Capítulo 2. Bases teóricas Sistemas de referencia

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Bases te´

oricas

En este capitulo se expondrá la base teórica en la que se sustenta todo el desarrollo posterior del proyecto desde los ejes donde se proyectarán las fuerzas y momentos de nuestra aeronave, hasta las distintas formas de representar nuestro sistema sin olvidar los criterios de estabilidad que nos ayudarán a saber la respuesta de nuestro UAV ante las perturbaciones

2.1. Sistemas de referencia

A continuación nombraremos los sistemas de referencia que se utilizarán a lo largo de este proyecto para expresar las variables de interés de nuestro aparato. Estos son:

• Sistema inercial. Es un sistema fijo con origen el centro de la tierra, el cual tiene el eje X apuntando al punto de Aries, el eje Z al polo Norte geogr´afico y el Y completando un triedro a derechas (figura (2.1a)). Este sistema se considera inercial y es la base a partir de la cual derivan los dem´as sistemas no inerciales. • Sistema de ejes tierra (OeXeYeZe). En este caso, el origen es un punto de

la superficie terrestre. El eje Xe apunta hacia el norte y el eje Ye hacia el este,

completando el eje Ze un triedro dextr´ogiro apuntando hacia el centro de la

tierra (figura (2.1a)). A´un no siendo un sistema inercial, puede considerarse como tal a peque˜nas alturas y velocidades de vuelo, como es nuestro caso. • Sistema de ejes horizonte local (OhXhYhZh). Este sistema coordenado

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2.1 Sistemas de referencia

tiene como origen un punto cualquiera del plano de simetr´ıa del avi´on (gene-ralmente el centro de masas) siendo los ejes Xh, Yh y Zh paralelos a los ejes

tierra (figuras (2.1a) y (2.1b)).

• Sistema de ejes cuerpo (ObXbYbZb). Este sistema, fijo respecto del avi´on,

tiene como origen su centro de masas. El eje Xb estar´a contenido en el plano de

simetr´ıa del avi´on se˜nalando al morro de este. El eje Zb pertenece al plano de

simetr´ıa y es perpendicular a Xb, en la actitud normal de vuelo apunta hacia

la tierra. El eje Yb completa el triedro (figura (2.1b)). La orientaci´on de estos

ejes respecto de los de horizonte local se obtiene a partir de los ´angulos φ θ ψ • Sistema de ejes viento (OwXwYwZw). Este sistema tiene como origen un

punto cualquiera del plano de simetr´ıa del avi´on (generalmente el centro de masas). Su eje Xw tiene en cada instante en cada instante la misma

direc-ción y sentido que el vector de velocidad aerodinámica del avión. El eje Zw

est´a situado en el plano de simetr´ıa del avi´on, perpendicular a Xw y orientado

hacia abajo en la actitud normal de vuelo del avi´on. El eje Yw completa el

triedro (figura (2.1b)). La orientaci´on de este sistema respecto del sistema de ejes cuerpo viene dada por los ´angulos α β

• Sistema de ejes rotor (OrXrYrZr). Este sistema coordenado se utiliza en

la descripci´on de las fuerzas de rotor del helic´optero. Tiene su origen en el extremo del buje del rotor. Su eje Zr, es paralelo al buje y apunta hacia el

interior. El resto de los ejes se sitúan de forma que alguno de ellos coincida, a ser posible, con su correspondiente eje del sistema de coordenadas cuerpo, eligiendo el último de manera que formen un sistema dextrógiro (figura (2.2)).

En la definición de los ejes han surgido una serie de ángulos. Éstos son de gran importancia en la navegación de las aeronaves. Los tres primeros φ θ ψ (figura (2.3)) definen lo que se denomina la actitud de la aeronave. As´ı pues, el ángulo φ surge al girar en torno al eje Xb y define el alabeo o roll. Rotar respecto el eje Yb crea el

´

angulo θ, lo que se denomina cabeceo o pitch. Y por último, define la guiñada o el yaw de la nave el ángulo ψ creado al rotar en torno al eje Zb.

