Criterio de l´ımite en t´erminos de sucesiones (un tema de an´alisis real)

Criterio de l´ımite en t´ erminos de sucesiones (un tema de an´ alisis real)

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

2021-11-19

Objetivo:

demostrar el teorema de Heine, es decir, el criterio de l´ımite en t´erminos de sucesiones.

Prerrequisitos:

espacios m´etricos, espacios topol´ogicos, base de vecindades.

Una de aplicaciones futuras:

aplicar el teorema de la convergencia dominada a familias de funciones, no necesariamente numerables.

Objetivo:

demostrar el teorema de Heine, es decir, el criterio de l´ımite en t´erminos de sucesiones.

Prerrequisitos:

espacios m´etricos, espacios topol´ogicos, base de vecindades.

Una de aplicaciones futuras:

aplicar el teorema de la convergencia dominada a familias de funciones, no necesariamente numerables.

Objetivo:

demostrar el teorema de Heine, es decir, el criterio de l´ımite en t´erminos de sucesiones.

Prerrequisitos:

espacios m´etricos, espacios topol´ogicos, base de vecindades.

Una de aplicaciones futuras:

aplicar el teorema de la convergencia dominada a familias de funciones, no necesariamente numerables.

Vecindades y l´ımites

Sea (X , τ ) un espacio topol´ogico.

Dado a en X , pongamos τ (a) := {V ∈ τ : a ∈ V }. Recordemos la definici´on del l´ımite .

Sean (X , τX), (Y , τY) espacios topol´ogicos, a ∈ X , b ∈ Y , f : X → Y .

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q.

Vecindades y l´ımites

Sea (X , τ ) un espacio topol´ogico.

Dado a en X , pongamos τ (a) := {V ∈ τ : a ∈ V }.

Recordemos la definici´on del l´ımite .

Sean (X , τX), (Y , τY) espacios topol´ogicos, a ∈ X , b ∈ Y , f : X → Y .

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q.

Vecindades y l´ımites

Sea (X , τ ) un espacio topol´ogico.

Dado a en X , pongamos τ (a) := {V ∈ τ : a ∈ V }.

Recordemos la definici´on del l´ımite .

Sean (X , τX), (Y , τY) espacios topol´ogicos, a ∈ X , b ∈ Y , f : X → Y .

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q.

Vecindades y l´ımites

Sea (X , τ ) un espacio topol´ogico.

Dado a en X , pongamos τ (a) := {V ∈ τ : a ∈ V }.

Recordemos la definici´on del l´ımite .

Sean (X , τX), (Y , τY) espacios topol´ogicos, a ∈ X , b ∈ Y , f : X → Y .

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q.

Variaciones de la definici´ on del l´ımite

Definici´on 1.

Sean (X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, D ⊆ X , f : D → Y , a ∈ cl(D), b ∈ Y .

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [D ∩ (V \ {a})] ⊆ Q.

Definici´on 2.

En las mismas suposiciones,

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [D ∩ V ] ⊆ Q.

En general, las Definiciones 1 y 2 no son equivalentes.

Hay casos particulares, cuando son equivalentes: 1) si /∈ D; 2) si f (a) = b.

Variaciones de la definici´ on del l´ımite

Definici´on 1.

Sean (X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, D ⊆ X , f : D → Y , a ∈ cl(D), b ∈ Y .

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [D ∩ (V \ {a})] ⊆ Q.

Definici´on 2.

En las mismas suposiciones,

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [D ∩ V ] ⊆ Q.

En general, las Definiciones 1 y 2 no son equivalentes.

Hay casos particulares, cuando son equivalentes: 1) si /∈ D; 2) si f (a) = b.

Variaciones de la definici´ on del l´ımite

Definici´on 1.

Sean (X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, D ⊆ X , f : D → Y , a ∈ cl(D), b ∈ Y .

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [D ∩ (V \ {a})] ⊆ Q.

Definici´on 2.

En las mismas suposiciones,

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [D ∩ V ] ⊆ Q.

