Estadística 1

Estadística 1

Raz. verbal

Blademir González Parián

Estadística I

Es el método para organizar y resumir datos. Los datos se clasifican y ordenan para facilitar su interpretación. Cuando se dispone de numerosos datos conviene agruparlos en clases o intervalos e indicar cuantos elementos hay en cada intervalo;

éste número se llama frecuencia.

1. FRECUENCIA

Es el número de veces que ocurrió un valor.

Agrupación de datos por su frecuencia:

i. Se ordenan los datos en orden creciente.

2. ALCANCE O RECORRIDO (A)

Es el intervalo definido por el menor y mayor de los datos.

3. RANGO (R)

Viene a ser la diferencia entre los extremos del alcance.

4. INTERVALOS DE CLASE (k)

Son grupos que resultan de particionar el alcance o recorrido; es decir, consiste en dividir el rango en un número conveniente de intervalos de clase.

El número de intervalos (k) se determina por la regla propuesta por STURGES.

 

k   1 3,32Log n

donde n = número total de datos

Observación

Tambien se puede usar la regla de JOULE para determinar k.

k  n

El valor de «k» se redondea al entero superior o inferior según convenga.

5. ANCHO DE CLASE (C)

Viene a ser la diferencia que existe entre los extremos de cada intervalo.

Se puede calcular por la siguiente relación:

C R

 k Ejemplo:

Sea el intervalo

i

i s

i

L Limite inf erior

L L

L Limite sup erior

 

   

  

Entonces

s i

C  L  L 6. MARCA DE CLASE ( y i ₎

Son los puntos medios de los intervalos de clase.

Ejemplo:

Sea el intervalo    L _i L _s

i s

i

L L

y 2

 

7. FRECUENCIA ABSOLUTA ( f _i )

Es el número de datos que cae dentro de cada intervalo.

0  f i  n

donde n = número total de datos

Distribución de frecuencias

8. FRECUENCIA RELATIVA ( h _i )

Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos.

i i

h f

 n _;

0  h i  1 donde n = número total de datos 9. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( F _i )

Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuen- cias absolutas.

Ejemplos:

Suponiendo «k» intervalos:

1 1

2 1 2

3 1 2 3

k 1 2 3 k

F f

F f f

F f f f

F f f f f n



 

  

     

 



n = número total de datos

i 1

i j

j 1

F f





 

10. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ( H _i )

Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuen- cias relativas.

Ejemplos:

Suponiendo «k» intervalos:

1 1

2 1 2

3 1 2 3

k 1 2 3 k

H h

H h h

H h h h

H h h h h 1



 

  

     

 



n = número total de datos

i

i j

j 1

H h



 

Problema Aplicativo 1

Distribución de frecuencias o tabla de frecuencias de una variable discreta.

1. Considermos los siguientes datos correspondientes al número de hijos de 20 familias

8 7 2 1 4 2 7 2 4 1 2 7 4 6 4 1 2 4 0 4 (n < 25)

Nº de hijos

( x

) Conteo Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Frec. relativas porcentuales Simple ( f

) Acum. (F

) Simple ( h

) Acum. ( H

) Simple ( h% ) Acum. ( H% ) 0 1

2 4 6 7 8

III I IIIII IIIII I

III I I

1 3 5 6 1 3 1

1 4 15 9 16 19 20

0,05 0,15 0,25 0,30 0,05 0,15 0,05

0,05 0,20 0,45 0,75 0,80 0,95 1,00

15% 5%

25% 30%

15% 5%

5%

20% 5%

45% 75%

80% 95%

100%

TOTAL n = 20 1,00 100%

Raz. verbal

Blademir González Parián Problema Aplicativo 2

Distribución de frecuencias o tabla de frecuencias de una variable de datos agrupados en intervalos de clase.

1. Considermos los siguientes datos correspondientes a los pesos de 40 niños de los Planteles de Aplicación «Guamán Poma de Ayala»

31 38 57 29 60 68 51 59 20 50 36 65 76 42

53 52 34 88 89 54 40 43 46 63 45 51 50 62

49 48 67 71 45 39 44 58 44 72 56 53

Regla para construir la distribución de frecuencias o tabla de frecuencias de una variable agrupada en intervalos.

