Sumas Superiores e inferiores (ó Sumas de Riemann)
De nición 1. Sea f : [a, b] → R. Se dice que f esta acotada superiormente sobre [a, b], cuando existe algún M ∈ R tal que f(x) ≤ M ∀ x ∈ [a, b]
De nición 2. Sea f : [a, b] → R. Se dice que f esta acotada inferiormente sobre [a, b], cuando existe algún m ∈ R tal que f(x) ≥ m ∀ x ∈ [a, b]
De nición 3. Una partición del intervalo [a, b] es un subconjunto P = {a = x0, x1, · · · , xn= b} ⊂ [a, b]
tal que a = x0< x1< · · · < xn= b y la denotamos P[a,b]
Ejemplo.- P =0,1 3, 1 2, 2 3, 3 4, 1
es una partición de [a, b] y esto lo denotamos P ∈ P[a,b]
Para i = 1 · · · , n el n-ésimo subintervalo de P será [xi−1, xi].
De nición 4.
mi = ´ınf f [xi−1, xi] = ´ınf{f (x) : x ∈ [xi−1, xi]}
Mi= sup f [xi−1, xi] = sup{f (x) : x ∈ [xi−1, xi]}
De nición 5. Para cada partición P[a,b] se tiene que
S(f, P ) =
n
X
i=1
mi∆i Sumas Inf eriores para f sobre P
S(f, P ) =
n
X
i=1
Mi∆i Sumas Superiores para f sobre P
Lema 1. Para toda partición P de [a, b] se tiene que S(f, P ) ≤ S(f, P ) Demostración. Como mi≤ Mi entonces
S(f, P ) = n X i=1 mi∆i≤ n X i=1 Mi∆i = S(f, P )
De nición 6. Dada una partición P ∈ P[a,b] decimos que Q es un re namiento de la partición P sobre
Ejemplo.-Un re namiento de P = 0,1 3, 1 2, 2 3, 3 4, 1 es P∗= 0,1 4, 1 3, 1 2, 2 3, 3 4, 1
Teorema 1. Si Q es un re namiento de P, entonces
a) S(f, Q) ≥ S(f, P ) y b) S(f, Q) ≤ S(f, P )
Demostración. Supongamos que Q es un re namiento de una partición P de [a, b]. Entonces Q contiene todos los puntos de P, y quizas algunos mas. Vamos a considerar el caso donde Q contiene solo un punto mas que P. Dicho punto lo denotaremos x∗
k ∈ [xk−1, xk]. DE esta forma
Q = {x0, x1, · · · , xk−1, x∗k, xk, · · · , xn}
por tanto tenemos que Para el inciso a) S(f, Q) = k−1 X i=1 mi∆i+ ´ınf f [xk−1, x∗k](x∗k− xk−1) + ´ınf f [x∗k, xk](xk− x∗k) + n X i=k+1 mi∆i ≥ k−1 X i=1 mi∆i+ mk(x∗k− xk−1) + mk(xk− x∗k) + n X i=k+1 mi∆i = k−1 X i=1 mi∆i+ mk(xk− xk−1) + n X i=k+1 mi∆i= n X i=1 mi∆i= S(f, P ) ∴ S(f, Q) ≥ S(f, P ) Para el inciso b) S(f, Q) = k−1 X i=1 Mi∆i+ sup f [xk−1, x∗k](x∗k− xk−1) + sup f [x∗k, xk](xk− x∗k) + n X i=k+1 Mi∆i ≤ k−1 X i=1 Mi∆i+ Mk(x∗k− xk−1) + Mk(xk− x∗k) + n X i=k+1 Mi∆i = k−1 X i=1 Mi∆i+ Mk(xk− xk−1) + n X i=k+1 Mi∆i= n X i=1 Mi∆i= S(f, P ) ∴ S(f, Q) ≤ S(f, P )
Demostración. Supongamos que P y Q son particiones cualesquiera de [a, b]. Entonces P S Q es un re namiento tanto de P como de Q y según el resultado anterior S(f, Q) ≤ S(f, P S Q) y S(f, Q) ≥ S(f, PS Q)de esta forma se tiene que
S(f, P ) ≤ S(f, P[Q) ≤ S(f, P[Q) ≤ S(f, Q) ∴ S(f, P ) ≤ S(f, Q)
De nición 7. Sean
A = {S(f, P ) | P es particion de [a, b]} B = {S(f, P ) | P es particion de [a, b]}
Tenemos que A ≤ todo elemento de B por lo tanto A esta acotado superiormente y por el axioma del supremo existe una mínima cota superior
De nición 8. De nimos la integral inferior de f sobre [a, b] Z b
a
f = sup A = sup{S(f, P ) | P es particion de [a, b]}
Tenemos que B ≥ todo elemento de A por lo tanto B esta acotado inferiormente y por el axioma del supremo existe una máxima cota inferior
De nición 9. De nimos la integral superior de f sobre [a, b] Z b
a
f = ´ınf B = ´ınf{S(f, P ) | P es particion de [a, b]}
Como A ≤ todo elemento de B por propiedades de supremos se tiene sup A ≤ ´ınf B. Esto es Z b a f ≤ Z b a f
De nición 10. Una función f de nida y acotada sobre [a, b] se dice que es integrable si Z b a f = Z b a f
y en este caso el valor comun es llamado la integral de f sobre [a, b] y se denota Z b
a
Ejemplo Sea c ∈ R sea f : [a, b] → R dada asi: f(x) = c ∀ x ∈ [a, b].
