FUNDAMENTOS BASICOS DE LAS MATEMATICAS. En la secundaria se estudiaron varios conjuntos numéricos a saber: el conjunto de los

Universidad Pedagógica Experimental Libertador Departamento de Educación

Matemática Básica I Dr. Derling Mendoza [email protected]

https://orcid.org/0000-0001-8275-3687

http://www.researcherid.com/rid/N-1162-2018

FUNDAMENTOS BASICOS DE LAS MATEMATICAS

Números Naturales y enteros

En la secundaria se estudiaron varios conjuntos numéricos a saber: el conjunto de los números naturales N el conjunto de números enteros Z el conjunto de números racionales Q el conjunto de números reales R.

A continuación, se presentan cada uno de ellos junto con sus propiedades.

Números Naturales

El primer conjunto se identifica intuitivamente como el conjunto con el cual se hacen conteos de objetos. Por ejemplo 10 peras, 4 remeras, etc. Este conjunto son simplemente lo números {1, 2, 3, 4, 5, …}.

De ahí que se denomine Conjunto de Números Naturales, porque son aquellos números con los cuales hacemos el conteo natural de las cosas. Luego, de una manera formal, tenemos:

Definición: El conjunto cuyos elementos son: 0,1,2,3,4…recibe el nombre de conjunto de los números naturales y se denota con el símbolo N;

así: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…..}

Números Enteros

El segundo conjunto es el de los números enteros y se introduce como el conjunto que contiene a los números naturales y a los números negativos de estos. Estos números son {0, 1,−1, 2,−2, 3,−3,….. }

Este conjunto aparece ante la necesidad de explicar situaciones en las cuales intervienen alturas, temperaturas y otros fenómenos en los cuales es necesario hablar de cantidades por encima o por debajo del valor cero. Por ejemplo, uno dice hacen 4 grados bajo cero, eso matemáticamente es −4°C (menos cuatro grados centígrados bajo cero).

Definición: El conjunto cuyos elementos son …,−4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,… recibe el nombre de conjunto de los números enteros y se denota con el símbolo Z, así:

Z = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}

Nótese que:

El conjunto de los números enteros no tiene ni un primer elemento ni un último elemento, por lo que decimos que es infinito, esto se representa con el símbolo: ∞ (infinito).

Los números naturales 0,1,2,3,4,… pertenecen al conjunto de los números enteros, de donde se tiene que: El conjunto de los números naturales es subconjunto del conjunto de los números enteros, lo que se expresa simbólicamente así: N ∈ Z ( N está contenido en Z) Los otros grupos de números se verán más adelante, ya que no es necesario ahora. En el capítulo siguiente se dan las propiedades de los Números Enteros.

Propiedades de Los Números Enteros

En lo que sigue se dan todas Propiedades que relacionan a los números entre sí. De hecho, el lector las encontrará familiares, ya que la mayoría fueron vistas en la escuela secundaria.

Propiedades de la Suma La Suma es Conmutativa:

Si a y b son enteros, entonces: a + b = b + a Ejemplo

3 + 2 = 2 + 3 = 5

100 + 1 = 1 + 100 =101 –20 + 15 = 15 – 20 = –5 –1 – 7 + 10 = 10 – 1 – 7 = 2

La Suma es asociativa: Si a, b y c son enteros, entonces: (a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo

(2 + 11) -3 = 2 + (11 – 3) = 10

100 + (1 – 1) = (100 + 1) – 1 = 100

(2 + 5) – 2 – 4 = 2 + (5 – 2) – 4 = 1

Elemento Nulo de la Suma: Si a es entero, entonces:

a + 0 = 0 + a = a Ejemplo

2 + 0 = 2 0 – 9 = – 9 – 1 + 0 = – 1

Elemento opuesto: Si a es entero, entonces:

a + (– a) = (– a) + a = 0 Ejemplo

3 + (– 3) = 0 – 9 + 9 = 0 (– 1) + 1 = 0

El opuesto de la suma es la suma de los opuestos, entonces: – (a + b) = – a + (– b)

Ejemplo

– (2 + 3) = – 2 – 3 = – 5 – 2 + (– 3) = – 2 – 3 = – 5 – (1 + 2 + 4) = – 1 – 2 – 4 = – 7 – 1 + (– 2) + (– 4) = – 7

Propiedades de la Resta Restar es Sumar el opuesto:

Si a, b y c son enteros, entonces: a – b = a + (– b) Ejemplo

35 – 42 = 35 + (– 42) = – 7 100 – 189 = 100 + (– 189) = – 89 –100 + 15 = 15 + (– 100) = – 85

Propiedades de la Multiplicación

Propiedades de los signos: Al multiplicarse dos números enteros, y según sean sus signos se cumple lo siguiente:

(+) . (+) = (+) (+) . (–) = (–) (–) . (–) = (+) (–) . (+) = (–)

Nota: cabe destacar que el punto “.” significa multiplicación y es equivalente al signo “x”

(“por”) que estamos acostumbrados a usar; pero formalmente en matemáticas se utiliza el punto, y así será en este cuadernillo.

Ejemplo

(– 8) . (– 3) = – (– (8 . 3))) = 8 . 3 = 24 (– 4) . (– 5) = 4 . 5 = 20

(– 8) . 3 = – ( 8 . 3 ) = – 24 7 . (– 3) = –( 7 . 3 ) = – 21

La Multiplicación también goza de las Propiedades: Si a, b y c son enteros, entonces la multiplicación es:

Conmutativa: a . b = b . a

Asociativa: ( a . b ) . c = a . ( b . c )

Distributiva respecto de la suma: a . (b + c) = a . b + a . c Ejemplo

(– 8) . (– 3) = (– 3) . (– 8) = 3 . 8 = 8 . 3 = 24

((– 2) . 2) . (– 1) = (– 2) . ( 2 . (– 1)) = (– 2) . ((– 1) . 2) = ((– 2) . (–1)) . 2 = 2 . 2 = 4 2 . ((– 3) + 4) = 2 . (– 3) + 2 . 4 = – 6 + 8 = 2

El producto de cualquier número entero por cero es cero, luego: 0 . a = a . 0 = 0 Ejemplo

0 . 3 = 0 (– 4) . 0 = 0 15 . 0 = 0

0 . ( – 54) = 0

El producto de cualquier entero por uno es dicho entero, luego: a . 1 = 1 . a = a Ejemplo

1 . 3 = 3 (– 4) . 1 = – 4 15 . 1 = 15 1 . ( – 54) = – 54

El producto de cualquier entero por (– 1) es el opuesto de dicho entero, luego:

a . ( – 1) = ( –1) . a = – a Ejemplo

( – 1) . 5 = – 5 (– 6) . ( – 1) = 6 1 . (– 1) = – 1

Propiedades de la División

Resolver la división de “a : b” significa encontrar un numero “c” que verifique que “c . b = a”

Cabe destacar que, para la división se cumplen las reglas de los signos dadas en la multiplicación, teniendo en cuenta que la división es la operación opuesta de la multiplicación. De todos modos se resumen las 4 formas posibles de operaciones con signos en la siguiente propiedad de la división.

