Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 1/35

(1)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 1/35

Matemáticas Discretas TC1003

Teoría de Conjuntos: Propiedades de las Operaciones

Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

(2)

Argumento del Elemento

Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad

Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Dominaci´on De Morgan Absorci´on Complemento Base

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 2/35

El Argumento del Elemento

Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y

recordemos que X ⊆ Y ≡ ∀x , x ∈ X → x ∈ Y . Una

estrategia sería:

(3)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 2/35

El Argumento del Elemento

Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y

recordemos que X ⊆ Y ≡ ∀x , x ∈ X → x ∈ Y . Una estrategia sería:

■

Para manejar el para todo se usa el método de generalización: suponga un elemento arbitrario

x,

(4)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 2/35

El Argumento del Elemento

Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y

recordemos que X ⊆ Y ≡ ∀x , x ∈ X → x ∈ Y . Una estrategia sería:

■

Para manejar el para todo se usa el método de generalización: suponga un elemento arbitrario

x,

■

para probar que muestre que x ∈ X → x ∈ Y

seguiremos la estrategía del método de prueba

directo:

(5)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 2/35

El Argumento del Elemento

Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y

recordemos que X ⊆ Y ≡ ∀x , x ∈ X → x ∈ Y . Una estrategia sería:

■

Para manejar el para todo se usa el método de generalización: suponga un elemento arbitrario

x,

■

para probar que muestre que x ∈ X → x ∈ Y

seguiremos la estrategía del método de prueba directo:

◆

supondremos que x ∈ X para x arbitrario,

(6)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 2/35

El Argumento del Elemento

Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y

recordemos que X ⊆ Y ≡ ∀x , x ∈ X → x ∈ Y . Una estrategia sería:

■

Para manejar el para todo se usa el método de generalización: suponga un elemento arbitrario

x,

■

para probar que muestre que x ∈ X → x ∈ Y

seguiremos la estrategía del método de prueba directo:

◆

supondremos que x ∈ X para x arbitrario,

◆

mostraremos que x ∈ Y .

(7)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35

Ejemplo

Pruebe que Z ⊆ Q.

(8)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35

Ejemplo

Pruebe que Z ⊆ Q.

Demostraci´on

(9)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35

Ejemplo

Pruebe que Z ⊆ Q.

Demostraci´on

Sea z un elemento cualquiera de Z.

(10)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35

Ejemplo

Pruebe que Z ⊆ Q.

Demostraci´on

Sea z un elemento cualquiera de Z. Así z = z

1

(11)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35

Ejemplo

Pruebe que Z ⊆ Q.

Demostraci´on

Sea z un elemento cualquiera de Z. Así z = z

1 Por lo tanto, z puede ser visto como la división

entre dos enteros (el mismo z y el 1).

(12)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35

Ejemplo

Pruebe que Z ⊆ Q.

Demostraci´on

Sea z un elemento cualquiera de Z. Así z = z

1 Por lo tanto, z puede ser visto como la división

entre dos enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, z

es un racional.

(13)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35

Ejemplo

Pruebe que Z ⊆ Q.

Demostraci´on

Sea z un elemento cualquiera de Z. Así z = z

1 Por lo tanto, z puede ser visto como la división

entre dos enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, z

es un racional. Por tanto z está en Q.

(14)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35

Ejemplo

Pruebe que Z ⊆ Q.

Demostraci´on

Sea z un elemento cualquiera de Z. Así z = z

1 Por lo tanto, z puede ser visto como la división entre dos enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, z es un racional. Por tanto z está en Q. Por el

argumento del elemento arbitrario Z ⊆ Q.