En general, las Definiciones 1 y 2 no son equivalentes.

Hay casos particulares, cuando son equivalentes: 1) si /∈ D; 2) si f (a) = b.

Una base local de una topolog´ıa en un punto

Sea (X , τ ) un espacio topol´ogico y sea a ∈ X .

Una colecci´on W se llama base local de τ en a, si cumple con dos propiedades:

W ⊆ τ (a),

∀V ∈ τ (a) ∃W ∈ W W ⊆ V .

Ejemplo trivial: τ (a) es una base local de τ en a.

En vez de una colecci´on, a veces es m´as c´omodo trabajar con una familia. Una familia (W_k)_k∈J se llama base local de τ en a,

si cumple con dos propiedades: {W_k: k ∈ J} ⊆ τ (a),

∀V ∈ τ (a) ∃k ∈ J W_k ⊆ V .

Una base local de una topolog´ıa en un punto

Sea (X , τ ) un espacio topol´ogico y sea a ∈ X .

Una colecci´on W se llama base local de τ en a, si cumple con dos propiedades:

W ⊆ τ (a),

∀V ∈ τ (a) ∃W ∈ W W ⊆ V .

Ejemplo trivial: τ (a) es una base local de τ en a.

En vez de una colecci´on, a veces es m´as c´omodo trabajar con una familia. Una familia (W_k)_k∈J se llama base local de τ en a,

si cumple con dos propiedades: {W_k: k ∈ J} ⊆ τ (a),

∀V ∈ τ (a) ∃k ∈ J W_k ⊆ V .

Una base local de una topolog´ıa en un punto

Sea (X , τ ) un espacio topol´ogico y sea a ∈ X .

Una colecci´on W se llama base local de τ en a, si cumple con dos propiedades:

W ⊆ τ (a),

∀V ∈ τ (a) ∃W ∈ W W ⊆ V .

Ejemplo trivial: τ (a) es una base local de τ en a.

En vez de una colecci´on, a veces es m´as c´omodo trabajar con una familia.

Una familia (W_k)_k∈J se llama base local de τ en a, si cumple con dos propiedades:

{W_k: k ∈ J} ⊆ τ (a),

∀V ∈ τ (a) ∃k ∈ J W_k ⊆ V .

Criterio de l´ımite en t´ erminos de bases de vecindades

Ejercicio.

Sean (X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y , a ∈ X , b ∈ Y . Sea W una base local de τ_X en a, sea Q una base local de τ_Y en b.

Demostrar que

x →al´ımf (x ) = b ⇐⇒ ∀Q ∈ Q ∃W ∈ W f [W \ {a}] ⊆ Q.

Bases locales numerables decrecientes

Proposici´on

Sea (X , τ ) un espacio topol´ogico, sea a ∈ X , y sea (P_j)_{j ∈N}una base local numerable de τ en a.

Para cada k en N pongamos

W_k :=

k

\

j =1

P_j.

Entonces (W_k)_k∈N tambi´en es una base local de τ en a, y la sucesi´on (W_k)_k∈N es decreciente.

Ejercicio simple: demostrar la proposici´on.

Bases locales numerables decrecientes

Proposici´on

Sea (X , τ ) un espacio topol´ogico, sea a ∈ X , y sea (P_j)_{j ∈N}una base local numerable de τ en a.

Para cada k en N pongamos

W_k :=

k

\

j =1

P_j.

Entonces (W_k)_k∈N tambi´en es una base local de τ en a, y la sucesi´on (W_k)_k∈N es decreciente.

Ejercicio simple: demostrar la proposici´on.

Ejemplos de bases locales numerables

Ejercicio.

Sea (X , d ) un espacio m´etrico y sea τ_d la topolog´ıa inducida por la m´etrica d . Para cada a en X y cada r > 0,

B(a, r ) := {x ∈ X : d (x , a) < r }.

Demostrar que la sucesi´on de bolas

B(a, 1/q)

q∈N

es una base local de τd en a.

Ejemplos de bases locales numerables

Ejercicio.