Los otros dos ángulos mencionados describen la orientación de la nave respecto del viento incidente, algo de mucho valor teniendo en cuenta que éste y el ángulo que for-me con las alas son los responsables de que estas últimas puedan crear sustentación. As´ı, se denomina ángulo de ataque α al formado por la proyección de la velocidad aerodinámica sobre el plano de simetr´ıa del avión con el eje Xb (figura (2.4a)),

mien-tras que el ángulo que forma el vector de la velocidad aerodinámica con el plano de simetr´ıa del avión es el denominado ángulo de resbalamiento β (figura (2.4b)).

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(a) Ejes inerciales, tierra y horizonte local (b) Ejes horizonte local, cuerpo y viento Figura 2.1: Sistemas de coordenadas

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2.1 Sistemas de referencia

Figura 2.3: ´Angulos de actitud y mandos de control de un avi´on

(a) Ángulo de ataque (b) Ángulo de resbalamiento Figura 2.4: Ángulos del viento incidente

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2.2. Mandos de vuelo

Dado que se nombrarán a lo largo de este proyecto, se ha decidido incluir una ligera explicación de los mandos de vuelo básicos que posee nuestra aeronave.

2.2.1. Mandos de vuelo en aviones

Los mandos de vuelo se obtienen mediante el accionamiento de las superficies de mando. Éstas son unas superficies aerodinámicas que provocan el movimiento del avión alrededor de sus 3 ejes.

Las superficies de mando en un avi´on son las siguientes:

• Timón de profundidad o elevador (elevators). Normalmente está situa-do en la cola del aparato, de forma que al bajar esta superficie, se produce un aumento de la sustentación en la cola y por tanto el picado del avión. Al subir el timón de profundidad se tendrá el efecto contrario al bajar la sustentación en la cola.

• Alerones (ailerons). Situados en el ala. Al accionar el mando que los con-trola se produce una deflexión diferencial de los alerones, es decir, al tiempo que el alerón de una de las alas sube, el de la otra ala baja. El alerón que es deflexionado hacia abajo produce un aumento de sustentación en su ala corres-pondiente, provocando el ascenso de la misma, mientras que el alerón que es deflexionado hacia arriba produce en su ala una disminución de sustentación, motivando su descenso. Por ejemplo, si deseamos efectuar una inclinación a la izquierda el alerón derecho deberá descender elevando el ala derecha y, si-multáneamente, el alerón izquierdo se deflexionará hacia arriba produciendo una pérdida de la sustentación en el ala izquierda, y por tanto su descenso. • Timón de cola o de dirección (rudder). También situado en la cola

per-pendicular al plano XbYb, act´ua de forma similar al tim´on de cola, salvo que

en este caso sus efectos son perpendiculares. As´ı si se produce una deflexión de éste hacia la izquierda se producirá un giro de la nave hacia la izquierda.

Con las anteriores superficies aerodinámicas se podrá realizar el control completo de nuestra aeronave en la configración avión. Otras superficies de control como flaps o slats no serán necesarias.

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2.2 Mandos de vuelo

2.2.2. Mandos de vuelo en helic´

opteros

En los helicópteros es el rotor principal el responsable de proveer las fuerzas y pares necesarios para controlar la nave. As´ı variando el ángulo de ataque de las palas del rotor variaremos la sustentación que ofrece éste. También será necesario un dispositivo antipar que genere el par necesario para contrarrestar el creado por el rotor principal, además de controlar el ángulo de guiñada.

As´ı pues, los mandos de vuelo de un helic´optero son los siguientes:

Paso colectivo. Es la responsable del desplazamiento vertical del helicóptero. Aumenta o disminuye la sustentación del rotor principal modificando el ángulo de paso de todas las palas del rotor. Con ello aumentamos o disminuimos la sustentación del rotor aumentando, por tanto, la componente vertical de la fuerza y desplazando el helicóptero según el eje del rotor.

Paso c´ıclico. Proporciona el control longitudinal y lateral adecuado. Gracias a un mecanismo como el llamado plato oscilante, podemos inclinar el plano de rotación del disco del rotor en el sentido de vuelo deseado. As´ı aparecerá una componente de la sustentación del rotor en la dirección mencionada. Este paso c´ıclico es independiente de las variaciones c´ıclicas del paso para compensar la asimetr´ıa de sustentación. Podemos distinguir un paso c´ıclico longitudinal y otro lateral según la dirección de la fuerza resultante de sustentación.