(15)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 4/35

Versiones Operativas de las Operaciones

Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal

U , y suponga que x y y con dos elementos de U :

(16)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 4/35

Versiones Operativas de las Operaciones

Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , y suponga que x y y con dos elementos de U :

■

x ∈ X ∪ Y ≡ (x ∈ X) ∨ (x ∈ Y)

(17)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 4/35

Versiones Operativas de las Operaciones

Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , y suponga que x y y con dos elementos de U :

■

x ∈ X ∪ Y ≡ (x ∈ X) ∨ (x ∈ Y)

■

x ∈ X ∩ Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x ∈ Y)

(18)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 4/35

Versiones Operativas de las Operaciones

Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , y suponga que x y y con dos elementos de U :

■

x ∈ X ∪ Y ≡ (x ∈ X) ∨ (x ∈ Y)

■

x ∈ X ∩ Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x ∈ Y)

■

x ∈ X − Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x < Y)

(19)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 4/35

Versiones Operativas de las Operaciones

Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , y suponga que x y y con dos elementos de U :

■

x ∈ X ∪ Y ≡ (x ∈ X) ∨ (x ∈ Y)

■

x ∈ X ∩ Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x ∈ Y)

■

x ∈ X − Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x < Y)

■

x ∈ X

^c

≡ x < X

(20)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 4/35

Versiones Operativas de las Operaciones

Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , y suponga que x y y con dos elementos de U :

■

x ∈ X ∪ Y ≡ (x ∈ X) ∨ (x ∈ Y)

■

x ∈ X ∩ Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x ∈ Y)

■

x ∈ X − Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x < Y)

■

x ∈ X

^c

≡ x < X

■

(x , y) ∈ X × Y ≡ (x ∈ X) ∧ (y ∈ Y)

(21)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 4/35

Versiones Operativas de las Operaciones

Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , y suponga que x y y con dos elementos de U :

■

x ∈ X ∪ Y ≡ (x ∈ X) ∨ (x ∈ Y)

■

x ∈ X ∩ Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x ∈ Y)

■

x ∈ X − Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x < Y)

■

x ∈ X

^c

≡ x < X

■

(x , y) ∈ X × Y ≡ (x ∈ X) ∧ (y ∈ Y)

■

x ∈ P(X) ≡ x ⊆ X

(22)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 5/35

Indique en orden los conjuntos que completan las afirmaciones:

■

Decir que un elemento x pertenece a B ∩ (A ∪ C) significa que x pertenece a B y que x pertenece a (a).

■

Decir que un elemento x pertence a (B − C) ∪ A significa que x pertenece a A o que x pertenece a (b).

■

Decir que un elemento x pertenece a C − (B ∪ A) significa que x pertenece a (c) pero que x no

pertenece a (d).

Dentro de la opciones:

1. C − B 2. B − C

3. A ∪ C 4. B ∪ A

5. C 6. C − A

(23)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 6/35

Prueba de Igualdad entre Conjuntos

Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que

X = Y :

(24)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 6/35

Prueba de Igualdad entre Conjuntos

Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X = Y :

■

pruebe que X ⊆ Y ,

(25)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 6/35

Prueba de Igualdad entre Conjuntos

Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X = Y :

■

pruebe que X ⊆ Y ,

■

pruebe que Y ⊆ X.

(26)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 7/35

Leyes Conmutativas

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

(27)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 7/35

Leyes Conmutativas

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

■

A ∪ B = B ∪ A

(28)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 7/35

Leyes Conmutativas

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

■

A ∪ B = B ∪ A

■

A ∩ B = B ∩ A

(29)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 8/35

Leyes Asociativas

Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:

(30)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 8/35

Leyes Asociativas

Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:

■

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

(31)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 8/35

Leyes Asociativas

Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:

■

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

■

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

(32)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 9/35

Leyes Distributivas

Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:

(33)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 9/35

Leyes Distributivas

Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:

■

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(34)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 9/35

Leyes Distributivas

Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:

■

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

■

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(35)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 10/35

Leyes de Identidad

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

(36)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 10/35

Leyes de Identidad

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

■

A ∪ ∅ = A

(37)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 10/35

Leyes de Identidad

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

■

A ∪ ∅ = A

■

A ∩ U = A

(38)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 11/35

Leyes de Complemento (Negación)

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

(39)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 11/35

Leyes de Complemento (Negación)

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

■

A ∪ A

^c

= U

(40)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 11/35

Leyes de Complemento (Negación)

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

■

A ∪ A

^c

= U

■

A ∩ A

^c

= ∅

(41)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 12/35

Leyes de Idempotencia

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

(42)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 12/35

Leyes de Idempotencia

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

■

A ∪ A = A

(43)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 12/35

Leyes de Idempotencia

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

■

A ∪ A = A

■

A ∩ A = A

(44)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 13/35

Leyes de Dominación

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

(45)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 13/35

Leyes de Dominación

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

■

A ∪ U = U

(46)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 13/35

Leyes de Dominación

Sean A un conjunto cualquiera, entonces:

■

A ∪ U = U

■

A ∩ ∅ = ∅

(47)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 14/35

Leyes de De Morgan

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

(48)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 14/35

Leyes de De Morgan

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

■

(A ∪ B)

^c

= A

^c

∩ B

^c

(49)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 14/35

Leyes de De Morgan

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

■

(A ∪ B)

^c

= A

^c

∩ B

^c

■

(A ∩ B)

^c

= A

^c

∪ B

^c

(50)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 15/35

Leyes de Absorción

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

(51)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 15/35

Leyes de Absorción

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

■

A ∪ (A ∩ B) = A

(52)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 15/35

Leyes de Absorción

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

■

A ∪ (A ∩ B) = A

■

A ∩ (A ∪ B) = A

(53)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 16/35

Complemento Base

(54)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 16/35

Complemento Base

■

U

^c

= ∅

(55)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 16/35

Complemento Base

■

U

^c

= ∅

■

∅

^c

= U

(56)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 17/35

Ley de Diferencia

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

(57)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 17/35

Ley de Diferencia

Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:

■

(A − B) = A ∩ B

^c

(58)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 18/35

Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso se lleva a cabo en:

a) ((D − E)

^c

)

^c

= (D − E)

^c

(59)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 18/35

Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso se lleva a cabo en:

a) ((D − E)

^c

)

^c

= (D − E)

^c

:Doble Complemento

b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)

^c

= ∅

(60)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 18/35

Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso se lleva a cabo en:

a) ((D − E)

^c

)

^c

= (D − E)

^c

:Doble Complemento b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)

^c

= ∅ :Ley Complemento

c) E

^c

∩ (D ∩ B) = (E

^c

∩ D) ∩ B

(61)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 18/35

Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso se lleva a cabo en:

a) ((D − E)

^c

)

^c

= (D − E)

^c

:Doble Complemento b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)

^c

= ∅ :Ley Complemento

c) E

^c

∩ (D ∩ B) = (E

^c

∩ D) ∩ B :Asociativa

d) E

^c

∪ E

^c

= E

^c

(62)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 18/35

Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso se lleva a cabo en:

a) ((D − E)

^c

)

^c

= (D − E)

^c

:Doble Complemento b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)

^c

= ∅ :Ley Complemento

c) E

^c

∩ (D ∩ B) = (E

^c

∩ D) ∩ B :Asociativa d) E

^c

∪ E

^c

= E

^c

:Idempotencia

e) B ∩ (B ∪ (C ∪ D)) = B

(63)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 18/35

Indique en orden la opción que contiene la ley cuyo uso se lleva a cabo en:

a) ((D − E)

^c

)

^c

= (D − E)

^c

:Doble Complemento b) (B ∩ C) ∩ (B ∩ C)

^c

= ∅ :Ley Complemento

c) E

^c

∩ (D ∩ B) = (E

^c

∩ D) ∩ B :Asociativa d) E

^c

∪ E

^c

= E

^c

:Idempotencia

e) B ∩ (B ∪ (C ∪ D)) = B :Absorción dentro de la lista:

1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia

3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento

5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorción

(64)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 19/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)

^c

(65)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 19/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)

^c

por Ley de Diferencia

= A ∩ (A

^c

∪ E

^c

)

(66)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 19/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)

^c

por Ley de Diferencia

= A ∩ (A

^c

∪ E

^c

) por De Morgan

= (A ∩ A

^c

) ∪ (A ∩ E

^c

)

(67)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 19/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)

^c

por Ley de Diferencia

= A ∩ (A

^c

∪ E

^c

) por De Morgan

= (A ∩ A

^c

) ∪ (A ∩ E

^c

) por Ley Distributiva

= ∅ ∪ (A ∩ E

^c

)

(68)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 19/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)

^c

por Ley de Diferencia

= A ∩ (A

^c

∪ E

^c

) por De Morgan

= (A ∩ A

^c

) ∪ (A ∩ E

^c

) por Ley Distributiva

= ∅ ∪ (A ∩ E

^c

) por Ley de Complemento

= (A ∩ E

^c

) ∪ ∅

(69)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 19/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)