También debe resaltarse que la división no siempre tiene solución entera.

Propiedades de los signos: El cociente de dos números enteros según sean sus signos es:

(+) : (+) = (+) (+) : (–) = (–) (–) : (–) = (+) (–) : (+) = (–) Ejemplo

( – 8) : 2 = – 4 (– 7) : ( – 2) = 3,5

15 : (– 3) = – 5 3 : 3 = 1

División por 1 y –1:

Al dividir cualquier numero por 1, dicha división da el mismo número, esto es:

a : 1 = a

Al dividir cualquier numero por – 1, la división da el opuesto de dicho numero, esto es:

a : (– 1 ) = – a Ejemplo

8 : 1 = 8

(– 7) : 1 = – 7 8 : (– 1) = – 8 (– 7) : (– 1) = 7

División por 0 (cero):

Al dividir Cero por cualquier numero entero distinto de cero, dicha división da Cero, esto es:

0 : a = 0 ( si a ≠ 0 )

No se puede dividir por Cero, la solución no existe, da infinito.

a : 0 = No existe

Esto último podemos verlo fácilmente como:

Si a es distinto de cero, debería cumplirse entonces que a : 0 = b, y supongamos además que encontramos dicho

b. Ahora bien, debería verificarse que b . 0 = a, pero esto último no es cierto, ya que cualquier numero multiplicado por cero da cero, con lo cual b . 0 = 0, y por lo tanto dicho b no existe.

Se concluye entonces que a : 0 No tiene solución. Por ello decimos que no existe.

En base a las propiedades vistas de los números naturales de suma, resta, multiplicación y división en esta parte el alumno deberá resolver los ejercicios propuestos en el cuadernillo de práctica sobre Operaciones Numéricas.

Potencias y Raíces de Números Enteros

Potenciación

Como ya sabemos en lugar de escribir: 2 . 2 . 2, podemos escribir 2³ o 4 . 4 . 4 . 4 seria 4⁴, bueno, esto es lo que se denomina potencia o potenciación de un número.

Formalmente decimos que dos esta elevado al cubo en el primer caso o que 4 esta elevado a al cuarta en el segundo. Con lo cual una manera abreviada de escribir el producto de factores iguales es la Potenciación. Luego:

Escribimos:

b . b = b² y se lee b al cuadrado a . a . a = a³ y se lee a al cubo

c . c . c c…. (n veces) = cⁿ y se lee c a la n, o c a la enésima potencia.

Definición: Una expresión del tipo bⁿ , es una expresión que se denomina Potencia o expresión de potenciación; en donde “b” es la base y “n” el exponente. Esta expresión se lee como “b” elevado a la “n” o “b” a la enésima potencia. Recordar esto para la parte de logaritmos.

Propiedades de la Potenciación

Cualquier número entero elevado a 1 es dicho número entero, esto es: b¹ = b Ejemplo 3¹= 3 100¹ = 100

Cualquier número entero elevado a 0 es 1, esto es: b⁰ = 1 Ejemplo

3⁰= 1 100⁰ = 0

Cualquier número entero elevado al cuadrado es mayor o igual que 0, esto es:

si b es cualquier número entero => b² ≥ 0

( el símbolo “=>” matemáticamente significa implica) Ejemplo

3² = 9 (–3)² = 9

1² = 1 (–1)² = 1 0² = 0

Notar que: para resolver la potenciación hay que tener en cuenta las reglas de los signos para multiplicación.

Cualquier producto de potencias de igual base es igual a dicha base elevada a la suma de los exponentes, esto es:

aⁿ . a^m = a^n+m Ejemplo

3² . 3² = 3⁴ = 81 (–3)² . (–3)² = 81 2² . 2³ = 2⁵ = 32

(–2)² . (–2)³ = (–2)⁵ = –32

Cualquier número elevado a una potencia y luego a otra, es decir una potencia de potencia es equivalente a elevar dicho número al producto de las potencias presentes, esto es:

( an )m = an . m o (( an )m )p = an . m . p Ejemplo

(2² )³= (2)⁶ = 64 ((–2)² )³= (–2)⁶ = 64 (3² )²= (3)⁴ = 81 ((–3)² )²= (–3)⁴ = 81

La Potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación, esto es: ( a . b )^m = a^m . b^m Ejemplo 19:

(2 . 3)² = 2² . 3² = 4

9 = 36 (2 . 2)² = 2² 2² = 4 . 4 = 16 ((–2) . (–3))² = (–2)² (–3)² = 4 . 9 = 36

Teniendo en cuenta la regla de los signos diremos que: Las potencias de exponente par son siempre positivas

Las potencias de exponente impar de bases negativas son siempre negativas.

Números racionales

Concepto: Es un número de la forma a/b en donde b es diferente de o y se encuentran ubicados dentro de los números reales.

Enteros

- +

Reales

Racionales

Fraccionarios

Comunes Decimales Irracionales

Hay que tomar en cuenta que todos los números enteros tienen como denominador el número uno y por lo tanto son racionales. Por lo anterior se sabe que un número racional cuenta con dos elementos:

Numerador.- Indica cuantas partes se tomaron del entero

Denominador.- Indica en cuantas partes se dividió el entero y es diferente de o a = numerador

b = denominador b  0 Fracciones Equivalentes

Son aquellas que tienen diferente forma pero el mismo valor. Para saber si dos fracciones son equivalentes, se aplica la regla del sandwich y el producto de los extremos será igual al producto de los medios.

) )(

( ) )(

(a d c d

d c b a d c b

a =    =

Extremos Medios

Esta regla nos ayuda a determinar en una pareja cuál de las fracciones es mayor.

