APUNTES Y EJECICIOS DE ECUACIONES ALGEBRA SUPERIOR UTS Lhqs.pdf

(1)

APUNTES DOCENTES

ECUACIONES ALGEBRA SUPERIOR

APUNTES DOCENTES

PROFESOR: LUIS HUMBERTO QUINTERO SUAREZ

ECUACIONES ALGEBRA SUPERIOR

APUNTES DOCENTES

(2)

ECUACIONES

IGUALDAD: Es la expresión en la que dos cantidades algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplo a=b

ECUACION: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables y sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas o variables Así:

hay una incógnita o variable (

Si damos un valor diferente a la incógnita

La igualdad

y

2

−

5 y

=

−

Si damos un valor diferente a la incógnita

IDENTIDAD: Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las incógnitas que haya.

Así:

(

a−b

)

2 =a2 −2ab

verifican para cualquier valor de

GRADO DE UNA ECUACION

Así: 3x+3= x−2 es de grado 1 y x3 +2x2 −2x+1=0

TENGA PRESENTE:

- Si a los dos miembros de una ecuación se suma o se resta una misma cantidad la igualdad subsiste.

- Si a los dos miembros de una ecuación se multiplica o divide por una misma cantidad la igualdad subsiste.

- Si a los dos miembros de una igualdad subsiste.

- Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro al otro miembro cambiándole el signo del término.

- Términos iguales con signos iguales en d la ecuación no varia.

- Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varie es equivalente a multiplicar cada miembro de la ecuación por

ECUACIONES

expresión en la que dos cantidades algebraicas tienen el mismo valor.

c

b+ 4x2 = 4x−1

Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables y sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas o variables Así: 3x+2 =14 Es una ecuación ya que es

hay una incógnita o variable (

x

) y solo se verifica o es verdadera para Si damos un valor diferente a la incógnita

x

la igualdad no se cumple.

6 −

es una ecuación porque solo se verifica para Si damos un valor diferente a la incógnita y la igualdad no se cumple.

Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las incógnitas que haya. 2

b

ab+ y

x

2

−

y

2

=

(

x

+

y

)(

x

−

y

)

son identidades porque se verifican para cualquier valor de

a

, b y

x

, y respectivamente.

GRADO DE UNA ECUACION: Es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. es de grado 1 ya que el mayor exponente de

x

0 es de grado 3 ya que el mayor exponente de

Si a los dos miembros de una ecuación se suma o se resta una misma cantidad la igualdad

Si a los dos miembros de una ecuación se multiplica o divide por una misma cantidad la

Si a los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se extrae una raíz la

Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro al otro miembro cambiándole

Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación pueden suprimirse y

Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varie es equivalente a multiplicar cada miembro de la ecuación por -1.

expresión en la que dos cantidades algebraicas tienen el mismo valor.

Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables y sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las Es una ecuación ya que es una igualdad en la que ) y solo se verifica o es verdadera para x =4

la igualdad no se cumple.

es una ecuación porque solo se verifica para y =2 y y=3 la igualdad no se cumple.

Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las incógnitas que haya.

son identidades porque se respectivamente.

: Es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. es 1

es de grado 3 ya que el mayor exponente de

x

es 3

Si a los dos miembros de una ecuación se suma o se resta una misma cantidad la igualdad

Si a los dos miembros de una ecuación se multiplica o divide por una misma cantidad la

ecuación se elevan a una misma potencia o se extrae una raíz la

Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro al otro miembro cambiándole

istinto miembro de una ecuación pueden suprimirse y

(3)

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Son de la forma ax+b

Ejemplo:

Así 3x−7=14 » 3x

Nota: todo resultado se debe verificar en la ecuación inicial dada.

REGLA GENERAL

- Se efectúan las operaciones indicadas si las hay - Se reducen términos semejantes

- Se despeja la incógnita

- Se verifica el resultado en la ecuación inicial

Ejemplos:

1) Resolver la ecuación

Ejercicios:

Resolver y verificar las ecuaciones: a- −4−2

(

x−3

)

=1−3

UACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

0 =

b donde

a b x=−

7 14+ =

x » 3x=21 » 3 21 =

x »

Se efectúan las operaciones indicadas si las hay Se reducen términos semejantes

Se despeja la incógnita

l resultado en la ecuación inicial

Resolver la ecuación 4x−3=2x+1 => 4x−2x=3+1 =>

x=2 verificar en la ecuación dada

Resolver la ecuación 30x+35−18x+6=32+22x+14 =>

12x−22x =46−41 => −10x

verificar en la ecuación dada

Resolver la ecuación

3 1 2 2

3 ₌ −

+ x

x

=> 3

(

x+3

) (

=22x−1

)

9+2=4x−3x => x=11 verificar

4 x

−

(

6 x

2

−

x

−

15 )

=

49 −

(

6 x

−

1 )(

x

−

2 )

4 1 6

2 = −

x x

R/ta 4 3 − =

x verificar

Resolver la ecuación 0

1 4

2 1

2 1 1 2

3

2 ₋ =

+ − − −

+ x

x x

x mcm R/ta

(

)

(

)

12 4

15 2 3 8 3 3

1 2 6 2

5 2

− − + = −

− + − −

x x x

x x

x

mcm R/ta

Resolver y verificar las ecuaciones:

(

2

)

3x+ b- 5y−

(

7y−4

)

−2=5+

(

−

» x =7 verificar

=> 2x= 4 => 2 4 =

x

verificar en la ecuación dada

=> 12x+41=46+22x

5 =

x =>

2 1 − =

x

)

=> 3x+9=4x−2 verificar

R/ta x =−4 verificar

verificar

mcm R/ta x=2 verificar

mcm R/ta x =−7 verificar

)

2 3 −

(4)

ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO

REGLA GENERAL

- Aislamos un radical en la ecuación

- Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para así eliminar el radical -

- Verificamos el resultado en la ecuación dada.

Ejemplos:

ECUACIONES CON FRACCIONES MIXTAS O COMPUESTAS

Ejemplos:

Ejercicios:

Aislamos un radical en la ecuación

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para así eliminar el radical Simplificamos y despejamos la incógnita o variable Verificamos el resultado en la ecuación dada.