Mando de gases. Con ´el se controla la potencia del motor.

Dispositivo antipar. Este dispositivo se encarga de contrarrestar el par que genera el rotor principal. Aunque los hay de diferentes tipos ya sea el rotor de cola, Fenestron o NOTAR (No Tail Rotor) todos se basan en generar una fuerza que producirá un par respecto al centro de gravedad de la aeronave, consiguiendo as´ı el efecto deseado. El rotor de cola es el sistema más común para controlar el eje de guiñada además de compensar el par de reacción. Se trata de un rotor generalmente dotado exclusivamente de paso colectivo con el cual variaremos la tracción que éste genera y por tanto el par producido.

Aunque existen otras variantes como el denominado brazo de araña, el plato oscilante o swash plate, cuyo esquema podemos ver en la figura (2.5), es el mecanismo más común empleado para modificar el ángulo de ataque de las palas del rotor, ya sea el paso c´ıclico como el colectivo. Éste consiste en un plato inferior que no gira con el rotor, pero puede inclinarse en todas direcciones, y otro plato superior, montado

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Figura 2.5: Mecanismo de plato oscilante

sobre el anterior, que s´ı gira con el eje del rotor y est´a obligado a permanecer paralelo al plato inferior.

El plato superior está a su vez unido por unas varillas a las palas del rotor, oblig´ ando-las a cambiar su ángulo de ataque cuando el plato inferior se inclina y, por las restricciones de movimiento, también lo hace el plato superior.

En la posición mostrada en la figura, aumenta el paso de la pala que se halla en la posición A y lo reduce en igual proporción cuando, después de efectuar media rota-ción, la misma pala se halla en B, entre esas dos posiciones extremas, las variaciones serán continuas, de esta manera hemos conseguido cambiar el paso c´ıclico. Debemos tener en cuenta que debido al efecto de precesión giroscópica que se produce en el rotor, el ángulo de paso de la pala debe disminuir 90o _{antes (seg´}_{un el acimut) del}

punto más bajo de la trayectoria que se desea que defina el plano de rotación. El paso colectivo se consigue subiendo o bajando sin introducir inclinación alguna el plato inferior, esto produce una alteración idéntica del ángulo de ataque de todas las palas.

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2.3 El problema aerodin´amico

2.3. El problema aerodin´

amico

Las ecuaciones que modelan el problema aerodin´amico de nuestra nave son las si-guientes: ∂ρ ∂t + ∇(ρv) = 0 (2.1) ρ∂v ∂t + ρv∇v = −∇p + ∇τ 0 + ρfm (2.2) ρ∂e ∂t + ρv∇e = ∇(K∇T) − p∇v + τ 0 : ∇v + Qr+ Qrq (2.3) ´

Estas son las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes en forma integral, siendo (2.1) la ecuación de continuidad, (2.2) la de cantidad de movimiento y (2.3) la ecuación de la energ´ıa. Esta última ecuación puede ser sustituida por la ecuación de la entrop´ıa

ρTDs

Dt = ∇(K∇T) + τ

0

: ∇v + Qr+ Qrq (2.4)

En estas expresiones podemos ver que aparecen variables como la densidad ρ, presi´on p, velocidad v, el tensor de esfuerzos viscosos τ0, el vector fm de fuerzas m´asicas,

as´ı como la temperatura T, la energ´ıa interna e y entrop´ıa s por unidad de masa, la conductividad t´ermica K y los calores por unidad de tiempo recibidos por radiaci´on Qr y producidos por reacciones qu´ımicas Qrq.

Para nuestra aeronave en cuestión, podemos simplificar estas ecuaciones ya que los términos viscosos y gravitatorios son despreciables frente a los de inercia local y convectiva. Además, tanto el calor de radiación como el producido por reacciones qu´ımicas son despreciables o nulos. De esta manera las ecuaciones quedan en la formulación de Euler. ∂ρ ∂t + ∇(ρv) = 0 ρ∂v ∂t + ρv∇v = −∇p (2.5) Ds Dt = 0

Sin entrar en profundidades, podemos ver que el problema del c´alculo de la ae-rodin´amica de una aeronave es demasiado complejo para resolverse anal´ıticamente

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dado que las ecuaciones anteriores son vectoriales y los campos de velocidad, presión, densidad y entrop´ıa están definidos para cada posición y cada instante de tiempo: v(x, t), p(x, t), ρ(x, t), s(x, t).