1 2⋅⋅⋅3

4⋅⋅→⋅⋅2 6⋅⋅⋅1

3

Equivalentes Ejercicios:

𝑎) ⋅5 7⟨8

9⋅⋅⋅⋅ 𝑏) ⋅3 5= 6

10⋅⋅⋅⋅ 𝑐) ⋅7 9⟩6

8⋅⋅⋅⋅ 𝑑) ⋅3 4⟩2

7⋅⋅⋅⋅ 𝑒) ⋅ 5 10= 4

8

En caso que se tengan que comparar dos o más fracciones, éstas tendrán que tener un denominador común para poder realizar la comparación.

20 4 15 16 12 12

9 8 6 4 3

20 5 8 15

6 10

4 5 2













=

=

=

=





















=

=

=

de Múltiplos

de Múltiplos

Procedimiento:

1.- Se obtiene el mcm de los denominadores, a éste se le llamará común denominador.

2.- El común denominador se divide entre cada uno de los denominadores, el cociente que resulte se multiplicará por cada uno de los numeradores de las fracciones.

a) mcm 6,3,4, = 12 Común denominador

2 6 = 4 1 12

3= 4 12

1 4= 3

12𝑏) ⋅12

6 𝑥2 = 4 12

3 𝑥1 = 4 12

4 𝑥1 = 3 Ejercicio:𝑎) ⋅³

4,⁷

8, ¹

64

𝑚𝑐𝑚 = 64 64

4 𝑥3 ⥂=48 64 64

8 𝑥7 =56 64 64

64𝑥 ⥂ 1 ⥂= 1 64

7 8⟩3

4⟩ 1 64

𝑏)1/7,3/4,1/12

𝑚𝑐𝑚 = (7)(2²)(3) ⥂= 84 84

7 ⥂ 𝑥 ⥂ 1 ⥂=12 84 84

4 𝑥3 =63 84 84

12𝑥1 = 7 84

3 4⟩1

7⟩ 1 12

𝑐)8/16,4/5,5/25 𝑚𝑐𝑚 ⥂⥂⋅=⋅ (2⁴)(5²) = 400

400

6 𝑥8 ⥂=200 400 400

5 𝑥4 ⥂=320 400 400

25 𝑥5 ⥂= 80 400 4

5⟩ 8 16⟩ 5

25 Ejercicio:

3 9,4

6,12 12

𝑚𝑐𝑚 =⥂ (2²)(3²) ⥂= 36 36/9𝑥 ⥂ 3 ⥂= 12/36

/6𝑥4 = 24/36 36/12𝑥 ⥂ 2 ⥂= 6/36

4 6⟩3

9⟩ 2 12 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

2

𝑎= 8𝑎𝑥²

4𝑎²𝑥²𝑠𝑜𝑛 ⋅ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ⋅ 𝑝𝑜𝑟 ⋅ (2)(4𝑎²𝑥²) =⥂⥂ (8𝑎𝑥²)(𝑎) 5

4𝑥² = 5𝑎² 4𝑎²𝑥²

𝑚𝑐𝑚 = 4𝑎²𝑥²⋅ 𝑠𝑒 ⋅ 𝑠𝑎𝑐𝑎 ⋅ 𝑚𝑐𝑚 ⋅ 𝑑𝑒 ⋅ 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 1

3𝑥² = 6𝑥

18𝑥³ ⥂= (1)(18𝑥³) =⥂ (3𝑥²)(6𝑥) 𝑥 − 1

6𝑥 ⥂=3𝑥3 − 3𝑥²

18𝑥³ = (𝑥 − 1)(18𝑥³) ⥂= 6𝑥(3𝑥³− 𝑥²) 2𝑥 − 3

9𝑥3 ⥂=4𝑥 − 6

18𝑥³ =⥂⥂ (2𝑥 − 3)(18𝑥³) ⥂= (9𝑥³)(4𝑥 − 6) 𝑚𝑐𝑚 = 18𝑥3

(𝑃𝑟 𝑜 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 ⋅ 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝐸𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜:

1

2𝑥² ⥂= 4𝑥

8𝑥³ →⋅⥂ (1)(8𝑥3) = (2𝑥²)(4𝑥) 3

4𝑥 ⥂=6𝑥²

8𝑥³ → (3)(8𝑥³) ⥂⥂⥂= (4𝑥)(6𝑥²) 5

8𝑥³ = 5

8𝑥³ → (5)(8𝑥³) =⥂ ((8𝑥³)(5) 𝑚𝑐𝑚 = 8𝑥³

Ejercicio.- Obtén las fracciones equivalentes de cada serie:

4𝑥²

6𝑥²𝑦 = 8𝑥² 12𝑥²𝑦 2𝑎𝑏

12𝑥𝑦 = 2𝑥𝑎𝑏 12𝑥²𝑦 5𝑏

2𝑥²𝑦 = 30𝑏 12𝑥²𝑦

𝑚𝑐𝑚 ⥂= (2²)(3) = 12𝑥²𝑦

3𝑎 − 4

2𝑥²𝑦 ⥂⥂⥂⥂=18𝑦𝑎 − 24 6𝑥²𝑦² 5𝑎 − 3

2𝑦² ⥂=15𝑎𝑥²− 9𝑥² 6𝑥²𝑦² 4𝑎 − 2

6𝑥²𝑦² = 4𝑎 − 2 6𝑥² 𝑚𝑐𝑚 ⥂= 6𝑥²

Recta Numérica

Para realizar una serie de números en la recta numérica, es necesario que todos tengan un denominador común; de no ser así, se aplicará el procedimiento de fracciones equivalentes:

2/5 ½ 20/20 6/4 40/20

|

0 5/20 10/20 15/20 1 25/20 30/20 35/20 2

Orden: Creciente 2/5, 1/2, 6/4 Decreciente 6/4, 1/2, 2/5

1

2⥂=10 20 2

5⥂⥂= 8

20⋅ 6

4⥂⥂=30 20 𝑀𝐶𝑀 = 20

a

b d

0 10/40 20/40 30/40 1 50/40 60/40 70/40 2

Orden: Creciente bc,a,d Decreciente d.a.bc

𝑎)5

8⥂=25 40 𝑏) 6

10⥂⥂⥂=24 40 𝑐)3

5= 24 40

𝑑) 25

20 ⥂⥂ ⥂⥂⥂=50 40 𝑀𝐶𝑀 ⥂= 40

Radicales

Números Reales:

𝑅𝑒 𝑎 𝑙𝑒𝑠: ℜ

{

−𝑄(𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠) 𝑎

𝑏{𝑎 ∈ 𝑍 𝑏 ∈ 𝑍

{

−𝑍(𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠) {

−𝑁(𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠):

𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

−𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

−𝐷𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜𝑠

−𝐷𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑠   𝑝𝑢𝑟𝑜𝑠

−𝐷𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑠   𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜𝑠

−𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 {

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠  𝑐𝑜𝑛  𝑖𝑛𝑓 𝑖 𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠

En el conjunto numérico aparecen números de expresión radical que no tienen raíz exacta y estos números radicales tienen infinitas cifras decimales no periódicas, y no tienen representación en forma fraccionaria, no son números racionales, se denominan irracionales.