Recordar la definici´on de la topolog´ıa can´onica τ

R del eje real extendido R = [−∞, +∞].

Demostrar que la sucesi´on de intervalos

(m, +∞]

m∈N

es una base local de la topolog´ıa τ

R en el punto +∞.

Criterio de l´ımite en t´ erminos de sucesiones

Teorema

Sean (X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y , a ∈ X , b ∈ Y .

Supongamos que existe una base local numerable de la topolog´ıa τX en el punto a.

Entonces las siguientes dos condiciones son equivalentes:

(a) l´ım

x →af (x ) = b;

(b) para cualquier sucesi´on (tk)_k∈N en X \ {a}, si l´ım

k→∞tk = a, entonces l´ım

k→∞f (tk) = b.

Heinrich Eduard Heine (1821–1881) fue un matem´atico alem´an. Demostremos las implicaciones (a)⇒(b) y ¬(a) ⇒ ¬(b).

Criterio de l´ımite en t´ erminos de sucesiones

Teorema

Sean (X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y , a ∈ X , b ∈ Y .

Supongamos que existe una base local numerable de la topolog´ıa τX en el punto a.

Entonces las siguientes dos condiciones son equivalentes:

(a) l´ım

x →af (x ) = b;

(b) para cualquier sucesi´on (tk)_k∈N en X \ {a}, si l´ım

k→∞tk = a, entonces l´ım

k→∞f (tk) = b.

Heinrich Eduard Heine (1821–1881) fue un matem´atico alem´an.

Demostremos las implicaciones (a)⇒(b) y ¬(a) ⇒ ¬(b).

Criterio de l´ımite en t´ erminos de sucesiones

Teorema

Sean (X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y , a ∈ X , b ∈ Y .

Supongamos que existe una base local numerable de la topolog´ıa τX en el punto a.

Entonces las siguientes dos condiciones son equivalentes:

(a) l´ım

x →af (x ) = b;

(b) para cualquier sucesi´on (tk)_k∈N en X \ {a}, si l´ım

k→∞tk = a, entonces l´ım

k→∞f (tk) = b.

Heinrich Eduard Heine (1821–1881) fue un matem´atico alem´an.

Demostremos las implicaciones (a)⇒(b) y ¬(a) ⇒ ¬(b).

Demostraci´ on (a)⇒(b)

Supongamos

x →al´ımf (x ) = b

(t_n)_n∈N∈ (X \ {a})^N

n→∞l´ım tn = a

Dado Q ∈ τ_Y(b)

V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q

k ∈ N

∀n ≥ k tn ∈ V

k ∈ N

∀n ≥ k f (t_n) ∈ Q

Demostraci´ on (a)⇒(b)

Supongamos

x →al´ımf (x ) = b

(t_n)_n∈N∈ (X \ {a})^N

n→∞l´ım tn = a

Dado Q ∈ τ_Y(b)

V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q

k ∈ N

∀n ≥ k tn ∈ V

k ∈ N

∀n ≥ k f (t_n) ∈ Q

Demostraci´ on (a)⇒(b)

Supongamos

x →al´ımf (x ) = b

(t_n)_n∈N∈ (X \ {a})^N

n→∞l´ım tn = a

Dado Q ∈ τ_Y(b)

V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q

k ∈ N

∀n ≥ k tn ∈ V

k ∈ N

∀n ≥ k f (t_n) ∈ Q

Demostraci´ on (a)⇒(b)

Supongamos

x →al´ımf (x ) = b

(t_n)_n∈N∈ (X \ {a})^N

n→∞l´ım tn = a

Dado Q ∈ τ_Y(b)

V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q

k ∈ N

∀n ≥ k tn ∈ V

k ∈ N

∀n ≥ k f (t_n) ∈ Q

Demostraci´ on (a)⇒(b)

Supongamos

x →al´ımf (x ) = b

(t_n)_n∈N∈ (X \ {a})^N

n→∞l´ım tn = a

Dado Q ∈ τ_Y(b)

V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q

k ∈ N

∀n ≥ k tn ∈ V

k ∈ N

∀n ≥ k f (t_n) ∈ Q

Demostraci´ on (a)⇒(b)

Supongamos

x →al´ımf (x ) = b

(t_n)_n∈N∈ (X \ {a})^N

n→∞l´ım tn = a

Dado Q ∈ τ_Y(b)

V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q

k ∈ N

∀n ≥ k tn ∈ V

k ∈ N

∀n ≥ k f (t_n) ∈ Q

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, inicio

La condici´on (a) es equivalente a lo siguiente:

∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q.

