3. Gr´ afica de una funci´ on de 2 variables

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Unidad: Funciones de varias variables Tema: Funciones escalares de varias variables

Alumno: Fecha de entrega:

Grupo:

Objetivo del recurso: Al terminar de trabajar con este recurso, el alumno será capaz de explicar el concepto de funciones de varias variables. Además podrá reconocer en una función de varias variables a las variables independientes y dependientes, y podrá explicar su dominio y rango. Además, conocerá las diferentes formas de representar una función de varias variables.

Instrucciones: A continuaci´on se presentan una serie de actividades que le permitir´an al alumno alcanzar la competencia final de la asignatura. Estas actividades corresponden a una semana de trabajo.

1. Introducci´ on

Estamos muy acostumbrados a trabajar con funciones de una sola variable independiente, expresadas de la forma y = mx + b. Sin embargo, en la vida real existen muchos problemas de dos o más variables, por ejemplo, el cálculo del volumen de un cilindro rectangular recto con la función v = πr²hes una función de dos variables.

La manera formal de anotar a una función de dos o más variables es similar a la utilizada para una función de una sola variable, por ejemplo para la función de 2 variables:

w= f (a, b) = a³− 3b (1)

La definici´on formal de una funci´on de 2 variables es:

Sea D un conjunto de pares ordenados de n´umeros reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un

´

unico n´umero real f (x, y), entonces se dice que f es una funci´on de x y y. El conjunto D es el dominio de f , y el correspondiente conjunto de valores f (x, y) es el rango de f.

2. Dominio y rango

En la función z = f (x, y), x y y son las variables independientes y z es la variable dependiente. Esta definición es expandible a tres, cuatro o n variables, d´onde los dominios consisten n variables. El dominio de una funci´on f(x) es el conjunto de todos los valores para los cuales una función est´a definida, y el rango de la funci´on es el conjunto de todos los valores que toma f.

Ejemplo 1. Halle el dominio de la siguiente funci´on:

f(x, y) = px²+ y²− 16

x (2)

su dominio es:

Ejemplo 2. Halle el dominio de la siguiente funci´on:

f(x, y, z) = x

p9 − x²− y²− z² (3)

su dominio es:

(2)

3.- f (x, y) =p4 − x²− y² Dominio:

Rango (z):

4.- f (x, y) = sen⁻¹(x + y) Dominio:

Rango (z):

5.- f (x, y) = ln(4 − x − y) Dominio:

Rango (z):

6.- f (x, y) = x+ y xy Dominio:

Rango (z):

7.- f (x, y) = e^x/y Dominio:

Rango (z):

8.- f (x, y) = 1 xy Dominio:

Rango (z):

Ejercicio 9. Este ejercicio es de análisis, a partir de la gráfica, determine si z es una función de x y y de la figura 1 [1].

z:

3. Gr´ afica de una funci´ on de 2 variables

Por medio del graficado de una función es posible conocer muchas caracter´ısticas de esta. La gráfica de una funci´on de 2 variables se define como el conjunto de todos los puntos (x,y,z) para los cuales z está definida. A la gráfica obtenida se le interpreta geometricamente como una superficie en el espacio.

Ejemplo 3. Analice el rango de la siguiente funci´on y obtenga la gr´afica:

p16 − 4x

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Figura 1: Figura a analizar del ejercicio 9.

Para obtener el análisis de tipo gráfico, es necesario determinar los puntos que se pueden obtener para el graficado, de tal manera que se plantea la función:

z=p16 − 4x²− y² (5)

El siguiente c´odigo permite obtener la gr´afica en matlab:

1 c l c; c l e a r a l l ; c l o s e a l l ;

2 %% G r a f i c a d o de l a f u n c i ´o n

3 j =1;

4 f o r x = −2:0.1:2

5 f o r y = −2:0.1:2

6 z ( j )=sqrt (16 −(4∗ x ˆ2) −(y ˆ2) ) ;

7 e j e x ( j )=x ; e j e y ( j )=y ;

8 j=j +1;

9 end

10 end

11 plot3( e j e x , e j e y , z , ’ r −∗ ’ )

La figura obtenida es la mostrada en la figura 2.