As´ı, se suele proceder bien simplificando al máximo la geometr´ıa o bien empleando métodos numéricos aplicados a la Mecánica de Fluidos (CFD, Computacional Fluid Dynamics). Métodos CFD muy populares para problemas potenciales son el de paneles y el Vortex-Lattice.

Como se podrá ver más adelante, en este proyecto se han utilizado distintos métodos para obtener la solución del problema aerodinámico segun la configuración adoptada por nuestra aeronave.

2.3.1. M´

etodo Vortex-Lattice

El método de la malla de torbellinos Vortex-Lattice es un algoritmo numérico di-señado para resolver el problema de la aerodinámica de alas. Se basa en que la vorticidad ω = ∇ × V es nula para movimientos barótropos y con viscosidad des-preciable. En estos casos la velocidad deriva de un potencial V = ∇φ. Esta ecuación introducida en las relaciones (2.5), para el caso de movimientos subsónicos, nos lleva a que el potencial obedece a la ecuación de Laplace ∆φ = 01

El método utiliza la propiedad de linealidad del operador laplaciano aparecido en la última expresión. De esta manera la solución de un problema armónico puede calcularse como la superposición de otros problemas armónicos más simples siempre y cuando se satisfaga la condición de contorno. Puesto que tanto el potencial asociado a una corriente uniforme como a un torbellino potencial son armónicos, la suma de ellos también lo será. As´ı, por el teorema de existencia y unicidad, la combinación de soluciones elementales que satisfazgan dicha condición será la solución del problema completo.

El método Vortex-Lattice representa el ala como una superficie plana dividida en paneles cuadrilaterales, sobre los cuales es impuesto un vórtice de herradura. La ley de Biot-Savat es utilizada para calcular la velocidad inducida por cada vórtice de herradura en un punto de control espec´ıfico. Un grupo de ecuaciones algebraicas lineales representa la intensidad de cada vórtice, cuando todos los puntos de con-trol son sumados, satisfaciendo la condición de frontera; que indica que el flujo no

1_{Para ver una deducci´}_{on completa de c´}_{omo se procede hasta conseguir este resultado se puede}

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atraviesa las superficies. La circulación del ala y la presión diferencial entre la parte inferior y superior del ala son función de la intensidad de cada vórtice. Finalmente, las fuerzas son obtenidas por integración de la diferencias de presión.

En [10] podemos encontrar un desarrollo más completo de este método as´ı como de las bases teóricas y de cálculo que en el subyacen.

2.3.2. Derivadas de estabilidad

Como se mencionó anteriormente, en general no es posible resolver el problema ae-rodinámico por medios anal´ıticos. Para solventar esta dificultad es habitual realizar la suposición que en torno a un punto de referencia las variaciones de las acciones serán pequeñas si lo son las perturbaciones, de forma que podemos aplicar un modelo lineal.

De esta manera, las variaciones de cada fuerza X, Y, Z y cada momento L, M, N con cada velocidad lineal y angular y sus derivadas son unas rectas cuyas pendien-tes vienen dadas por unos coeficienpendien-tes que se denominan derivadas de estabilidad. Podemos decir por tanto que las derivadas de estabilidad son medidas de c´omo una fuerza o momento particular var´ıa cuando cambia otro par´ametro relacionado con su estabilidad. Fi = ∂F ∂i {∀ (F, i) | F = X, Y, Z, L, M, N i = u, v, w, p, q, r, ˙u, ˙v, ˙w, ˙p, ˙q, ˙r }

Análogamente pueden definirse las derivadas de control, que en este caso miden el cambio de las fuerzas y momentos ante una acción de control, y la velocidad de ésta.

Fi =

∂F ∂i

{∀ (F, i) | F = X, Y, Z, L, M, N i = δe, δa, δr, δ ˙e, δ ˙a, δ ˙r, δcol, δlon, δlat, δtr }

Cada acci´on tiene 12 derivadas de estabilidad y 6 de control en modo avi´on. Son por tanto 72 derivadas de estabilidad en total, muchas de las cuales son de valor despreciable.

