Programación y Métodos Numéricos Errores de de redondeo en en la la representación de de números reales: EXPRESIÓN DE NÚMEROS EN BASE 2

(1)

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Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

Programación y Métodos Numéricos

Errores de redondeo en la representación

de números reales:

EXPRESIÓN DE NÚMEROS EN BASE 2

Programación y Métodos Numéricos

Errores de redondeo en la representación

de números reales:

EXPRESIÓN DE NÚMEROS EN BASE 2

Arturo Hidalgo L

Arturo Hidalgo Lóópezpez Alfredo L

Alfredo Lóópez Benitopez Benito Carlos Conde L

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Entero en base 10: d₀d₁...d_p-2d_p-1d_p = p p 1 2 1 0 0 10 1 10 ... p 2 10 p 1 10 p 1 d + d − + d ₋ d ₋ d 0 ≡ i i + i + i + i Ejemplo: 43210 = 4.104 + 3.103 + 2.102 + 1.101 + 0.100 Entero en base 2: b₀b₁...b_p-2b_p-1b_p = p p 1 2 1 0 0 2 1 2 ... p 2 2 p 1 p b + b − + + b ₋ + b ₋ 2 + b 2 ≡ i i i i i Ejemplo: 11010 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 = (26)₁₀

{

}

i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, d ∈ 7, 8, 9

{ }

i b ∈ 0,1

Expresión de números enteros en base 2

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10 p 1 p 2 2 1 p p 1 2 1 0 b b . z 2 c 2 c 2 ... ... c . 2 . b c b 2 b − − − |z₁₀| = c_p-1. 2 + b_p .20 c_p-1 = c_p-2.21 + b_p-1.20 |z₁₀| = c_p-2.22 ₊_b p-1 .21 + bp .20 c₂ = c₁.21 + b₂.20 |z₁₀| = c₂.2p-2 + b₃.2p-3 +...+ b_p-1.21 + b_p .20 |z₁₀| = c₁.2p-1 ₊_b 2 .2p-2 + ...+ bp-1 .21 + bp .20 c₁ = b₁.21 + b₀.20 |z₁₀| = b₀.2p-1+ b₁.2p-1 + b₂.2p-2 + ...+ b_p-1.21 + b_p .20

Expresión de números enteros en base 2

(4)

44

153 2 1 76 2 0 38 2 0 19 2 9 1 2 1 4 2 0 2 2 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ≡ (153)₁₀

Ejemplo

(5)

45

NOTACIÓN:

z₁₀ : Número en base 10; | z₁₀| : Valor absoluto de z₁₀ z₂ = b₀b₁....b_p-1b_p : Expresión de z₁₀ en base 2

x y: a “x” se le asigna el valor de “y”←

Determinar el mayor entero positivo, p, para el que:

1 p 0 2 ≤ z 10 y ← z ;

Para i = 0, hasta i = p-1, con paso 1, hacer:

x ←Parte entera de (y/2); b_p-i← y – 2.x ; x y←

Fin bucle en i. Signo de z₂ ← Signo de z₁₀ D D D D 0 b ← 1

Expresión de números enteros en base 2

(6)

46

Real positivo menor que 1 en base 10: 0.d₁d₂...d_s-2d_s-1d_s... =

1 2 s 2 s 1 s

1 10 2 10 .. s 2 s 1 s

d − d − . d ₋ 10− + d ₋ 10− + d 10− ...

≡ i + i + + i + i + i +

Ejemplo: 0.02345.. = 0.10-1 ₊₂_.10-2 ₊₃_.10-3 ₊₄_.10-4 ₊₅_.10-5₊ _...