En este caso f es una función acotada y si P = {x0, x1, · · · , xn}es una partición sobre [a, b] entonces
mi= ´ınf{f (x) : xi−1≤ x ≤ xi} = ´ınf{c} = c para i = 1, 2, , · · · , n
y
Mi= sup{f (x) : xi−1≤ x ≤ xi} = sup{c} = c para i = 1, 2, , · · · , n
por lo tanto S(f, P ) = n X i=1 mi∆i= n X i=1 c(xi− xi−1) = c n X i=1 (xi− xi−1) = c(xn− x0) = c(b − a) y S(f, P ) = n X i=1 Mi∆i= n X i=1 c(xi− xi−1) = c n X i=1 (xi− xi−1) = c(xn− x0) = c(b − a) por lo tanto Z b a
f = sup{S(f, P ) : P es partici´on de [a, b]} = sup{c(b − a)} = c(b − a) y
Z b
a
f = ´ınf{S(f, P ) : P es partici´on de [a, b]} = ´ınf{c(b − a)} = c(b − a) por lo tanto Z b a f = c(b − a) = Z b a f
por lo tanto f es integrable sobre [a, b] yZ
b a
f = c(b − a)
Ejemplo Sea f : [0, 1] → R dada asi: f(x) =1 si0 si x ∈ IT[0, 1] x ∈ QT[0, 1]
En este caso f es una función acotada y si P = {x0, x1, · · · , xn}es una partición sobre [0, 1] entonces
mi= ´ınf{f (x) : xi−1≤ x ≤ xi} = ´ınf{0, 1} = 0 para i = 1, 2, , · · · , n
y
Mi = sup{f (x) : xi−1≤ x ≤ xi} = sup{0, 1} = 1 para i = 1, 2, , · · · , n
por lo tanto S(f, P ) = n X i=1 mi∆i= n X i=1 0(xi− xi−1) = 0 n X i=1 (xi− xi−1) = 0(xn− x0) = 0 y S(f, P ) = n X Mi∆i= n X 1(xi− xi−1) = 1 n X (xi− xi−1) = 1(xn− x0) = 1(1 − 0) = 1
por lo tanto
Z 1
0
f = sup{S(f, P ) : P es partici´on de [0, 1]} = sup{0} = 0 y Z 1 0 f = ´ınf{S(f, P ) : P es partici´on de [0, 1]} = ´ınf{1} = 1 por lo tanto Z 1 0 f = 0 6= 1 = Z 1 0 f por lo tanto f no es integrable sobre [0, 1]
Ejemplo Considere la función característica χ[1, 3]dada por
f (x) =1 si 1 ≤ x ≤ 3
0 en otro caso
Pruebe que f es integrable en [0, 5] y encontrar Z 5
0
f
Solución Sea P = {0, 1, 3, 5} una partición del intervalo
[0, 5], se tiene entonces
S(f, P ) = m1∆1+m2∆2+m3∆3= 0·1+1·2+0·2 = 2
comoZ 5
0
f es el supremo de todas las sumas in-feriores
Z 5
0
f ≥ S(f, P ) = 2
Sea ahora 0 < < 1 y sea Q = {0, 1 − 2, 3 +
2, 5}. Entonces Q es una partición del intervalo [0, 5]
por lo que S(f, Q) = M1∆1+ M2∆2+ M3∆3= 0 · 1 − 2 + 1 · (2 + ) + 0 ·2 − 2 = 2 +
comoZ 5
0
f es el in mo de todas las sumas superiores
Z 5 0 f ≤ S(f, Q) = 2 + ⇒ Z 5 0 f ≤ 2 De lo anterior se tiene que
2 ≤ Z 5 0 f ≤ Z 5 0 f ≤ 2 esto es Z 5 0 f = Z 5 0 f = 2 por lo tanto f es integrable en [0, 5] y
Z 5
0
