FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Definición: Si D es un conjunto de n-uplas de números reales (x1,x2,...,xn), una
función de valores reales f sobre es una regla que asigna un número real w = f(x1,x2,...,xn) a cada elemento de D, donde D es el dominio de f y los valores
tomados por w es el rango de f, la cual es una función de n variables independientes, de x1 a xn.
Definición: El conjunto de puntos donde el plano z = c corta a la superficie z = f(x,y) se llama línea de contorno f(x,y) = c. El conjunto de puntos del plano XY en que una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c se llama curva de nivel, es decir la proyección de la línea de contorno f(x,y) = c sobre el plano XY. El conjunto de todos los puntos (x,y,f(x,y)) en el espacio, para (x,y)∈Df, se llama
gráfica de f o superficie z = f(x,y). El conjunto de puntos (x,y,z) en el espacio, donde una función de tres variables independientes tiene un valor constante f(x,y,z) = c, se llama superficie de nivel.
Superficies: Las ecuaciones generales de las superficies más comunes son: 1) ax + by + cz = d. ( Planos )
2) ax2 + by2 = c ; a,b,c > 0. ( Cilindros Elípticos ) 3) z = f(x) ; z = f(y) ; ( Placas cilíndricas ) 4) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a +b +c = ; ( Elipsoides ) 5) 2 2 2 2 x y z a +b =c ; ( Paraboloides Elípticos ) 6) 2 2 2 2 2 2 x y z a +b = c ; ( Conos Elípticos ) 7) 2 2 2 2 2 2 1 x y z
a +b −c = ; ( Hiperboloides de una hoja ) 8) 2 2 2 2 2 2 1 z y x c −b −a = ; ( Hiperboloides de 2 hojas ) 9) 2 2 2 2 y x z b −a =c ; ( Paraboloides Hiperbólicos )
Operaciones: Si f(x,y) y g(x,y) son funciones de dos variables independientes y h(z) es una función de una variable independiente, entonces, en las siguientes operaciones tienen como resultado funciones de dos variables independientes: 1) (f+g)(x,y) = f(x,y) + g(x,y).
2) (f-g)(x,y) = f(x,y) - g(x,y). 3) (fg)(x,y) = f(x,y) g(x,y). 4) (f/g)(x,y) = f(x,y) / g(x,y). 5) (hof)(x,y) = h(f(x,y)).
Las siguientes definiciones son extensiones de la definición de límite de A. L. Cauchy para funciones de dos y tres variables independientes:
1)
Lím
f
x
y
L
b a y
x, )→( , )
(
,
)
=
( si, para todo
ε
>0, existe un correspondiente
δ
>0 tal que,para todo (x,y)∈Df,
0
(
)
(
)
(
,
)
.
2 2
ε
δ
⇒
−
<
<
−
+
−
<
x
a
y
b
f
x
y
L
2)Lím
f
x
y
z
L
c b a z y x, , )→( , , )(
,
,
)
=
( si, para todo
ε
>0, existe un correspondiente
δ
>0 talque, para todo (x,y,z)∈Df,
0
(
)
(
)
(
)
2 2 2
δ
<
−
+
−
+
−
<
x
a
y
b
z
c
implica.
)
,
,
(
x
y
z
−
L
<
ε
f
Si una función f(x,y) tiene límites diferentes a lo largo de dos trayectorias
diferentes que pasan por el punto P(a,b), entonces
(
,
)
) , ( ) , (x y
Lím
→ abf
x
y
no existe. Propiedades: SiLím
f
x
y
L
b a y x, )→( , )(
,
)
=
( y (x,Lím
y)→(a,b)g
(
x
,
y
)
=
M
, entonces: 1) Lím [ f(x,y) ± g(x,y) ] = L ± M. 2) Lím [ f(x,y) g(x,y) ] = LM. 3) Lím [ k f(x,y) ] = k Lím f(x,y) . 4) Lim [ f(x,y) / g(x,y) ] = L/M si M0. 5) Lím [ f(x,y) ]m/n = Lm/n, si Lm/n∈R.Continuidad: Una función f(x,y) es continua en el punto (a,b) si: 1) f está definida en (a,b).