Real positivo menor que 1 en base 2: 0.b₁b₂...b_s-2b_s-1b_s... =

1 2 s 2 s 1 s 1 2 2 2 .. s 2 s 1 s b − + b − + +. b ₋ 2− + + b ₋ 2− + + b 2− + ... ≡ i i i i i Ejemplo: 0.11010 = 1.2-1 + 1.2-2 + 0.2-3 + 1.2-4 + 0.2-5 = (0.8125)₁₀

{

}

i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, d ∈ 7, 8, 9

{ }

i b ∈ 0,1

Expresión en base 2 de números reales de

valor absoluto inferior a 1.

Expresión en base 2 de números reales de

valor absoluto inferior a 1.

(7)

47

0.d₁d₂d₃... 0. x 2 b₁ .r₁r₂r₃.... b₁ .r₁r₂r₃.... 0 x 2 b₂ .t₁t₂t₃.... b₂ .t₁t₂t₃.... 0 x 2 b₃ .s₁s₂s₃.... b₃ .s₁s₂s₃.... 0 x 2 b₄. ... 0.d₁d₂d₃... . 2 = b₁+0.r₁r₂r₃.... 0.d₁d₂d₃... = b₁. 2-1 _{+ (0.r} 1r2r3....) . 2-1 0.r₁r₂r₃... =b₂ . 2-1 _{+ (0.t} 1t2t3...) .2-1 0.d₁d₂d₃... = b₁. 2-1 ₊_b 2 . 2-2 + (0.t1t2t3....) . 2-2 0.t₁t₂t₃ .... = b₃ .2-1 _{+ (0.s} 1s2s3....).2-1 0.d₁d₂d₃... = b₁. 2-1 ₊_b 2 . 2-2 + b3 . 2-3 + (0.s1s2s3....) . 2-3

...

Expresión en base 2 de números reales de

valor absoluto inferior a 1.

Expresión en base 2 de números reales de

valor absoluto inferior a 1.

(8)

48

+0.3462 +0. x 2 0 .6924 0 0.6924 x 2 1 .3848 0.3848 x 2 0 .7696 0.7696 x 2 1 .5392 0.5392 x 2 1 .0748 1 0 1 1 ... ...

Expresión en base 2 de números reales de

valor absoluto inferior a 1.

Expresión en base 2 de números reales de

valor absoluto inferior a 1.

(9)

49

Determinar el menor entero positivo, r, para el que: 10 r 2− ≤ z 1 r 0 y ← z • −2 1

Para i = 0, hasta i = s, con paso 1, hacer:

Fin bucle en i. D 0 b ← 1 ; D NOTACIÓN: z₂ = (1.b₁b₂...b_s).2-r ₌₍₁_.2-r ₊_b 1.2-r-1 + ....+ bs.2-r-s) D x ← 2 yi i Parte entera de ; b ← (x) i y ← −x b

Observación: Sólo se calculan (s+1) decimales significativos.

Expresión en base 2 de números reales de

valor absoluto inferior a 1.

Expresión en base 2 de números reales de

valor absoluto inferior a 1.

(10)

50

z₁₀ = 0.3462 2-1 _{= 0.5 > z} 10 ; 2-2 = 0.25 < z10 r = 2 y Å 0.3462 . 22 – 1 = 0.3848 b₀ Å 1 i = 1 = 0. 7696; b₁Å0 ; 1. x Å 2.y 0 y Å x – b₁ = 0.7696 1 i = 2 x Å 2.y = 1. 5392; b₂ Å 1 ; y Å x – b₂ = 0.5392 i = 3 x Å 2.y = 1. 0784; b₃ Å 1 ; 1 y Å x – b₃ = 0.0784 i = 4 x Å 2.y = 0 .1568; b₄ Å 0 ; 0 y Å x – b₄ = 0.1568

...

.... ( _).2-2 _{= (0.3462)} 10

Ejemplo

(11)

51

1º) Se asigna al número binario el mismo signo que tenga el número dado en base 10.

2º) Se determina la expresión binaria del número entero obtenido con la parte entera del valor absoluto del número real dado en base 10. (Codificación de un entero)

3º) Se determina la expresión binaria de la parte decimal del número real dado en base 10.

