Desigualdad de H¨ older

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Espacios L

^p

Problemas para examen

Desigualdad de H¨ older

1. Desigualdad de Young. Sean a, b ≥ 0 y sean p, q > 1 tales que 1 p+1

q = 1. Recuerde alguna demostraci´on de la siguiente desigualdad:

ab ≤ a^p p +b^q

q .

Sugerencia: se puede usar la convexidad de la funci´on exponencial.

2. El caso de igualdad en la desigualdad de Young. Sean p, q > 1 tales que 1 p+1

q = 1, y sean a, b ≥ 0. Determine qu´e condici´on deben satisfacer a y b para que se cumpla la igualdad

ab = a^p p +b^q

q.

Sugerencia: se puede usar la convexidad estricta de la funci´on exponencial.

3. Desigualdad de H¨older. Enuncie y demuestre la desigualdad de H¨older. Sugerencia:

despu´es de quitar los casos triviales cuando las cantidades kf k_p y kgk_q son iguales a cero o infinitas, considerar las funciones

u(x) := 1

kf k_p f (x), v(x) := 1

kgk_q g(x),

aplicar la desigualdad de Young a los n´umeros u(x) y v(x) e integrar sobre X.

4. Desigualdad de Hölder, cuando la segunda función es la constante 1. Aplique la desigualdad de Hölder al caso cuando g es la constante 1, y demuestre una desigualdad de la forma

Z

X

|f | dµ ≤ ckf k_p,

donde c es cierta constante que depende de µ y de p (hay que encontrar c).

5. El caso de igualdad en la desigualdad de H¨older. Sean p, q > 1 tales que ¹_p+¹_q = 1, y sean f, g ∈M(X, F, [0, +∞)) tales que 0 < kfkp < +∞, 0 < kgk_q< +∞ y

kf gk₁ = kf k_pkgk_q.

Demuestre que existe α > 0 tal que en µ-casi todas partes se cumple la igualdad f^p = αg^q. Sugerencia: repasar el razonamiento sugerido en el Problema3, notar que ciertas integrales son iguales, restarlas, concluir que cierta funci´on es cero casi en todas partes, y usar el

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6. El teorema inverso de H¨older. Sean p, q > 1 tales que ¹_p + ¹_q = 1, y sea f ∈ L^p(X,F, µ, C) tal que kfkp > 0. Construya g ∈ L^q(X,F, µ, C) tal que kgkq = 1 y kf gk₁ = kf kp.

7. Desigualdad de Minkowski. Enuncie y demuestre la desigualdad de Minkowski.

8. El caso de igualdad en la desigualdad de Minkowski. Sea p ∈ [1, +∞). Determine cu´ando la desigualdad de Minkowski se convierte en una igualdad. En otras palabras, encuentre una condici´on necesaria y suficiente para que kf + gk_p = kf k_p+ kgk_p.

9. Sea (X,F, µ) un espacio de medida tal que µ(X) = 1, sean f, g : X → (0, +∞) funciones positivas µ-medibles tales que f (x)g(x) ≥ 1 para todo x ∈ X. Demuestre que

Z

X

f dµ · Z

X

g dµ ≥ 1.

10. Desigualdad de Hardy (tarea adicional). Sea f ∈ L^p((0, +∞), µ, [0, +∞]), donde p ∈ (1, +∞) y µ es la medida de Lebesgue. Definamos g : (0, +∞) → [0, +∞] mediante la f´ormula

g(x) := 1 x

x

Z

0

f (t) dt.

Demuestre que

+∞

Z

0

g(x)^pdx ≤

p p − 1

p +∞

Z

0

f (x)^pdx.

El supremo esencial de una funci´ on positiva medible

11. Acerca de la definición del supremo esencial de una función. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈ M(X, F, [0, +∞]). Denotemos por B al conjunto de las cotas superiores esenciales de la función f :

B :=

nb ∈ [0, +∞] : µ {x ∈ X : f (x) > b} = 0o .

Demuestre que inf(B) ∈ B, esto es, f

µ-c.t.p.

≤ inf(B).

12. El supremo esencial de una funci´on positiva. En la notaci´on del ejercicio ante- rior, ess sup(f ) se define como inf(B).

