Ingeniería Matemátia
Universidad de Chile
Usaestasnotasal margenpara on-sultar de manera másrápidael ma-terial. Haz tam-bién tus propias anotaiones.
H
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08- 1
Ahí enontrarás las guías de ejeriios
y problemas, además de informaión
aeradeuálseráladinámiadelurso.
SEMANA 1: NÚMEROS REALES
1.
Números Reales
1.1.
Introducción
El onjunto de los números reales, denotado por
R
, es simplemente un onjunto uyoselementos se llaman númerosreales, en el ual se denen dos operaiones llamadassuma o adiióny multipliaión oproduto. El onjuntoR
onestasoperaionessatisfaepropiedadesquelohaenúnio. EnR
existennumerosaspropiedadesquehansidousadasdurante losaños deenseñanzabásiay media.Estas propiedadespueden agruparseentres familias:elprimer grupoorrespondeaaquellasasoiadasalaigualdady laseuaiones;elsegundogrupoorrespondealaspropiedadesentornoa la desigualdad y las ineuaiones; nalmente, existe un onjunto de pro-piedadesavanzadasque maraladiferenia entre losnúmerosrealesy los raionales(lasfraiones),estaspropiedadessepreoupandelaestrutura internadelosnúmerosreales.Estasúltimaspropiedadesseonoenomoelaxiomadelsupremo. Unaposibilidaddeestudiarlaspropiedadesde
R
seríadarunlargolistado detodasellasdemodoqueuandosenospreguntesiunapropiedaddada esiertaono,bastaríaondeir:sí,orrespondealapropiedad1743(por ejemplo). Esto transformaríaalurso de matemátias en unodonde sólo habríaquememorizarinnitas propiedades.Enesteurso,esogeremosunavisiónopuestaalaanterior.Esdeir,todas las propiedadesdeben seruna onseuenia de iertos postulados básios elementales. Lospostuladosbásioselementalesse llamanaxiomay serán los pilares fundamentales de nuestra teoría. Las propiedades de
R
serán sóloaquellasquepuedenserdeduidas,medianteunarazonamiento lógio-matemátio,apartirdelosAXIOMAS.Agruparemoslosaxiomasentresgrupos:Losaxiomasdeuerpo(asoiados alaigualdad),losaxiomasdeorden(asoiadosaladesigualdad)yelaxioma delsupremo(quemaraladifereniaentre losrealesylosraionales). Juntandotodoslosaxiomasquesatisfae
R
,sueledeirse,enpoaspalabras queR
esunCuerpoOrdenadoCompletoyArquimediano.1.2.
Axiomas de Cuerpo de los Reales
Losaxiomasde
R
entornoalaigualdadtambiénsonllamadosaxiomasde uerpodelosreales.Losagruparemosenuntotalde5,delosualeslosdos primerossonlossiguientes:Ax.1.Conmutatividad Axioma 1. (Conmutatividad)
independientedelordenenqueseusenlosdossumandos,esdeir:
(
∀
x, y
∈
R
)
x
+
y
=
y
+
x.
b) Paraelprodutoseumplelamismapropiedadelemental,esdeir:
(
∀
x, y
∈
R
)
x
·
y
=
y
·
x.
Ax.2.Asoiatividad Axioma 2. (Asoiatividad)
a)
(
∀
x, y, z
∈
R
)
x
+ (
y
+
z
) = (
x
+
y
) +
z
b)(
∀
x, y, z
∈
R
)
x
·
(
y
·
z
) = (
x
·
y
)
·
z
ObservemosqueelaxiomadelaasoiatividadNODICEque
x
+ (
y
+
z
) =
(
x
+
z
) +
y
. Sin embargo esta última igualdad es una propiedad ierta, graiasalaombinaiónapropiadadelosdosaxiomasanteriores.Enefeto,veamoselsiguientedesarrollo:
x
+ (
y
+
z
) =
x
+ (
z
+
y
);
Graiasalaxioma1=
(
x
+
z
) +
y
;
Graiasalaxioma2.
Porlo tanto, ombinando losdos axiomas anteriores,se onluye que los operandos de una triple suma, se pueden reordenar de ualquier forma que sedesee, sin ambiar elresultado. Es porestarazón, que engeneral, uando hay varios sumandos, no se usan los paréntesis, ano ser que sea estritamente neesario.
Ejeriios1.1: Demostrarlassiguientesigualdades,usandosololos axio-mas1y2.
1.
(
a
+
b
)+
c
= (
a
+
c
)+
b
= (
b
+
a
)+
c
= (
b
+
c
)+
a
= (
c
+
a
)+
b
= (
c
+
b
)+
a
. Aquí sehanesritotodoslosordenamientosposiblesdelosrealesa
,b
yc
.2.
(
x
+
y
) + (
z
+
w
) = (
x
+
w
) + (
z
+
y
) = (
w
+
y
) + (
x
+
z
)
.
El terer axioma, que sigue, ompleta las propiedades de manipulaión algebraiadelasumayelproduto.
Ax.3.Distributividad Axioma 3. (Distributividad)
Observemosqueenestetereraxioma,lapropiedad(b)esuna onseuen-ia dela(a) máslosaxiomasprevios(máspreisamente,elde onmutati-vidaddelproduto).Esdeir,esteaxiomaesredundanteyporlotantono debieraseraxioma.Sinembargo,llamaremosaambaspropiedadesaxiomas, pudiéndoseutilizarlibremente,unaolaotra,enlasdemostraiones. Los axiomas 4 y 5 entregan la existenia de iertos elementos espeiales enR
.
Unaonseueniadiretadeellos esqueelonjunto delosnúmeros reales no es vaío. Sin embargo, omo veremos más adelante, on estos axiomaselonjunto delosnúmerosrealestodavíapodríatenermuypoos elementos.Ax.4a.Elem.neutro suma Axioma 4a. (Existenia de elementosneutros)
En
R
existeniertosnúmerosdenotadosporlaletrae
quenoafetanel resultadodelaoperaiónsuma. Esdeir(
∀
x
∈
R
)
x
+
e
=
x.
Todos los elementos
e
que umplen esta propiedad se llaman neutros paralasuma.Notemosqueesteaxiomanosgarantizalaexisteniadeelementosneutros para lasuma. Sinembargonodieuantoshay(enrealidaddieque hay unaantidadmayoroigualauno).
Si revisamosnuestrosantiguos onoimientosde
R
, reordaremosquehay sólounneutro.Estaúltimaarmaiónpuededemostrarseusandolos axio-mas,ylallamaremosunteorema(elprimerodelurso).Teorema 1.1. Elelementoneutroparalasuma esúnio.