Número radical.

Llamamos radical de índice “n” de un número A ( √𝐴^𝑛 ) a un número B tal que su n-ésima potencia sea A:

𝑛√𝐴

= B si sólo sí A = Bⁿ

Siendo A un número real y "n" un número natural distinto de 0 a la expresión ^𝑛√𝐴 se le denomina raíz enésima de A. Donde:

- El símbolo ^𝑛√𝐴 se llama radical de índice n - n es el índice del radical.

- A es el radicando.

Si n= 1, ^{1 A= A}

Si n= 2, ^{2 A} se llama radical cuadrático.

Si n= 3, ^{3 A} se llama radical cúbico.

Todo radical de índice par y radicando positivo tiene dos raíces opuestas.

Ejemplo: ² 4=2

Todo radical de índice par y radicando negativo no tiene raíces.

Ejemplo: ² -4=ninguna raÍz Todo radical de índice impar tiene:

- una raíz positiva si el radicando es positivo.

2 2 8 ^{3 3}

3 = =

- una raíz negativa si el radicando es negativo.

( )

64 ^{3 3}

3 − = − =−

Potencia de exponente racional.

Todo número radical ⁿ A puede escribirse en forma de potencia de exponente fraccionario Aⁿ

1 .

Luego ⁿ _A^p será A^np. Propiedades de los radicales:

- ^𝒏√𝑨. 𝑩 = √𝑨^𝒏 . √𝑩^𝒏

- √^𝑨

𝑩

𝒏 = ^√𝑨

𝒏 𝒏√𝑩 Radicales semejantes:

- Forma típica de un radical.

- Extracción de factores de un radical.

- Introducción de factores dentro de un radical.

La propiedad ⁿ A.B=ⁿ A.ⁿ B , siendo A =aⁿ , entonces ⁿ aⁿ.b=ⁿ aⁿ.ⁿ b=aⁿ b nos permite obtener expresiones de la formaaⁿ b

Ejemplo: - 72= 36.2= 36. 2=6 2 - - 98=- 49.2=- 49. 2=-7 2

- ⁿ aⁿ.b=aⁿ b

El paso del primer miembro al segundo, en la igualdad

n

n n

b a

=

a .b se denomina extraer factores fuera del radical.

El paso del segundo miembro al primero se denomina introducir factores bajo el signo radical.

Un radical ⁿ A puede expresarse de varias formas, como aⁿ b. Si n y b son los menores posibles se dice que aⁿ b es la forma típica del radical.

Dos radicales son semejantes si sus respectivas formas típicas tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Suma de números radicales.

Sólo se pueden sumar radicales si son semejantes.

( )

n

n A b A a b A

a + = +

Ejemplo:

a)𝟑 √𝟐^𝟑 + 𝟒 √𝟐^𝟑 − 𝟓 √𝟐^𝟑 = (𝟑 + 𝟒 − 𝟓) √𝟐^𝟑 = 𝟐 √𝟐^𝟑

b) 𝟑 √𝟐^𝟑 + 𝟒 √𝟐^𝟑 − 𝟓 √𝟑^𝟑 = (𝟑 + 𝟒) √𝟐^𝟑 − 𝟓 √𝟑^𝟑 = 𝟕 √𝟐^𝟑 − 𝟓 √𝟑^𝟑 Reducción de radicales a común índice:

La reducción de radicales a común índice, por ser potencias de exponente fraccionario está directamente relacionada con la reducción a común denominador de sus exponentes.

Ejemplo:

Reduce a común índice:

√𝟑,  √𝟐^{𝟑 𝟒} ,  √𝟓^𝟒 Equivalente a 𝟑^𝟏𝟐, 𝟐^𝟒𝟑, 𝟓^𝟏𝟒, reducción a común denominador de los exponentes sería ¹²

3 12 16 12

6

5 , 2 ,

3 , por lo que nos quedarían los radicales con común índice

√𝟑^𝟔

𝟏𝟐 ,  √𝟐^{𝟏𝟐 𝟏𝟔} ,  √𝟓^{𝟏𝟐 𝟑}

Producto de números radicales

Para multiplicar dos números radicales, primero se reducen a común índice, y el resultado será un radical del mismo índice y de radicando el producto de los radicándos.

Ejemplo:

𝟑 √𝟐^𝟑 . √𝟑^𝟔 = 𝟑 √𝟐^{𝟔 𝟐}. √𝟑^𝟔 = 𝟑 √𝟒. 𝟑^𝟔 = 𝟑 √𝟏𝟐^𝟔

División de números radicales

Para dividir dos números radicales, primero se reducen a común índice, y el resultado será un radical del mismo índice y de radicando el cociente de los radicándoos.

Ejemplo:

𝟑 √𝟐^𝟑 : √𝟑^𝟔 = 𝟑 √𝟐^{𝟔 𝟐}: √𝟑^𝟔 = 𝟑 √𝟒 𝟑

𝟔

Potencia de una radical:

Para elevar a una potencia un radical, se eleva el radicando a esa potencia.

( √𝑨^𝑵 )^𝑷= √𝑨^{𝑵 𝑷} Raíz de una raíz.

La raíz m-ésima de la raíz n-ésima de un número es igual a la raíz mn-énesima de dicho número.

n m n a =m^. a

Racionalización de números radicales.

En los casos de expresiones fraccionarias en cuyo denominador hay alguna raíz no exacta, se transforman dichas fracciones en otras equivalentes en cuyo denominador obtenemos un entero, a este proceso le denominamos racionalización.