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13. Otra descripci´on del supremo esencial de una funci´on. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea f ∈M(X, F, [0, +∞]). Sea c el supremo esencial de f y sea

A =n

α ∈ [0, +∞] : µ {x ∈ X : f (x) ≥ α} > 0o . Demuestre que c = sup(A).

14. Propiedad subaditiva del supremo esencial. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sean f, g ∈M(X, F, [0, +∞]). Demuestre que

ess sup(f + g) ≤ ess sup(f ) + ess sup(g).

Rango esencial y supremo esencial (tareas adicionales)

Se supone que (X,F, µ) es un espacio de medida.

Definici´on (rango esencial). Sea f ∈ M(X, F, C). El rango esencial de f se define de la siguiente manera:

ER(f) =n

w ∈ C : ∀ε > 0 µ {x ∈ X : |f (x) − w| < ε} > 0o . 15. Sea f ∈M(X, F, C). Demuestre que el ER(f) es cerrado.

16. Sea f ∈M(X, F, C). Demuestre que

ess sup |f | = sup{|w| : w ∈ER(f)}.

Espacios L

^p

17. La convergencia en L^p implica la convergencia en medida. Sean (X,F, µ) un espacio de medida, p ∈ [1, +∞) y (f_n)_n∈N una sucesi´on en L^p(X, µ, C), g ∈ L^p(X, µ, C), tales que kf_n− gk_p → 0. Demuestre que f_n−+ g.^µ

18. Propiedad subaditiva de la pseudonorma en L^∞. Escriba la definici´on de la pseudonorma k · k∞ y demuestre que esta cumple con la propiedad subaditiva.

19. Escala de los espacios L^p sobre un espacio de probabilidad. Sea (X,F, µ) un espacio de medida tal que µ(X) = 1, sean p₁, p₂ ∈ [1, +∞] tales que p₁ < p₂ y sea f ∈ L^p²(X, µ, C). Demuestre que f ∈ L^p¹(X, µ, C) y

kf k_p₁ ≤ kf k_p₂.

Sugerencia: aplique el resultado del Ejercicio 4 con cierto p definido en t´erminos de p₁ y

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20. Escala de los espacios L^p sobre un espacio de medida finita. Sea (X,F, µ) un espacio de medida finita y sean p₁, p₂ ∈ [1, +∞] tales que p₁ < p₂. Demuestre que para cada f en M(X, F, [0, +∞])

kf kp1 ≤ ckf kp2,

donde c es una constante que depende solo de µ(X), p₁ y p₂ (hay que encontrar esta constante). Se recomienda considerar por separado los casos p2 < +∞ y p2 = +∞.

Compare los siguientes dos conjuntos (ponga ⊆ o ⊇):

L^p¹(X,F, µ, [0, +∞]), L^p²(X,F, µ, [0, +∞]).

21. La norma k · k∞ como el l´ımite de las normas k · k_p. Sea (X,F, µ) un espacio de medida finita y sea f ∈ L^∞(X, µ). Demuestre que

p→+∞lim kf k_p = kf k∞.

Sugerencia: en una parte de la soluci´on puede ser ´util suponer que v < kf k∞ y considerar el conjunto A := {x ∈ X : |f (x)| ≥ v}.

Sucesiones regulares de Cauchy

Suponemos que (M, d) es un espacio m´etrico.

Definición (sucesión regular de Cauchy). Sea (x_n)_n∈N una sucesión en (M, d). Se dice que (x_n)_n∈N es una sucesión regular de Cauchy si para todo n ∈ N

d(xn, xn+1) ≤ 1 2ⁿ⁺¹.

22. Sea (x_n)_n∈N una sucesi´on regular de Cauchy en (M, d). Demuestre que para todos m, n ∈ N

d(xm, xn) ≤ 1 2^min{m,n}. Deduzca de aqu´ı que (x_n)_n∈N es una sucesi´on de Cauchy.

23. Existencia de una subsucesión regular de Cauchy en una sucesión de Cauchy. Sea (x_n)_n∈N una sucesión de Cauchy en (M, d). Demuestre que existe una suce- sión estrictamente creciente ν : N → N tal que (xνk)_k∈Nes una sucesión regular de Cauchy, esto es, para todo k ∈ N

d(x_ν_k, x_ν_k+1) ≤ 1 2^k.

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24. Convergencia de una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión con- vergente. Sea (x_n)_n∈N una sucesión de Cauchy en (M, d) y sea ν : N → N una sucesión creciente tal que (x_ν_k)_k∈N converge a un punto a ∈ M . Demuestre que (x_n)_n∈N converge al punto a.

