(X1; ...;XN)Son pagos socialmente posibles en G Xi >ei

sean

(ae1; ...;aeN)las acciones que llevan a los pagos(e1; ...;eN)

(aX1; ...;aXN)las acciones que llevan a los pagos(X1; ...;XN)

Usamos estrategias trigger

Empezar cona_Xi

Si etapas anteriores siempre jugamos(a_X1; ...;a_XN), jugara_Xi

Sino, jugaraei

Teoria de los Juegos

Proof.

Si no me desvio

Xi+Xiδ+Xiδ2...=Xi/(1 δ)

para calcular promedio multiplico por 1 δ

Si me desvío: cualquier desvio hace modi…car igual la conducta del otro, me voy a la mejor respuesta del juego estatico

MaxaiU(aX1,aX1...aXi 1,ai,aXi 1, ....aXN)

Sea di =U(aX1,aX1...aXi 1,ai,aXi 1, ....aXN)

di Xi,utilidad es

di+δei+δ2ei...=di+δei/(1 δ)

No desviarme es optimo siδ d_di Xi

i ei