Resolver la ecuación 4x2 −15−2x+1=0 => 4x2 −15

(

)

(

)

2

2 ₁₅ ₂ ₁

4x − = x− => 4x

−15=−4x+1 => 4x =16 =>

x

+

4 +

x

−

1 −

5 =

0

=>

x

+

4 =

(

x+4

) (

2 = 5− x−1

)

2 x+4=25−10 x−1+

( )

x−1

10 x

−

1 =

20

=>

x

−

1 =

2

x=5 verificar en la ecuación dada

1 2 1 4

− = − − +

x x

x R/ta x =

Resolver la ecuación 6+3 x+1=3 2

ECUACIONES CON FRACCIONES MIXTAS O COMPUESTAS

Resolver la ecuación 5

1 1 1

1 2

= − −

− −

x x x

=>

(

)

(

)

5

1 1 1

1 2 1

= −

− −−

− −

x x

x x x

=>

(

)(

)

5

2 1 2

= −

+ −

x x x

=> x+1=5

Resolver la ecuación y verificar x

x x x

3 1 1

1

= +

−

Resolver la ecuación y verificar 2

2 1

1 2 1

=

+ −

+ +

x x

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para así eliminar el radical Simplificamos y despejamos la incógnita o variable

1 2

15= x−

1 4 4

15 2

2 ₋ ₌ ₋ ₊

x x x

=> x =4 verificar

1

5 −

−

=

x

2

=> x−1=4 verificar en la ecuación dada

5

= verificar

=> 5

1 1

2

= − −

− −

x x x

(5)

4) Resolver y verificar la ecuación

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS O VARIABLES

Consideremos la ecuación

═►

3 2 12

y= −

Así para x =0 ……. y

x =1 ……. y

x=2 …… y

x =3 …… y

: :

Es una ecuación indeterminada

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o variables

LINEALES porque representan líneas rectas y cada punto de esa línea recta es una de las infinitas soluciones que tiene la ecuación.

ECUACIONES SIMULTANEAS

cuando se satisfacen para iguales valores de

  

= −

= +

1 5

y x

para x =3 y

En este caso es un SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON INCOGNITAS O VARIABLES: ES UN SISTEMA 2x

Resolver un sistema de ecuaciones 2x2 significa hallar los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones, como cada ecuación representa una lín

donde se cortan esas rectas es la solución del sistema de ecuaciones 2x2 .( el punto de intersección de las dos rectas es la solución del sistema 2x2)

La solución puede ser:

- Una única solución => las dos rectas se cortan y la solución las dos rectas

- Ninguna solución => las dos rectas son paralelas - Infinitas soluciones => las rectas son coincidentes

Resolver y verificar la ecuación 2

1 1

1

=

− +

x

Consideremos la ecuación 2x+3y =12 tiene dos incógnitas o variables 2x

para cada valor de

x

hay otro valor para

4 =

y

3 10 =

y

3 8

= todos estos pares de valores satisfacen la ecuación

2 =

y

: :

indeterminada tiene infinitas soluciones

de primer grado con dos incógnitas o variables

porque representan líneas rectas y cada punto de esa línea recta es una de las infinitas soluciones que tiene la ecuación.

ECUACIONES SIMULTANEAS Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas o variables

y y= 2 satisfacen a ambas ecuaciones ⇒son ecuaciones

SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON

AS O VARIABLES: ES UN SISTEMA 2x2 (dos ecuaciones con dos incógnitas)

Resolver un sistema de ecuaciones 2x2 significa hallar los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones, como cada ecuación representa una lín

donde se cortan esas rectas es la solución del sistema de ecuaciones 2x2 .( el punto de intersección de las dos rectas es la solución del sistema 2x2)

Una única solución => las dos rectas se cortan y la solución es el punto de intersección de

Ninguna solución => las dos rectas son paralelas Infinitas soluciones => las rectas son coincidentes

tiene dos incógnitas o variables

x

y y

hay otro valor para y

todos estos pares de valores satisfacen la ecuación

de primer grado con dos incógnitas o variables se llaman ECUACIONES porque representan líneas rectas y cada punto de esa línea recta es una de las infinitas

Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultaneas las incógnitas o variables

son ecuacionessimultaneas

SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS dos ecuaciones con dos incógnitas)

Resolver un sistema de ecuaciones 2x2 significa hallar los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones, como cada ecuación representa una línea recta; el punto donde se cortan esas rectas es la solución del sistema de ecuaciones 2x2 .( el punto de

(6)

SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE UN SISTEMA DE 2x

- Método por igualación - Método por sustitución

- Método por eliminación o reducción o sustracción

METODO POR IGUALACION

Regla General:

- Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones - Igualamos los resultados obtenidos

- Despejamos la otra incógnita

- Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuacione de la otra incógnita

- Verificamos los resultados en las DOS ecuaciones iniciales

Ejemplo; Resolver el sistema 2x2

Despejamos y en ambas ecuaciones

Igualamos ambos resultados

Despejamos

x

=> Reemplazamos x=4 En y =15−3x =>

Debemos verificar en las dos ecuaciones iniciales

METODO POR SUSTITUCION

Regla General:

- Despejamos una de las incógnitas en una de - Sustituimos el valor hallado en la otra ecuación - Hallamos la incógnita resultante

- Sustituimos éste valor en la ecuación despejada inicialmente y hallamos el valor de la otra incógnita

- Verificamos los resultados en las DOS

Ejemplo: Resolver el sistema 2x2

Despejamos una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones y = 4x−14 y sustituimos éste valor en la otra ecuación y despejamos

5x+2

(

4x−14

)

=11

Verificamos los dos resultados

N ALGEBRAICA DE UN SISTEMA DE 2x2

Método por igualación Método por sustitución

eliminación o reducción o sustracción

METODO POR IGUALACION

Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones Igualamos los resultados obtenidos

Despejamos la otra incógnita

Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuacione

Verificamos los resultados en las DOS ecuaciones iniciales

Ejemplo; Resolver el sistema 2x2   

= −

= +

8 4 5

15 3

y x

cada ecuación de la forma

en ambas ecuaciones y =15−3x y

Igualamos ambos resultados

4 8 5 3

15− x= x−

=> 60−12x =5x−8 => 68=17x =>

4 en cualquiera de las ecuaciones donde despejamos y hallamos => y =15−12 => y =3 => x =4 y

Debemos verificar en las dos ecuaciones iniciales

METODO POR SUSTITUCION

Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones iniciales Sustituimos el valor hallado en la otra ecuación

Hallamos la incógnita resultante

Sustituimos éste valor en la ecuación despejada inicialmente y hallamos el valor de la otra

Verificamos los resultados en las DOS ecuaciones iniciales

Ejemplo: Resolver el sistema 2x2   

= +

= −

11 2 5

14 4

y x

Despejamos una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones y sustituimos éste valor en la otra ecuación y despejamos

11 => x =3 y reemplazamos en y =4x−

Verificamos los dos resultados x=3 y y =−2 en las dos ecuaciones iniciales.

Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones y así obtenemos el valor

cada ecuación de la forma ax+by =c

4 8

5 −

= x

=> x =4

en cualquiera de las ecuaciones donde despejamos y hallamos y

3 =

y

las dos ecuaciones iniciales

Sustituimos éste valor en la ecuación despejada inicialmente y hallamos el valor de la otra

Despejamos una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones y sustituimos éste valor en la otra ecuación y despejamos

x

14

(7)

METODO POR ELIMINACION O REDUCCION O SUSTRACCION

Regla General:

- Multiplicar los dos miembros de cada ecuación por un número conveniente de modo que una de las incógnitas aparezca con coeficientes opuestos y poder

- Sumar miembro a miembro las dos ecuaciones resultantes para obtener otra ecuación con una sola incógnita y asi poderla despejar

- Tomar una cualquiera de las ecuaciones iniciales y reemplazar el valor obtenido en el paso anterior para así poder ha

- Verificar los dos resultados hallados en las dos ecuaciones dadas inicialmente

Ejemplo: Resolver el sistema 2x2

Como vemos y tiene coeficientes iguales con signos opues ecuaciones para eliminar

=> 2x−3y =17₊

Reemplazamos éste valor en

O también podíamos haber eliminado la

sumándolas………..llegamos al mismo resultado para las incógnitas.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIM

Resolver un sistema de 3x3 tres ecuaciones con tres incógnitas es encontrar incógnitas que satisfagan simultáneamente las tres ecuaciones.

Se usan los mismos tres métodos algebraicos que para un sistema 2x2 o combinándolos de acuerdo a las preferencias de cada cual.

Ejemplo: resolver el sistema 3x3

Ecuación 1 x2 – ecuación 2 eliminamos x = Ecuación 1 x3 – ecuación 3 eliminamos x = Ecuación 4 x2 y ecuación 5x5 eliminamos z = En ecuación 5 y= 2 =>

En ecuación 1 2 o 3 y =

Verificamos resultados en las tres ecuaciones iniciales

Ejercicio: Resolver el sistema 3x3 :

METODO POR ELIMINACION O REDUCCION O SUSTRACCION

Multiplicar los dos miembros de cada ecuación por un número conveniente de modo que una de las incógnitas aparezca con coeficientes opuestos y poder

Sumar miembro a miembro las dos ecuaciones resultantes para obtener otra ecuación con una sola incógnita y asi poderla despejar

Tomar una cualquiera de las ecuaciones iniciales y reemplazar el valor obtenido en el paso anterior para así poder hallar el valor de la otra incógnita

Verificar los dos resultados hallados en las dos ecuaciones dadas inicialmente

Ejemplo: Resolver el sistema 2x2   

= +

= −

11 3 5

17 3 2

y x

tiene coeficientes iguales con signos opuestos => podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar y _{y así hallar la otra incógnita (}

x

)

+ 5x+3y =11 => 7x =28 => x =4 Reemplazamos éste valor en 5x+3y =11 => y = −3 verificar resultado O también podíamos haber eliminado la

x

multiplicando por

-sumándolas………..llegamos al mismo resultado para las incógnitas.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS 3x

Resolver un sistema de 3x3 tres ecuaciones con tres incógnitas es encontrar incógnitas que satisfagan simultáneamente las tres ecuaciones.

Se usan los mismos tres métodos algebraicos que para un sistema 2x2 o combinándolos de acuerdo a las preferencias de cada cual.

Ejemplo: resolver el sistema 3x3     

= + −

− = − +

= − +

2 2

3

9 7 5 2

6 4

z y x

ecuación 2 eliminamos x => 3y+5z=21 ecuación 4 ecuación 3 eliminamos x => 7y−2z=8 ecuación 5 y ecuación 5x5 eliminamos z => 41y =82 => y =2

3 =

z

2

= y z =3 => x =1 Verificamos resultados en las tres ecuaciones iniciales

Ejercicio: Resolver el sistema 3x3 :     

+ + =

+ = +

= + +

3 4 3

3 9 2

8 2 2

z y x

z y

x

y z

x

Multiplicar los dos miembros de cada ecuación por un número conveniente de modo que una de las incógnitas aparezca con coeficientes opuestos y poder eliminarla

Sumar miembro a miembro las dos ecuaciones resultantes para obtener otra ecuación con

Tomar una cualquiera de las ecuaciones iniciales y reemplazar el valor obtenido en el paso

Verificar los dos resultados hallados en las dos ecuaciones dadas inicialmente

tos => podemos sumar las dos

verificar resultado

-5 y por 2 las ecuaciones y

ER GRADO CON TRES INCOGNITAS 3x3

Resolver un sistema de 3x3 tres ecuaciones con tres incógnitas es encontrar los valores de las tres

Se usan los mismos tres métodos algebraicos que para un sistema 2x2 o combinándolos de

(8)

ECUACIONES CUADRATICAS O DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA

Es toda ecuación la cual una vez simplificada el Son de la forma ax2 +bx

Ejemplos: 4 2 −7 +6

x x

Resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado es hallar los valores de la incógnita que la satisfagan

Toda ecuación cuadrática tiene dos raíces o soluciones

METODOS DE SOLUCION DE UNA ECUACION

1) ECUACIONES CUADRATICAS PURAS Son de la forma

Ejemplos: Resolver la ecuación: => x₁

2) POR DESCOMPOSICION EN FACTORES Ejemplos:

-Resolver la ecuación:

3) FORMANDO UN CUADRADO PERFECTO (completándolo) Ejemplo:

9 2 6 2

=

     