Una vez que tenemos las derivadas de estabilidad y de las condiciones de vuelo podremos obtener las fuerzas y momentos actuantes sobre nuestra aeronave. As´ı para

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obtener la fuerza aerodin´amica total ejercida sobre el eje Xb bastar´a con realizar la

siguiente operaci´on

X = Xe+Xuu+Xvv +Xww +Xpp+Xqq +Xrr +Xu˙˙u+Xv˙˙v +Xw˙w +X˙ p˙p+X˙ q˙q +X˙ r˙˙r

con respecto a los valores de las velocidades del trimado en el que se obtuvieron las derivadas de estabilidad.

Xe es un t´ermino constante que surge del desarrollo de Taylor en que se basa la

linealizaci´on de las fuerzas que da lugar a las derivadas de estabilidad. Para m´as detalles se puede consultar [9].

Coeficientes aerodin´amicos

De manera análoga a los coeficientes adimensionales de sustentación o resistencia, suelen definirse unos coeficientes aerodinámicos a partir de las derivadas de estabi-lidad. Cij = 1Xu

2ρV2S

Estos ´ultimos coeficientes no son adimensionales, as´ı que suelen utilizarse unos que s´ı lo son y que se definen como se pueden observar en la tabla (2.1) adjunta.

2.3.3. Resoluci´

on del problema aerodin´

amico

Dada la morfolog´ıa particular de nuestro UAV, en el que podemos encontrarnos dos rotores (el principal y el rotor de cola), una hélice, alas móviles que perturban el flujo de aire (siendo por tanto imposible imponer condiciones de contorno), resolver el problema de flujo tridimensional se antoja extremadamente complicado. Es por esto por lo que se acude a una hipótesis simplificativa que nos ayude a encontrar una aproximación fiable de nuestro modelo al real.

Supondremos que nuestro aparato se comporta en la transición como la superposi-ción de un avión con las alas a determinada flecha y un helicóptero, ambos con la potencia variable, en una evolución que se calculará más adelante.

Asimismo, en los modos principales (modo avión y helicóptero) se despreciarán los efectos de los elementos que no son propios de este estado, por ejemplo, en el modo

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Coeficiente adimensional Factor

Xu Xv Xw 1₂ρV S Yu Yv Yw 1₂ρV S Zu Zv Zw 1₂ρV S Xq Yq Zq 1₂ρV Sc Xp Xr Yp Yr Zp Zr 1₂ρV Sb Lu Lv Lw 1₂ρV Sb Mu Mv Mw 1₂ρV Sc Nu Nv Nw 1₂ρV Sb Lq Nq 1₂ρV Sbc Mq 1₂ρV Sc2 Lp Lr Np Nr 1₂ρV Sb2 Mp Mr 1₂ρV Sbc

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avión se desprecia la contribución de los rotores. De esta manera hemos reducido el problema a dos cuya solución está documentada.

Por todo lo expuesto, y ya que no estamos interesados en la distribución de presio-nes, utilizaremos las derivadas para obtener las fuerzas sobre nuestro aparato (va-riación de ellas sobre el estado de referencia). Para el caso avión, éstas se calcularán con la ayuda del software CFD Tornado. Tornado es un toolbox de código abierto que corre bajo el programa Matlab, el cual implementa el método Vortex-Lattice tridimensional. Este código modela cualquier número de superficies sustentadoras tridimensionales y computa fuerzas y momentos sobre estas. Éste, aparte de las de-rivadas de estabilidad, proporciona otras variables de interés como los coeficientes de sustentación y resistencia2_.

Las derivadas de estabilidad en el caso del helicóptero son más dif´ıciles de estimar, por lo que se acudió a la bibliograf´ıa. Se emplea el análisis dimensional y la semejan-za f´ısica. Se parte de la solución de un helicóptero que se admite dimensionalmente semejante. En este supuesto, ambos problemas poseen la misma solución adimen-sional, con lo que basta con multiplicar estos valores por el coeficiente de referencia adecuado para obtener las variables dimensionales del helicóptero deseado.