Observaión: Unavezdemostradoelteorema,podremosponerleun nom-breespeialalúnioneutroaditivo.Lollamaremosero yloanotaremos
0
. Veamoslademostraióndel teorema:Demostraión. Usandoelaxiomaanterior,sabemosqueexisten elemen-tos neutros. Digamosque hemos enontrado uno y lo llamamos
e
1
. Este realsatisfaelapropiedad(
∀
x
∈
R
)
x
+
e
1
=
x.
(1.1)Pensemosqueporalgúnotroaminohemosenontradounneutro
e
2
,pero nosabemossiesonoelmismoanterior.Esteneutrosatisfaelapropiedad(
∀
x
∈
R
)
x
+
e
2
=
x.
(1.2)Parademostrarqueelneutroesúnio,debemosprobarqueneesariamente
Usando
e
2
enlaigualdad(1.1)ye
1
enlaigualdad(1.2)obtenemosquee
2
+
e
1
=
e
2
e
1
+
e
2
=
e
1
.
Almirarestadosexpresionesvemosqueloúnioquefaltaparaonluirla igualdad,esusarelaxiomadelaonmutatividad,quediequeelresultado deunasumaesindependientedelordendelossumandos.Asíseobtieneel resultado.
Enuna línea,loanteriorseresumeen
e
1
=
e
1
+
e
2
=
e
2
+
e
1
=
e
2
.
Aontinuaiónenuniamoselaxioma4orrespondientealproduto.
Ax.4b.Elem.neutro prod Axioma 4b. (Existeniade elementosneutros)
En
R
existeniertosnúmerosdenotadosporlaletrae
que,porunlado son diferentes de0y porotro noafetan enlaoperaiónproduto.Es deir(
∀
x
∈
R
)
x
·
e
=
x.
Todos los elementos
e
que umplen esta propiedad se llaman neutros paraelproduto.Nuevamente, este axioma sólo nos garantiza la existenia de elementos neutrosparaelproduto.
Enesteasonuevamentesepuedeprobarelteoremaquediequelosneutros sonúnios,esdeir:
Teorema 1.2. Elelementoneutroparaelprodutoesúnio.
Observaión:
Lademostraióndeesteteoremaesanálogaalasodelasumaypor lotantoseproponeomoejeriio.
Alúnioneutroparaelprodutolollamaremosunoyloanotaremos
1
.
El axiomadieademásque
1
6
= 0
.
a) Paraada
x
∈
R
,existenrealesasoiadosax
,quesellaman opues-tosoinversosaditivosdex
,quesatisfaen:x
+
opuesto(
x
) = 0
.
b) Análogamente,paraada
x
∈
R
onx
6
= 0
,existeninversos multi-pliativosoreíproosdex
, quesatisfaen:x
·
reíproo(
x
) = 1
.
Teorema 1.3.
1.
∀
x
∈
R
,
suelementoopuestoes únio.2.
∀
x
∈
R
, x
6
= 0
,suelementoreíprooes únio.Demostraión. Sean
p
1
yp
2
opuestosdelmismoreal arbitrariox.
Ellos satisfaenlaseuaionesx
+
p
1
=
0
(1.3)x
+
p
2
=
0
.
(1.4)Loquedebemosprobares:
P.D.Q:
p
1
=
p
2
.
Enefeto,usandolaseuaionesanterioresylosaxiomas,tenemosque
p
1
=
p
1
+ 0
,
aquíhemosusadoelaxiomadelelemento neutro,=
p
1
+ (
x
+
p
2
)
,
aquíhemosusadolaeuaión(1.4),
= (
p
1
+
x
) +
p
2
,
aquíhemosusadoelaxiomadelaAsoiatividad,
= (
x
+
p
1
) +
p
2
,
aquíhemosusadoelaxiomadelaConmutatividad,= 0 +
p
2
,
hemosusadolaeuaión(1.3),
=
p
2
+ 0
,
hemosusadoelaxiomadelaConmutatividad,=
p
2
,
hemosusadonuevameelaxiomadelE.N.Observaión:
Lademostraióndelauniidaddelinversomultipliativoesanáloga yporlotantosedejapropuestaomoejeriio.
Los inversos aditivosy multipliativos de
x
se anotan simplemente por−
x
yx
−
1
,respetivamente.
Con los5axiomas enuniadosanteriormente, dedie que
R
on las operaiones+
y·
formaunCuerpo.Seanotaondensadamenteomo
(
R
,
+
,
·
)
esunCuerpo.1.3.
Propiedades en
R
relacionadas con la igualdad
A ontinuaión demostraremos otras propiedades de los números reales. Muhasdeellassononoidasdelolegio.Nosinteresarárevisarlasporun dobleobjetivo.Porun ladoesbueno reordarlas(y/oaprenderlas), ypor otroqueremosverporquésoniertasy omosededuenellas apartirde los5axiomasdeuerpoanteriores.
Comenemos por la propiedad másemblemátia de este apítulo,aquella quetodoelmundo onoe,algunospiensan queesunaxiomaperoen rea-lidadesunapropiedadquesededuedelosaxiomas.
Setratadelatabladelero. Propiedad 1.
∀
a
∈
R
seumplea
·
0 = 0
.
Notemosquelatabladeluno,quedie
a
·
1 =
a.
Osea,latabladeunoesun axioma(¾reuerdaual?).Perolatabla deleroES UNAPROPIEDAD. Demostraión. Seaa
∈
R
unrealualquiera.Debemosprobarquea
·
0 =
0
.
Oseadebemosprobarqueelreal
a
·
0
eselneutroaditivoenR
.
Paraonluiresto,debemosprobarqueelreal
a
·
0
satisfaelapropiedad∀
x
∈
R
,
x
+
a
·
0 =
x
(1.5)Comenemosporprobarquelapropiedad(1.5)esiertapara elreal
a
(en lugardex
),oseaquea
+
a
·
0 =
a.
Enefeto,notemosque
Observaión: Antesdeontinuar,reonozaualesfueronlosaxiomas usadosenadaunadelas4igualdadesanteriores.
Esta primerapropiedad, nosenseña asimpliar eltérmino
a
·
0
uando apareesumadoona.