(Codificación de un real positivo menor que 1)

Expresión en base 2 de números reales

(12)

52

Un número real positivo con un número finito de decimales en base 10 puede tener (y es lo más habitual) infinitos decimales al expresarlo en base 2.

Los números binarios con un número finito de decimales, tienen un número finito de decimales al expresarlos en base 10.

Al expresar en binario (con s decimales) números reales pueden aparecer errores de redondeo aunque sean exactos en base 10 .errores de redondeo

OBSERVACIONES

Expresión en base 2 de números reales

(13)

53

0 . 2 0. x 2 0 . 4 0 . 4 0 x 2 0 . 8 0 . 8 x 2 1 . 6 0 1 . 6 x 2 1 . 2 0 1 . 2 0 x 2 0 . 4 . 4 x 2 0 . 8 0 . 8 x 2 1 . 6 0 . 6 x 2 1 . 2 0 0 0 1 1

. . . .

0 0 1 1

. . . .

_{= (}_0.2₎ 10

Ejemplo

(14)

54

Obtener la expresión binaria del número que en base 10 tiene la expresión: - 3756.493

Solución: z₁₀ = -3756.493 Signo de z₂ :

-Parte entera de | z₁₀ |: 3756 (Ver siguiente)

Ejemplo

(15)

55

3756 2 0 1878 0 939 1 469 234 1 0 117 1 58 0 29 1 14 0 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 (3756)₁₀ = 111010101100

Ejemplo (cont.)

(16)

56

Obtener la expresión binaria del número que en base 10 tiene la expresión: - 3756.493

Solución: z₁₀ = -3756.493 Signo de z₂ :

-Parte entera de | z₁₀ |: 3756 111010101100

Parte decimal de | z₁₀ |: 0.493 (Ver siguiente)

Ejemplo (cont.)

(17)

57

(0.493)₁₀ = 0.01111110... 0 . 493 x 2 0 . 986 . 986 0 x 2 1 . 972 . 972 x 2 1 . 944 0 . 944 x 2 1 . 888 0 . 888 0 x 2 1 . 776 . 776 x 2 1 . 552 0 . 552 x 2 1 . 104 0 . 104 x 2 0 . 208 0

. . . .

Ejemplo (cont.)

(18)

58

Obtener la expresión binaria del número que en base 10 tiene la expresión: - 3756.493 Solución: z₁₀ = -3756.493 Signo de z₂ : -Parte entera de | z₁₀ |: 3756 111010101100 Parte decimal de | z₁₀ |: 0.493 0.01111110... z₂ = -111010101100.01111110...

Ejemplo (cont.)

(19)

59

Consiste en expresar los números no nulos en la forma:

1 2 s d d .. 1. ..d .... ± • e 2 mantisa _exponente con: d_i ∈

{ }

0,1 y e∈

El número 0 se expresa con todos los dígitos de la mantisa nulos y con cualquier valor del exponente

(expresado también en base 2)

Notación científica en base 2

(20)

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(-13457.258)₁₀ = -11010010010001.01000... 13 101001001000101000... 1. 2 ≡ − i Mantisa: - 1.101001001000101000... Exponente: +1101 (0.002379)₁₀ = 0.000000001001101111101... 9 001101111101... 1. 2− ≡ + i Mantisa: + 1.001101111101... Exponente: -1001

Notación científica en base 2: Ejemplos

(21)

61

10 2 3 − ⎛ _{⎞ ≡} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 0101010101010... 1. 2− ≡ − i Mantisa: - 1.0101010101010.... Exponente: -1 10 ( )π ≡ 1 100100100001111110.. 1. .. 2 ≡ + i Mantisa: + 1.100100100001111110... Exponente: 1 -0.1010101010101010101... 11.00100100001111110...

Notación científica en base 2: Ejemplos

(22)

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