=> x2 −

=> x₁ =3+ 11 y

Para completar el cuadrado falta el cuadrado de la mitad del segundo termino

4 25 2

5 2

=

     

=> x

=>

2 9 2 5 ₌ _± +

x =

=>

7 6 7

13

2 − _x=−

x

Es toda ecuación la cual una vez simplificada el mayor exponente de la incógnita es 2 0

=

+c

a

, by

c

constantes y a ≠0 0

= 3 2 +5 =0

x

x 2 −16 =0

x

Resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado es hallar los valores de la incógnita que la

Toda ecuación cuadrática tiene dos raíces o soluciones

METODOS DE SOLUCION DE UNA ECUACION CUADRATICA

ECUACIONES CUADRATICAS PURAS Son de la forma ax

Ejemplos: Resolver la ecuación: x2 −4=0 => x2 =4 => x

2

1 =+ y x2 =−2 verificamos cada valor en la ecuación inicial

POR DESCOMPOSICION EN FACTORES

Resolver la ecuación: 2 −5 +6=0

x

x =>

(

x−3

)(

x−2

)

=0

Resolver la ecuación: 3x2 +2x−5=0 =>

(

3x+5

)(

x−1

)

=0

Resolver la ecuación: 2 ₋4 ₊4 ₌0

x

x =>

(

x−2

)

2 =0 => x

FORMANDO UN CUADRADO PERFECTO (completándolo)

Resolver la ecuación: x2 −6x =2 falta el cuadrado de la mitad del segundo término 9

2 9

6 + = +

− x =>

(

x−3

)

2 =11 =>

(

x−3

)

y x₂ =3− 11 verificar

Resolver la ecuación: 2 +5 −14=0

x

x ═_>_x2 +₅_x =₁₄

4 81 4 25 14 4 25 5

2 + + = + =

x

x =>

2 5 2

=

     

+

x

=> x₁ =−7 y x₂ =2 verificar

Resolver la ecuación: 7 2 −13 +6=0

x

x => 7 2 −13 = −6

x x

7 6

falta el cuadrado de la mitad del segundo termino

mayor exponente de la incógnita es 2

Resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado es hallar los valores de la incógnita que la

0

2± =

c ax

4

± =

x => x =±2 da valor en la ecuación inicial

=> x₁ =3 y x₂ =2

=>

2 5

1 = −

x y x₂ =1

2

1 =

x y x₂ =2

falta el cuadrado de la mitad del segundo término

)

=± 11

4 81

=

dividimos todo x7

falta el cuadrado de la mitad del segundo termino

196 169 2

7 13 2

=

   

 

   

(9)

=>

196 169 7

13

2 − +

x x

4) APLICANDO LA FORMULA CUADRATICA

ax2 +bx+c=

Siendo b2 ₋4ac

=> Si b2 −4ac > 0 tiene dos soluciones reales Si b2 −4ac_{= 0 las dos soluciones son iguales}

Si b2 −4ac < 0 solución compleja o imaginaria Ejemplo:

=> x= 4± 4

ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES CUADRATICAS O DE

Ejemplo:

-Resolver la ecuación: x

=>

(

x+5

)(

x−1

)

=16 descomposición en factore

4

Para x₁ =3 si cumple, para

Ejercicio:

196 169 7 6 196

169 ₌₋ ₊

196 1

= =>

196 1 14 13_±

=

x

APLICANDO LA FORMULA CUADRATICA

0 =>

a ac b

b x

2 4

2 −

± − =

el discriminante de la ecuación cuadrática > 0 tiene dos soluciones reales

= 0 las dos soluciones son iguales < 0 solución compleja o imaginaria

Resolver la ecuación: 9 2 −4 −5=0

x

x => a =9 b =−4 c

( )

9 . 2

5 . 9 . 4

42 − −

=>

18 196 4±

=

x => x₁

ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES CUADRATICAS O DE SEGUNDO GRADO

1 4 5

− = +

x

x =>

(

)

2 2

1 4

5 _

  

 

− = +

x

x =

=> x2 +4x−5=16 => x2 −4x−21=0 descomposición en factores o por la fórmula cuadrática => x₁ =3

5

3

2

3

4 x

−

x

−

=

x

−

=> x₁ =3 y x

si cumple, para

3 2

2 =

x no cumple => x =3

x

x 1 3 2

3

6+ + =

=> x₁ =1 y 7 6

2 =

x

5 − =

c

1

= y

9 5

2 =−

x verf

ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES CUADRATICAS O DE

=>

1 16 5

− = +

x x

0 se puede resolver por

3 x₂ =−7 verif

3 2

(10)

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Si bx =bn ═>

Ejemplos:

-Rresolver la ecuación: 2x

-Resolver la ecuación: 3x

-Resolver la ecuación; 2x

log

=> 2

7

7x = _=>

-Resolver la ecuación: log

log

=>

log

-Resolver la ecuación; log

=>

Ojo: <=>

=>

Ejemplos:

-Resolver la ecuación exponencial: log

log

a bx =

x blogbx =

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

═>

x

=

n

_ylgab=x a b

x ₌

⇒

8

=

x

⇒2x =23 ⇒x=3

243

= => 3x =35

=> x=5

64

= => 2x =26 => x =6

x

=

49 log

₇ => 7x = 49 por definición de logaritmo > x =2

a

=

log

_b

x

=>

5

log₅

=

x

=>

5

x

=

5

=> 2 1

5 5x =

=>

y

=

81 log

₃ => 3y =81

=> 3y =34 =>

y

=

001 .

0 log

₁₀ => 10y =0.001

=> 10y =

>

log

₁₀

0 .

