1. Ejercicios propuestos

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Coordinación de Matemática I (MAT021)

1er Semestre de 2015

Semana 1: Guía de Ejercicios de Complemento, lunes 9 viernes 13 de Marzo

Clase 1: Elementos de lógica: conectivos, tablas de verdad, tautologías y contingencias. Clase 2: Demostraciones y razonamientos lógicos. Conjuntos: denición y operaciones

Contenidos

1. Ejercicios propuestos

1.1. Verique que((p=⇒q)∧(q=⇒p))⇐⇒(p⇐⇒q)es una tautología a través del uso de una tabla de Verdad. 1.2. Si(p∧q)⇐⇒t, pruebe que la siguiente proposición es una tautología

p∨(q=⇒t)⇐⇒F

1.3. Pruebe que {[(p⇒q)⇒(q⇒p)]∧(p∨q)} ≡q

1.4. Sean A, B yC tres conjuntos contenidos en un conjunto UniversoU, tales queA∩B=_∅y C⊆B. Pruebe

que:

h

AC∪(B−C)Ci∩

BC∪AC−AC=A

1.5. SiA⊂B yC⊂B. Usando propiedades de conjuntos verique que se cumple:

[(A−B)c∩C]∪(A∪B) =B

1.6. Identique cuáles de las siguientes proposiciones son simples y cuales son compuestas: a) Estoy en la casa o en la universidad.

b) Gabriela está trabajando.

c) Si multiplicamos por cero, el producto siempre es igual a cero. d) Si gano suciente, voy a un viaje.

1.7. Sipes la proposición "Luisa quiere a Supermán" y q la proposición "Supermán quiere a Luisa", exprese con

palabras las proposiciones: a) ∼(p∧q).

b) ∼p∨ ∼q.

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1.8. Pruebe que:

(a) B∩(A−B) =∅ (b) (A∩B)∪(B∩C)c_{= (}_A_∪_Bc₎_∪_Cc

(c) (Ac_∪_B₎c_∪₍_Ac_∪_Bc₎c₌_A ₍_d_{) [}_A_∪₍_B_∩_Ac_)]_∪_[_Ac_∩_Bc_∩_C_{] =}_A_∪_B_∪_C

(e) (A∪Bc₎_∩_B₌_A_∩_B ₍_f_{) (}_A_∩_B₎_∪₍_A_∩_Bc_{) =}_A

1.9. Sea p: llueve, q: hace frio, r: voy a la esta. Exprese en lenguaje cotidiano las siguientes proposiciones: a) (p⇒q)⇒∼r

b) (p ∧q)⇒∼r

c) (∼p∧ ∼q)⇒r.

1.10. De los enunciados siguientes decida cuáles son verdaderos: 1. 10 es par y termina en cero.

2. 10 es par y 3*3=9 3. 10 es par y 9 también

4. 13 es par o 13 termina en cero 5. 13 es par o 2*2=4

6. Si2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 7, si sólo si, 1 + 1 = 2

7. Si2 + 2 = 4, entonces no es cierto que2 + 1 = 3 y 5 + 5 = 10. 1.11. ¾Cuáles de los siguientes enunciados compuestos son verdaderos?

a) p∨q ⇔ p∧ ∼q

b) p∨q ⇔ (p∧ ∼q)∨ (∼p∧ q) c) ∼(p∨q) ⇔ (∼p∧ ∼q)∨ (p∧ q)

1.12. El conectivo proposicional∧se llama conjunción negativa. Para dos proposicionespyqse anotap∧q, se

lee "nipniq".

a) Construir la tabla de verdad dep∧q

b) Probar que : i) ∼ p ≡ p∧p

ii) p ∧q ≡ (p∧p)∧(q∧q) iii) p ∨q ≡ (p∧q)∧(p∧q)

1.13. Niegue y luego simplique las proposiciones resultantes: 1. p∧(q∨r)∧(p∨q∨r)

2. (p∧q)⇒r

3. p⇒(q∧r)

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2. Ejercicios propuestos que incluyen respuesta

2.1. Determinar cuales de las siguientes proposiciones son equivalentes a) El café es agradable, a menos que se le agregue azúcar.

b) El café es agradable si no le agregamos azúcar c) Si agregamos azúcar, el café es agradable d) Si agregamos azúcar, el café no es agradable

2.2. Determinar si la siguiente proposición compuestap=⇒(p∧[p∨q])es o no Tautología 2.3. Determinar si las siguientes proposiciones son Tautología, Contradicción o Contingencia

a) [(p∧q)⇒p]⇒q

b) [p⇒(q∧p)]∨(q∨p) c) [p⇒(p∧r)]∧[q∨(q∧p)] d) [p⇒((r∨q)∧p)]∧(q⇒p)

2.4. Pruebe si la siguiente proposición(p=⇒q) =⇒(p∧q)es o no una Tautología

2.5. Se dene el siguiente conectivo lógico(p∗q)⇐⇒(q∧(q⇐⇒p))Determine el valor de verdad dep∗p.

2.6. Sean p y q dos proposiciones. sabiendo que r es una proposición falsa, determine el valor de verdad de la

siguiente proposición[p=⇒(q=⇒r)] =⇒[(p∧q) =⇒r] 2.7. Si(p∨r)es verdadera, entonces la proposición:

[(p=⇒s) =⇒r]∧(s∧r) Es tautología, contradicción o contingencia.