Ejemplos:

a) 10

5 3 5 . 5 5 2

3 5 2

3 = =

b) 4

2 5 2 . 2 2 2

5 2 2

5 ^{3 2}

3 2

3 2

3

3 = =

ALGEBRA

Conceptos básicos

Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables (una constante literal) y/o un factor numérico.

Ejemplos:

3x²y 45 2d

En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal.

Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal.

Ejercicios:

Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado:

Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado

– 5a²b³c Menos 5 a²b³c 2+3+1=6

4x²y abc 6

– 8a⁴c²d³

Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición o sustracción, uno o más términos algebraicos.

Ejemplo:

Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica se denomina:

Monomio : Un término algebraico : a²bc⁴ ; –35z Binomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5b Trinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19 Polinomio: Más de tres términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x²

Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.

2x – 4y + 6z – 8x²

El grado de esta expresión es 2 ya que el mayor grado es 2 a²bc⁴ +abc² –3bc⁶

El grado ce esta expresión es 7 ya que el mayor grado lo tiene el termino 3bc⁶ (b tiene grado 1 + c de grado 6)

Ejercicios:

Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas:

Expresión algebraica Grado de la expresión Número de términos

2x – 5y³ 1; 3 = 3 2: binomio

5x²y³ a – b + c – 2d m² + mn + n² x + y² + z³ – xy²z³

Valoración de expresiones algebraicas

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Veamos un ejemplo:

3𝑎𝑏²− 5𝑎𝑏 + 6𝑐

Valoremos la expresión: 5x²y – 8xy² – 9y³, considerando x = 2; y = –1

No olvidar:

Veamos el ejemplo propuesto: 5x²y – 8xy² – 9y³

5𝑥²𝑦 − 8𝑥𝑦²− 9𝑦³ = 5 ⋅ 2²⋅ (−1) − 8 ⋅ 2 ⋅ (−1)²− 9 ⋅ (−1)³ = 5 ⋅ 4 ⋅ (−1) − 8 ⋅ 2 ⋅ 1 − 9 ⋅ (−1) =

=−20 − 16 + 9 = −27

Ejercicios:

Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

Expresión algebraica

Reemplazar: a= 2; b=5; c= –3; d= –1; f= 0 Resultado 5a² – 2bc – 3d

4 ab – 3 bc – 15d 6a³f

2𝑎²− 𝑏³− 𝑐³− 𝑑⁵ 3(𝑎 − 𝑏) + 2(𝑐 − 𝑑)

( b + c )²

Términos semejantes:

Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal.

Ejemplos:

1. Reemplazar cada variable por el valor asignado.

2. Calcular las potencias indicadas

3. Efectuar las multiplicaciones y divisiones 4. Realizar las adiciones y sustracciones

Es el valor numérico

En la expresión 5 a²b + 3abx + 6 a²b³ – 7 a²b 5 a²b es semejante con – 7 a²b

En la expresión x²y³ – 8xy² +2x²y³ , x²y³ es semejante con 2x²y³

Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común.

Ejemplos:

1) –3 a²b + 2ab + 6 a²b – 7 ab = 3 a²b – 5 ab

2) 3𝑥³𝑦²− 2𝑥²𝑦³+ 2𝑥²𝑦³+ 1𝑥³𝑦² = _4x³_y²

Ejercicios:

1) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =

2) 45𝑎 − 7𝑏 − 14𝑏 + 6𝑎 + 53𝑏 + 𝑏 =

3) 3𝑚²− 2𝑚𝑛 + 10𝑚²− 3𝑚𝑛 + 2𝑚𝑛 − 2𝑚² =

4) 5𝑥²𝑦 + 31 + 8𝑥𝑦²− 3𝑦³− 2𝑥²𝑦 − 1𝑥𝑦²+ 4𝑦³− 6 = Uso de paréntesis:

( )    

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.

Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:

➢ Si es positivo, se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.

➢ Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.

Ejemplos:

1) 2𝑎 + {−𝑥 + 𝑎 − 1} − {𝑎 + 𝑥 − 3} =

2𝑎  −  𝑥  +  𝑎   − 1 − 𝑎  − 𝑥  + 3   =  2𝑎 − 2𝑥 + 2 2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4

Observación:

➢ Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el que se encuentre más al interior.

Ejemplo: 𝑚²− {−7𝑚𝑛 + [−𝑛²− (𝑚²− 3𝑚𝑛 + 2𝑛²)]} = 𝑚²  − {−7𝑚𝑛  + [ −𝑛²  −   𝑚²+ 3𝑚𝑛 − 2𝑛²] }=

𝑚²  − {−7𝑚𝑛 − 𝑛²− 𝑚²+ 3𝑚𝑛 − 2𝑛²} =

𝑚²  + 7𝑚𝑛  +   𝑛²  +   𝑚²  −  3𝑚𝑛  +  2𝑛² = 2𝑚²+ 4𝑚𝑛 + 3𝑛² Ejercicios:

1) −4 − (𝑥 − 𝑦) − 5 + (𝑥 + 3𝑦) − 2 − {𝑥 − 3𝑦 + 5 − [−𝑥 + 𝑦 − 1 + 2 + (𝑥 − 𝑦)]} = 2) −{+[(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)]} + {−[(𝑧 + 𝑥 − 𝑦)]} − [{−(𝑥 + 𝑦)}] =

Multiplicación en álgebra

Para multiplicar expresiones algebraicas, debes observar los siguientes pasos:

1º Multiplicar los signos (ley de los signos para la multiplicación) 2º Multiplicar los coeficientes numéricos.

3º Multiplicar las letras (multiplicación de potencias de igual base).

Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios.

Ejemplos:

monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios

( -4a⁵b⁴)•( 12ab²)= –48 a⁶b⁶

7 a⁴b • (2 a³ – a b + 5 b³ )=

14 a⁷b – 7 a⁵b² + 35 a⁴b⁴

(2𝑎 − 3𝑏)(3𝑎 − 7𝑏) = 6a²–14ab –9ab +21b² =

6a² –23ab +21b²

(𝑚²− 2𝑚𝑛 − 8𝑛²)(𝑚³

− 3𝑚²+ 2) =

(a x + b y – c z ) • (- x y )=

– ax²y – bxy² + cxyz

(𝑥 − 2)(𝑥²+ 2𝑥 + 4) = x³+2x² +4x–2x² –4x –8=

x³ –8

Lenguaje Algebraico

El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmán en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. el lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es

estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:

Se usan todas las letras del alfabeto.

Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo.

Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica.

Operaciones con Lenguaje Algebraico

Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones:

un número cualquiera se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:

a = un número cualquiera b = un número cualquiera c = un número cualquiera

... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.

a+b = la suma de dos números cualesquiera m-n = la resta de dos números cualesquiera

(b+c)-a =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquier ab = el producto de dos números cualesquier

a/b= el cociente de dos números cualesquiera (a+b) /2= la semisuma de dos números cualesquiera (ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera.

Ejercicio:

En la columna central escribe el numeral que corresponda a cada expresión verbal.

Expresión algebraica

Opción

correcta Expresión verbal

X; 1/X La suma de los cuadrados de dos números X; -x El espacio recorrido por un móvil es igual a su

velocidad por el tiempo que está en movimiento

2x El área del círculo de radio r

x / x²

3 veces la diferencia de 27 y 21 2x

El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su

producto

X/4 + (x+1) El doble de un número menos su cuarta parte.

7x Triple de un número elevado al cuadrado.

2x + 1 La cuarta parte de un número.

2x²−7 Un número par.

0,25x El cociente entre un número y su cuadrado.

x (x + 1) Un número par.

x, x + 1 Un número impar.

(x +y)2= x²+ y²+

2xy Dos números enteros consecutivos

𝐀 = 𝛑𝐫^𝟐 Un múltiplo de 7.

x² + y² La cuarta parte de un número más su siguiente

E = v .t Un número y su inverso.

3(27 – 21) =

81 – 63 = 18 Un número y su opuesto.

2x−x/4 El producto de un número con su consecutivo

3. x² El 25% de un número.

X / 4 Restar 7 al duplo de un número al cuadrado.

Reducción de términos semejantes

Es la operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes que se están sumado (o restando).

Recuerda que llamamos términos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal.

Ejemplos:

Reducir los siguientes términos semejantes:

1) a + a = 2 a 2) 2x + x = 3x

3) –3a²b³ + 12a²b³ = 9a²b³

4) a + 3b – c + 5a – 8b – 4c = 6a – 5b – 5c 5) 2a – 3ab + 5ab + 7a = 9a + 2ab

6) 15m^x+1 - 5m^x+1 - 3m^x+1 = 7m^x+1

Eliminación de paréntesis

Multiplicamos el signo por cada término dentro del paréntesis:

1) Para suprimir un paréntesis precedido por el signo + a + (b – c + d) = a + b – c + d

2) Para suprimir paréntesis precedidos por el signo − a − (b – c + d) = a − b + c − d

Ejemplos:

Elimine paréntesis y luego reduzca términos semejantes

1) 2m + (5n – 14m) + 15n − (6m – 10n) = 2m + 5n – 14m + 15n − 6m + 10n = −18m + 30n

2) 5a + [13b – (–8a + 10b)] = 5a + [13b + 8a - 10b] se suprimen paréntesis redondos = 5a + [13b + 8a – 10b] se suprimen paréntesis cuadrados = 13a + 3b

3) 23x + {-5y – [–2x + (–4x + 7y)]}

= 23x + {–5y – [–2x – 4x + 7y]} Se elimina paréntesis redondos.

= 23x + {–5y + 2x + 4x – 7y} se elimina paréntesis cuadrados = 23x – 5y + 2x + 4x – 7y se elimina paréntesis llaves.

= 29x − 12y Potencias

Recordemos algunas propiedades importantes:

El signo de una potencia depende de su exponente, esto es:

• Si el exponente de la potencia es par, el signo de la potencia será siempre positivo.

• Si el exponente es impar, el signo de la potencia será igual al signo de su base.

• Si el exponente es negativo entonces se debe trabajar con el inverso multiplicativo del número dado y luego resolver la potencia positiva.

Ejemplos:

1) (−𝑥)⁴ = 𝑥⁴ 2) (−𝑥)³ = (−𝑥)³ 3) (^𝑎

𝑏)⁻²= (^𝑏

𝑎)²

Consideraciones importantes

1. En la expresión −x² el signo no pertenece a la base (x), sino que a la potencia (x²). Existen distintas alternativas para clarifica esta separación del signo de la base. estas son:

Alternativa clarificadora Ejemplo numérico

a. −X • X = −X² -3² = -3 • 3 = -9

b. –1 • X² = −X² -3² = -1 • 3² = -1 • 9 = -9 c. − (X²) = −X² -3² = − (3²) = − (9) = -9 2. Sí x = -2, entonces: x² = x • x Por definición de potencia.

= -2 • -2 Al reemplazar –2 por x.

= (-2)² Por definición de potencia.

= 4



Evaluación de términos

Al reemplazar un valor numérico negativo en una variable elevada a potencia de una expresión algebraica, esta deberá ir entre paréntesis.

Ejemplo:

1. Sí a = -2 y b = -1. Determina el valor numérico de la expresión x² – x · y + y, x² – x·y + y = (-2)² − -2 · -1 + -1

= 4 − 2 + -1 = 1

Propiedades

1) Multiplicación de potencias de igual base: se conserva la base y se suma los exponentes: aⁿ · a^m = a^{n + m}

2) Potencia de una potencia: ( aⁿ)^m = a ^nm

3) Multiplicación de potencias de igual exponente: se multiplican las bases y se conserva el exponente: a ⁿ · b ⁿ = (ab) ⁿ

4) División de potencias de igual base: se conserva la base y se resta los exponentes:

a ⁿ : a ^m = a^{n – m}

5) División de potencias de igual exponente : se dividen las bases y se conserva el exponente: aⁿ : bⁿ = ( a : b)ⁿ

Multiplicación de polinomios

Monomio por Monomio: Para multiplicar un monomio por un monomio, se aplica la propiedad asociativa de la multiplicación.

Ejemplo: 2ab · -5a = 2 ·-5 · a · a · b = -10a²b

Monomio por polinomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición (o sustracción).

Ejemplo: 2xy · (3x² – 2xy + 5y²) = 6x³y − 4x²y² + 10xy³ Binomio por binomio:

(a + b) • (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd Polinomio por polinomio:

(x – y + z) • (x + y – z) = x (x + y – x) – y (x + y – z) + z (x + y – z) = x² + xy – xz – xy – y² – yz + xz + yz – z² = x² - y² - z²

Observación:

En el producto de un polinomio por un polinomio si hay términos semejantes estos deben ser reducidos.