001 =

−

3

2 log

₆

x

=

=> 62 = x => x =36

3 2

log27 x= => = x

3 2

27 => =

> =>

=> => =

=> =>

son equivalentes

_=-5

Resolver la ecuación exponencial: es equivalente a

3 2

27 =

x

2

3 =

x x=9

3 1 4

log_x = 3 4

1

=

x 3

3 3 1

4

=

        x

2 81

log_x =− x−2 =81

( )

2

1 2 − ₈₁

− ₌

x

81 1

=

x

9 1

=

x

a x=log_b

7

3log37 = ₁₀log105 =₅ 5

22

log −

16

3x = _x=

por definición de logaritmo

> a

b x =

> 2 1 =

x

4 =

y

3

10− => y = −3

=>

( )

2 3 ₂₇

=

x

64

=

x

2 1

81−

2 1

81 1

=

x

elnx = lnex = x

16 log₃

(11)

ó =>

-Resolver la ecuación exponencial:

=>

El logaritmo de un número de cualquiera base puede obtenerse resolviendo una ecuación exponencial

Ejemplo:

Obtener el valor de:

=> =>

Cambio de base:

A una ecuación con logaritmos se le llama ecuación logarítmica

Ejemplos:

-Resolver la ecuación logarítmica:

=> =>

=> =

=> =>

para

=> hacemos

=> no tiene solución pues 16

3x = _log ₃

10 =

x

16

3x = _ln₃x =_ln

log 5 log 5 log

3x ₁₀ − ₁₀ =

log 3 log 7

log = x +

x

log₄

19 log 4

log x = x

p a log 100 3= +

x x=

log

(

3

)

8 4= −

+ x x 3 1 log 8

log₂ − ₂ =

log

3 2

3 3

2x − x = x

3

− =

x

log

3

( )

−

3

+

log

2 9 = x log 2 9 log3 +

     3x x

u=3

5

2

3

x

=

−

=> =>

Resolver la ecuación exponencial: =>

=> =>

Resolver la ecuación exponencial: =>

=> =>

El logaritmo de un número de cualquiera base puede obtenerse resolviendo una ecuación

=> por definición de logaritmo

=>

A una ecuación con logaritmos se le llama ecuación logarítmica

Resolver la ecuación logarítmica: => de:

verificar

=>

> verificar

=> => 3=3

=>

y verificamos

logaritmo de un número negativo no existe =

=> 3=3 =>

=> =>

=> => =>

no tiene solución pues y

16

log₁₀ x

log

₁₀

3 =

log

₁₀

16

log log₁₀

=

x

16

ln xln3=ln16

0986 . 1 7726 . 2 3 ln 16 ln = = x 08 . 0

53x−1 =

(

3

x

−

1 )

log

10

5 =

08 .

0 log

₁₀ 5 log 3 5 log 08 . 0 log + =

x x=

1

3

7x = x+ 1

10 107 log 3

log x = x+

3

log xlog7−xlog3=log3

7 log log = x x = 19

4 4 =19

x

19 log 4

log = 2.124

6021 . 2788 . 1 4 log 19 log = = = x a p p b b log log =

(

3 )

2 log

10 x

+

=

2 10 3= + x 97 =

(

4

)

log

(

3

)

3 log₂ x+ − ₂ x− =

3 4 log₂ 

     − + x x 4 =

x log₂

(

4+4

)

−log₂

(

4−

3

0

2 log

3

2

−

=

(

2

3 )

3 log

log

3

x

+

3

x

−

=

log

3

x

(

2 x

−

3 )

=

3

3 − = 2 9 = x

( )

9

3 log

3

−

=

3 27 log 6

log3 = 3 =

2 9 = x 4 3 =

− −x

4 3

1

3x − _x =

₃

2x

−

₁

=

₄

(

₃

0 1 4

2 ₋ ₋ ₌

u

=

2 ±

5

3

x

0

3x >

₂

−

₅

<

₀

=>

El logaritmo de un número de cualquiera base puede obtenerse resolviendo una ecuación

por definición de logaritmo

=>

de: =>

=>

un número negativo no existe => no sirve

=> 5237 . 2 47712 . 0 2040 . 1 3 log 16 10

10 = =

5237 . 2 0986 7726 ₌

08 .

0 log

10

=

1897 . 0 −

(

1

)

log3 7

log = x+ x 296 . 1 3 log 7 3 log = −

124 log₄19=2.124

a

x

b

=

log

_x =_ba

3 =    ₃ 2 3 4 ₌ − + x x

)

3 3 =

3

log₃

(

2x2 −3x

)

=3

)

x

3 ( ) ( )

3x 2 −43x −1=0

(12)

=> =>

=>

Determinar una variable en términos de otra:

Determinar la variable M

y nos queda:

Gm F r M

2

=

Determinar la variable w

Aislamos w en un lado y tratamos las otras variables como si fueran números

wh lw lh

A−2 =2 +2

⇒ ⇒

EJEMPLOS PROBLEMAS CON ECUACIONES

CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA: ENFOQUE DE

No hay reglas difíciles ni rapidas que aseguren el éxito al resolver problemas, pero es posible bosquejar unos pasos generales en el proceso de la resolución de problemas como los mostrados por GEORGE POLYA en su libro ¿CÓMO RESOLVERLO?

1- ENTENDIENDO EL PROBLEMA - Entender lo que dice el enunciado

- Sub-rayar las palabras desconocidas y buscarlas en el diccionario - Escribir el problema con sus propias palabras

- ¿qué pregunta el problema? - ¿qué datos me da el problema?

- ¿cuál es la incognita? Frases como qué?, Hallar, Cuánto?, Aqué distancia,Cuándo, etc…nos puede dar la pauta para ver que es lo que quiere el problema que resolvamos.

- ¿cuáles son las condiciones dadas? - Me falta o me sobra información

- Para cualquier problema es útil hacer un diagrama, identificando las cantidades dadas y las requeridas

2- CREAR O CONFIGURAR UN PLAN

5

2

3

x

=

+

log

(

)

3 log

236 . 2 2 log

= +

=

x

=>

=> verificar

Determinar una variable en términos de otra:

en la ecuación ₂

r mM G

F= debemos aislar

hacerlo paso a paso

w de la fórmula A=2lw+2wh+2lh

en un lado y tratamos las otras variables como si fueran números

(

l h

)

w lh

A−2 = 2 +2

⇒

h l

lh A w

2 2

2

+ − =

⇒

PROBLEMAS CON ECUACIONES

CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA: ENFOQUE DE GEORGE POLYA

reglas difíciles ni rapidas que aseguren el éxito al resolver problemas, pero es posible bosquejar unos pasos generales en el proceso de la resolución de problemas como los mostrados por GEORGE POLYA en su libro ¿CÓMO RESOLVERLO?

ENTENDIENDO EL PROBLEMA Entender lo que dice el enunciado

rayar las palabras desconocidas y buscarlas en el diccionario Escribir el problema con sus propias palabras

¿qué pregunta el problema? qué datos me da el problema?