2.4. Ecuaciones generales de movimiento

Una vez obtenidas las fuerzas que act´uan sobre nuestro UAV obtendremos las velo-cidades de nuestro aparato por medio de las ecuaciones generales de movimiento de un solido r´ıgido con 6 grados de libertad (ecuaciones de Euler). Estas se obtienen a partir del teorema de la cantidad de movimiento

~

F = d(m~V ) dt y del momento cin´etico

~ G = d~h

dt

donde ~F son la resultante de fuerzas exteriores (X,Y,Z), ~V la velocidad del centro de masas (u,v,w), m la masa del s´olido, t el tiempo, ~G la resultante de los momentos exteriores alrededor del centro de masas (L,M,N) y ~h el momento cin´etico total del

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2.4 Ecuaciones generales de movimiento

sólido, el cual se puede expresar en función de la velocidad angular del sólido ~ω (p,q,r) y del tensor de inercia I como

h = I~ω I =         Ixx −Ixy −Ixz −Iyx Iyy −Iyz −Izx −Izy Izz        

Las expresiones anteriores fueron formuladas para ejes inerciales, mientras que, en nuestro caso, los ejes cuerpo donde se proyectar´an no lo son, por tanto hemos de tener en cuenta este hecho quedando las expresiones

~ F = d(m~V ) dt 1 = d(m~V ) dt 2 + ω21× ~V (2.6) ~ G = d( ~Iω) dt 1 = d( ~Iω) dt 2 + ω21× I~ω (2.7)

El marco de referencia inercial 1 se corresponde con los ejes tierra (una vez aceptadas las hipótesis simplificativas que permiten aproximarlo como inercial véase la sección (2.1)). El sistema de ejes 2 es, como ya se dijo, el sistema de ejes cuerpo. Podemos tomar los ejes horizonte local como sistema de referencia intermedio (ejes 0). Éstos son siempre paralelos a los ejes tierra a la vez que tienen el mismo origen que los ejes cuerpo, de esta manera, la velocidad angular se puede formular como

ω21= ω20+> 0 ω01

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As´ı pues, desarrollando las ecuaciones (2.6) y (2.7) tenemos Fx = m( ˙u − rv + qw) Fy = m( ˙v + ru − pw) Fz = m( ˙w − qu + qv) L = Ixxp − I˙ xz˙r + (Izz− Iyy)qr − Ixzpq M = Iyyq − (I˙ zz − Ixx)pr + Ixz(p2− r2) N = Izz˙r − Ixzp − (I˙ xx− Iyy)pq + Ixzqr

Las acciones exteriores se pueden descomponer en aerodin´amicas, gravitatorias y propulsivas

~

F = ~FA+ ~FG+ ~FT con F~A= [X, Y, Z]T

y G = ~~ GA+ ~GT3. con G~A = [L, M, N ]T

quedando las ecuaciones anteriores de la siguiente manera

m( ˙u − rv + qw) = X + XT − mg sin θ m( ˙v + ru − pw) = Y + YT − mg cos θ sin φ m( ˙w − qu + qv) = Z + ZT − mg cos θ cos φ Ixxp + (I˙ zz − Iyy)qr − Ixz(pq + ˙r) = L + LT Iyyq − (I˙ zz − Ixx)pr + Ixz(p2− r2) = M + MT Izz˙r − (Ixx− Iyy)pq + Ixz(qr − ˙p) = N + NT (2.8)

El problema se completa con las relaciones cinem´aticas angulares: p = ˙φ − ˙ψ sin θ

q = ˙θ cos φ + ˙ψ cos θ sin φ r = − ˙θ sin φ + ˙ψ cos θ cos φ

(2.9)

2.4.1. Linealizaci´

on de las ecuaciones de movimiento

Podemos observar que las ecuaciones (2.8) no son lineales. Es una práctica habitual realizar la linealización de ellas a fin de manejar unas ecuaciones más simples. As´ı,

3_{En la resultante de momentos no aparecen los t´erminos gravitatorios dado que el peso es}

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2.4 Ecuaciones generales de movimiento

suponemos que en la posici´on de trimado nuestra aeronave se encuentra en vuelo rectil´ıneo y con roll, yaw y deslizamiento lateral nulos.

En esta condici´on de vuelo la velocidad del avi´on es V0, las componentes de la

velocidad lineal son (Ue, Ve, We) y las componentes de la velocidad angular son

nulas. Puesto que no hay deslizamiento lateral Ve= 0.