Supongamos que (a) no se cumple:

∃Q ∈ τ_Y(b) ∀V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] * Q. Elegimos E₀ en τ_Y(b) con esta propiedad. Entonces

∀V ∈ τ (a) ∃x ∈ V \ {a} f (x ) /∈ E₀. Sea (W_n)_n∈N una base local decreciente de τ_X en a.

Para cada n en N encontramos un∈ W_n\ {a} tal que f (u_n) /∈ E₀.

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, inicio

La condici´on (a) es equivalente a lo siguiente:

∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q.

Supongamos que (a) no se cumple:

∃Q ∈ τ_Y(b) ∀V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] * Q.

Elegimos E₀ en τ_Y(b) con esta propiedad. Entonces

∀V ∈ τ (a) ∃x ∈ V \ {a} f (x ) /∈ E₀. Sea (W_n)_n∈N una base local decreciente de τ_X en a.

Para cada n en N encontramos un∈ W_n\ {a} tal que f (u_n) /∈ E₀.

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, inicio

La condici´on (a) es equivalente a lo siguiente:

∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q.

Supongamos que (a) no se cumple:

∃Q ∈ τ_Y(b) ∀V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] * Q.

Elegimos E0 en τY(b) con esta propiedad. Entonces

∀V ∈ τ (a) ∃x ∈ V \ {a} f (x ) /∈ E₀.

Sea (W_n)_n∈N una base local decreciente de τ_X en a.

Para cada n en N encontramos un∈ W_n\ {a} tal que f (u_n) /∈ E₀.

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, inicio

La condici´on (a) es equivalente a lo siguiente:

∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q.

Supongamos que (a) no se cumple:

∃Q ∈ τ_Y(b) ∀V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] * Q.

Elegimos E0 en τY(b) con esta propiedad. Entonces

∀V ∈ τ (a) ∃x ∈ V \ {a} f (x ) /∈ E₀. Sea (W_n)_n∈N una base local decreciente de τ_X en a.

Para cada n en N encontramos un∈ W_n\ {a} tal que f (u_n) /∈ E₀.

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, inicio

La condici´on (a) es equivalente a lo siguiente:

∀Q ∈ τ_Y(b) ∃V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] ⊆ Q.

Supongamos que (a) no se cumple:

∃Q ∈ τ_Y(b) ∀V ∈ τ_X(a) f [V \ {a}] * Q.

Elegimos E0 en τY(b) con esta propiedad. Entonces

∀V ∈ τ (a) ∃x ∈ V \ {a} f (x ) /∈ E₀. Sea (W_n)_n∈N una base local decreciente de τ_X en a.

Para cada n en N encontramos un∈ W_n\ {a} tal que f (u_n) /∈ E₀.

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, dibujo

N

1 2 3 ... u

X

W1

W2

W3

a

u1

u2

u3

f

Y

b

E

f (u1) f (u2) f (u3)

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, dibujo

N

1 2 3 ... u

X

W1

W2

W3

a

u1

u2

u3

f

Y

b

E

f (u1) f (u2) f (u3)

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, dibujo

N

1 2 3 ... u

X

W1

W2

W3

u1 a

u2

u3

f

Y

b

E

f (u1)

f (u2) f (u3)

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, dibujo

N

1 2 3 ... u

X

W1

W2

W3

u1 a u2

u3

f

Y

b

E

f (u1) f (u2)

f (u3)

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, dibujo

N

1 2 3 ... u

X

W1

W2

W3

u1 a u2

u3 f

Y

b

E

f (u1) f (u2) f (u3)

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, dibujo

Hemos construido una sucesi´on (un)_n∈N tal que

∀n ∈ N tn ∈ W_n\ {a} ∀n ∈ N f (tn) /∈ E

Mostremos que u_n→ a cuando n → ∞.