1º Determinación del rango (R) X max  89

X min  20 Entonces:

max min

R  X  X 89 2 R   0  69

2º Determinación del número de intrervalos de clase (k) Usamos la fórmula de STURGES:

 

k   1 3,2 log n

 

k   1 3,2 log 40 k  6 ,12  7

Si el valor de «k» resulta decimal, se redondea al número inmediato superior

3º Determinación del tamaño de los intrervalos de clase (C)

R 69

C C 10

k 7

   

4º Límites de clase

Se toma el menor valor de los datos como el límite inferior del primer intervalo de clase; se agrega C para obtener el límite superior de dicha clase. Entonces los intervalos de clase son:

20;30 30;40 40;50 50;60 60;70 70;80 80;90















5º Determinación de la marca de clase   y i

Se desarrolla para cada intervalo de clase.

6º Determinación de la frecuencia de clase   x i

Se determina el número de datos que caen en cada intervalo de clase.

Construyendo la tabla de frecuencias

( x

) ( y

) Conteo Frecuencias absolutas Frecuencias relativas Frec. relativas porcentuales Simple ( f

) Acum. (F

) Simple ( h

) Acum. ( H

) Simple ( h% ) Acum. ( H% )

20; 30

 25 II 2 2 0,050 0,050 5 % 5 %

30;40

 35 IIIII 5 7 0,125 0,175 12,5 % 17,5 %

40;50

 45 IIIII IIIII 10 17 0,250 0,425 25 % 42,5 %

50;60

 55 IIIII IIIII II 12 29 0,300 0,725 30 % 72,5 %

60;70

 65 IIIII I 6 35 0,150 0,875 15 % 87,5 %

70;80

 75 III 3 38 0,075 0,950 7,5 % 95 %

80;90

 85 II 2 40 0,050 1,000 5 % 100 %

TOTAL n = 40 1,00 100 %

INTERPRETACIÓN

• La frecuencia absoluta simple nos indica las veces que se repite un dato.

f ₁ = 2  Hay 2 alumnos con pesos entre 20 y 30 kg.

f ₃ = 10  Hay 10 alumnos con pesos entre 40 y 50 kg.

• La frecuencia absoluta acumulada

F 3  17  Hay 17 alumnos con pesos entre 20 y 50 kg.

F 5  35  Hay 17 alumnos con pesos entre 20 y 70 kg.

• La frecuencia relativa simple nos indica la razón en que se encuentra la frecuencia de un dato (f) y el número total de datos (n).

3

h 1 0,250

  4  1 de cada 4 alumnos tienen sus pesos entre 40 y 50 kg.

4

h 3 0,300

 10   3 de cada 10 alumnos tienen sus pesos entre 50 y 60 kg.

• La frecuencia relativa acumulada

3

H 42,5 0,425

 100   42,5 de cada 100 alumnos tienen sus pesos entre 20 y 50 kg.

6

H 95 0,950

 100   95 de cada 100 alumnos tienen sus pesos entre 20 y 80 kg.

• La frecuencia relativa porcentual simple nos indica el porcentaje que representa la frecuencia de un dato, repecto al total de datos.

h 3  100  25%  El 25% de los alumnos tienen sus pesos entre 40 y 50 kg.

h 4  100  30 %  El 25% de los alumnos tienen sus pesos entre 50 y 60 kg.

• La frecuencia relativa porcentual acumulada

H 4  100  72,5%  El 72,5% de los alumnos tienen

sus pesos entre 20 y 60 kg.

Raz. verbal

Blademir González Parián

A) PRESENTACIÓN GRÁFICA DE VARIABLES CUANTITATIVAS.

Tomaremos la tabla de frecuencias del Problama Aplicativo Nº 02 del capítulo que precede a éste, para efectuar las diferentes gráficas:-

1. DIAGRAMA DE BARRAS.

En el eje de las abscisas con centro en las marcas de clase se levantan perpendicularmente barras de longitud igual a la frecuencia absoluta o relativa.

10 2 4 6 8 10 12

20 30 40 50 60 70 80 90

x

f

Pesos en Kg.