2.8. Si p es una proposición Verdadera, determinar el valor de verdad de la proposición q , de modo que la

proposición compuesta(p⇒q)⇐⇒[(p∧q)⇒F]sea Verdadera.

2.9. Si la Proposición compuesta (p∨q)∧(p∨r) es Falsa, determinar el valor de verdad de la proposición (q∨r)_Yp.

2.10. Escribir por extensión los conjuntos:

A = {2,4,6,8} B = ₁ 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7

2.11. Se denen los siguientes conjuntos

U = R

A = {x∈_Z /−5≤x <6}

B = [−3,10]∪[12,14]

C = {x∈U /4x−2<6} Exprese claramente los siguientes conjuntos:A−B,(B∪C)∩A, Cc_∩_A.

2.12. Considere el conjunto Universo

U ={x∈IN/xes múltiplo de3∧5< x≤18}

y los conjuntos A = {x∈U/xes par ∧x≥8} y B = {x∈U/xes múltiplo de 4}, Obtener el conjunto

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3. Ejercicios Resueltos

3.1. Usando tablas de verdad muestre o refute que[p∨(p∧q)]∧q≡(p∧q) 3.2. Simplicar usando propiedades[p∨(p∧q)]⇒[p∨q]

3.3. Simplicar usando propiedades[(p∧q)⇒q]⇔p

3.4. Muestre que[p∨(p∧q)]⇔(p∨q)es equivalente conputilizando propiedades y tabla de verdad.

3.5. Demostrar

(p⇒q)⇔q≡p∨q.

3.6. Determinar una forma proposicionalA(p, q, r)cuya tabla de verdad sea la siguiente:

p q r A(p, q, r) V V V F V V F F V F V F V F F V F V V V F V F V F F V F F F F V 3.7.

Consideremos el nuevo conectivo lógico↓, (p↓q)se lee nip, niq. (p↓q)es verdadera si y solo sipyqson ambas

falsas, demostrar las siguientes equivalencias lógicas: 1. p≡(p↓p)

2. p∨q≡((p↓q)↓(p↓q)) 3. p∧q≡((p↓p)↓(q↓q))

3.8. Seanpyqdos proposiciones. Denamos la proposición

p`q⇐⇒ (Existe una proposiciónτ tal que(p=⇒τ)∧(τ =⇒q)) Pruebe que

p`q⇐⇒(p=⇒q) 3.9. Pruebe que:B∩[(Bc_∪_A₎c_∪₍_A_∪_B₎c_{] =}_B₋_A

3.10. Demuestre usando algebra de conjuntos

{[Ac∩(A∪B)]−[Ac∩(A−B)]}=B−A

3.11. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: a) (A∪B)−[(A−B)∪(B−A)] =A∩B

b) Demostrar que siAc_∩_B₌_A_∩_B _entonces_B₌

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Respuestas y desarrollos

2.1 Las proposicionesayd 2.2 Es Tautologia 2.3 a) Contingencia. b) Tautología. c) (p∧q)(Contingencia) d) pContingencia. 2.4 Si es una Tautología. 2.5 Falso 2.6 Tautología. 2.7 Contradicción.

2.8 La proposición es una Tautología, para q Verdadera

o Falsa. 2.9 Verdadera. 2.10 A={x∈N/(xes par)∧x <10} B =1 n/n∈N∧2≤n≤7 2.11 A−B ={−5,−4},(B∪C)∩A=A, Cc_∩_A₌_{2_,₃_,₄_,_5}_. 2.12 (A∩B)C−(A∪B) ={9,15}. 3.1 La tabla es p q p∧q p∨(p∧q) [p∨(p∧q)]∧q [p∨(p∧q)]∧q⇔(p∧q) V V V V V V V F F V F V F V F F F V F F F F F V

luego es una tautología. 3.2 Propiedad utilizada [p∨(p∧q)]⇒[p∨q] ⇔ Morgan [p∨(p∧q)]⇒[p∧q] ⇔ Distributividad,p∨p≡V yV ∧p≡p [p∨q]⇒[p∧q] ⇔ p⇒q≡p∨q [p∨q]∨[p∧q] ⇔ Morgan [p∧q]∨[p∧q] ⇔ Distributividad q∧[p∨p] ⇔ q

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3.3 Propiedad utilizada [(p∧q)⇒q]⇔p ⇔ Puesp⇒q≡p∨q h (p∧q)∨qi⇔p ⇔ Morgan [(p∨q)∨q]⇔p ⇔ Puesq∨q≡V y asociatividad V ⇔p ⇔ Puesp⇔q≡ {(p⇒q)∧(q⇒p)} (p⇒V)∧(V ⇒p) ⇔ Puesp⇒q≡p∨q (p∨V)∧(F∨p) ⇔ p∨V ≡pyF∨p≡p V ∧p ⇔ V ∧p≡p p