Dado V en τX(a), encontramos k en N tal que Wk ⊆ V . Luego para n ≥ k tenemos u_n∈ W_n⊆ W_k ⊆ V .

Mostremos que f (u_n) 6→ b cuando n → ∞. En efecto,

∃Q(= E₀) ∈ τY(b) ∀k ∈ N f (un) /∈ Q. Esto contradice a la suposici´on (b).

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, dibujo

Hemos construido una sucesi´on (un)_n∈N tal que

∀n ∈ N tn ∈ W_n\ {a} ∀n ∈ N f (tn) /∈ E Mostremos que u_n→ a cuando n → ∞.

Dado V en τX(a), encontramos k en N tal que Wk ⊆ V . Luego para n ≥ k tenemos u_n∈ W_n⊆ W_k ⊆ V .

Mostremos que f (u_n) 6→ b cuando n → ∞. En efecto,

∃Q(= E₀) ∈ τY(b) ∀k ∈ N f (un) /∈ Q. Esto contradice a la suposici´on (b).

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, dibujo

Hemos construido una sucesi´on (un)_n∈N tal que

∀n ∈ N tn ∈ W_n\ {a} ∀n ∈ N f (tn) /∈ E Mostremos que u_n→ a cuando n → ∞.

Dado V en τX(a), encontramos k en N tal que Wk ⊆ V . Luego para n ≥ k tenemos u_n∈ W_n⊆ W_k ⊆ V .

Mostremos que f (u_n) 6→ b cuando n → ∞. En efecto,

∃Q(= E₀) ∈ τY(b) ∀k ∈ N f (un) /∈ Q.

Esto contradice a la suposici´on (b).

Demostraci´ on (b) ⇒ (a) por reducci´ on al absurdo, dibujo

Hemos construido una sucesi´on (un)_n∈N tal que

∀n ∈ N tn ∈ W_n\ {a} ∀n ∈ N f (tn) /∈ E Mostremos que u_n→ a cuando n → ∞.

Dado V en τX(a), encontramos k en N tal que Wk ⊆ V . Luego para n ≥ k tenemos u_n∈ W_n⊆ W_k ⊆ V .

Mostremos que f (u_n) 6→ b cuando n → ∞. En efecto,

∃Q(= E₀) ∈ τY(b) ∀k ∈ N f (un) /∈ Q.

Esto contradice a la suposici´on (b).

Criterio de continuidad en t´ erminos de sucesiones (Heine)

Corolario

Sean (X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y , a ∈ X . Entonces las siguientes dos condiciones son equivalentes:

(a) f es continua en a;

(b) para cualquier sucesi´on (t_n)_n∈N en X , si l´ım

n→∞t_n= a, entonces l´ım

n→∞f (t_k) = f (a).

Un truco ´ util: intercalar dos sucesiones

Ejercicio.

Sea X un espacio topol´ogico y sean (t_m)_m∈N, (u_m)_m∈N sucesiones en X . Definimos

v_n:=







t_m, n = 2m − 1, um n = 2m.

Demostrar que

n→∞l´ım v_n= a ⇐⇒ 

m→∞l´ım t_m = a ∧ l´ım

m→∞u_m = a .

Criterio de existencia del l´ımite en t´ erminos de sucesiones

Ejercicio.

Sean (X , τ_X), (Y , τ_Y) espacios topol´ogicos, f : X → Y , a ∈ X . Supongamos que existe una base local numerable de τ en a.

Supongamos que para cada sucesi´on (t_n)_n∈N en X \ {a}, si l´ım

n→∞t_n= a, entonces la sucesi´on (f (t_n))_n∈N tiene un l´ımite en Y . Demostrar que existe b en Y tal que l´ımx →af (x ) = b.