2)
(
,
)
) , ( ) , (xyLím
→abf
x
y
existe. 3)Lím
f
(
x
,
y
)
=
f
(
a
,
b
)
1) Encuentre el dominio de las siguientes funciones (muéstrelo gráficamente): a)
4
)
,
(
−
+
=
y
x
x
y
x
f
b)f
(
x
,
y
)
=
4
y
−
x
2 c) 2)
,
(
y
x
x
y
x
f
−
=
d) 2 2)
,
(
y
x
x
y
x
f
−
=
e)1
1
)
,
(
−
=
x
xy
y
x
f
f )4
)
(
)
,
(
2−
−
=
x
y
x
x
y
x
f
g)y
x
xy
y
x
f
2 21
)
,
(
−
=
h)f
(
x
,
y
)
=
ln(
x
+
y
)
i )2
3
)
,
(
2 2−
+
+
−
=
y
x
y
x
xy
y
x
f
j ) 2 2 2 22
)
,
(
y
xy
x
y
x
y
x
f
−
−
=
k)36
9
4
1
)
,
(
2 2−
+
=
y
x
xy
y
x
f
l ) 2 24
4
4
)
,
(
y
x
xy
y
x
f
−
−
=
m)36
4
9
)
,
(
2 2−
−
=
y
x
x
y
x
f
n)f
(
x
,
y
)
=
xySen
(
x
2+
y
2)
o) 2 4 4 2 2 29
9
1
)
,
(
y
x
y
x
y
x
y
x
f
+
−
=
p)f
(
x
,
y
,
z
)
=
z
ln(
xy
)
q)f
(
x
,
y
,
z
)
=
xySen
(
z
)
+
ln(
z
−
y
)
r)f
(
x
,
y
)
=
1
−
x
+
y
s)f
(
x
,
y
,
z
)
=
ln(
16
−
4
x
2−
4
y
2−
z
2)
t )f
(
x
,
y
,
z
)
=
1
−
x
2−
y
2−
z
2 u)f
(
x
,
y
)
=
ArcSen
(
x
+
y
)
v)
=
x
y
ArcCos
y
x
f
(
,
)
w)f
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x)1
)
,
(
2 2−
+
=
y
x
xy
x
y
x
f
y)x
y
Sen
y
x
f
(
,
)
=
(
)
z)y
x
Cos
y
x
f
(
,
)
=
(
)
2) Grafique varias líneas de contorno para:
a)
f
(
x
,
y
)
=
x
+
y
b)4
9
)
,
(
2 2x
y
y
x
f
=
−
3) Grafique varias curvas de nivel para:
a)
f
(
x
,
y
)
=
4
−
x
2−
4
y
2 b)f
(
x
,
y
)
=
x
2+
y
24) Grafique varias superficies de nivel para:
a)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2+
y
2+
z
2 b)16
9
4
)
,
,
(
2 2 2z
y
x
z
y
x
f
=
+
+
5) Grafique en el sistema coordenado XYZ:
a) 2x + 3y - 4z = 12 b) z - 3y = 6
c) f(x,y) = l 3Sen(y) l d) f(x,y) = ln(x+1)
e) f(x,y) = l x l f ) l z l = l y l + 1
g) f(x,y) = l x2 - 1 l h) f(x,y) = (x-1)2 + (y-1)2
i ) x2 - 2x + y2 + 4y + z2 - 6z + 10 = 0 j ) 4x2 + 9y2 + z2 + 4z = 32
k) z2 = 9x2 + 25y2 l ) z = 4x2 + 9y2
m) 4x2 + 9y2 - 16y2 = 36 n) z2 - 4x2 - 9y2 = 36
o) z = x2 - 9y2 p)
f
(
x
,
y
)
=
e
−(x2+y2)6) ¿Cuál es el máximo valor que toma la función f(x,y,z) = xyz sobre la recta x = 20 - t, y = t, z = 20.
7) ¿Cuál es el mínimo valor que toma la función f(x,y,z) = xy - z sobre la recta x = t - 1, y = t - 2, z = t + 7.
8) Bosqueje la parte del plano x = y - 2 que se encuentra dentro del cilindro (y-1)2 + (z-2)2 = 4.
9) R es la región limitada por los cilindros x2 + z2 = 4 y z2 + y2 = 4. Bosqueje la región sólida del primer octante.
10) Muestre que cualquier traza del hiperboloide de una hoja x2 + y2 - z2 = 1 en un plano paralelo al plano XZ es una hipérbola.
