PROBLEMAS – ESTADÍSTICA Rufino Moya

(1)

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS – ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA (Rufino Moya C.)

(2)

ESTADÍSTICA GENERAL Página 2

PROBLEMAS 4 – 1

PROBLEMAS 4 – 2

PROBLEMAS 4 – 4

1. Una compañía importadora tiene 9 empleados cuyos ingresos (xi) mensuales en dólares son: 100, 100, 100, 100, 200, 200, 400, 800 y 1600. Se pide

a. Dibujar la curva de Lorenz o curva de concentración. b. Calcular índice de Gini.

Solución:

Ingresos

(x

i

)

$

Nº de trab.

ni

Fi *100%

xini

[

∑

**]*100%**

p

i=∑

*100%

q

i=∑

∑

*100%

100

4 44,5

400 11,1

44,5

11,1

200

2 22,2

400 11,1

66,7

22,2

400

1 11,1

400 11,1

77,8

33,3

800

1 11,1

800

22 88,9

55,5

1600

1 11,1

1600

45

100

9

100 3600

100 La curva de Lorenz.

El índice de Gini.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 % ac u m u lad o d e in gr e sos (q i)

% acumulado de trabajadores (pi)

Fig. 4.1 Curva de Lorenz: ingresos mensuales

(3)

∑

=

0,5609

2. Una empresa aduanera emplea 8 trabajadores cuyos ingresos (xi) en dólares son: 100, 100, 100, 100, 400, 800, 1600 y 3200 mensuales. Determinar a. La curva de Lorenz. b. El índice de Gini.

Solución:

Ingresos

(x

i

) $

Nº de trab.

ni

Fi *100%

xini

[

∑

]*100%

pi=∑

*100%

qi=∑

∑

*100%

100

4

50

400 6,25

50 6,25

400

1 12,5

400 6,25

62,5

12,5

800

1 12,5

800 12,5

75

25 1600

1 12,5

1600

25 87,5

50 3200

1 12,5

3200

50

100

100 n=8

100 6400

100 La curva de Lorenz.

pi - qi

pi

44,5 – 11,1 = 33,4

_44,5

66,7 – 22,2 = 44,5

_66,7

77,8 – 33,2 = 44,6

_77,8

88,9 – 55,5 = 33,4

_88,9

∑

∑ 277,9

(4)

El índice de Gini.

∑

_∑

=

0,659

3. Para el cuadro estadístico que se da a continuación se pide: a. Dibujar en una misma figura la curva de Lorenz para el total

ENNIV, área urbana y área rural.

b. Calcular el índice de Gini en cada caso.

PERÚ: DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO POR ÁREA URBANA Y RURAL SEGÚN DECILES DE

HOGARES (PERIODO JUL.85 – JUL.86)

HOGARES

INGRESO TOTAL DEL HOGAR (% )

Fig. 4.2 Curva de Lorenz: ingresos

pi - qi

pi

50 – 6,25 = 43,75

50,0

62,5 – 12,5 = 50

62,5

75 – 25 = 50

75,0

87,5 – 50 = 37,5

87,5

∑

∑ 275

(5)

TOTAL

ENNIV

ÁREA URBANA

ÁREA RURAL

%

% Acum.

%

% Acum.

%

% Acum.

%

% Acum.

10

0.45

0.62

1.32

10

20

2.63

3.09

3.21

3.82

3.05

4.35

10

30

3.68

6.77

4.22

8.04

4.05

8.40

10

40

4.90

11.67

5.22

13.26

5.58

13.98

10

50

5.96

17.62

6.40

19.66

6.34

20.32

10

60

7.31

24.93

7.90

27.56

7.72

28.04

10

70

9.15

34.08

9.76

37.32

10.02

38.06

10

80

11.88

45.96

12.45

49.78

12.05

50.11

10

90

16.78

62.73

16.14

65.92

13.81

63.92

10

100

37.27

100.00

34.08

100.00

36.08

100.00

5

95

12.99

75.72

14.09

80.01

12.51

76.43

5

100

24.28

100.00

19.99

100.00

23.57

100.00

FUENTE: INTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA - Encuesta Nacional sobre Medición de Niveles de Vida (ENNIV).

Solución:

a. Curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural.

b. El índice de Gini

 Para total ENNIV

% acumulado de hogaress (pi)

Fig. 4.3 Curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área

rural.

