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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales.
Habilidades a desarrollar:
Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de:
1)
Resolver sistemas de ecuaciones lineales (SEL) conformado por dos
ecuaciones y dos variables.
2)
Aplicar los SEL en la resolución de problemas de contexto real.
Habilidades a desarrollar
:
Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de:
1)
Resolver sistemas de ecuaciones lineales (SEL) conformado por dos
ecuaciones y dos variables.
Sistemas de ecuaciones lineales.
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Problema motivador:
Sistemas de ecuaciones lineales.
Definición. Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) conformado por dos ecuaciones y
dos variables es aquel que tiene la forma
donde e son las variables, y además y son llamados constantes.
Un ejemplo de SEL conformado por dos ecuaciones y dos variables es
Sistemas de ecuaciones lineales.
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales (SEL) conformado por dos
ecuaciones y dos variables es un par de valores que verifican las dos ecuaciones a la
vez. Resolver el sistema es encontrar una solución.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales
Tiene solución
Sistemas de ecuaciones lineales.
En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación representa
una recta en el plano. Discutir un sistema es estudiar la situación de estas rectas en el
plano, que pueden ser:
• Secantes, el sistema tiene solución única, se llama Compatible Determinado.
• Coincidente, el sistema tiene infinitas soluciones, es Compatible Indeterminado.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplo 1. El SEL
es compatible determinado
Ejemplo 2. El SEL
es incompatible
Note que las rectas son secantes, es
decir, se intersectan en un solo punto.
Por tanto,
Note que las rectas son paralelas, es
decir, las rectas no se intersectan.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplo 3. El SEL
es compatible indeterminado
Note que las rectas son coincidentes, es decir, se intersectan en infinitos puntos. Por tanto:
Se concluye que:
Si el SEL es compatible
determinado, entonces el SEL tendrá solución única. Si el SEL es compatible
indeterminado, entonces el SEL tendrá infinitas
soluciones.
Si el SEL es incompatible,
entonces el SEL no tendrá
Sistemas de ecuaciones lineales.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales conformado por dos ecuaciones con dos variables.
Método de sustitución.
Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, se llega así a una ecuación de primer grado con una sola incógnita; hallada ésta se calcula la otra.
Ejemplo 4. Resuelva el SEL
Paso 1: despejamos en la 2da ecuación Resolución
Paso 2: reemplazamos el despejado en la otra ecuación y resolvemos
{
2(𝑦 −2)+3 𝑦=1𝑥=𝑦−2 →
{
𝑦=1
𝑥=𝑦 −2
Paso 3: reemplazamos el valor hallado para calcular la otra
Paso 4: concluimos
Sistemas de ecuaciones lineales.
Método de igualación.
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. De nuevo obtenemos una ecuación de primer grado con una sola incógnita.
Ejemplo 5. Resuelva el SEL
Paso 1: despejamos en ambas ecuaciones
Resolución
Paso 2: igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos
1
−
3
𝑦
2
=
𝑦
−
2
¿
1
−
3
𝑦
=2
𝑦
−
4
¿
→
¿
5=5
𝑦
¿
→
¿
𝑦
=1
¿
Paso 3: reemplazamos el valor hallado de en cualquiera de las ecuaciones obtenidas en el Paso 1.
Si
Paso 4: concluimos
Sistemas de ecuaciones lineales.
Método de reducción o eliminación.
Consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para ello se multiplica una de las ecuaciones o ambas por un número de modo que los coeficientes de o de sean iguales y de signo contrario.
Ejemplo 5. Resuelva el SEL
Paso 1: Vamos a eliminar la variable , para ello, a la segunda ecuación la
multiplicamos por 3
Resolución
{
2𝑥+3 𝑦=1𝑥− 𝑦=−2 →
{
2𝑥+3 𝑦=1
3 𝑥−3 𝑦=−6
Paso 2: sumamos las ecuaciones resultantes y resolvemos
Paso 3: reemplazamos el valor hallado de en cualquiera de las ecuaciones del SEL original.
Si
Paso 4: concluimos Por tanto
{
2𝑥+3 𝑦=1Sistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplo 6. Jorge tiene en su cartera billetes de 10€ y 20€, en total tiene 16 billetes y 230€ ¿Cuántos billetes tiene de cada tipo?
Resolución
Paso 1. Vamos a definir las variables:
Sean y la cantidad de billetes de 10€ y 20€ respectivamente
Paso 2. Construiremos el SEL:
Del enunciado “en total tiene 16
billetes”, se tendrá que
Del enunciado “tienes 230 €”, se tendrá
que
Con ello, el SEL a resolver es
Paso 3: usando uno de los métodos de resolución de SEL
Usaremos el método de eliminación de variables
Sumando las ecuaciones planteadas
Reemplazando el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones del SEL
Conclusiones
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