11) ¿Qué clase de curva es la intersección de z = x2 + y2 y z = x2 + (y-1)2 ? 12) Bosqueje la intersección de z2 = x2 + y2 con z = 1 - x.
13) Encuentre la ecuación de la esfera que tiene un diámetro con extremos P(-2,3,3) y Q(4,1,5).
14) Encuentre centro y radio de la esfera x2 + y2 + z2 - 6x + 2y - 8z = 0.
15) Determine los valores de k para los cuales la intersección del plano x + ky = 1 con el hiperboloide de dos hojas y2 - x2 - z2 = 1 es:
a) Una elipse b) Una hipérbola
16) Encuentre el volumen del sólido limitado por: a) El paraboloide elíptico
c
z
b
y
a
x
=
+
2 2 2 2 , (c>0), y el plano z = h. b) El cono elíptico 2 2 2 2 2 2c
z
b
y
a
x
=
+
y los planos z = h, z = 2h.c) El hiperboloide de una hoja
1
2 2 2 2 2 2
=
−
+
c
z
b
y
a
x
y los planos z + h =0, z = 2h.17) Calcule los siguientes límites:
a)
y
x
xy
x
Lím
y x−
−
→ 2 ) 0 , 0 ( ) , ( b)x
x
Sen
e
Lím
y y x)
(
) 0 , 0 ( ) , ( → c)y
x
y
xy
x
Lím
y x−
+
−
→ 2 2 ) 1 , 1 ( ) , (2
d)1
2
2
) 1 , 1 ( ) , (−
+
−
−
→x
x
y
xy
Lím
y x e)x
x
xy
y
x
y
Lím
y x4
4
4
2 2 ) 4 , 2 ( ) , (−
+
−
+
− → f )2
4
) 2 , 2 ( ) , (+
−
−
+
→x
y
y
x
Lím
y x g)y
x
y
x
y
x
Lím
y x−
−
+
−
→2
2
) 0 , 0 ( ) , ( h)1
1
) 3 , 4 ( ) , (−
−
+
−
→x
y
y
x
Lím
y x i ) 2 2 ) 0 , 0 ( ) , (2
y
x
xy
Lím
y x →+
j ) 2 2 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ()
(
y
x
y
x
Tan
Lím
y x+
+
→ k) 2 2 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ()
(
y
x
y
x
Sen
Lím
y x+
+
→ l ) 2 2 2 ) 0 , 0 ( ) , (x
y
xy
Lím
y x →+
m) 2 2 ) 0 , 0 ( ) , (x
y
xy
Lím
y x →+
n)(
)
xyxy
Lím
y x 1 ) 0 , 0 ( ) , ( →1
+
o) 3 2 2 4 4 ) 0 , 0 ( ) , ((
x
y
)
y
x
Lím
y x+
+
→ p) ( , ) (0,0)xySec
(
xy
)
b
a
Lím
xy xy y x−
→q)
+
→(0,0) 2 2 ) , (1
y
x
ArcTan
Lím
y x r)(
)
xy
y
x
ArcSen
Lím
y x →1
+
/
) 1 , 0 ( ) , ( s)( )
xy
xy
ArcTan
Lím
y x, ) (0,0) ( → t )(
)
xy
xy
Cos
Lím
y x4
4
) 0 , 0 ( ) , (−
→ u)
→ySen
x
Lím
y x1
) 0 , 0 ( ) , ( v)
→xCos
y
Lím
y x1
) 0 , 0 ( ) , ( w)
+
+
→(0,0) 2 2 ) , (x
y
y
x
ArcTan
Lím
y x x) 2 2 2 3 ) 0 , 0 ( ) , (x
y
xy
x
Lím
y x+
−
→ y)
+
+
−
→ 2 2 2 2 2 2 ) 0 , 0 ( ) , (3
3
ln
y
x
y
y
x
x
Lím
y x z) ( , ) (0,0) 2 21
2 2y
x
e
Lím
y x y x+
−
+ →18) Muestre que los siguientes límites no existen: a) 2 2 ) 0 , 0 ( ) , (
y
x
x
Lím
y x+
−
→ b) 4 2 4 ) 0 , 0 ( ) , (x
y
x
Lím
y x →+
c) 2 4 2 4 ) 1 , 1 ( ) , (x
y
y
x
Lím
y x+
−
→ d)xy
xy
Lím
y x, ) (0,0) ( → e)y
x
y
x
Lím
y x+