Ejemplos:

Multiplicar los siguientes polinomios y reduzca términos semejantes si es posible:

1) 2a³b • 4ab² = 8a⁴b³

2) 3mn • (5n – 4mn + m) = 15mn² − 12m²n² + 3m²n

Productos notables

Son multiplicaciones de polinomios, en los cuales se repiten uno o más términos lo que permite establecer ciertas reglas fijas para obtener el producto, por simple inspección, esto es, sin necesidad aplicar propiedad distributiva ni reducir términos semejantes.

I) Cuadrado de un binomio:

(a + b) (a + b) = a² + 2ab + b² (a – b) (a – b) = a² – 2ab + b²

El cuadrado de un binomio es igual “al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”.

Ejemplos:

1) (x + 4)² = x² + 8x + 16 2) (5x – 4)² = 25x² – 40x + 16 3) (3a² + 2b³)² = 9a⁴ + 12a²b³ + 4b⁶

II) Suma por la diferencia de dos términos:

(a + b) (a – b) = a² - b²

Ejemplos:

1) (a – 4) (a + 4) = a² - 16 2) (3a + 2b) (3a – 2b) = 9a² - 4b² 3) (x² + y³) (x² – y³) = x⁴ – y⁶

III) Producto de dos binomios con un término común:

(a + b) (a + c) = a² + (b+c) a + bc

Ejemplos:

1) (x + 4)(x + 3) = x² + 7x + 12 2) (m + 5)(m – 3) = m² + 2m – 15 3) (3x – 2)(3x – 8) = 9x² – 30x + 16 IV) Binomio al cubo:

(a + b) (a + c) (a + c) = (a + c)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a - b) (a - c) (a - c) = (a - c)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ Ejemplos:

1) (x + 4)³ = x³ + 3*x² * 4+ 3 *x * 4² + 4³ = x³ + 12x² + 48x + 64 El producto de la suma de dos términos por su

diferencia es igual a “el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo”.

El producto de dos binomios con un término común es igual a “el cuadrado del término común más el producto de la suma de los términos no comunes por el término común más el producto de los términos no comunes”.

División

De dos monomios: se dividen los coeficientes y se aplica la ley de los signos (si la división no es exacta, se puede dejar indicada); posteriormente, si los coeficientes literales son iguales, se restan sus exponentes, si las variables literales son diferentes, entonces se queda indicada la división.

Ejemplos:

1) ^7𝑚

2𝑛³

−3𝑚𝑛 =⁻⁷

3 𝑚𝑛² 2) ^10𝑎

5𝑏⁶

−5𝑎𝑥⁴ =^{−2𝑎4𝑏6}

𝑥⁴

NOTA: recuerda que cuando una variable literal tiene como exponente cero equivale a la unidad y, por lo tanto, será como multiplicar por uno al término.

Ejemplo:

−9𝑥²𝑦³

−3𝑥²𝑦 = 3𝑥⁰𝑦² = 3𝑦²

De un polinomio por un monomio: se procede de igual forma que en el caso anterior dividiendo cada término del polinomio por el monomio dado.

Ejemplos:

1) ^6−12𝑎

6 = ⁶

6−^12𝑎

6 = 1 − 2𝑎 2) ^𝑥

3𝑦²

𝑥𝑦 = 𝑥²𝑦 3) ^(𝑥

2𝑥³)⁴ (𝑥⁴)³ = 𝑥⁸ 4) ^8𝑥+12𝑦

4 = 2𝑥 + 3𝑦

5) (8𝑥⁷− 16𝑥⁵+ 4𝑥³) ÷ (−4𝑥²) = −2𝑥⁵ + 4𝑥³ − 𝑥

De un polinomio por un polinomio: la división de polinomios se verifica de acuerdo con la siguiente regla para dividir dos polinomios.

1) Se divide el primer termino del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente.

(3𝑥²+ 2𝑥 − 8) ÷ (𝑥 + 2) =3x

2) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se sustrae lo obtenido al dividendo con su semejante. Si algún término no se puede restar entonces se agrega en el lugar que le corresponde (aquí sería el -8)

(3𝑥²+ 2𝑥 − 8) ÷ (𝑥 + 2) = 3𝑥

−3𝑥²− 6𝑥 − 4𝑥 − 8

3) Se repite el proceso pero esta vez con el primer término de resto.

(3𝑥² + 2𝑥 − 8) ÷ (𝑥 + 2) = 3𝑥 − 4

−3𝑥² − 6𝑥 − 4𝑥 − 8 +4𝑥 + 8 0 Ejercicio resuelto:

(28𝑥²− 30𝑦²− 11𝑥𝑦) ÷ (4𝑥 − 5𝑦) = 7𝑥 + 6𝑦

−28𝑥²+ 35𝑥𝑦 24𝑥𝑦 − 30𝑦² −24𝑥𝑦 + 30𝑦² 0 División sintética

La división sintética es un procedimiento por medio del cual se puede dividir un polinomio con una variable (o indeterminada), de orden n (grado del polinomio), entre un polinomio de orden 1 de la forma x - a donde x es la indeterminada y a es un número. Este procedimiento es puramente numérico (no se requiere manejo de literales) y resulta más fácil que la división de polinomios convencional. Después de realizada la división se obtiene como cociente un polinomio de orden n - 1 (Es decir, el polinomio obtenido es de un grado menos que el grado inicial) y el residuo es un número.

Para ilustrar el procedimiento dividiremos el polinomio 2x⁴ - 3x³ - 15x² - 10x + 6 entre el polinomio x - 3.

1. Para comenzar se obtienen los coeficientes del polinomio en orden decreciente y se escriben horizontalmente separados por espacios. Si falta el término de correspondiente a algún orden, se coloca cero en su lugar. Se escribe a la

izquierda separado por una línea vertical el valor de a (que es el término independiente del divisor). Se dibuja una línea horizontal por debajo de a. Con esto queda planteada la

división sintética, como se muestra en la figura.

2. El primer término del polinomio se escribe tal cual debajo de la línea horizontal.

3. Se multiplica el divisor por el número que se acaba de escribir debajo de línea horizontal. El producto se escribe arriba de la línea horizontal en la fila correspondiente al orden siguiente.

4. Se suma el coeficiente del polinomio que está justo arriba del número obtenido en el paso anterior a ese número. El resultado se escribe debajo de la línea horizontal.