¿cuál es la incognita? Frases como qué?, Hallar, Cuánto?, Aqué distancia,Cuándo, etc…nos puede dar la pauta para ver que es lo que quiere el problema que resolvamos.

¿cuáles son las condiciones dadas? Me falta o me sobra información

Para cualquier problema es útil hacer un diagrama, identificando las cantidades dadas

CREAR O CONFIGURAR UN PLAN

(

2 5

)

log 3

log x = + _log₃=_log

(

₂+ ₅

)

x

477 . 0

627 . 0

= x=1.314

=>

debemos aislar M

en un lado y tratamos las otras variables como si fueran números

PROBLEMAS CON ECUACIONES

GEORGE POLYA

reglas difíciles ni rapidas que aseguren el éxito al resolver problemas, pero es posible bosquejar unos pasos generales en el proceso de la resolución de problemas como los mostrados por

rayar las palabras desconocidas y buscarlas en el diccionario

¿cuál es la incognita? Frases como qué?, Hallar, Cuánto?, Aqué distancia,Cuándo, etc…nos puede dar la pauta para ver que es lo que quiere el problema que resolvamos.

Para cualquier problema es útil hacer un diagrama, identificando las cantidades dadas

(

)

3 log

5 2 log +

=

(13)

¿Qué estrategia podemos emplear? - Ensayo y error (Conjeturar y probar)

- Determinar la relación entre los datos y las incognitas

- Plantear o formular la ecuación que describa con precisión lo que se expresa con palabras e el enunciado

- Buscar un patrón - Hacer una lista o tabla

- Resolver un problema similar más simple

- Conoce algún teorema o fórmula que le puede ser útil para la solución - Utilice una gráfica

- Trabajar hacia atrás paso a paso - Resolución analítica de una ecuación - Utilización de una fórmula conocida - Usar un modelo matemático

- Regrese a las definiciones o a los conceptos qu

3- EJECUCIÓN DEL PLAN

- Implementar la(s) estrategia(s) hasta solucionar el problema o tomar un nuevo curso para resolverlo

- Al desarrollar su plan verifique cada uno de los pasos

- Si no logras resolverlo concedete un tiempo razonable e intentalo mas tarde - No dudes en empezar todo de nuevo si es necesario

4- MIRAR HACIA ATRAS - Es tu solución correcta? - Tu respuesta satisface

- Puedes obtener tus resultados por un camino diferente (otro método)? - Se puede resolver de manera mas sencilla?

- Revise lo hecho y así te familiarizarás con el método que ut

lo cual le podrá ser útil en la solución de un nuevo problema en el futuro

Descartes decía: “Cada problema que he resuelto se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otr

Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas

Además del Método de Cuatro Pasos de Polya

lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de pro

1.- Acepta el reto de resolver el problema.

2.- Reescribe el problema en tus propias palabras. 3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar... 4. - Habla contigo mismo.

5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples.

6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado no dudes en tomarte un descanso

inténtalo de nuevo.

7.- Analiza el problema desde varios ángulos.

8.- Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar

9.- Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita

¿Qué estrategia podemos emplear? Ensayo y error (Conjeturar y probar)

Determinar la relación entre los datos y las incognitas

Plantear o formular la ecuación que describa con precisión lo que se expresa con palabras e

Hacer una lista o tabla

Resolver un problema similar más simple

Conoce algún teorema o fórmula que le puede ser útil para la solución

Trabajar hacia atrás paso a paso Resolución analítica de una ecuación Utilización de una fórmula conocida Usar un modelo matemático

Regrese a las definiciones o a los conceptos que pueda utilizar

EJECUCIÓN DEL PLAN

Implementar la(s) estrategia(s) hasta solucionar el problema o tomar un nuevo curso para

Al desarrollar su plan verifique cada uno de los pasos

Si no logras resolverlo concedete un tiempo razonable e intentalo mas tarde No dudes en empezar todo de nuevo si es necesario

MIRAR HACIA ATRAS Es tu solución correcta?

Tu respuesta satisface lo establecido por el enunciado del problema? Puedes obtener tus resultados por un camino diferente (otro método)? Se puede resolver de manera mas sencilla?

Revise lo hecho y así te familiarizarás con el método que utilizó para resolver el problema lo cual le podrá ser útil en la solución de un nuevo problema en el futuro

Descartes decía: “Cada problema que he resuelto se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas”

Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas

odo de Cuatro Pasos de Polya parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de pro

Acepta el reto de resolver el problema.

Reescribe el problema en tus propias palabras. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...

Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. apropiado, trata el problema con números simples.

Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo

iza el problema desde varios ángulos.

tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a

Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita

Plantear o formular la ecuación que describa con precisión lo que se expresa con palabras en

Conoce algún teorema o fórmula que le puede ser útil para la solución

Implementar la(s) estrategia(s) hasta solucionar el problema o tomar un nuevo curso para

Si no logras resolverlo concedete un tiempo razonable e intentalo mas tarde

lo establecido por el enunciado del problema? Puedes obtener tus resultados por un camino diferente (otro método)?

ilizó para resolver el problema lo cual le podrá ser útil en la solución de un nuevo problema en el futuro

Descartes decía: “Cada problema que he resuelto se convirtió en una regla que sirvió

Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:

parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:

cuantas preguntas creas necesarias.

Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado se hará cargo-. Después

tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a

(14)

encontrar una para tener éxito.

10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.

11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.

12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y

que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces

necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución.

14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.

15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.

16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significa

Representar las expresiones siguientes por medio de símbolos algebraicos:

- Cuatro veces un cierto número menos tres. - Dos números cuya diferencia es 21.