Si el avión sufre una pequeña perturbación sobre el trimado, las componentes de la velocidad de perturbación son (u, v, w), y las de las velocidades angulares de perturbación son (p, q, r). De esta manera, la velocidad del centro de gravedad en el movimiento perturbado está dada por:

U = Ue+ u

V = Ve+ v = v (2.10)

W = We+ w

Por definición (u, v, w) y (p, q, r) toman valores pequeños, de tal modo que los productos de estos términos producen resultados suficientemente pequeños como para ser despreciados.

Por su parte, los términos gravitatorios también deben ser linealizados. En principio, como nuestra aeronave se encuentra en vuelo simétrico, las componentes del peso, como se observa en la figura (2.6), sólo aparecen en el plano de simetr´ıa y pueden ser formuladas en ejes cuerpo de la siguiente manera:

Xge = −mg sin θe Yge = 0 Zge = mg cos θe

La perturbación del aeroplano produce un cambio (φ, θ, ψ) en la actitud de éste, de manera que las componentes del peso en los ejes perturbados puede ser calculada gracias a la ayuda de la matriz de transformación admitiendo la aproximación de pequeños ángulos.

        Xg Yg Zg         =         Ixx −Ixy −Ixz −Iyx Iyy −Iyz −Izx −Izy Izz                 −mg sin θe 0 mg cos θe        

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Figura 2.6: Componentes del peso en el plano de simetr´ıa

En este caso, también despreciamos los productos de términos de perturbación para obtener las siguientes expresiones de los términos gravitacionales linealizados.

Xg = −mg sin θe− mgθ cos θe

Yg = mgψ sin θe+ mgφ cos θe (2.11)

Zg = mg cos θe− mgθ sin θe

Finalmente, introduciendo (2.10) y (2.11) en las ecuaciones (2.8), teniendo en cuenta que (Ue, Ve, We) son fijos y desechando los productos de las velocidades de

pertur-baci´on como se ha expuesto, obtenemos las ecuaciones de movimiento linealizadas.

m( ˙u + qWe) = X + XT − mg sin θe− mgθ cos θe

m( ˙v + rUe− pWe) = Y + YT + mgψ sin θe+ mgφ cos θe m( ˙w − qUe) = Z + ZT + mg cos θe− mgθ sin θe Ixxp − I˙ xz˙r = L + LT Iyyq = M + M˙ T Izz˙r − Ixzp = N + N˙ T (2.12)

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2.5 Representaci´on de sistemas din´amicos lineales

2.5. Representaci´

on de sistemas din´

amicos

linea-les

El modelo de un sistema es un conjunto de expresiones matemáticas que caracteriza las magnitudes asociadas al sistema en cuestión con el fin de obtener una represen-tación del comportamiento dinámico del mismo. El modelo de un sistema depende del tipo de magnitudes que intervienen en él, que pueden ser:

• Variables externas: - Salidas

- Entradas, ya sean manipulables o perturbaciones • Variables internas

De esta manera, si nos centramos en la representación de nuestro sistema exclusi-vamente sobre las entradas y salidas de éste, tendremos una representación que se denomina modelo externo. En el caso de que tengamos en cuenta señales internas para la representación tendremos lo que se denomina un modelo interno.

2.5.1. Descripci´

on externa de los sistemas din´

amicos

Puesto que las señales que definen un sistema dinámico son las entradas u(t) y las salidas y(t) interesa disponer de una relación expl´ıcita dentre ambas. Una de las for-mas de descripción externa de modelos más utilizada es la función de transferencia. ´

Esta se define como la transformada de Laplace de la respuesta impulsional de un sistema.

La respuesta impulsional de un sistema se define como y(t) = Z t

−∞

h(t, τ ) u(τ ) dτ Aplicando la transformada de Laplace a esta expresión se obtiene Y(s) = G(s) U (s). Por tanto, la función de transferencia será: G(s) =

Z ∞

0

h(τ ) e−τ sdτ .

Para el caso de sistemas multivariables de m entradas y p salidas, la funci´on de transferencia se convierte en una matriz cuyo t´ermino Gij representa el cociente

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la transformada de Laplace de la se˜nal de entrada que se aplica al canal j, supuestas nulas las otras se˜nales de entrada.