TOTAL ENNIV

ÁREA URBANA

(6)

pi

qi

pi -qi

10 0,45

9,55

20 3,09

16,91

30 6,77

23,23

40 11,67

28,33

50 17,62

32,38

60 24,93

35,07

70 34,08

35,92

80 45,96

34,04

90 62,73

27,27

95 75,72

19,28



=545



=261,98

 Pata área urbana

pi

qi

pi -qi

10 0,62

9,38

20 3,82

16,18

30 8,04

21,96

40 13,26

26,74

50 19,66

30,34

60 27,56

32,44

70 37,32

32,68

80 49,78

30,22

90 65,92

24,08

95 80,01

14,99



=545



=239,01

 Para área rural

pi

qi

pi -qi

10 0,45

9,55

20 3,09

16,91

30 6,77

23,23

40 11,67

28,33

50 17,62

32,38

60 24,93

35,07

70 34,08

35,92

80 45,96

34,04

90 62,73

27,27

95 75,72

19,28



=545



=240.07

4. Para los datos del ejemplo 4.28, determinar el índice de Gini y su curva de Lorenz.

∑

_∑

=

0,4807

∑

_∑

=

0,4405

(7)

Solución:

Salarios

(x

i

) $

Nº de trab.

n

i

F

i

*100%

x

i

n

i

[

∑

]*100%

p

i

=∑

*100%

q

i

=∑

∑

*100%

100

3

12

300 4,1

12 4,1

200

7

28 1400

19,2

40 23,3

300

8

32 2400

32,9

72 56,2

400

4

16 1600

21,9

88 78,1

500

2

8 1000

13,7

96 91,8

600

1

4

600 8,2

100

100 n=25

100 7300

100 El índice de Gini

Curva de Lorenz

5. Los salarios mensuales (en soles) de los obreros de una compañía se distribuye como sigue:

Salario mensual 140 - 160 160 - 180 180 - 200 200 - 220

220 - 240

240 - 260

Nº de

7

20

33

25

11

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 % ac u m u lad o d e sal ar io s (q i)

Fig. 4.4 Curva de Lorenz: salarios

p

i

q

i

pi - qi

12 4,1

7,9

40 23,3

16,7

72 56,2

15,8

88 78,1

9,9

96 91,8

4,2



=308



=54,5

∑

_∑

=

0,177

(8)

trabajadores

Hallar el índice de Gini

Solución:

Salarios

(x

i

) S/.

Nº de obr.

n

i

F

i

*100%

x

i

n

i

[

∑

]*100%

p

i

=∑ *100%

q

i

=∑

∑

*100%

150

7

7 1050

5,38

7 5,38

170

20

20 3400

17,44

27 22,82

190

33

33 6270

32,15

60 54,97

210

25

25 5250

26,93

85 81,90

230

11

11 2530

12,97

96 94,87

250

4

4 1000

5,13

100

100 n=100

100 19500

100 El índice de Gini

PROBLEMAS 5 – 1

1. Se han obtenido los siguientes puntajes en matemáticas y

lenguaje de 80 alumnos en un colegio.

Alumno

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

P. matemática

43 50 83

90 53 59

71

59 31 50

72

65

75

79 p

i

q

i

pi - qi

7 5,38

1,62

27 22,82

4,18

60 54,97

5,03

85 81,90

3,1

96 94,87

1,13



=275



=15,06

∑

_∑

=

0,0548

(9)

P. lenguaje

36 42 63

86 44 61

72

63 35 51

54

52

67

62 Alumno

15 16 17

18 19 20

21

22 23 24

25

26

27

28

P. matemática

58 83 72

67 35 61

52

76 93 49

72

60

82

57 P. lenguaje

56 72 76

42 33 53

55

65 96 55

55

56

66

45 Alumno

29 30 31

32 33 34

35

36 37 38

39

40

41

42

P. matemática

62 41 39

32 55 61

58

72 66 81

73

50

45

72 P. lenguaje

58 35 50

32 56 54

56

71 69 84

60

52

43

69 Alumno

43 44 45

46 47 48

49

50 51 52

53

54

55

56

P. matemática

62 59 41

93 65 71

78

64 45 56

55

52

66

82 P. lenguaje

71 78 34

91 63 64

67

72 42 45

43

60

65

86 Alumno

57 58 59

60 61 62

63

64 65 66

67

68

69

70

P. matemática

46 52 62

68 42 51

66

72 36 56

52

66

68

61 P. lenguaje

42 54 66

75 44 56

59

69 40 45

39

65

71

67 Alumno

71 72 73

74 75 76

77

78 79 80

P. matemática

65 67 51

36 63 35

39

71 81 36

P. lenguaje

64 70 55

41 61 34

35

73 76 42

a) Construya la tabla bidimensional de frecuencias absolutas y relativas, eligiendo clases de amplitud constante c=10.