- n cualquier número entero,

- 2n+1 cualquier número entero impar - La suma de tres enteros consecutivos:

- La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos:

- El cuadrado de un entero impar menos el cuadrado de un entero par para cualquier valor

de n ⇒

(

2n+1

)

2 −

- La diferencia positiva entre los cuadrados de dos enteros pares consecutivos. ⇒2n y 2n+2 enteros pares consecutivos

- El cuadrado entre la diferencia de dos números enteros impares consecutivos. ⇒ 2n+1 y 2n+

⇒

(

2n+3−2n−1

- El exceso de 100 sobre el triplo de un número. Sea sobre 3x es

(

100−

- El número de cm3 correspondientes a - _{Los centavos que hay en}

centavos

- El tiempo invertido por un móvil en recorrer una distancia de x kilómetros a una velocidad de 50 km/h. Distancia = Velocidad x Tiempo. Por lo tanto,

Tiempo = Distancia/Velocidad = x km

- Carlos es seis años mayor que Javier y éste tiene la mitad de años que Pablo, expresar sus edades en función de una sola de ellas.

edad de Pablo 2x

- El perímetro y el área de un rectángulo si uno de sus lados es 3cm más pequeño que el triple del otro. => un lado es

encontrar una para tener éxito.

No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.

La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.

Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y

que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces

necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

mpre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución.

Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.

que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.

¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa

Cuatro veces un cierto número menos tres. ⇒ 4x−3

Dos números cuya diferencia es 21. ⇒x y x+21 ó x y x−

cualquier número entero, 2n cualquier número entero par, cualquier número entero impar

La suma de tres enteros consecutivos: n+

(

n+1

) (

+ n+2

)

La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos: n2 +

(

n+

El cuadrado de un entero impar menos el cuadrado de un entero par para cualquier valor

( )

2

2n

−

positiva entre los cuadrados de dos enteros pares consecutivos. enteros pares consecutivos ⇒

(

2n+2

) (

2 − 2n

El cuadrado entre la diferencia de dos números enteros impares consecutivos.

3

+ enteros impares consecutivos ⇒

((

2n+

)

2

1 ⇒22 ⇒4

El exceso de 100 sobre el triplo de un número. Sea

x

el número dado, el exceso de 100

)

x

3

−

correspondientes a x litros => 1 litro 1000

entavos que hay en y pesos. Como $1 tiene 100 centavos entonces $

El tiempo invertido por un móvil en recorrer una distancia de x kilómetros a una velocidad de 50 km/h. Distancia = Velocidad x Tiempo. Por lo tanto,

Tiempo = Distancia/Velocidad = x km / 50 km/h = x/50 h

Carlos es seis años mayor que Javier y éste tiene la mitad de años que Pablo, expresar sus edades en función de una sola de ellas. => edad de Javier _x

El perímetro y el área de un rectángulo si uno de sus lados es 3cm más pequeño que el triple del otro. => un lado es 3x el lado adyacente es 3x−3 => perímetro es

La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones

Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces

necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a

mpre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el

Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo

que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con

tiva

21 ó x−y=21

) (

2

)

2

1 + +

+ n

El cuadrado de un entero impar menos el cuadrado de un entero par para cualquier valor

positiva entre los cuadrados de dos enteros pares consecutivos.

)

2 n

El cuadrado entre la diferencia de dos números enteros impares consecutivos.

) (

))

2

1 2

3 − n+

el número dado, el exceso de 100

3

1000cm ⇒1000.x

pesos. Como $1 tiene 100 centavos entonces $ y= 100 y

El tiempo invertido por un móvil en recorrer una distancia de x kilómetros a una velocidad de 50 km/h. Distancia = Velocidad x Tiempo. Por lo tanto,

Carlos es seis años mayor que Javier y éste tiene la mitad de años que Pablo, expresar sus

x, edad de Carlos x+6 y

(15)

y el área es 3x2 −3

- Los tres ángulos A, B y C de un triángulo sabiendo que A es igual al doble de C más 10º Sea C = xº entonces A = (2x+10º) y como A+B+C = 180º, B = 180º

- La fracción cuyo denominador es igu

═>

4 2x2 +

x

- La suma de la tercera y cuarta parte de un número equivale al duplo del número disminuido

en 15. => x el número =>

Ejercicio:

Sabiendo que: x representa la edad de Cecilia y y la edad de Betty Representar en lenguaje algebraico:

a- La suma de ambas edades es 32 años

b- La edad de Cecilia hace tres años era igual a 15 años c- La edad de Betty dentro de 5 años será de 19 años d- La edad de Cecilia excede en 4 años a la de Betty

e- El doble de la edad de Cecilia menos la edad de Betty equivale a 22 años f- El doble de la suma de ambas edades equivale a 64 años

g- Dentro de 10 años la edad de Cecilia será el triple de la de Betty h- Hace 10 años la edad de Cecilia era el doble de la de Betty

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1) En el curso de álgebra un estudiante obtiene califica

segundo corte. ¿Qué calificación en el tercer corte le dará una nota definitiva de 4.0 ⇒ Sea x = calificación del tercer corte

Calificación promedio =

⇒ x=4.9 la calificación del tercer corte debe ser 4.9

Comprobación o verificación del resultado

2) Un supermercado, hace una venta de ofertas, anuncia que ha reducido todos los precios en un 20% si una camiseta se vende en $28.000. ¿Cuál era su precio antes del descuento? y ¿Cuál fue el descuento de la camiseta?

⇒ x = precio de la camiseta antes del descuento.

⇒ 0.20x= Descuento del 20 % al precio antes del descuento ⇒ precio de la camiseta rebajada = precio an

⇒ x−0.20x =28000

El precio de la camiseta antes del descuento era de $35000 ⇒ El descuento fue de

x

3

Los tres ángulos A, B y C de un triángulo sabiendo que A es igual al doble de C más 10º Sea C = xº entonces A = (2x+10º) y como A+B+C = 180º, B = 180º

La fracción cuyo denominador es igual al doble del cuadrado del numerador, mas cuatro

La suma de la tercera y cuarta parte de un número equivale al duplo del número disminuido

el número => x₃+x₄=2x−15

Sabiendo que: x representa la edad de Cecilia y y la edad de Betty Representar en lenguaje algebraico:

La suma de ambas edades es 32 años

La edad de Cecilia hace tres años era igual a 15 años Betty dentro de 5 años será de 19 años La edad de Cecilia excede en 4 años a la de Betty

El doble de la edad de Cecilia menos la edad de Betty equivale a 22 años El doble de la suma de ambas edades equivale a 64 años

Dentro de 10 años la edad de Cecilia será el triple de la de Betty Hace 10 años la edad de Cecilia era el doble de la de Betty

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1) En el curso de álgebra un estudiante obtiene calificaciones de 3.2 y 3.9 en el primer y segundo corte. ¿Qué calificación en el tercer corte le dará una nota definitiva de 4.0

Sea x = calificación del tercer corte

Calificación promedio =

3 9 . 3 2 .