Ejemplo 4. Analice el rango de la siguiente funci´on y obtenga la gr´afica:

f(x, y) =p16 + 4x²− y² (6)

Para obtener el análisis de tipo gráfico, es necesario determinar los puntos que se pueden obtener para el graficado, de tal manera que se plantea la función:

z=p16 + 4x²− y² (7)

El siguiente c´odigo es otra forma de obtener la gr´afica en matlab:

1 c l c; c l e a r a l l ; c l o s e a l l ;

2 [ x , y]=meshgrid ( − 2 : 0 . 1 : 2 ) ;

3 z=sqrt (16+(4∗ x . ˆ 2 ) −(y . ˆ 2 ) ) ;

4 mesh( z )

La figura obtenida es la mostrada en la figura 3.

(4)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

−2

−1

Eje x Eje Y

Figura 2: Gr´afica de la funci´on del ejemplo 3.

0 10 20 30 40 50

0 20 40 60

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Figura 3: Gr´afica de la funci´on del ejemplo 3.

Para dibujar la gr´afica en labview, realize el siguiente instrumento virtual mostrado en la figura 4: Ejercicio 16.

Ejercicios. Dibuje con alg´un software la superficie dada por las siguientes ecuaciones:

10.- f (x, y) = 7 11.- f (x, y) = x² 12.- f (x, y) = y² 13.- f (x, y) = 3y²− x²

14.- f (x, y) = e^x

15.- f (x, y) = 6 − 2x − 3y

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Figura 4: Instrumento virtual para graficar.

4. Curvas de nivel

Otra alternativa para poder visualizar una función de 2 variables es usar un campo escalar en el que el escalar z= f (x, y) se asigna al punto (x, y). Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel, conocidas también como l´ıneas de contorno a lo largo de las cuales el valor de f(x,y) es constante. Los mapas de contorno se utilizan principalmente para marcar regiones dependiendo de algún criterio especifico. Una aplicación de ellos son los mapas topográficos que indican la altura sobre el nivel del mar. En el caso de una función f (x, y), el mapa de contorno representa la variación de z respecto a las variables x y y.

Aplicaciones de las curvas de nivel:

Ejemplo 5. La figura 5 muestra la gr´afica de la funci´on f (x, y) =p64 − x²− y² y sus curvas de nivel.

−8

−6

−4

−2 0

2 4

6 8

−6 −8

−2 −4 2 0 6 4 8 0 2 4 6 8

Eje x

Eje z

(a) a

1

1 1

1

1 1

1

2

2 2

2

2 2

2 23

3

3 3

3

4

4 4

4

5

5 5

5

6

6 6

6

7

Eje x

Eje y

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

(b) b

Figura 5: a) Gr´afica de la funci´on f (x, y) =p64 − x²− y² y b) curvas de nivel

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2. ¿Por qu´e se coloca un punto (.) despu´es de la X y la Y ?

3. ¿Qué función tiene la sección [1:1:7] en la función contour?

Ejercicios. Dibuje con alg´un software las curvas de nivel de las siguientes ecuaciones [2]:

17.- f (x, y) = 6 − 3x − 2y 18.- f (x, y) =p9 − x²− y² 19.- f (x, y) = 4x²+ y²+ 1 20.- f (x, y) = −xye^−x²^−y²

21.- f (x, y) = −3y x²+ y²+ 1 22.- f (x, y) = x²+ y²+ z²

¡Felicidades!, has concluido el primer recurso de la asignatura.

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5. Soluciones

Las soluciones de los ejercicios son:

1.- z es funci´on de x y y 2.- z no es funci´on de x y y 3.- Dominio: (x,y): x²+ y²64 Rango: z: 0 6 z 6 2

4.- Dominio: (x,y): −1 6 x + y 6 1 Rango: z: −π

2 6z 6 π 2

5.- Dominio: (x,y): y < −x + 4 Rango: z: Toda la recta de los reales.

6.- Dominio: (x,y): x 6= 0, y 6= 0 Rango: z: Toda la recta de los reales.

7.- Dominio: (x,y): y 6= 0 Rango: z: z > 0

8.- Dominio: (x,y): x 6= 0, y 6= 0 Rango: z: |z| > 0

9.- z no es una funci´on porque para algunos valores de x y x hay 2 valores de z.

Referencias

[1] Ron Larson and Bruce H Edwards. C´alculo 2 de varias variables. McGraw-Hill, 2010.

[2] James Stewart. C´alculo de varias variables. trascendentes tempranas. M´exico: Ed: Cengage Learning, 2012.