MAGNITUDES FÍSICAS.MAGNITUDES FÍSICAS.

C 2 C 2 MAGNITUDES FÍSICAS.MAGNITUDES FÍSICAS.

• Magnitudes fMagnitudes fíísicas escalares y sicas escalares y vectoriales. Algebra vectorial.

vectoriales. Algebra vectorial.

•EjemplosEjemplos

Bibliog. Sears, F

Bibliog. Sears, Física universitaria 1999, ísica universitaria 1999, Hewitt, Física conceptual 1999

Hewitt, Física conceptual 1999

Magnitudes Magnitudes

físicas físicas

por su naturaleza

Escalares

Vectoriales

Magnitudes Magnitudes

físicas físicas Escalares

Vectoriales

Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad

Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección

y su sentido

Magnitudes Magnitudes

físicas físicas

Masa, densidad, temperatura, energía,

trabajo, etc

Velocidad, fuerza,

cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.

Escalares

Vectoriales

SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.

Bases para el estudio del Bases para el estudio del

movimiento mecánico movimiento mecánico

x(t)x(t) y(t)y(t)

z(t)z(t)

Se le asocia Se le asocia

• ObservadorObservador

• Sistema de Sistema de Coordenadas Coordenadas

y

x z

• RelojReloj

Movimiento plano Movimiento plano

Coordenadas Cartesianas

y (m)

x (m) O

origen abcisa

ordenada ^(x,y)

Q (-2,2)

P (8,3)

Coordenadas Polares

O

origen

(r,)



Movimiento plano

Movimiento plano

Relacion entre (x,y) y (r,)

y (m)

x (m) O

origen abcisa

ordenada ^(x,y)

 r

θ cos r

x 

θ rsen

y  ^{r  x2  y2 xy  tan θ}

Vectores Vectores

Notación A

Módulo A ^{> 0}

A

Dirección ^θ,

x

y z

θ



A_p



x y

Propiedades Propiedades

de Vectores de Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo

A 

B  C 

C B

A    

Suma de Suma de Vectores Vectores

A B

R

A B ^C

C

Ley del polígono

El vector resultante es aquel que vector que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del

ultimo

A  B 

C  D 

Entonces si se tiene los siguientes vectores

El vector resultante

de la suma de todos

ellos será:

A  B 

C 

D 

D C

B A

R         

R 

Propiedades Propiedades

de Vectores

de Vectores A

Opuesto -A

Nulo 0 = A + ( )-A

Vector unitario

^A

A

  μ





 A ˆ

A  

Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de

Vectores Vectores

Ley

Conmutativa

A B

B A

R    

Ley Asociativa

C )

B A

) C B

A

R    (     (     

Diferencia B - A

R   

) B (- A

R    

A B ^A

R -B

Ley conmutativa

¿Como se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para

encontrar el vector suma

B R = A+B

A

B ^{R = B} +A

(Método paralelogramo)

B _R ^{= A} +B

Multiplicación de un vector por un escalar

Dado dos vectores

A  y B 

Se dicen que son paralelos si A  B

B A

si   0    B A

si   0    B A

si   1   

A 

B  B  A  2

 1

A 

B  B  A  4

 1



Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores

A B

C

A B

C R = 2

Vectores unitarios en el plano

jˆ iˆ

x y

iˆ

jˆ

Vectores unitarios en el espacio

x y

z

iˆ jˆ

kˆ

Representación Representación

de un vector de un vector

x

y z

θ



A A_x

A_y A_z

θ sen A

A_x  cos



θ sen Asen

A_y 



A_z  ^{A  A  Ax2  Ay2  Az2}

k A j

A i

A

A  _x  _y   _z 

Observaciones:

Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido.

La magnitud del vector no cambia.

Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores

A  

4u 3u

B  B A

R     

7u

+

A 

B 

8u

=

B A

R     

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos

determinar directamente su magnitud ?

4u

A 

B 

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de

buscar otra forma de determinarla

B A

R     

A 

B 

A 

A 

B 

B 

5u3u

6u 8u

10u

A 

A 

B 

B 

3u

6u 8u

y

x

A

A

A     

y

x

B

B

B     

y

y

B

A   

x

x

B

A  



5u

y y

x

x

B A B

A

R         

Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante

R  10

 5

 5 5 u

A 

A 

B 

B 

C 

C 

D 

D 

y y

y y

y

A B C D

R         

x x

x x

x

A B C D

R         

Rx

Ry

15 u

5 u

y

x R

R

R    

10 5

R 

x y

z (x₁,y₁,z₁)

(x₂,y₂,z₂)

A 

Dados los puntos indicados el vector que

los une esta

representado por

x y

z (x₁,y₁,z₁)

(x₂,y₂,z₂)

A 

k ) z (z

j ) y (y

i ) x (x

A  ₂  ₁ ˆ  ₂  ₁ ˆ  ₂  ₁ ˆ

Producto Producto

escalar de dos escalar de dos

vectores vectores

θ AB

B

A    cos

cosθ A

A



Proyección de A sobre B

cosθ B

B_A 

Proyección de B sobre A

ˆ 1

ˆ i  i

ˆ 1 ˆ j  j 

ˆ 0 ˆ  j  i

ˆ 0 ˆ j  k 

ˆ 0

ˆ  k  i

A

i

A   ˆ 

ˆ 1 ˆ  k  k

A

j

A   ˆ 

A

k

A   ˆ 

Z Z

Y Y

X

XB A B A B

A B

A     

Producto Producto

vectorial de dos vectorial de dos

vectores

vectores

C   A   B 

θ AB

C  sen

0 iˆ

iˆ    ˆj jˆ  0 ˆ 0

ˆ k   k

k j

iˆ ˆ  ˆ ˆj  kˆ  iˆ j

i

kˆ  ˆ  ˆ

) kˆ B jˆ

B iˆ

B ( )

kˆ A jˆ

A iˆ

A ( B

A

C      _x  _y  _z  _x  _y  _z

Y Z

Z Y

X

A B A B

C  

z x

x z

y

A B A B

C  

x y

y x

z

A B A B

C  

Demostrar:

Determinese la suma de los siguientes vectores:

Ejemplo 1:

k 5 j

8 i

3

A   ˆ  ˆ  ˆ k j

i -5

B   ˆ  2 ˆ  3 ˆ k j

i 4

C   ˆ  7 ˆ  2 ˆ

Ejemplo 2:

8m

10m 5m

A  B  C 

Determine la suma de los vectores indicados

x

y z

Ejemplo 9

Dados los vectores:

kˆ 3 jˆ

5 iˆ

4 B

kˆ 5 jˆ

3 iˆ

3 A











 



Determine :

a) El producto escalar entre ellos.

b)el producto vectorial entre ambos e) el ángulo que forman entre sí.

Tarea 9c, 9d y 10