Debemosprobarqueengeneralsepuedesimpliar uandoestásumadoonualquierosa.Vamosahoraporlapropiedad(1.5)engeneral.Lalaveeshaerapareer lasuma
a
+
a
·
0
queyaonoemos:x
+
a
·
0 =
x
+ [0 +
a
·
0]
=
x
+ [(
a
+ (
−
a
)) +
a
·
0]
=
x
+ [((
−
a
) +
a
) +
a
·
0]
=
x
+ [(
−
a
) + (
a
+
a
·
0)]
,
aquíapareiólasumaonoida=
x
+ [(
−
a
) +
a
]
=
x
+ [
a
+ (
−
a
)]
=
x
+ 0 =
x
Conseuenia: Una onseuenia importante de estaprimera propiedad esque
NOEXISTEELINVERSOMULTIPLICATIVODELCERO. En efeto,si existieradebieraumplir
0
·
0
−
1
= 1
y también lapropiedad
0
·
0
−
1
= 0
, dedonde seobtendría
0 = 1
,
loqueontradieelaxioma del neutromultipliativo.Sielimináramoslarestriión
0
6
= 1
delosaxiomas,entoneseneseaso0
tendríareíproo,perolosrealesseríanunonjuntotrivialreduidosóloal ero,yaque∀
a,
a
=
a
·
1 =
a
·
0 = 0
.
1.4.
Otras Propiedades en
R
Propiedad 2. En
R
,las euaiones a)a
+
x
=
b
b)
a
·
x
=
b
(
a
6
= 0)
Tienensoluión, y dihasoluión esúnia.
Haremossólolademostraióndelaparte(a).Comoejeriiodebe demos-trarquelasoluiónúniadelaparte(b)es:
x
=
b
·
a
−
1
.
a
+
x
=b
;omoa
∈
R
entonesexiste(
−
a
)
∈
R
(
−
a
) + (
a
+
x
)
=(
−
a
) +
b
;asoiando[(
−
a
) +
a
] +
x
=(
−
a
) +
b
;pero(
−
a
) +
a
= 0
pordeniión deelementoinverso0 +
x
=(
−
a
) +
b
;pero0 +
x
=
x
pordeniióndeelementoneutrox
=(
−
a
) +
b.
Elproblemadeeste áluloformal, esquehemostransformadouna igual-dad que no sabemossi es ierta ono. Sin embargo,nos entrega unbuen andidatoasoluión.
La verdadera demostraión omienza aquí, diiendo: Sea
α
= (
−
a
) +
b
, veamosqueesterealsatisfaelaeuaión.Enefeto
a
+
α
=
a
+ [(
−
a
) +
b
] = [
a
+ (
−
a
)] +
b
= 0 +
b
=
b.
Estoonluyelademostraióndelaexisteniadealmenosunasoluiónde laeuaión.
Ahoraveamosqueestasoluiónesúnia.Paraello,supongamosquehemos enontrado los reales
x
1
yx
2
, los que son soluiones dea
+
x
=
b.
La uniidad quedará demostrada, si on sólo esta hipótesis, se onluye quex
1
=
x
2
.
Veamos:
a
+
x
1
=
b
yademása
+
x
2
=
b
entones,a
+
x
1
=
a
+
x
2
entones,
(
−
a
) + [
a
+
x
1
] =
(
−
a
) + [
a
+
x
2
]
entones,[(
−
a
) +
a
] +
x
1
=
[(
−
a
) +
a
] +
x
2
entones,0 +
x
1
=
0 +
x
2
entones,
x
1
=
x
2
.
Conestoseonluyelademostraióndelauniidaddesoluiones.
1.5.
Definiciones importantes
LauniidadquenosdalaPropiedadanteriormotivalassiguientes deni-iones:
Deniión1.1 (Diferenia yuoiente).
Llamaremosdiferenia entre
a
yb
al realx
=
b
+ (
−
a
)
y se denota porx
=
b
−
a.
Conesto, la propiedad anteriorseresumeenEl resultadode la euaión (b)
x
=
b
·
a
−
1
sedenomina uoientede
b
pora
y se denota por la fraiónx
=
b
a
, o bien por el uoientex
=
b
:
a.
Luego si
a
6
= 0
se tieneque:a
·
x
=
b
siy sólo six
=
b
a
.
Observaión: Delauniidaddesoluionesdeestaseuaionessededuen variasvariantesútilesenproesosalgebraios:
1. Leydeanelaiónparalasuma:
a
+
b
=
a
+
c
entonesb
=
c.
En efeto, puede deirse que
b
yc
son las soluiones de la misma euaióna
+
x
=
a
+
c.
Como lasoluiónde estaeuaiónesúnia, entonesb
=
c.
2. Leydeanelaiónparaelproduto:uando
a
6
= 0
,a
·
b
=
a
·
c
entonesb
=
c.
En efeto,análogamentealasoanterior,puededeirseque
b
yc
son lassoluionesdelamisma euaióna
·
x
=
a
·
c.
3. Resoluióndelaeuaiónlinealgeneral
a
·
x
+
b
= 0
,
dondea
6
= 0
.
Combinandolasdospartesdelaproposiiónanterior,seobtieneque, primero(usandolapartedelasuma)
a
·
x
=
−
b
yporotroparaelproduto
x
=
−
b
a
.
Propiedad 3(Regla de los inversos). i)
−
(
−
a
) =
a
∀
a
∈
R
ii)(
a
−
1
)
−
1
=
a
∀
a
∈
R
∗
;
R
∗
=
R
\ {
0
}
Demostraión. En elprimerasodebeprobarsequeelopuestode
(
−
a
)
esa.
Reordemosqueelopuestode
(
−
a
)
esunnúmerop
queumplelarelaiónPuesbiendebemosprobarque
a
esdihonúmero,esdeir P.D.Q:(
−
a
) +
a
= 0
.
Notemosque unavezque selogróomprenderelproblema aeste nivel,y logramosidentiarqueesloquehayqueprobar,lademostraiónmisma essenilla.
Enefeto:setieneque
(
−
a
) +
a
=
a
+ (
−
a
) = 0
.
Lademostraióndelaso(ii)esanálogaydebehaerlaomoejeriio.
Notemosquedeaquí,seobtienelaregladeontarlossignos.Así
−
(
−
(
−
(
−
(
−
a
)))) =
−
a
,et.Propiedad 4(Reglas de los signos). i)
a
·
(
−
b
) =
−
(
a
·
b
) =
−
ab
ii)(
−
a
)
·
(
−
b
) =
a
·
b
iii)
−
(
a
+
b
) = (
−
a
) + (
−
b
) =
−
a
−
b
iv)(
a
·
b
)
−
1
=
a
−
1
·
b
−
1
v)
a
−
(
b
+
c
) =
a
−
b
−
c
vi)a
−
(
b
−
c
) =
a
−
b
+
c
Demostraión. Comenemosporlapropiedad(i).Sedebeprobarsólola primeraigualdad,yaquelasegundaesunanotaióndelsegundotérmino. EstaigualdadpretendequeEL OPUESTODE
(
a
·
b
)
eselreala
·
(
−
b
)
.