3.4 Usando tablas de verdad

p q p q p∧q p∨(p∧q) p∨q [p∨(p∧q)]⇔(p∨q)

V V F F F V V V

V F F V F V V V

F V V F V V F F

F F V V F F V F

comparando los valores de verdad depy[p∨(p∧q)]⇔(p∨q)se sigue que son equivalentes. Ahora usando propiedades

{[p∨(p∧q)]⇔(p∨q)} ≡ {[(p∨p)∧(p∨q)]⇔(p∨q)} ≡ {[V ∧(p∨q)]⇔(p∨q)} ≡ {(p∨q)⇔(p∨q)} pero {(p∨q)⇔(p∨q)} ≡ {(p∨q)⇒(p∨q)} ∧ {(p∨q)⇒(p∨q)} ≡ n(p∨q)∨(p∨q)o∧n(p∨q)∨(p∨q)o ≡ {(p∧q)∨(p∨q)} ∧ {(p∧q)∨(p∨q)} ≡ {(p∨q)} ∧ {(p∨q)} ≡ p∨(q∧q) ≡ p∨F ≡ p

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3.5 (p⇒q)⇔q≡((p⇒q)⇒q)∧(q⇒(p⇒q)) ≡((p∨q)∨q)∧(q∨(p∨q)) ≡((p∧q)∨q)∧(q∨(p∨q)) ≡((p∧q)∨q)∧((q∨q)∨p) ≡((p∧q)∨q)∧(V ∨p) ≡((p∧q∨q))∧V ≡(p∨q)∧(q∨q) ≡(p∨q)∧V ≡p∨q.

3.6 Mirando las líneas de la tabla en las cualesA es verdadera podemos interpretarApor:

(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r) =A(p, q, r) esta expresión se puede simplicar a

A(p, q, r) = (p∧q)∨(q∧r)

Explicación un poco más detallada: La forma (p∧q∧r) es verdadera si y solo si pes verdadera,q es falsa y r es falsa, lo que hacemos es crear formas que sean verdaderas solo para una combinación en la cual A(p, q, r) es verdadera, después conectamos tales formas con el conectivo ∨ esta forma será verdadera si alguna de ellas es verdadera.

3.7 1. Se pueden construir tablas de verdad para demostrar estas propiedades:

p p (p↓p) V F F F V V se siguep≡(p↓p) 2. p q (p∨q) (p↓q) (p↓q)↓(p↓q) V V V F F V F V F F F V V F F F F F V V 3. p q (p∧q) (p↓p) (q↓q) (p↓q)↓(p↓q) V V V F F V V F F F V F F V F V F F F F F V V F se sigue(p↓q)↓(p↓q)≡(p∧q)

3.8 (⇒)Comop`qes verdadera, existe una proposiciónτ tal que

(p⇒τ)∧(τ⇒q).

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(⇐)Comop⇒qes verdadera, se puede armar que (∃τ=ptal que(p⇒τ)∧(τ⇒q))⇐⇒p`q Luego; p`q⇐⇒(p=⇒q) 3.9 B∩[(Bc_∪_A₎c_∪₍_A_∪_B₎c_] ₌ _B_∩_[(_B_∩_Ac₎_∪₍_Ac_∩_Bc_)] = B∩[Ac_∩₍_B_∪_Bc_)] = B∩[Ac∩S ] = (B∩Ac) = A−B 3.10 {[Ac_∩₍_A_∪_B_)]₋_[_Ac_∩₍_A₋_B_)]} ₌ _{[(_Ac_∩_A₎_∪₍_Ac_∩_B_)]₋_[_Ac_∩₍_A_∩_Bc_)]} = {(Ac_∩_B₎_{− ∅}} = Ac∩B = B−A

3.11 1. Vamos a demostrar utilizando álgebra de conjuntos, en especial las propiedades

G−F = G∩Fc (G∪F)c = Gc∩Fc (G∩F)c = Gc∪Fc y distributividad G∪(F∩D) = (G∪F)∩(G∪D) G∩(F∪D) = (G∩F)∪(G∩D) así (A∪B)−[(A−B)∪(B−A)] = (A∪B)∩[(A−B)∪(B−A)]c = (A∪B)∩[(A−B)c∩(B−A)c] = (A∪B)∩[(A∩Bc)c∩(B∩Ac)c] = (A∪B)∩[(Ac∪B)∩(Bc∪A)] = (A∪B)∩(Ac∪B)∩(Bc∪A) = B∩(A∪Ac)∩(Bc∪A) = B∩(Bc∪A) = (B∩Bc)∪(B∩A) = (B∩A) 2. Notemos que A∩B = A∩(A∩B) = A∩(Ac∩B) = ∅

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se sigue Ac∩B=A∩B=_∅ de donde obtenemos B = B∩(A∪Ac) = (B∩A)∪(B∩Ac) = ∅∪∅ = _∅