3 + +x

=4.0 resolvemos ésta ecuación

la calificación del tercer corte debe ser 4.9

Comprobación o verificación del resultado 4.0 3

9 . 4 9 . 3 2 . 3

= + +

supermercado, hace una venta de ofertas, anuncia que ha reducido todos los precios en un 20% si una camiseta se vende en $28.000. ¿Cuál era su precio antes del descuento? y ¿Cuál fue el descuento de la camiseta?

x = precio de la camiseta antes del descuento.

Descuento del 20 % al precio antes del descuento precio de la camiseta rebajada = precio antes del descuento

28000 resolvemos ésta ecuación ⇒ x=35000

El precio de la camiseta antes del descuento era de $35000 El descuento fue de 0.20_x35000=7000

Los tres ángulos A, B y C de un triángulo sabiendo que A es igual al doble de C más 10º Sea C = xº entonces A = (2x+10º) y como A+B+C = 180º, B = 180º - (A+C) = (170-3x)º

al al doble del cuadrado del numerador, mas cuatro

La suma de la tercera y cuarta parte de un número equivale al duplo del número disminuido

El doble de la edad de Cecilia menos la edad de Betty equivale a 22 años

ciones de 3.2 y 3.9 en el primer y segundo corte. ¿Qué calificación en el tercer corte le dará una nota definitiva de 4.0

resolvemos ésta ecuación

0

supermercado, hace una venta de ofertas, anuncia que ha reducido todos los precios en un 20% si una camiseta se vende en $28.000. ¿Cuál era su precio antes del descuento? y

Descuento del 20 % al precio antes del descuento

tes del descuento – descuento

(16)

3) Hallar dos números cuya suma es 21, uno de ellos es el doble del otro. => Sean los números

=> x+2x = 21 =>

4) Hallar tres enteros pares consecutivos cuya suma sea 42 => los tres enteros pares consecutivos son: => 2n+

(

2n+2

)

+

=> los tres enteros pares consecutivos son 12 14 y 16

5) Las dos cifras de un número son consecutivas, la mayor es la de las d es igual a siete veces la suma de las cifras, menos seis. Cuál es el número? => x la cifra de las unidades y

=> el número es 10 => 10x+10+x=14

=> el numero de dos cifras es

6) Hallar la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que si se aumenta en 2 metros cada lado su área se incrementa en 36 m²

=> x lado del cuadrado =>

=> x+2 lado del nuevo cuadrado =>

=>

(

x+2

)

2 =x2

7) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 20 cm, la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto, hallar la longitud de los lados desconocidos del triángulo.

=> x longitud del cateto desconocido del triángulo x+10 la longitud de la hipotenusa y

=> por Pitágoras

=> los lados del triángulo rectángulo son:

8) Una compañía publicitaria tiene una vieja computadora que para preparar todo el trabajo tarda seis horas; con la ayuda de un nuevo modelo de computador se termina todo el trabajo en dos horas ¿cuánto tiempo tardará el nuevo modelo en realizar sola todo el trabajo?

=> x tiempo que tarda la nueva comp

Rapidez del modelo viejo 1/6 del trabajo x hora

Rapidez del modelo nuevo

=> parte del trabajo terminado por modelo viejo en dos horas + parte del trabajo terminado por modelo nuevo en dos horas = 1 trabajo terminado

=>

( ) ( )

2 1 2 6

1

= +

x

9) Una persona invierte $3.000.000 en acciones y recibe anualmente $240. 3) Hallar dos números cuya suma es 21, uno de ellos es el doble del otro.

=> Sean los números x y 2x los dos números pedidos => x = 7 => los dos números son 7 y 14

4) Hallar tres enteros pares consecutivos cuya suma sea 42

=> los tres enteros pares consecutivos son: 2n , 2n+2 y

(

2 +4

)

=42

+ n => 6n+6 =42 => n =6

=> los tres enteros pares consecutivos son 12 14 y 16

5) Las dos cifras de un número son consecutivas, la mayor es la de las d es igual a siete veces la suma de las cifras, menos seis. Cuál es el número?

la cifra de las unidades y x+1 la cifra de las decenas (son consecutivas)

(

x+1

)

+x

10 _=>10

(

x+1

)

+x=7

(

x+x+1

)

−

6 7

14x+ − _=>3x =9x=3_{=> las cifras son}

el numero de dos cifras es 43

6) Hallar la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que si se aumenta en 2 metros cada lado su área se incrementa en 36 m²

lado del cuadrado => x2 área del cuadrado

lado del nuevo cuadrado =>

(

x+2

)

2 área del nuevo cuadrado

36

+ => x =8 => el lado del cuadrado es de 8 metros

Un cateto de un triángulo rectángulo mide 20 cm, la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto, hallar la longitud de los lados desconocidos del triángulo.

longitud del cateto desconocido del triángulo

la longitud de la hipotenusa y 20cm el cateto conocido => por Pitágoras h2 =c₁2 +c₂2 =>

(

x+10

)

2 =x2 +202 => los lados del triángulo rectángulo son: c₁=20cm c₂ =15cm

tiempo que tarda la nueva computadora en hacer sola todo el trabajo Rapidez del modelo viejo 1/6 del trabajo x hora

Rapidez del modelo nuevo

x

1 del trabajo x hora

1 => x=3 la nueva haría sola el trabajo en tres horas

9) Una persona invierte $3.000.000 en acciones y recibe anualmente $240. 3) Hallar dos números cuya suma es 21, uno de ellos es el doble del otro.

y 2n+4

5) Las dos cifras de un número son consecutivas, la mayor es la de las decenas, el número es igual a siete veces la suma de las cifras, menos seis. Cuál es el número?

la cifra de las decenas (son consecutivas) 6

=> las cifras son 3 y 4

6) Hallar la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que si se aumenta en 2 metros cada lado su

área del nuevo cuadrado

=> el lado del cuadrado es de 8 metros

Un cateto de un triángulo rectángulo mide 20 cm, la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro

el cateto conocido => x =15

cm y h=25cm

utadora en hacer sola todo el trabajo

la nueva haría sola el trabajo en tres horas