Tabla 5.1 tabla bidimensional de frecuencias absolutas

Leng.

Mat.

[32-42>

[42-52>

[52-62>

[62-72>

[72-82>

[82-92> [92-102> Total = ni.

(10)

[41-51>

3

6

2

0

11 [51-61>

1

6

10

1

0

18 [61-71>

0

1

6

10

2

0

19 [71-81>

0

3

8

3

0

14 [81-91>

0

2

3

0

7 [91-101>

0

1

2 Total= n.j

11

15

21

7

4

1

80 Tabla 5.2 tabla bidimensional de frecuencias relativas

Leng.

Mat.

[32-42>

[42-52>

[52-62>

[62-72>

[72-82>

[82-92> [92-102> Total = ni.

[31-41>

0,0875

0,025

0

0 0,1125

[41-51>

0,0375

0,075

0,025

0

0 0,1375

[51-61>

0,0125

0,075

0,125

0,0125

0

0 0,225

[61-71>

0 0,0125

0,075

0,125

0,025

0

0 0,2375

[71-81>

0

0 0,0375

0,1

0,0375

0

0 0,175

[81-91>

0

0 0,025

0,025

0,0375

0 0,0875

[91-101>

0

0 0,0125

0,0125

0,025

Total= n.j

0,1375

0,1875

0,2625

0,0875

0,05

0,0125

1

b) Confeccione una lista de las: i. Marcas de clases (Xi) y (Yi)

(11)

ii. Frecuencias absolutas acumuladas.(Nij)

Leng.

Mat.

[32-42>

[42-52>

[52-62>

[62-72>

[72-82>

[82-92>

[92-102>

[31-41>

₇

₉

[41-51>

₁₀

₁₈

₂₀

[51-61>

₁₁

₂₅

₃₇

₃₈

[61-71>

₁₁

₂₆

₄₄

₅₅

₅₇

[71-81>

₁₁

₂₆

₄₇

₆₆

₇₁

[81-91>

₁₁

₂₆

₄₇

₆₈

₇₅

₇₈

[91-101>

₁₁

₂₆

₄₇

₆₈

₇₅

₇₉

₈₀

Calcule:

c) Las frecuencias absolutas marginales.

Frecuencias absolutas marginales de X Frecuencias absolutas marginales de Y

Xi

ni.

Ni.

6

9

46

11

20

56

18

38

66

19

57

76

14

71

86

7

78

96

2

80

(12)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

80 d) Las frecuencias

condicionales.

Leng.

Mat.

n

x/y=[32-42>

=nij

F

x/y=[32-42>

=

[31-41>

7 7/11

[41-51>

3 3/11

[51-61>

1 1/11

[61-71>

0 0/11

[71-81>

0 0/11

[81-91>

0 0/11

[91-101>

0 0/11

Total

11

1 e)

̅ ̅

̅

∑

̅

∑

̅

36

11

46

15

26

56

21

47

66

21

68

76

7

75

86

4

79

96

1

80

(13)

∑

̅

f) Cov(x, y); V(x + y); V(x - y).

∑ ∑

̅ ̅

2. En un estudio para conocer la relación entre el sexo y

delincuencia, se toma una muestra de 522 personas, los resultados se presenta en la tabla siguiente:

Hombre

Mujer

Total

Delincuente

122

112

234 No delincuente

210

78

288 Total

332

190

522 a. Represente gráficamente la distribución de frecuencias

absolutas y relativas.

(14)

b. Represente la gráfica del sexo respecto de la delincuencia.

3. La tabla de frecuencias que se presenta a continuación es el

resultado de una muestra aleatoria de parejas de padre e hijo.

0 50 100 150 200 250 300 350 Delincuente No delincuente

tab.5.4 Sexo respecto a la delincuencia

Hombre Mujer Mujer Hombre 0 50 100 150 200 250 Delincuente No delincuente Delincuente No delincuente Mujer 112 78 Hombre 122 210

tab. 5.2 Distribución de frecuencias

absolutas

Mujer Hombre 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 Delincuente No delincuente Delincuente No delincuente Mujer 0.21 0.15 Hombre 0.23 0.40