Guía de Estudio: Sistemas de Ecuaciones

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Guía de Estudio de Sistemas de Ecuaciones – Página 1

Guía de Estudio: Sistemas de Ecuaciones

1. ¿A qué se llama ecuación lineal?

2. ¿A qué se llama solución de una ecuación lineal con “n” incógnitas? Encuentre una solución para la ecuación 2

1

x + x

2

− x

3

+ 3 x

4

= 1

3. ¿A qué se llama sistema de ecuaciones lineales?

Escriba un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas.

4. ¿A qué se llama solución de un sistema de ecuaciones lineales?

5.

6. ¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones lineales?

7. ¿Cuándo se dice que un sistema de ecuaciones es compatible? ¿e incompatible?

8. ¿Cuándo se dice que un sistema es compatible determinado? ¿y compatible indeterminado?

9. Formule un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea:

a) incompatible b) compatible determinado c) compatible indeterminado 10. ¿Puede cualquier sistema de ecuaciones lineales escribirse en forma matricial?

Si se puede, hágalo con cada uno de los siguientes.

a)



=

− +

= +

2 2

y z w 1

x wzyx

b) {

x y2 z t=1

c)

 

 

=

= +

=

− 0 6 3

1 2

4

y x y x y x

d)



=

=

− 1 5 3

4 2 4 x x y y

e)

 

 

= +

=

= +

2 4

1 2

1 3

z y x z x z y x

11. ¿Es posible resolver alguno de los sistemas anteriores usando ecuaciones matriciales?

Si es posible, hágalo.

12. ¿Qué condiciones debe cumplir un sistema de ecuaciones lineales para que pueda resolverse con este método? Escríbalas.

13. ¿A qué se llama sistema crameriano?

14. Suponga que el sistema

 

 

= + +

= + +

= + +

3 3 2 1

2 3 2 1

1 3 2 1

t z c y c x c t z b y b x b t z a y a x a

es crameriano. Exprese cómo se calculan las

incógnitas x, y , z usando la Regla de Cramer.

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15. Diga cuál de los sistemas dados en 9. es crameriano y resuélvalo usando la Regla de Cramer

16. Diga cuáles son las limitaciones de la Regla de Cramer como método para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

17. ¿Tiene esas limitaciones el método de eliminación de Gauss?

18. A los efectos de su aplicación en conveniente que recuerde:

a) a qué se llama matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales.

b) a qué se llama matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales.

b) qué significado tiene el rango de una matriz

19. Examine el sistema

 

 

=

− +

= + +

=

3 3

5

0 3

4

3 2

z y x

z y x

z x

¿Puede decirse que la segunda ecuación es combinación lineal de la primera y la tercera?

Si responde que sí, escriba sintéticamente dicha combinación.

¿Puede decirse que la tercera ecuación es combinación lineal de la primera y la segunda?

Si responde que sí, escriba sintéticamente dicha combinación.

20. En el sistema anterior ¿es correcto decir que cualquiera de sus ecuaciones es combinación lineal de las otras?

21. Examine el sistema

 

 

=

− +

=

− +

=

− +

3 3

5

6 2 6 4

3 3

2

z y x

z y x

z y x

en el que = 2.

¿puede decirse que la tercera ecuación es combinación lineal de la primera y la segunda?

Si responde que sí, escriba dicha combinación.

¿puede decirse que la segunda ecuación es combinación lineal de la primera y la tercera?

Si responde que sí, escriba dicha combinación.

22. En el sistema anterior ¿es correcto decir que cualquiera de sus ecuaciones es combinación lineal de las otras?

23. ¿Cuándo se dice que las ecuaciones de un sistema son linealmente independientes?

Escriba un sistema de dos ecuaciones que sean linealmente independientes.

Escriba un sistema de dos ecuaciones que sean linealmente dependientes.

24. ¿Cuándo se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes?

25. Le dan un sistema de tres ecuaciones y le piden que escriba un sistema equivalente a él,

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que tenga cuatro ecuaciones ¿cómo puede construirlo?

26. Hágalo con el sistema

 

 

=

− +

=

− +

=

− +

3 3

5

6 2 6 4

1 2

z y x z y x z y x

27. Tome el sistema que acaba de escribir ¿puede escribir uno equivalente a él, que tenga tres ecuaciones y que no sea el inicialmente dado? Si responde sí, hágalo.

28. Complete, para obtener una proposición verdadera:

29. Complete para obtener el enunciado del Teorema de Rouche-Fröbenius:

Complete, para obtener las condiciones que permiten diferenciar los casos de compatibilidad y de incompatibilidad:

Si . . . el sistema es compatible determinado.

Si . . . el sistema es compatible indeterminado.

El número. . . es igual al número de “grados de libertad”.

Si . . . el sistema es incompatible.

30. Analice y resuelva, usando el teorema de Rouché - Fröbenius y el método de Eliminación de Gauss, los sistemas del ejercicio 10.

31. Dado el sistema siguiente, hallar el valor de “k” para que rg(a)=rg(a´)=3









=

















− +

1 2 1 0 .

0 1 0 2

1 2 6 2

0 1 2 1

1 0 2 3

4 3 2 1

xxxx

k

Antes de iniciar la triangulación estudie la forma de “ubicar” el elemento que contiene a “k”

en forma conveniente, a efectos de facilitar la triangulación. Luego, resuélvalo.

32. ¿A qué se llama Sistema homogéneo?

Un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas es compatible si y sólo si . . .

. . .

. . .

Si a un sistema de ecuaciones lineales se le agrega o se le quita una ecuación que es . . . .

. . . de las demás, se obtiene un sistema . . .

. . .

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33. ¿Es cierto que un sistema homogéneo nunca es incompatible? ¿porqué?

34. De todos los casos que pueden presentarse al analizar un sistema no homogéneo ¿cuál es el único caso cuya resolución implica realizar un desarrollo? Justifique.

35. Analice si existe algún valor de “k” para el cuál es sistema homogéneo siguiente tiene infinitas soluciones

 

 

=

− +

=

− +

=

− +

0 ) 1 ( 3 5

0 2 6 4

0 2

z

k y x z y x z y x

36. La existencia de “soluciones no triviales” en un sistema homogéneo de igual número de ecuaciones que incógnitas puede caracterizarse usando determinantes; complete, para obtener la propiedad correspondiente:

37. Use esta propiedad para resolver el ejercicio 35.

38. Sea un sistema cuya expresión matricial es A.X=B con A

mxn

K

∈ . Analice:

a) Si m<n ¿Puede ser compatible determinado? ¿y compatible indeterminado?

¿e incompatible?

b) Formúlese las mismas preguntas si m=n c) Formúlese las mismas preguntas si m>n

Un sistema homogéneo de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas tiene

soluciones “no triviales” si y sólo si . . .

.

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