Númerodeniños

10 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300

20 30 40 50 60 70 80 90

x

h

0 0

2. HISTOGRAMAS.

Es una representación para datos agrupados en intervalos de clase.

Sobre el eje de las abscisas, se levanta perpendicularmente rectángulos con centro en la marca de clase, de ancho igual tamaño del intervalo de clase y una altura igual a la frecuencia absoluta o relativa.

10 2 4 6 8 10 12

20 30 40 50 60 70 80 90

x

f

Pesos en Kg.

Númerodeniños

10 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300

20 30 40 50 60 70 80 90

x

h

0 0

3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS

El polígono de frecuencias se obtiene uniendo los extremos superiores de las barras o los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos del histograma.

10 2 4 6 8 10 12

20 30 40 50 60 70 80 90

x

f

Pesos en Kg.

Númerodeniños

10 20 30 40 50 60 70 80 90

x

h

0 0

2 4 6 8 10 12

Representación gráfica de variables

4. POLÍGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U OJIVA.

Se utiliza para representar variables agrupadas de intervalos de clase. En el eje de abscisas se representa los intervalos de clase y sobre ellas se levanta rectángulos igual que los histogramas, solo que la altura de los rectángulos corresponde a la frecuencia acumulada; la ojiva se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos.

40 1,000

29 0,725

35 0,875

17 0,425

7 0,175

2 0,050

38 0,950

F

29

H

B) PRESENTACIÓN DE VARIABLES CUALITATIVAS.

La tabla muestra el número de pacientes internados en un hospital durante el año 2010 y 2011.

Enfermedad Número de pacientes

2010 2011

Hepatitis (H) 100 120

Tifoidea (T) 200 150

Sida (S) 50 80

Neumonía (N) 180 150

Gastritis (T) 320 300

Diabetes (D) 150 200

Total 1000 1000

1. DIAGRAMA DE RECTÁNGULOS O BARRAS.

0 50 150 100 200 250 300 350

2010

F

HEPATITIS TIFOIDEA SIDA NEUMONIA GASTRITIS DIABETES

0 50 150 100 200 250 300 350

F

HEPATITIS TIFOIDEA SIDA NEUMONIA GASTRITIS DIABETES

2011

AÑO 2010 AÑO 2010 y 2011

0 50 150 100 200 250 300 350

2010

F

HEPATITIS TIFOIDEA SIDA NEUMONIA GASTRITIS DIABETES

0 50 150 100 200 250 300 350

F

HEPATITIS TIFOIDEA SIDA NEUMONIA GASTRITIS DIABETES

2011

AÑO 2010 AÑO 2010 y 2011

2. DIAGRAMA DE SECTORES.

Ampliando los datos de la tabla de frecuencias ante- rior, tenemos:

Enfermedad fi hi    h

360º

Hepatitis (H) ¹⁰⁰ 0,10 ^{0,10 36  0º  3 º 6} Tifoidea (T) ^{200 0,20 0,20 36  0º  7 º 2} Sida (S) ⁵⁰ 0,05 ^{0,05 36  0º  1 º 8} Neumonía (N) ^{180 0,18 0,18 360  º  64, º 8}

Gastritis (T) ^{320 0,32 0,32 360º   115,2º} Diabetes (D) ^{150 0,15 0,15 36  0º  5 º 4}

Total ^{n = 1000 1,00 = 360º}

HEPATITIS 10%

TIFOIDEA 20%

SIDA5% NEUMONIA

18% GASTRITIS

32%

DIABETES 15%

HEPATITIS TIFOIDEA SIDA NEUMONIA GASTRITIS DIABETES

HEPATITIS 10%

TIFOIDEA SIDA 20%

5%

NEUMONIA 18%

GASTRITIS 32%

DIABETES 15%

Raz. verbal

Blademir González Parián

1. Los números del recuadro representan la edad de 30 niños que participan en un concurso de matemática.

11 10 9 13 13 10

13 9 12 13 13 11

12 10 13 10 12 9

10 13 13 13 12 13

13 9 10 12 11 9

a) ¿Cuántos alumnos tienen 12 años?

b) ¿Qué porcentaje del total de alumnos encuestados tienen 11 años?