PorlotantodebemosprobarlosiguienteP.D.Q.:
(
a
·
b
) + [
a
(
−
b
)] = 0
.
Veamossiestoúltimoesonoierto:
(
a
·
b
) + [
a
(
−
b
)] =
a
·
[
b
+ (
−
b
)]
=
a
·
0
=
0
.
Observaión: Antesdeontinuar,reonozaualesfueronlosaxiomas usadosenadaunadelas3igualdadesanteriores.
Parademostrarlapropiedad(ii)usamoslapropiedad(i)dosveesenforma suesiva.En efeto
(
−
a
)
·
(
−
b
) =
−
[(
−
a
)
·
b
]
=
−
[
b
·
(
−
a
)]
=
−
[
−
(
b
·
a
)]
=
ab.
Parademostrarlapropiedad(iii)debemosprobarqueelopuestode
(
a
+
b
)
eselnúmeroreal(
−
a
) + (
−
b
)
.
Esdeir,debemosprobarque
P.D.Q.:
(
a
+
b
) + [(
−
a
) + (
−
b
)] = 0
.
Estoefetivamente esiertoyaque
(
a
+
b
) + [(
−
a
) + (
−
b
)] = [(
a
+
b
) + (
−
a
)] + (
−
b
)
= [(
b
+
a
) + (
−
a
)] + (
−
b
)
= [
b
+ (
a
+ (
−
a
))] + (
−
b
)
= [
b
+ 0] + (
−
b
)
=
b
+ (
−
b
) = 0
.
La propiedad(iv) esanáloga ala (iii), ambiando laoperaiónsuma por produto.Debehaerseomoejeriio.
Parademostrar lasúltimas dos propiedades,deben ombinarsela propie-dadesyademostradas.Hagamoslapropiedad(v).La propiedad(vi)debe haerseomoejeriio.
Lademostraiónserealizatomandoelladoizquierdoyonluyendoquees igualalladodereho.
Veamos:
a
−
(
b
+
c
) =
a
+ [
−
(
b
+
c
)]
=
a
+ [(
−
b
) + (
−
c
)]
=
a
+ (
−
b
) + (
−
c
)
= (
a
−
b
)
−
c.
Propiedad 5.
x
·
y
= 0
⇒
(
x
= 0)
∨
(
y
= 0)
Demostraión. Lapropiedad die queada vez que elprodutodedos realesseaero,entonesalgunodelosfatoresdebeserero.
Parademostrarlasetomalaigualdad
x
·
y
= 0
omoundatoy serazona hasta onluir que es ierto quex
= 0
o bieny
= 0
.
(Así es omo se demuestraengeneralunaimpliaión).Porlotantosabemosque
x
·
y
= 0
.
P.D.Q.:
x
= 0
obieny
= 0
.
Claramente
x
puede o no ser ero. Si lo fuera, entones la demostraión estaríaonluida.Solonosfaltaríaverquepasasi
x
6
= 0
.
Enesteasolaigualdadx
·
y
= 0
seveomouna euaión,en laualsepuede despejar
y
dividiendoporx
(multipliandoporx
−
1
).Haiendoestoseonluyeque
y
= 0
.
Porlotanto,obien
x
= 0
,
obienx
6
= 0
,
peroenesteasoy
= 0
.
Conlusión:Algunodelosrealesdebeserero.
1.5.1.
Propiedades adicionales
1.
ac
bc
=
a
b
∀
a, b, c,
∈
R
, onb, c
6
= 0
2.
a
b
±
c
d
=
ad
±
bc
bd
∀
a, b, c, d
∈
R
, onb, d
6
= 0
3.
a
b
·
c
d
=
ac
bd
∀
a, b, c, d
∈
R
,onb, d
6
= 0
4.
a
b
:
c
d
=
ad
bc
∀
a, b, c, d
∈
R
,onb, c, d
6
= 0
5.
(
a
±
b
)
2
=
a
2
6.
(
a
±
b
)
3
=
a
3
±
3
a
2
b
+ 3
ab
2
±
b
3
7.
(
a
+
b
)(
a
−
b
) =
a
2
−
b
2
8.
(
a
−
b
)(
a
2
+
ab
+
b
2
) =
a
3
−
b
3
9.
(
a
+
b
)(
a
2
−
ab
+
b
2
) =
a
3
+
b
3
Observaión:Enestaspropiedadessehanusadolasnotaionessiguientes
ab
=
a
·
b
1 + 1 = 2
,
2 + 1 = 3
,
3 + 1 = 4
,
et.
a
·
a
=
a
2
,
a
2
·
a
=
a
3
,
a
3
·
a
=
a
4
,
et.
Además, el símbolo
±
representa el que la propiedad es ierta si se re-emplazantodaslasapariionesde±
por+
,osi sereemplazan todaspor−
.
Demostraión. 1.
ac
bc
=
ac
(
bc
)
−
1
=
ac
(
b
−
1
c
−
1
)
=
ac
(
c
−
1
b
−
1
)
=
a
(
cc
−
1
)
b
−
1
=
a
·
1
·
b
−
1
=
ab
−
1
=
a
b
2.
a
b
±
c
d
=
ab
−
1
±
cd
−
1
=
ab
−
1
dd
−
1
±
cbb
−
1
d
−
1
=
ad
(
bd
)
−
1
±
bc
(
bd
)
−
1
= (
ad
±
bc
)(
bd
)
−
1
=
ad
±
bc
bd
3.
a
b
·
c
d
=
ab
−
1
cd
−
1
=
ac
(
bd
)
−
1
=
ac
4.
a
b
:
c
d
=
ab
−
1
:
cd
−
1
=
ab
−
1
·
(
cd
−
1
)
−
1
=
ab
−
1
·
(
c
−
1
d
)
=
ad
(
bc
)
−
1
=
ad
bc
5.
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)(
a
+
b
)
=
a
2
+
ab
+
ba
+
b
2
=
a
2
+ 2
ab
+
b
2
6.
(
a
+
b
)
3
= (
a
+
b
)
2
(
a
+
b
)
= (
a
2
+ 2
ab
+
b
2
)(
a
+
b
)
=
a
3
+ 3
a
2
b
+ 3
ab
2
+
b
3
Reexión Antesdeontinuar,reonozaualesfueronlosaxiomasy pro-piedadesusadosenadaunadelasigualdadesanteriores. Lademostraión delaspropiedadesrestantesdebehaerseomoejeriio.