^c

por Ley de Diferencia

= A ∩ (A

^c

∪ E

^c

) por De Morgan

= (A ∩ A

^c

) ∪ (A ∩ E

^c

) por Ley Distributiva

= ∅ ∪ (A ∩ E

^c

) por Ley de Complemento

= (A ∩ E

^c

) ∪ ∅ por Ley Conmutativa

= A ∩ E

^c

(70)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 19/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)

^c

por Ley de Diferencia

= A ∩ (A

^c

∪ E

^c

) por De Morgan

= (A ∩ A

^c

) ∪ (A ∩ E

^c

) por Ley Distributiva

= ∅ ∪ (A ∩ E

^c

) por Ley de Complemento

= (A ∩ E

^c

) ∪ ∅ por Ley Conmutativa

= A ∩ E

^c

por Ley de Identidad

= A − E

(71)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 19/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)

^c

por Ley de Diferencia

= A ∩ (A

^c

∪ E

^c

) por De Morgan

= (A ∩ A

^c

) ∪ (A ∩ E

^c

) por Ley Distributiva

= ∅ ∪ (A ∩ E

^c

) por Ley de Complemento

= (A ∩ E

^c

) ∪ ∅ por Ley Conmutativa

= A ∩ E

^c

por Ley de Identidad

= A − E por Ley de Diferencia

(72)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 20/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

(D ∩ A

^c

) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (A

^c

∪ A)

(73)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 20/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

(D ∩ A

^c

) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (A

^c

∪ A) por Ley Distributiva

= D ∩ (A ∪ A

^c

)

(74)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 20/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

(D ∩ A

^c

) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (A

^c

∪ A) por Ley Distributiva

= D ∩ (A ∪ A

^c

) por Ley Conmutativa

= D ∩ U

(75)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 20/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

(D ∩ A

^c

) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (A

^c

∪ A) por Ley Distributiva

= D ∩ (A ∪ A

^c

) por Ley Conmutativa

= D ∩ U por Ley de Complemento

= D

(76)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 20/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

(D ∩ A

^c

) ∪ (D ∩ A) = D ∩ (A

^c

∪ A) por Ley Distributiva

= D ∩ (A ∪ A

^c

) por Ley Conmutativa

= D ∩ U por Ley de Complemento

= D por Ley de Identidad

(77)

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 21/35

Ejemplo

Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

(C ∪ B

^c

)

^c

∪ (C

^c

∩ B

^c

) = (C

^c

∩ (B

^c

)

^c

) ∪ (C

^c

∩ B

^c

) por

= (C

^c

∩ B) ∪ (C

^c

∩ B

^c

) por

= C

^c

∩ (B ∪ B

^c

) por

= C

^c

∩ U por

= C

^c

por

(78)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 22/35

Ejemplo

Indique en orden la simplificación de cada conjunto:

a) B ∪ ∅ b) B ∪ B

c) B − ∅ d) B ∩ B

^c

e) B ∪ B

^c

dentro de la lista:

1. B

2. U

3. ∅

(79)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 23/35

Ejemplo

Indique cuáles opciones contiene expresión que se simplifica a E:

1. (E ∩ C

^c

) ∩ (E

^c

∩ C

^c

) 2. (D

^c

∩ E) ∪ E

3. (E

^c

∩ D)

^c

∪ (E

^c

∩ D

^c

) ∪ (E ∩ D) 4. (E ∩ ((E

^c

∪ D)

^c

)) ∪ (E ∩ D)

5. E ∩ (D

^c

∪ C ∪ E)

(80)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 24/35

Teorema

Para cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ D entonces E ∪ D ⊆ D .

Demostraci´on

Sean E y D cualquier conjuntos.

(81)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 24/35

Teorema

Para cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ D entonces E ∪ D ⊆ D .

Demostraci´on

Sean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que se debe demostrar es que todo elemento x de

es también elemento de .

(82)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 24/35

Teorema

Para cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ D entonces E ∪ D ⊆ D .