5. Se repiten los pasos 3 y 4 hasta terminar escribiendo debajo de la línea horizontal la suma correspondiente al último orden.

6. Se interpreta el resultado de la división. El último número es el residuo y los números anteriores son los coeficientes del cociente de orden n - 1.

Cociente: 2x³ + 3x² - 6x - 28.

Residuo: - 78.

2x⁴ - 3x³ - 15x² - 10x + 6 = (x - 3) (2x³ + 3x² - 6x - 28) - 78

Ejemplo: Dividir el polinomio x⁴ - 11x³ + 26x² + 44x - 120 entre el polinomio x + 2.

Los coeficientes del polinomio son [1 -11 26 44 120] y a = −2 porque x + 2 = x − (−2) = x − a. La división sintética queda así:

Cociente: x³ - 13x² + 52x - 60.

Residuo: 0. la división es exacta, por eso el residuo es cero.

Ejemplo: Dividir el polinomio x³ + 1 entre el polinomio x − 1.

Los coeficientes del polinomio son [1 0 0 1] (observar cómo se insertan ceros en las posiciones de los términos con x² y x) y a = 1. La división sintética queda así:

Cociente: x² + x + 1.

Residuo: 2.

Teorema del resto

Si un polinomio f(x) se divide entre x - c, entonces el residuo es iguala f(c).

Ejemplo:

1) Si P(x) = 3x⁴ - 5x² + 3x – 20 para x = 2 se obtiene:

P (2) = 3 * 2⁴ – 5 * 2² + 3* 2 – 20 = 14

Esto significa que el resto de dividir el polinomio 3x⁴ - 5x² + 3x – 20 por (x - 2) es 14 2) Sea: P(x) = x³ – 3x² – 7.

Al dividir p(x) entre x − 2 obtenemos el cociente P(x) = x² − x − 2 y el resto r = − 11.

Podemos asegurar entonces, que P (2) = -11

“Si el resto es cero esto quiere decir que el polinomio será divisible por el cociente”.

Ejercicios resueltos:

1) Determina el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de efectuarlas.

a) (x⁴ – 16) : (x – 2) ➔ P(2) = 2⁴ – 16 = 16 – 16 = 0 El resto es : 0

b) (–x² + x + 1) : ( (x + 3) ➔ P(-3) = –3² + 3 + 1 = - 9 + 3 +1 = -5 El resto es : -5 c) (x⁵ + x – 2x³) : (x – 1) ➔ P(1) = 1⁵ + 1 – 2*1³ = 1 + 1 – 2 * 1 = 0 El resto es : 0 d) (x³ + 2x² – x + 1) : (x – 2) ➔ P(2) = 1³ + 2*1² – 1 + 1 = 1 + 2 = 3 El resto es 3

2) Dados los polinomios P(x) = x² + 3x + 5; Q(x) = x² – 4x + 4 y R(x) = x³ – 20, indica, sin hacer la división, cuales son divisibles por x – 2.

P(x) = x² + 3x + 5 ➔ P(2) = 2² + 3*2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15

El polinomio no es divisible por x – 2 ya que el resto es distinto de cero.

Q(x) = x² – 4x + 4 ➔ Q(2) = 2² – 4*2+ 4 = 4 – 8 + 4 = 0 El polinomio es divisible por x – 2 ya que el resto es cero.

R(x) = x³ – 20 ➔ R(2) = 2³ – 20 = 8 – 20 = – 12

El polinomio no es divisible por x – 2 ya que el resto es distinto de cero.

3) Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = 8x³–4x²+2x +m sea divisible por (x–½).

P(½)= 8(½)³–4(½)²+2(½) +m = m+1

Si P(x) es divisible significa por (x–½) que el resto es cero: m + 1=0 ➔ m = –1

4) Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = x³–9x²+mx–32 sea divisible por (x – 4).

P (4 ) = 4³–9*4²+m*4–32 = 4m-112

Si P(x) es divisible por (x – 4) significa que el resto es cero: 4m-112 = 0 ➔ m = 28 Factorización

La factorización es la operación orientada a expresar como producto de polinomios una expresión algebraica o polinomio.

Según el polinomio que se desea factorizar se debe aplicar un determinado método de factorización.

1. Factorizar por un factor común. Este tipo de factorización se realiza cuando se determina en cada uno de los términos del polinomio a factorizar un factor común. Este factor común corresponde al Máximo Común Divisor (M.C.D) de los términos de dicho polinomio.

Ejemplos:

2x + 2 = 2 (x + 1)

9a⁴b³ - 12a²b² = 3a²b² (3a²b- 4)

2. Factorizar por un factor común compuesto. Este tipo de factorización se aplica cuando se determina el factor común (o polinomio común) en cada término del polinomio a factorizar:

Ejemplos:

(a + b) x + (a + b)y = (a + b)(x + y)

ax + 2x – ay – 2y = x(a + 2) – y(a + 2) = (a + 2) (x – y) Ejercicios resueltos:

1. 3m + 3 = 3 (m + 1) 2. ab – ac + ad = a(b – c + d) 3. v³ + v² – v = v (v² + v – 1) 4. 4xⁿ+4xⁿ⁺¹= 4xⁿ (1 + x)

5. 4a⁴b² – 12a²b² + 8ab³ – 20a²b⁴ = 4ab² (a³ – 3ab + 2b – 5ab²) 6. 2a – 2ab + 2b – 2b² = 2a ( 1 – b ) + 2b (1 – b ) = (1 – b ) (2a + 2b) 7. x² + x – xy – y = x (x + 1) – y (x +1) = (x +1) (x – y )

8. 2mn – 4mp + 6kn – 12kp = 2m (n – 2p) + 6k (n – 2p) = (n – 2p) (2m + 6k) 9. ax² – ay² + bx² – by² = a(x² – y² )+ b(x² – y² ) = (x² – y² ) (a + b)

factorización de un trinomio de la forma x² + bx + c

El trinomio de la forma x² + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso:

Ejemplo 1:

Descomponer x² + 6x + 5

1 Hallar dos factores que den el primer término

2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6” 1 y 5

(x + 1 )( x + 5 )

Ejercicios resueltos: Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios 1) x² + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1)

2) b² + 8b + 15 = (b + 3) (b + 5) 3) r² - 12r + 27 = (r - 3) (r - 9) 4) h² - 27h + 50 = (h - 25) (h - 2)