1.5.2.
Otros Cuerpos
Considereelonjuntoformadopordoselementossiguiente:
A
=
{♥
,
△}
.
Enesteonjuntosedenendosoperaiones
◦
,
∗
mediantelastablas siguien-tes◦
♥
△
♥
♥
△
△
△
♥
∗
♥
△
♥
♥
♥
△
♥
△
Notemos que este onjunto on las operaiones desritas, o sea
(
A,
◦
,
∗
)
, satisfaetodoslosaxiomasdeuerpo.Podemosidentiara◦
onlasuma,∗
onlamultipliaión,a♥
on0
ya△
on1.Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Guía Básia
Determinarlaveraidaddelassiguientesarmaiones:
1. Existendosnúmerosdistintos
x, y
∈
Rtalesquex
+
y
=
x
yy
+
x
=
y
. 2. Paraualquierpardenúmerosx, y
∈
Rsetiene quex
+
y
=
y
+
x
. 3. Paraualquierpardenúmerosx, y
∈
Rsetiene quex
+
y
=
x
. 4. Paraualquierpardenúmerosx, y
∈
Rsetiene quex
·
y
=
y
·
x
. 5.(
∀
x, y, z
∈
R) (
x
+
y
) +
z
= (
x
+
z
) + (
y
+
z
)
.6. En una serie desumas de númerosreales, elorden enque éstasse realizanesdesumaimportania.
7.
(
∀
x, y, z
∈
R) (
x
+
y
) +
z
=
x
+ (
y
+
z
)
. 8.(
∀
x, y, z
∈
R) (
x
−
y
)
·
z
=
x
·
(
−
z
) +
y
·
(
−
z
)
. 9.(
∀
x, y, z
∈
R) (
x
+
y
)
·
z
=
y
·
z
+
x
·
z
. 10.(
∀
x, y, z
∈
R) (
x
+
y
)
·
z
= (
x
+
z
)
·
(
y
+
z
)
.11. Existeunnúmerorealquesumadoaualquierotrodaomoresultado esteúltimo.
12. Dado
a
∈
R\ {
0
}
,laeuaióna
−
x
=
a
notiene soluiónenR. 13. Si un númerox
∈
Res neutro para la suma, entones su inversoaditivotambiénloes.
14. Elelementoneutroenlosrealesparalasumaesúnio.Seledenota 0.
15. Si un número
x
∈
Res neutro para la suma, entones su inverso multipliativotambién loes.17. Si un número real
x
es neutro para la multipliaión, entones su inversoaditivotambién loes.18. Si un número real
x
es neutro para la multipliaión, entones su inversomultipliativotambiénloes.19. Dado
a
∈
Rlaeuaióna
·
x
=
a
siempretiene soluiónenR. 20. El elemento neutro enlosrealesparala multipliaiónesúnio.Seledenota1.
21. Dadounnúmerorealualquiera
x
,existeotroquealsumarloonx
resulta0.22. Dado
x
∈
Rlaeuaiónx
+
y
= 0
tienemásdeunasoluióny
∈
R. 23. Elinversoaditivodeualquiernúmerorealx
esúnio.Sedenota−
x
. 24. Existeunnúmerox
∈
Rqueesinversoaditivodemásdeunnúmeroreal.
25. Existen
x
1
, x
2
, x
3
∈
R todos distintos entre sí, tales quex
1
es el inversoaditivodex
2
yx
2
eselinversoaditivodex
3
.26. Dado un número real ualquiera
x
onx
6
= 0
, existe otro que al multipliarloporx
resulta1.27. Existeunnúmero
x
∈
Rqueesinversomultipliativodemásdeun númeroreal.28. El inversomultipliativodeualquiernúmero real
x
, distinto de0, esúnio.Sedenotax
−
1
.29. Dado
x
∈
Rlaeuaiónx
·
y
= 1
siempretiene unasoluióny
∈
R. 30. Noexisteunnúmerox
∈
Rtalquex
·
x
=
x
+
x
= 0
.31. Existeunnúmerorealquemultipliadoporualquierotroresultaen élmismo.
32. El0noposeeinversoaditivo.
33. El0poseeuninversomultipliativo,peronoesúnio. 34. El0noposeeinversomultipliativo.
35. El1poseeinversomultipliativo.
36. Existen
x
1
, x
2
, x
3
∈
R todos distintos entre sí, tales quex
1
es el inversomultipliativodex
2
yx
2
eselinversomultipliativodex
3
. 37. Dadosa, b
∈
R, las soluiones de la euaióna
+
x
=
b
siempre38. Dados
a, b
∈
R,laeuaióna
+
x
=
b
tieneunaúniasoluiónenR. 39. Dadosa, b
∈
R ona
6
= 0
, la euaióna
·
x
=
b
tiene una úniasoluiónenR.
40. Dados
a, b
∈
R,laeuaióna
·
x
=
b
puedetenermásdeunasoluión enR.41. Si
a, b, c
∈
R sontales quea
+
b
=
a
+
c
, entones neesariamenteb
=
c
.42. Si
a, b, c
∈
Rsontalesquea
·
b
=
a
·
c
,entonesneesariamenteb
=
c
. 43. Dadosa, b
∈
Rona
6
= 0
,setiene que0essiempre soluióndelaeuaión
a
·
x
+
b
= 0
.44. Dados
a, b
∈
Rona
6
= 0
,lasoluióndelaeuaióna
·
x
+
b
= 0
esx
=
−
b
a
.45. Si
x, y
∈
Rsontalesquex
+
y
= 0
,entonesneesariamentex
= 0
óy
= 0
.46. Si
x, y
∈
Rsontalesquex
·
y
= 0
,entonesneesariamentex
= 0
óy
= 0
.Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Guía de Ejeriios
1. Demuestrelassiguientes propiedadesdelosnúmerosreales,propuestas enlatutoría:
(a) Elelementoneutro paraelprodutoesúnio. (b) Elinversomultipliativodeunnúmerorealesúnio.
() Laeuaión
ax
=
b
,ona
6
= 0
,tieneunaúniasoluiónenR.Está dadaporx
=
ba
−
1
. (d) Dadoa
∈
R\ {
0
}
,(
a
−
1
)
−
1
=
a
.2. Cadaunadelassiguientesigualdades esverdaderaenelsistema delos númerosreales.Indiquelarazóndesuveraidad,respetodelosaxiomas ypropiedadesvistos.