−
→(0,0) ) , ( f )x
y
y
x
Lím
y x−
+
→(0,0) ) , ( g)y
y
x
Lím
y x+
→ 2 ) 0 , 0 ( ) , ( h)x
y
x
Lím
y x → 2−
2 ) 0 , 0 ( ) , ( i ) 2 2 2 ) 0 , 0 ( ) , (x
y
y
x
Lím
y x+
−
→ j ) 4 4 2 2 ) 0 , 0 ( ) , (x
y
y
x
Lím
y x →+
k) 2 2 2 2 ) 0 , 0 ( ) , (2
y
x
y
x
Lím
y x+
+
→ l ) 4 2 2 ) 0 , 0 ( ) , (x
y
y
x
Lím
y x →+
m)2
1
2 ) 1 , 2 ( ) , (−
−
→xy
y
Lím
y x n)1
2 2 ) 1 , 1 ( ) , (−
−
→xy
y
x
Lím
y x o)y
x
x
Lím
y x−
−
→3
1
2 ) 3 , 1 ( ) , ( p)4
1
2 2 ) 2 , 1 ( ) , (−
−
→xy
x
Lím
y x19) Evalúe los límites
h
y
x
f
y
h
x
f
Lím
h)
,
(
)
,
(
0−
+
→ yk
y
x
f
k
y
x
f
Lím
k)
,
(
)
,
(
0−
+
→a) f(x,y) = x2y2 b) f(x,y) = x2y3 - 10x c) f(x,y) = x3 + y2
d) f(x,y) = Sen(xy) e) f(x,y) = 2
y
x
f ) f(x,y) =
x
2+
y
220) Determine si son o no continuas las siguientes funciones: a)
=
≠
+
=
)
0
,
0
(
)
,
(
,
0
)
0
,
0
(
)
,
(
,
2
)
,
(
2 2y
x
y
x
y
x
xy
y
x
f
b)
=
≠
+
=
)
0
,
0
(
)
,
(
,
1
)
0
,
0
(
)
,
(
,
2
)
,
(
4 2 2y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
f
c)
=
≠
+
=
)
0
,
0
(
)
,
(
,
0
)
0
,
0
(
)
,
(
,
3
)
,
(
2 2 2y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
f
d)
=
≠
+
−
=
)
0
,
0
(
)
,
(
,
0
)
0
,
0
(
)
,
(
,
)
,
(
2 2 2 2y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
f
e)
=
+
≠
+
+
+
=
0
)
(
,
1
0
)
(
,
)
(
)
,
(
y
x
y
x
y
x
y
x
Sen
y
x
f
f)
=
≠
=
0
,
0
0
,
1
)
,
(
x
x
x
ySen
y
x
f
g)
=
≠
+
=
)
0
,
0
(
)
,
(
,
0
)
0
,
0
(
)
,
(
,
)
,
(
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
f
21) Determinar el tipo de discontinuidad que tienen las siguientes funciones en el punto (0,0), y redefínalas si es posible:
a) 2 2
)
,
(
y
xy
x
xy
y
x
f
+
+
=
b) 2 2 2 34
)
,
(
y
x
xy
x
y
x
f
+
−
=
c)
+
+
=
2 2)
(
)
,
(
y
x
x
Sen
y
x
y
x
f
d) 4 6 2 3)
,
(
y
x
y
x
y
x
f
+
=
e)
+
−
=
2 2 2 2)
,
(
y
x
y
x
xy
y
x
f
f )
+
+
=
2 2)
,
(
y
x
y
x
ArcTan
y
x
f
22) Halle la constante B de tal manera que la siguiente función sea continua en el origen:
=
≠
−
−
=
)
0
,
0
(
)
,
(
,
)
0
,
0
(
)
,
(
,
3
3
)
,
(
2 2 3 3y
x
B
y
x
y
x
y
x
y
x
f
23) Encuentre una fórmula para g(x), de tal manera que la siguiente función sea continua en todo el plano:
=
≠
−
−
=
y
x
x
g
y
x
y
x
y
x
y
x
f
2
,
)
(
2
,
2
4
)
,
(
2 224) Determine si hay un valor para
k
que haga que la siguiente función sea continua en todas partes, si no, explique por qué:
>
−
≤
+
=
3
,
5
3
,
)
,
(
x
y
x
y
k
y
x
f
25) Determine si hay un valor para