Demostraci´on

Sean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que se debe demostrar es que todo elemento x de

es también elemento de . Sea x un

elemento cualquiera de E ∪ D .

(83)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 24/35

Teorema

Para cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ D entonces E ∪ D ⊆ D .

Demostraci´on

Sean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que se debe demostrar es que todo elemento x de

es también elemento de . Sea x un

elemento cualquiera de E ∪ D . Existen sólo dos

casos para x:

(84)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 24/35

Teorema

Para cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ D entonces E ∪ D ⊆ D .

Demostraci´on

Sean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que se debe demostrar es que todo elemento x de

es también elemento de . Sea x un elemento cualquiera de E ∪ D . Existen sólo dos casos para x:

i) x ∈ E

(85)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 24/35

Teorema

Para cualquier conjuntos E y D se cumple: Si E ⊆ D entonces E ∪ D ⊆ D .

Demostraci´on

Sean E y D cualquier conjuntos. Según , lo que se debe demostrar es que todo elemento x de

es también elemento de . Sea x un elemento cualquiera de E ∪ D . Existen sólo dos casos para x:

i) x ∈ E

ii) x ∈ D

(86)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 25/35

Para el primer caso,

(87)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 25/35

Para el primer caso, debido a que si x ∈ E

entonces x ∈ D.

(88)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 25/35

Para el primer caso, debido a que si x ∈ E

entonces x ∈ D. Para el segundo caso, como x ∈ D

nuevamente x ∈ D.

(89)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 25/35

Para el primer caso, debido a que si x ∈ E entonces x ∈ D. Para el segundo caso, como x ∈ D nuevamente x ∈ D. Por consiguiente, en cualquier caso cualquiera que sea x, si entonces

x ∈ D .

(90)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 25/35

Para el primer caso, debido a que si x ∈ E entonces x ∈ D. Para el segundo caso, como x ∈ D nuevamente x ∈ D. Por consiguiente, en cualquier caso cualquiera que sea x, si entonces

x ∈ D . Por tanto,ambos conjuntos son iguales. cqd

(91)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 26/35

Teorema

Para cualquier conjuntos B, C y A se cumple:

B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ A

Demostraci´on

(92)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 26/35

Teorema

Para cualquier conjuntos B, C y A se cumple:

B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ A Demostraci´on

Sean B, C y A cualquier conjuntos.

(93)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 26/35

Teorema

Para cualquier conjuntos B, C y A se cumple:

B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ A Demostraci´on

Sean B, C y A cualquier conjuntos. Según ,

(94)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 26/35

Teorema

Para cualquier conjuntos B, C y A se cumple:

B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ A Demostraci´on

Sean B, C y A cualquier conjuntos. Según ,

lo que se debe demostrar es que:

(95)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 26/35

Teorema

Para cualquier conjuntos B, C y A se cumple:

B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ A Demostraci´on

Sean B, C y A cualquier conjuntos. Según , lo que se debe demostrar es que:

i) B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A

(96)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 26/35

Teorema

Para cualquier conjuntos B, C y A se cumple:

B ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ A Demostraci´on

Sean B, C y A cualquier conjuntos. Según , lo que se debe demostrar es que:

i) B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A

ii)

(97)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 27/35

Para el primer caso, si x es cualquier elemento de

B ∩ (C ∩ A) entonces x ∈ B y .

(98)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 27/35

Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩ (C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley

distributiva en Lógica x cumple x ∈ B ∩ C y x ∈ A, y

por consiguiente .

(99)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 27/35

Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩ (C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley

distributiva en Lógica x cumple x ∈ B ∩ C y x ∈ A, y

por consiguiente . Con esto se prueba que

B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A.

(100)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 27/35

Para el primer caso, si x es cualquier elemento de B ∩ (C ∩ A) entonces x ∈ B y . Por la Ley

distributiva en Lógica x cumple x ∈ B ∩ C y x ∈ A, y por consiguiente . Con esto se prueba que B ∩ (C ∩ A) ⊆ (B ∩ C) ∩ A.

Para el segundo caso, si x es cualquier elemento

de entonces x ∈ B ∩ C y .

(101)

Complemento Leyes

Idempotencia Leyes

Ley Diferencia