2.5.2. Descripci´

on interna de los sistemas din´

amicos lineales

Estas descripciones representan el comportamiento del sistema mediante una rela-ción indirecta entre las señales de entrada y salida puesto que estas están relaciona-das a través de otra variable, x(t), llamada estado del sistema dinámico, que juega un papel primordial en esta forma de descripción.

Una amplia clase de sistemas dinámicos lineales admite una representación ma-temática de la forma:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

Donde, si el sistema tiene n estados, m entradas y p salidas, x, u e y son vectores de dimensi´on n, m y p respectivamente y A, B, C y D son matrices de dimensi´on n × n, n × m, p × n y p × m. Estas matrices pueden a su vez variar con el tiempo o ser invariantes.

Los sistemas dinámicos lineales que admiten una representación matemática de es-te tipo reciben la denominación de sistemas lineales diferenciales de dimensiones finitas.

2.5.3. Transformaci´

on entre representaciones

Podemos pasar de una representación en espacio de estados de nuestro modelo a una representación en función de transferencia actuando de la siguiente manera. Tomamos la transformada de Laplace de las ecuaciones de estado obteniendo

sx(s) = Ax(s) + Bu(s) y(s) = Cx(s) + Du(s)

Despejando la primera ecuación de estado obtenemos x(s) = (sI −A)−1Bu(s) donde I es la matriz identidad de igual tamaño que A. Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación obtenemos

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2.6 Criterios de estabilidad relativos a la descripci´on externa

G(s) es la matriz de la función de transferencia. En general tiene la siguiente for-ma G(s) = N (s)_∆(s). ∆(s) es el polinomio caracter´ıstico, el cual es común a todas las funciones de transferencia. N (s) es una matriz polinómica cuyos elementos son los numeradores de las funciones de transferencia.

En los casos en que la matriz C = I y D = 0 G(s) puede hallarse con la ayuda de la regla de Cramer G(s) = (sI − A)−1B = Adj(sI − A)B

|sI − A| . As´ı el polinomio caracter´ıstico y la matriz de numeradores pueden hallarse como sigue:

∆(s) = |sI − A| N (s) = Adj(sI − A)B

2.6. Criterios de estabilidad relativos a la

descrip-ci´

on externa

Un sistema inicialmente en reposo se dice estable si ante cualquier se˜nal de entrada acotada responde con una se˜nal de salida acotada.

Para el caso de sistemas multivariables esta definición es igualmente válida, sus-tituyendo las señales de entrada y de salida por los vectores de señales de entra-da y salientra-da. La estabilientra-dad anteriormente definientra-da se denomina estabilientra-dad BIBO (bounded-input bounded-output).

En términos de la función de transferencia, un sistema lineal y estacionario, repre-sentado por una función racional propia G(s) es estable si y sólo si todos los polos de G(s) están situados en el semiplano izquierdo abierto del plano s. Una forma equivalente de expresar lo anterior es decir que los polos de G(s) tienen la parte real negativa. En el semiplano izquierdo abierto se excluye el eje imaginario.

Si G(s) es una función racional propia entonces puede desarrollarse en fracciones parciales, de manera que se descomponen en la suma de un número finito de términos de la forma:

k (s − pi)l

Donde pi denota un polo de G(s), y adem´as posiblemente una constante.

Al hallar la antitransformada de Laplace de G(s) se tiene que g(t) es la suma de un n´umero finito de t´erminos de la forma tl−1_epit _{y, adem´}_{as, una posible funci´}_{on δ}

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de Dirac. Es f´acil demostrar que el producto de los t´erminos tl−1_epit _{por cualquier}

entrada acotada es absolutamente integrable si y s´olo si pi tiene la parte real

nega-tiva. Por lo tanto la salida y(t) calculada como la integral de convolución de g(t) y cualquier u(t) acotada será estable y en consecuencia el sistema G(s) será estable si y sólo si todos los polos de G(s) tienen la parte real negativa.

Para sistemas multivariables se generalizan inmediatamente los anteriores resultados diciendo que un sistema de este tipo, definido por una matriz de transferencia G(s) ser´a estable si cada uno de sus elementos satisface el anterior teorema.

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