2. Las notas que obtuvieron 25 alumnos en este curso son:

15 16 14 13 15

10 18 13 10 16

12 16 12 11 13

13 12 18 13 10

15 15 16 11 12

a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron la nota 14?

b ) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron la nota 16?

3. las edades que tienen 40 alumnos en un aula son:

10 12 13 10 9 13 12 10

12 13 10 11 10 13 10 9

10 10 9 12 11 12 11 10

13 11 11 9 10 11 10 12

11 10 12 10 12 10 11 10

a) ¿Qué porcentaje de alumnos tienen 10 años?

b) ¿Qué porcentaje de alumnos tienen más de 10 años?

4. Número de hijos por familia:

4 1 6 1 4 3 4 2

3 0 7 3 3 3 3 5

3 5 6 2 3 2 3 6

1 0 5 3 2 4 2 3

2 1 5 4 1 1 4 4

a) ¿Cuántas familias no tienen hijos?

b) ¿Cuántas familias tienen 2 hijos?

c) ¿Qué porcentaje del total de familias tienen 3 hijos?

5. Observe la tabla de frecuencias siguiente:

Edad Frecuencia Frec. relativa 12

13

14 15 1

3 15

16

Total n

Se presentan tres proporciones. Encierre en una nube ( ) la que permite encontrar el total de datos.

I. n 1

15  3 II. 15 3

n  III. 1 15 1 n  3

6. Si se sabe que 27 3

n  , donde 27 es la frecuencia absoluta 4 de un dato y n es el total de datos, entonces 3

4 es la frecuencia relativa.

Si se “saca tercia” en los numeradores de la proporción 27 3

n  , se obtiene 4 9 1 n  . 4

• ¿Es 1

4 la nueva frecuencia relativa del mismo dato? ¿Por qué? ...

• ¿Es 9 la nueva frecuencia absoluta del mismo dato?

¿Por qué? ...

• ¿No está bien “sacar tercia” en la expresión inicial? ¿Por qué? ...

• Al “sacar tercia”, ¿se altera el número total de datos?

¿Por qué? ...

7. La tabla siguiente presenta las notas de 32 alumnos en un examen de matemática, y sus respectivas frecuencias, pero faltan algunos valores.



Notas ^f

^h

^h

^(%)

09 4 h

h

(%)

10 6 3

16 h

(%)

11 f

1

8 h

(%)

12 12 h

37,50 %

13 f

3

16 h

(%)

Total 32 1 100%

Coloque en cada recuadro el valor correspondiente.

f ₃ vale f ₅ vale

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

h ₁ vale h ₄ vale

h ₁ (%) vale h ₂ (%) vale h ₃ (%) vale h ₅ (%) vale

8. Con respecto a la tabla anterior se puede afirmar que:

 alumnos tienen nota desaprobatoria.

alumnos tienen nota aprobatoria.

alumnos tienen menos de 12.

alumnos tienen 12 o menos.

alumnos tienen más de 10.

alumnos tienen 10 o más.

Además:

de cada alumnos tienen 09 de nota de cada alumnos tienen 11 de nota.

de cada alumnos tienen 13 de nota.

de cada alumnos tienen 10 de nota.

de cada alumnos tienen 12 de nota.

También

El % de los alumnos tienen 09 de nota.

El % de los alumnos tienen 10 de nota.

El % de los alumnos tienen 11 de nota.

El % de los alumnos tienen 13 de nota.

El % de los alumnos tienen menos de 11.

El % de los alumnos tienen más de 10.

9. Con respecto a la tabla siguiente:

Sueldos Frecuencias Frec. relativas

S/. 800 f

h

S/. 900 f

h

S/. 1 000 f

h

S/. 1 100 f

h

S/. 1 200 f

h

Total n ¿?

demuestre que h ₁ + h ₂ + h ₃ + h ₄ + h ₅ = 1 10. Dado el siguiente cuadro estadístico:

10;20



20;30



30;40



40;50



3 5 10 7

3 x 18

y

i s

L L

 

 ^f

Se pide calcular (2x+3y).

11. Dado el siguiente cuadro estadístico:

2 x 12 y

2 8 20

50

i s

L L

 

 ^f

15; 20



20;25



25;30



30;35



Se pide calcular (3x+4y).