(a)
2 + (3 + 5) = (2 + 5) + 3
. (b)0 + 5 = 5
.()
(
x
+
y
) +
z
=
z
+ (
y
+
x
)
. (d)(
x
+ 2)
·
y
=
y
·
x
+ 2
·
y
.(e)
(4
−
1
·
4)
−
1 = 0
.3. Eneluerpodelosnúmerosrealessedene
2 = 1+1
,3 = 2+1
,4 = 3+1
,5 = 4 + 1
y6 = 5 + 1
.Usandosólolosaxiomasdelosnúmerosrealesy elhehoque2
6
= 0
,pruebelassiguientesarmaiones,detallandotodos lospasosymenionandoelaxiomaodeniiónqueutilizaenadaunos deellos:(a)
3 + 2 = 5
. (b)3
·
2 = 6
.()
4
·
2
−
1
= 2
. (d)5
−
3 = 2
.(e)
(4
·
3)
·
2
−
1
4. Dadaslassiguientesseueniasde igualdades,determinelosaxiomasy laspropiedadesquelashaenorretas:
(a) Dados
a, b
∈
R,(
ab
) + (
a
(
−
b
)) =
a
·
(
b
+ (
−
b
))
=
a
·
0
= 0
(b) Dados
x, y
∈
R,(1
−
x
)
y
+
yx
= (1
·
y
+ (
−
x
)
y
) +
yx
= (
y
+
−
(
xy
)) +
yx
=
y
+ (
−
xy
+
yx
)
=
y
+ (
−
xy
+
xy
)
=
y
+ 0
=
y
() Dados
a, b
∈
R,(
a
+
b
)
2
= (
a
+
b
)(
a
+
b
)
=
a
(
a
+
b
) +
b
(
a
+
b
)
=
a
2
+
ab
+
ba
+
b
2
=
a
2
+
ab
+
ab
+
b
2
=
a
2
+ 2
ab
+
b
2
(d) Dado
a
∈
R,a
+ 0
·
a
=
a
·
1 +
a
·
0
=
a
(1 + 0)
=
a
·
1
=
a
(e) Dados
a, b, c, d
∈
R,onb, d
6
= 0
,a
b
+
c
d
=
ab
−
1
+
cd
−
1
= (
ab
−
1
)
·
1 + (
c
·
1)
d
−
1
= (
ab
−
1
)(
dd
−
1
) + (
c
(
bb
−
1
))
d
−
1
= (
ab
−
1
)(
d
−
1
d
) +
cb
(
b
−
1
d
−
1
)
=
ad
(
b
−
1
d
−
1
) +
cb
(
b
−
1
d
−
1
)
=
ad
(
bd
)
−
1
+
bc
(
bd
)
−
1
= (
ad
+
bc
)(
bd
)
−
1
=
ad
+
bc
5. Demuestrelassiguientesigualdadesdenúmerosreales,indiando lara-mentelosaxiomasopropiedadesusados:
(a)
a
+
a
= 2
·
a
.(b)
a
−
(
b
−
c
) =
a
+ (
−
b
) +
c
()(
a
+
b
)(
a
−
b
) =
a
2
−
b
2
(d)
(
a
−
b
)(
a
2
+
ab
+
b
2
) =
a
3
−
b
3
(e)
(
a
−
b
)(
a
3
+
a
2
b
+
ab
2
+
b
3
) =
a
4
−
b
4
(f)
(
a
+
b
)(
a
2
−
ab
+
b
2
) =
a
3
+
b
3
(g)
(
x
+
b
2
)
2
+
c
−
(
b
2
)
2
=
x
2
+
bx
+
c
6. Resuelvalassiguienteseuaiones(
x
eslainógnita). a)2
x
+ 3 = 0
.b)
3
x
+
a
= 2(
x
+
a
)
(dejesu resultadoentérminosdea
). )(
x
+ 1)
2
= (
x
+ 2)(
x
−
4)
. d)(
x
+
a
)(
x
−
a
) =
x
2
−
ax
(dejesuresultadoentérminosde
a
). e)x
(
−
x
+ 2)
−
3(
x
−
6) =
−
x
(
x
−
1)
−
(
−
(
x
+ 2)
−
7)
.f)
(2
x
−
7)
2
−
x
(3
−
x
) = 3(
x
+ 1)
2
+ 2(1
−
x
)
2
. g)ax
= 0
,paraa
6
= 0
.h)
(
x
−
2)
2
= 0
. i)
(
x
+ 2)(
x
−
3) = 0
.7. Sea
C
unonjuntodenúmerosrealesquesatisfaelossiguientes propie-dades(axiomas):(A1)
2
∈
C
.(A2) Si
x
∈
C
,entones3
x
+ 1
∈
C
. (A3) Six, y
∈
C
,entonesx
+
y
∈
C
. (A4)3
∈
/
C
.Demuestre entones lassiguientes propiedadesindiandoqué axiomas, yaseadelosnúmerosrealesodelosreiénmenionados, utiliza: (a)
9
∈
C
.(b)
1
∈
/
C
.() Si
5
∈
C
,entones22
∈
C
.Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Guía de Problemas
La presente guía le permitirá tener una idea bastante preisa del tipo de problemas que debe serapaz de resolver en una evaluaión y el tiempo promedioquedeberíademorarenresolverlos.Entotaldeberíapoder resol-verlaen 3horas.Le reomendamosque trabajeenella unahora antes de lalase detrabajo dirigido,que resuelvasusdudas en lalase detrabajo dirigidoyqueluegodediqueunahoraaesribirondetalleslassoluiones. P1. Usando exlusivamente los axiomas de los reales y menionándolos laramenteadavezquelosuse,demuestrelaspropiedadessiguientes. Sioupaalgunaotrapropiedadentonesdeberádemostrarlaindiando losaxiomasqueuseenello.
a) (20min.)
∀
x, y
∈
R, x, y
6
= 0
,
(
x
+
y
)(
x
−
1
y
−
1
) =
x
−
1
+
y
−
1
b) (20min.)
∀
x, y
∈
R, x, y
6
= 0
,
(
xy
)
−
1
=
y
−
1
x
−
1
) (20min.)Usando(b),demostrarque
∀
a, b, c, d
∈
R, b, d
6
= 0
, ab
−
1
+
cd
−
1
= (
ad
+
cb
)(
bd
)
−
1
d) (20min.)
∀
a
∈
R,
a
2
= 0
⇒
a
= 0
P2. Usando sólo los axiomas de los números reales y las uniidades de losinversos, demuestre lassiguientes propiedades(si neesitaalguna propiedadextra,debedemostrarla)
(a) (15min.) Para todo
x, y
∈
R,(
−
x
) + (
−
y
)
esinversoaditivodex
+
y
.(b) (25 min.) Si
a, b, c, d
∈
R son tales que se veria la relaión(
ad
) + (
−
(
cb
)) = 0
entones[(
a
+
b
)
d
] + [
−
((
c
+
d
)
b
)] = 0
.