25. Criterio de que un espacio m´etrico es completo. Sea (M, d) un espacio m´etrico.

Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) (M, d) es completo, esto es, toda sucesión de Cauchy tiene un l´ımite en M ; (b) toda sucesión sucesión regular de Cauchy tiene tiene un l´ımite en M .

Completitud de los espacios L

^p

26. Completitud del espacio L^∞. Sea (X,F, µ) un espacio con medida. Demuestre que el espacio L^∞(X,F, µ, C) es completo. Se recomienda hacer la demostraci´on en dos etapas.

I. Dada una sucesi´on de Cauchy (f_n)_n∈N en L^∞(X,F, µ, C), construir una funci´on g tal que f_n −−−−→ g.^µ-c.t.p.

II. En la notaci´on del inciso I, demostrar que g ∈ L^∞(X,F, µ, C) y kfn− gk∞ → 0.

27. Completitud del espacio L¹. Sea (X,F, µ) un espacio de medida. Demuestre que el espacio L¹(X,F, µ, C) es completo. Se recomienda hacer la demostraci´on en dos etapas.

I. Dada una sucesi´on regular de Cauchy (fn)_n∈N en L^∞(X,F, µ, C), construir una funci´on g tal que fn

µ-c.t.p.

−−−−→ g.

II. En la notaci´on del inciso I, demostrar que g ∈ L¹(X,F, µ, C) y kfn− gk₁ → 0.

28. Si una sucesión converge en L¹, entonces existe una subsucesión que converge c.t.p.. Sea (f_n)_n∈N una sucesión en L¹(X,F, µC) y sea g ∈ L¹(X,F, µ, C). Su- pongamos que kfn− gk1 → 0. Demuestre que existe una sucesión estrictamente creciente ν : N → N tal que fν(p)

µ-c.t.p.

−−−−→ g.

29. Completitud de los espacios L^p. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea p ∈ (1, +∞). Demuestre que el espacio L^p(X,F, µ) es completo usando el hecho que L¹(X,F, µ) es completo.

30. Generalice el resultado del Problema 28a espacios L^p con 1 ≤ p < +∞.

(6)

Aproximaci´ on por funciones simples

31. Funciones simples que se anulan fuera de conjuntos de medida finita. Sea (X,F, µ) un espacio de medida. Denotemos por SM(X, F, C) al conjunto de todas las funciones F-medibles cuyo conjunto de valores es finito. Pongamos

S1 := {f ∈SM(X, F, C): µ({x ∈ X : f(x) 6= 0}) < +∞}.

32. Funciones simples medibles integrables. Sea f ∈ SM(X, F, C) y sea 1 ≤ p <

+∞. Demuestre que

µ({x ∈ X : f (x) 6= 0}) < +∞ ⇐⇒ kf k_p < +∞.

33. Demuestre queS1 es un espacio vectorial.

34. Demuestre que S1 es la envoltura lineal (es decir, el subespacio vectorial generado por) del conjunto

{1_A: A ∈F, µ(A) < +∞}.

35. Densidad de las funciones simples en L^p, para 1 ≤ p < +∞. Sea (X,F, µ) un espacio de medida. Demuestre queS1 es denso en L^p(X, µ, C).

Aproximaci´ on por funciones continuas

36. Medidas regulares. Recuerde la definici´on de medida regular.

37. Teorema sobre la densidad de las funciones continuas de soporte compacto en L^p, para 1 ≤ p < +∞. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico de Hausdorff localmente compacto, sea F ⊆ 2^X una σ-´algebra que contiene a todos los conjuntos de Borel y sea µ : F → [0, +∞] una medida regular. Demuestre que para todo p ∈ [1, +∞) el conjunto Cc(X, C) es denso en L¹(X, µ, C).

38. Teorema de Luzin. Sea X un espacio espacio de Hausdorff localmente compacto con una medida regular µ. Sean f ∈M(X, F, C), Y ∈ F tal que µ(Y ) < +∞ y f(x) = 0 para cada x en X \ Y . Sea ε > 0. Demuestre que existen g en C_c(X) y E en F tales que µ(E) < ε, f (x) = g(x) para cada x en X \ E y kgk∞ ≤ kf k∞.