12. Dado el siguiente cuadro estadístico:

i s

L L

 

 ^h

^H

12;16

 x 0,4

16 ;20

 0,2 0,6

20;24

 y 0,7

24; 28

 0,18 0,88

28; 32

 z 1

Se pide calcular (x+y) - z

Raz. verbal

Blademir González Parián

13. Se hace una encuesta a 80 trabajadores y se obtubo el siguiente cuadro estadístico.

i s

L L

 

 ^y

^f

12;16

 x a

16 ;20

 y b

20;24

 z c

24; 28

 w d

Se pide calcular (a - x+b - y+c - z+d-w)

14. Según la Asociación de lucha contra la Bulimia y la Anorexia, las pautas culturales han determinado que la delgadez sea sinónimo de éxito social.

Muchos jóvenes luchan para conseguir el “físico ideal”

motivados por modelos, artistas o por la publicidad comercial.

Durante el mes de marzo del año 2012, en un colegio de la ciudad de Lima, después de las vacaciones de verano, se observó con precaución a 27 alumnos con síntomas de anorexia, registrándose los siguientes signos visibles:

Dieta Severa Miedo a Engordar

Hiperactividad Uso de Ropa Holgada

Dieta Severa Uso de Laxantes

Miedo a Engordar Dieta Severa

Uso de Ropa Holgada Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Dieta Severa

Dieta Severa Dieta Severa

Uso de Ropa Holgada Hiperactividad

Uso de Laxantes Miedo a Engordar

Uso de Laxantes Dieta Severa

Uso de Ropa Holgada Uso de Laxantes

Hiperactividad Uso de Laxantes

Uso de Ropa Holgada Hiperactividad Dieta Severa

Resuma la información anterior en una tabla de distribución de frecuencias.

15. Clasifica en discretas o continuas las siguientes variables:

a) Número de habitantes por kilómetro cuadrado.

b) Número de bacterias de cierto tipo, por mililitro.

c) Densidad de diferentes muestras de un mismo líquido.

d) Número de frutos de un árbol de la misma especie.

e) Velocidad de un vehículo al pasar por un determinado punto.

f) Puntuaciones obtenidas en un test por un grupo de personas.

g) Superficie dedicada a cierto cultivo, por hectáreas, en un municipio.

h) Peso de un niño al cumplir 3 años.

ACTIVIDAD DE CONSOLIDACIÓN

A . Clasifica según el carácter de la variable las siguientes situaciones:

1 . Situaciones:

• Cantante favorito

• Longitud de espárragos

• Marca de refresco favorita

• Tipo de música preferida

• Raza de perros

• Nº días soleados al mes 2 . Situaciones:

• Nº días de vacaciones

• Autor literario favorito

• Nº hermanos

• Nota media en selectividad

• Temperatura media ciudad

• Nº días falta a clase 3 . Situaciones:

• Nº días lluviosos al mes

• Tiempo de espera autobús

• Nº faltas en un dictado

• Color de ojos

• Películas vista al mes

• Nota media en selectividad

B . Realiza una tabulación que incluya la frecuencia absoluta, relativa y sus acumuladas, cuando sea necesario aproxima hasta las centésimas, de los datos que se corresponden con las situaciones siguientes:

4. El número de veces que han cambiado de domicilio 23 personas.

2, 2, 0, 2, 4, 2, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 0, 1, 0, 4, 0, 3, 0, 3 y 5.

5. El número de hermanos que tienen 20 estudiantes de un centro.

1, 4, 0, 2, 3, 1, 0, 3, 4, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 1 y 1.

C. Los valores del ph.sanguíneo en 40 individuos 3 son los siguientes:

7,32 7,34 7,40 7,28 7,29 7,35 7,33 7,34 7,28 7,31 7,35 7,32 7,33 7,36 7,32 7,34 7,31 7,35 7,36 7,26 7,39 7,29 7,32 7,34 7,30 7,34 7,32 7,30 7,33 7,33 7,35 7,34 7,33 7,36 7,33 7,35 7,31 7,26 7,39 7,35 Se pide:

• Preparar una tabla de frecuencias agrupando en intervalos de igual amplitud.