() (15min.)Para
a
6
= 0
,−
(
a
−
1
) = (
−
a
)
−
1
.P3. (20min.)Usandopropiedadeselementalesdelosnúmerosreales, de-muestre que para todo
x, y, z, w
∈
R,w
6
= 0
,z
6
= 0
lo siguiente es verdaderoParaellonote enprimerlugar quelaigualdaddelladoizquierdo per-mitededuir que
x
2
z
2
+
y
2
w
2
= 2
xwyz
. Luego,veaque esto último impliaque
xz
=
yw
.Finalmente,delaigualdadanteriordeduzala onlusión.P4. Sea
C
unonjuntodenúmerosrealesquesatisfaelossiguientes pro-piedades(axiomas):(A1)
3
∈
C
.(A2) Si
x
∈
C
,entones3
x
+ 1
∈
C
. (A3) Six, y
∈
C
, entonesx
+
y
∈
C
. (A4)7
∈
/
C
.Demuestreentoneslassiguientespropiedadesindiandoquéaxiomas, yaseadelosnúmerosrealesodelosreiénmeionados,utiliza: (a) (5min.)
1
∈
/
C
.(b) (5min.)Si
x, y
∈
C
,entones3
x
+ 2
y
+ 4
∈
C
() (5min.)Six, y
∈
C
,entones4
−
x
−
y /
∈
C
. (d) (5min.)Si3
y
+
z
+ 4
∈
/
C
, entones(
y /
∈
C
∨
z
Ingeniería Matemátia
Universidad de Chile
Usaestasnotasal margenpara on-sultar de manera másrápidael ma-terial. Haz tam-bién tus propias anotaiones.
H
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08- 1
Ahí enontrarás las guías de ejeriios y problemas, además de informaión aeradeuálseráladinámiadelurso.
SEMANA 2: AXIOMAS DE ORDEN
1.6.
Axiomas de Orden de los Reales
Para introduir la idea de orden en los reales y poder trabajar on des-igualdades,existen diversasformaspara omenzar.En esteapunte hemos esogidolaversiónqueomienzaporladeniióndelonjuntodelosreales estritamente positivosyenbaseaellosseobtienenlasdeniionesde las desigualdadesytodaslaspropiedades.
En
R
existe un subonjunto llamado onjunto de reales (estritamente) positivos(
R
∗
+
)
,elualsatisfaelossiguientes axiomasoreglas.Ax.6.Triotomía Axioma 6. (de la triotomía)
∀
x
∈
R
, unaysolounadelassiguientes proposiionesesverdadera:i)
x
∈
R
∗
+
ii)
(
−
x
)
∈
R
∗
+
iii)
x
= 0
Observaión De umplirse (i) se die que
x
es un real estritamente positivoysiseumple(ii)diremosquex
esunrealestritamentenegativo.Ax.7.Clausuradelos realespositivos Axioma 7. (Clausura)
(
∀
x, y
∈
R
∗
+
)
seumpleque:(
x
+
y
)
∈
R
∗
+
x
·
y
∈
R
∗
+
Esdeir,
R
∗
+
eserradoparalasumayelproduto.1.7.
Relaciones de orden
Ahoraqueonoemoselonjunto
R
∗
+
,estamosenondiionesdeinorporar lasdeniionesdelossímbolos<, >,
≤
,
≥
.Relaiones de orden Sean
x, y
∈
R
sedene larelaiones<
,>
,≤
,≥
, por:1.
x < y
⇐⇒
(
y
−
x
)
∈
R
∗
+
2.
x > y
⇐⇒
y < x
⇐⇒
(
x
−
y
)
∈
R
∗
+
1.8.
Propiedades de la desigualdad
Propiedad 1
x >
0
⇐⇒
x
∈
R
∗
+
Demostraión.
x >
0
orrespondeexatamantepordeniióna(
x
−
0)
∈
R
∗
+
,loqueesidéntiamentelaexpresiónx
∈
R
∗
+
.Conestoquedademostradalaequivaleniadelasproposiiones.
Propiedad 2
x
esnegativo⇐⇒
x <
0
.
Demostraión.
x <
0
orrespondeexatamantepordeniióna(0
−
x
)
∈
R
∗
+
,onloualsetieneque−
x
∈
R
∗
+
,onloualsetienequex
esnegativo.Propiedad 3 (triotomía) Paraualquierparde numerosreales
x
ey
, unaysólounadelassiguientesproposiionesesverdadera:i)
x < y
ii)x > y
iii)x
=
y
Demostraión. Según el Axioma 1 de la triotomía, omo
(
y
−
x
)
∈
R
entones una y sólo una de las siguientes proposiiones es verdadera: i)(
y
−
x
)
∈
R
∗
+
,ii)−
(
y
−
x
)
∈
R
∗
+
,
obieniii)(
y
−
x
) = 0
. Sin embargoi) signia:x < y
. ii) signia(
x
−
y
)
∈
R
∗
+
, osea,x > y
. Finalmenteiii) signiax
=
y
.Conloualsetiene lademostraión. Propiedad 4x < y
ya
∈
R
=
⇒
x
+
a < y
+
a.
Demostraión. Veamosque
(
y
+
a
)
−
(
x
+
a
)
∈
R
∗
+
esdeirque(
y
+
a
)
−
(
x
+
a
)
>
0
:(
y
+
a
)
−
(
x
+
a
) =
y
+
a
+ ((
−
x
) + (
−
a
))
=
y
+ (
−
x
) +
a
+ (
−
a
)
=
y
−
x,
peroporhipótesissabemosque
x < y
loqueimpliaquey
−
x >
0
,
luego(
y
+
a
)
−
(
x
+
a
)
>
0
dedondex
+
a < y
+
a
.Observaión Con estaúltima propiedadpodemossumar unelementoa ambosladosdeladesigualdadyestanoambia.
Propiedad 5
ii)
x < y
∧
a <
0
⇒
ax > ay
Demostraión. i) Por hipótesis
(
y
−
x
)
∈
R
∗
+
ya
∈
R
∗
+
,porlos axio-mas 7 y 3 tendremos quea
(
y
−
x
) =
ay
−
ax
∈
R
∗
+
, por lo tantoax < ay
.ii)
ax
−
ay
=
a
(
x
−
y
) = (
−
a
)(
y
−
x
)
∈
R
∗
+
=
⇒
ax > ay
.ObservaiónConlapropiedad5,podemosmultipliarunelementoa am-boslados de la desigualdady si este elelmento es positivoladesigualdad noambia,perosielelementoesnegativoladesigualdadsíambiará. Propiedad 6
∀
x
∈
R
⇒
x
2
≥
0
.Demostraión. Porelaxioma1detriotomíasabemos:
x
∈
R
=
⇒
x
∈
R
∗
+
∨
x
= 0
∨
(
−
x
)
∈
R
∗
+
=
⇒
x
·
x
∈
R
∗
+
∨
x
2
= 0
∨
(
−
x
)(
−
x
)
∈
R
∗
+
=
⇒
x
2
∈
R
∗
+
∨
x
2
= 0
∨
x
2
∈
R
∗
+
=
⇒
x
2
>
0
∨
x
2
= 0
=
⇒
x
2
≥
0
.
Comentario:
1 = 1
·
1 = 1
2
≥
0
, pero1
6
= 0
, porlotanto1
>
0
luego.Con esto1
∈
R
∗
+
.Propiedad 7 Si
x < y
yu < v
=
⇒
x
+
u < y
+
v
. Demostraión. Porladeniiónde<
tenemos dososas:x < y
⇒
(
y
−
x
)
∈
R
∗
+
yu < v
⇒
(
v
−
u
)
∈
R
∗
+
. ComoR
∗
+
es erradoparala suma tendremos:(
y
−
x
) + (
v
−
u
)
∈
R
∗
+
, de dondedesarrollandolosparéntesisobtendremos:(
y
+
v
)
−
(
x
+
u
)
∈
R
∗
+
. Luegonuevamenteporladeniiónde<
,loúltimoequivaleax
+
u < y
+
v.
Observaión Esta última propiedad nos die que podemos sumar las desigualdades.
Propiedad 8 Si
0
< x < y
y0
< u < v
entonespodemosmultipliar las desigualdades,esdeirxu < yv
.Demostraión. Porladeniiónde
<
yporlaerraduradeR
∗
+
para+
y·
, obtendremos0
< x < y
=
⇒
(
y
−
x
)
∈
R
∗
+
0
< u < v
=
⇒
(
v
−
u
)
∈
R
∗
+
=
⇒
v
(
y
−
x
) + (
v
−
u
)
x
∈
R
∗
+
,
desarrollandolaúltima expresiónobtendremos
vy
−
ux
∈
R
∗
+
, onloual porladeniiónde<
setendráxu < yv.
Observaión Esta propiedad nosdie que podemos multipliar las des-igualdadesen
R
∗
+
sinqueambieladesigualdad. Propiedad 9i)
(
x <
0)
∧
(
y >
0)
⇒
xy <
0
ii)(
x <
0)
∧
(
y <
0)
⇒
xy >
0
Demostraión. Porla propiedad 1,la erradurapara
·
obtendremos los dosresultados,esdeiri)
(
−
x
)
∈
R
∗
+
∧
y
∈
R
∗
+
⇒ −
xy
∈
R
∗
+
⇒
xy <
0
. ii)(
−
x
)
∈
R
∗
+
∧
(
−
y
)
∈
R
∗
+
⇒
(
−
x
)(
−
y
)
∈
R
∗
+
⇒
xy >
0
.Propiedad 10 i)
x >
0
⇒
x
−
1
>
0
ii)
x <
0
⇒
x
−
1
<
0
Demostraión. i)
x
−
1
=
x
−
1
·
x
−
1
·
x
= (
x
−
1
)
2
·
x
,luegoomo(
x
−
1
)
2
>
0
yx >
0
,porlapropiedadanteriorobtendremosx
−
1
= (
x
−
1
)
2
·
x >
0
ii)
x
−
1
=
x
−
1
x
−
1
x
= (
x
−
1
)
2
·
x <
0
yaque
(
x
−
1
)
2
>
0
∧
x <
0
.Propiedad 11 Si
0
< x < y
entonesx
−
1
> y
−
1
. Demostraión. Veamosquex
−
1
−
y
−
1
∈
R
∗
+
:x
−
1
−
y
−
1
=
1
x
−
1
y
=
y
−
x
xy
= (
y
−
x
)
·
x
−
1
y
−
1
pero
0
< x < y
=
⇒
(
y
−
x
)
∈
R
∗
+
, x
−
1
∈
R
∗
+
ey
−
1
∈
R
∗
+
onloualdela últimaexpresiónobtendremos :x
−
1
−
y
−
1
∈
R
∗
+
,esdeir,y
−
1
< x
−
1
.1.9.
Gráfico de subconjuntos de
R
.
En virtud de larelaión menor oigual denida en
R
se puede pensar en ordenaresquemátiamentelosnúmerosrealesdemenoramayor.Los núme-rosrealesserepresentansobreunaretahorizontaltalqueaadax
enR
se leasoiaunpuntoP
x
sobrelaretasiguiendolassiguientesonveniones:i) Si
x < y
entonesP
x
estaalaizquierdadeP
y
ii) Six < y
entonesP
x+y
2
Py
P
Px
(x+y)/2
Deniión1.2 (Intervalos). Sean
a, b
∈
R
talesquea
≤
b
.Los siguien-tessubonjuntosdeR
sellamaran intervalos:1. Intervalo abierto
a
omab
:(
a, b
) =
{
x
∈
R
:
a < x < b
}
2. Intervalo errado
a
omab
:[
a, b
] =
{
x
∈
R
:
a
≤
x
≤
b
}
3. Intervalo
a
omab
erradoporla dereha yabiertopor laizquierda:(
a, b
] =
{
x
∈
R
:
a < x
≤
b
}
4. Intervalo
a
omb
erradopor laizquierday abiertopor ladereha:[
a, b
) =
{
x
∈
R
:
a
≤
x < b
}
5. Intervalos no aotados:
(
−∞
, a
] =
{
x
∈
R
:
x
≤
a
}
(
−∞
, a
) =
{
x
∈
R
:
x < a
}
[
a,
+
∞
) =
{
x
∈
R
/a
≤
x
}
(
a,
+
∞
) =
{
x
∈
R
:
a < x
}
Notaión:
Paradenotarunintervaloabierto
(
a, b
)
tambiénsepuedeouparlos paren-tesis]
a, b
[
.
Observaiones
1. Si
a
=
b
entones(
a, a
) = (
a, a
] = [
a, a
) =
∅
y[
a, a
] =
{
a
}
.2. Sepuedeanotaralonjunto