• Construir todos los gráficos necesarios para el caso.

D. Las calificaciones finales obtenidas por los 80 alumnos de un primer curso de Estadística figuran en la tabla adjunta:

68 84 75 82 68 90 62 88 76 93 73 79 88 73 60 93 71 59 85 75 61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 66 78 82 75 94 77 69 74 68 60 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 86 67 73 81 72 63 76 75 85 77

Se pide:

• Preparar una tabla de frecuencias.

• Representar gráficamente los datos.

• El número de estudiantes con calificaciones de 75 ó más.

E . Efectúa una tabulación de los datos en la que aparezcan las columnas de frecuencias absolutas y relativas. Cuando sea necesario aproxima hasta las centésimas.

6. El sabor preferido en los refrescos de una determinada marca de 22 personas:

Naranja, cola, naranja, limón, cola, melocotón, cola, limón, cola, cola, manzana, limón, naranja, cola, piña, cola, naranja, manzana, naranja, cola, naranja y manzana.

7. Las actividades realizadas por 20 estudiantes en sus tiempos libres:

Deporte, amigos, idiomas, música, idiomas, idiomas,amigos, música, deportes, baile, baile, música, deportes, idiomas, cine, amigos, deportes, amigos, música, y cine.

F. Dibuja el diagrama de barras correspondiente a las situaciones que aparecen:

8. Preguntamos a 25 estudiantes elegidos aleatoriamente por el tipo de música que prefieren escuchar. Los resultados son:

Disco, disco, rock, clásica, rock, latina, pop, rock, pop, latina, rock, flamenco, flamenco, latina, flamenco, latina, rock, clásica, disco, disco, latina, rock, disco, latina y rock.

9. Las edades de 30 estudiantes de un instituto de enseñanza secundaria son las siguientes:

12, 13, 12, 15, 12, 15, 13, 14, 15, 12, 12, 12,

15, 15, 13, 14, 14, 16, 13, 12, 13, 14, 15, 16,

15, 13, 14, 15, 15 y 12.

Raz. verbal

Blademir González Parián

10. El número de llamadas telefónicas que reciben un día un grupo de 20 amigos son:

4, 5, 1, 9, 5, 3, 6, 3, 7, 8, 3, 4, 1, 0, 9, 7, 6, 2, 1 y 5.

G. Dibuja el diagrama de sectores correspondiente a las situaciones que aparecen en los ejercicios F .8, F .9 y F .10

H. Realiza el polígono de frecuencia y el de frecuencia acumulada de los ejercicios del apartado D.14 y D.15

I. La tabla muestra como están distribuidos los trabajadores de la empresa FU & FA según el monto del sueldo mensual que recibe cada trabajador. Hallar el porcentaje de trabajadores cuyo sueldo es al menor 620 pero inferior a 700.













Sueldo Nº de personas De 600 619,99 9 De 620 639,99 14 De 640 659,99 10 De 660 679,99 16 De 680 699,99 20 De 700 719,99 11

TOTAL 80

J. Dado el siguiente histograma absolutas, tomados de una muestra de tamaño 40, hallar f

+ f

+ f

5x 4x

7

1 x

2

0 2 4 6 8 10

f

x

K. Se hace una encuesta a 80 trabajadores y se obtubo el siguiente cuadro estadístico.

i s

L L

 

 ^y

^f

12;16

 x a

16 ;20

 y b

20;24

 z c

24; 28

 w d

Se pide calcular (a - x+b - y+c - z+d-w)

L. Las actividades extraprogramáticas de un curso de 32 alumnos están distribuidas como lo indica el gráfico.

El número de alumnos que participan en el folklore es:

M. En el siguiente cuadro se muestra la cantidad vendida de tres marcas de jabones durante 3 meses en una farmacia (en cientos de unidades)

Según el cuadro, la venta de Nivea entre enero y febrero aumentó en un %.

N. En el siguiente gráfico se muestra la producción de tres fábricas de detergentes (en millones de kilogramos ) en dos meses consecutivos.

La produccción de Ace tuvo un aumento relativo de:

O Del gráfico del ejercicio M.

La producción total entre enero y febrero

disminuyó en: