Elementos finitos en la industria. Sesión IV

Sesión IV

IV.1 COMPORTAMIENTO DE PLACAS

IV.1.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS IV.1.2 SUPOSICIONES BÁSICAS IV.1.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO

IV.1.4 RELACIONES DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO IV.1.5 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN

IV.1.6 ECUACIÓN DE LA PLACA

IV.1.7 COMPORTAMIENTO: FLEXIÓN ANTICLÁSTICA

IV.1.8 COMPORTAMIENTO: FLEXIÓN EN DOS SENTIDOS Y TORSIÓN IV.1.9 COMPORTAMIENTO: EFECTO DE LAS DIMENSIONES

IV.2 COMPORTAMIENTO DE CASCARONES

IV.2.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS IV.2.2 SUPOSICIONES BÁSICAS IV.2.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO

IV.2.4 COMPORTAMIENTO: CONCENTRACIÓN DE FLEXIÓN IV.2.5 COMPORTAMIENTO: PROPAGACIÓN DE FLEXIÓN IV.2.6 VALIDACIÓN

IV.1 COMPORTAMIENTO DE PLACAS

IV.1.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS

• Una placa consiste en una lámina de material cuyo espesor es pequeño comparado con sus otras dimensiones, sobre la cual se aplica carga en dirección normal al plano, y cuyos soportes restringen el desplazamiento normal o la posible rotación.

• En un elemento estructural configurado de esta forma se espera una respuesta mecánica dominada por momentos flexionantes en el plano, por momentos torsores y por fuerzas de corte fuera del plano.

Corte

-3-• Clasificación:

♦ L 500

h > ⇒ Placas muy delgadas

♦ 500 L 100 h > > ⇒ Placas delgadas ♦ 100 L 20 h > > ⇒ Placas medias ♦ 20 L h > ⇒ Placas gruesas

• Las placas delgadas y muy delgadas requieren consideración de las deflexiones grandes que se producen, generando fuerzas de membrana que afectan la rigidez de la estructura y se tratan principalmente en forma numérica.

• Las placas gruesas requieren considerar la deformación por corte en su formulación. La teoría que se emplea para este tipo se denomina teoría de placas de Mindlin.

Torsión qz

Flexión

• Las placas medianas son las que constituyen la mayor parte de las placas estructurales. La teoría de placas clásicas se ha desarrollado para este tipo de placas. A la teoría correspondiente se le denomina Teoría de Kirchhoff y es la que desarrollaremos en este capítulo.

• Ejemplos

• Placa plana

• Placa-Viga

• Placa nervada

IV.1.2 SUPOSICIONES BÁSICAS

• La superficie media es una superficie neutra, en el sentido de que no se deforma en su plano. Es la superficie de referencia.

• La placa es de espesor constante.

• La deformación de la placa se determina a partir del movimiento de la superficie media.

Modelo de placa Placa

• La suposiciones mecánicas básicas que reducen el problema real de 3-D a 2-D son:

1) El esfuerzo que actúa normal a la superficie es pequeño y puede despreciarse: σz=0

2) Una línea recta normal a la superficie media antes de la deformación permanece recta, normal y sin elongarse después de la deformación:

εZ =γXZ =γYZ = 0

♦La segunda suposición tiene varias consecuencias:

◊ Esta suposición es similar a la Bernoulli que se utiliza en teoría de vigas

◊ Refleja las observaciones experimentales de que la deformación se produce básicamente en planos paralelos a la superficie media, con una

superficie neutra y deformaciones positivas de un lado y negativas del otro de esa superficie.

◊ Mecánicamente, puede imaginarse a una placa como un ensamble de pequeñas láminas apiladas, conectadas entre sí por la regla de la normalidad.

Modelo de láminas

-8-• El sistema de referencias xyz se localiza con el plano xy en la superficie media y el eje z positivo hacia abajo

• Notación y convención de signos para los esfuerzos

σz τzx τ zy y x τyx τxy σx σy _τ yz τxz z

♦De estos esfuerzos:

σ

z = 0,

τ

yz =

τ

zy = 0 y

τ

xz =

τ

zx = 0 (Verde)

• Para definir las fuerzas resultantes, esto es, fuerzas por unidad de longitud de placa, se emplea el modelo mecánico que simula la placa como un ensamble de láminas.

♦A continuación se muestran los esfuerzos actuando en una lámina de espesor dz a una distancia z de la superficie media

-9-• Convención de signos positivos de los esfuerzos resultantes sobre la superficie media

Fuerzas de flexión:

• Definición de esfuerzos resultantes (por unidad de longitud) Cortantes: V_{x xz}dz, V d h h = −

∫

τ / / 2 2 z y yz h h = −

∫

τ / / 2 2 x x h h = −

∫

σ / / 2 2 z y y h h = Flexión: M z dz, M dz −

∫

σ / / 2 2 z dz xy xy h h = , M −

∫

τ / / 2 2 dx dy dz τyx σy σx τxy z y x z x Mxy Mx My y Vy Vx Myx

IV.1.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO

• Considere la distribución de fuerzas de flexión actuando en la superficie media del elemento

Fuerzas de flexión : Fz=

∑

0 ∂ ∂ ∂ ∂ V x V y q x y z + + =0 My=

∑

0 V M x M y x x xy = ∂ + ∂ ∂ ∂ Mx=

∑

0 V M x M y y xy y =∂ + ∂ ∂ ∂ Myx Vy qz My Vx _{Mx x} Mxy Mx + ∆ Mx Mxy + ∆ Mxy My + ∆ My y Vy + ∆ Vy Vx + ∆ Vx Myx + ∆ Myx

• Si se elimina la dimensión y, estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones de viga ( flexión): ∂ ∂ V x + =q 0 V dM dx =

• El cortante transversal se puede eliminar de la ecuación de equilibrio vertical sustituyendo ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 M x M x y M y q x xy y x y + + = − _{( , )}

• Estas ecuaciones sólo se basan en estática

• Noten que:

♦A diferencia de las vigas (d M

dx q

2

2 = − ) en donde el momento puede ser estáticamente determinado dependiendo de las condiciones de frontera, la placa es intrínsecamente INDETERMINADA ya que tenemos tres momentos: Mx, My y Mxy y sólo una ecuación de estática relacionándolos.

♦Para obtener una solución se deben considerar las deformaciones y las propiedades del material.

IV.1.4 RELACIONES DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO

• Deformación de una placa

♦Antes de la deformación:

-12-♦Después de la deformación :

El desplazamiento de un punto A que se encuentra una distancia z de la superficie media queda totalmente definido:

w u z x ∂ ∂ = − w v z y ∂ ∂ = − w =w_{( , )x y} A 0 _(Superficie di ) x z A' z 0' ∂ ∂ w x Superficie media original z w x ∂ ∂ w Superficie media deformada

Donde w(x,y) es la deflexión del punto 0 en la superficie media.

• Considerando deformaciones pequeñas, las deformaciones son: 2 2 x u w z x x ∂ ∂ ε ∂ ∂ = = − 2 2 y v w z y y ∂ ∂ ε ∂ ∂ = = − 2 2 xy u v w z y x x ∂ ∂ ∂ γ y ∂ ∂ ∂ = + = − ∂

♦La deformación de una capa de placa colocada a la distancia z de la superficie media, queda totalmente definida por las curvaturas

∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 w x w y , ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ y el alabeo ∂ ∂ ∂ 2 w x y ⎛ ⎜ de la superficie media: ⎝ ⎞ ⎠⎟ Curvatura constante − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ∂ ∂ 2 2 w y Alabeo constante − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ∂ ∂ ∂ 2 w x y Superficie media no deformada Curvatura constante − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ∂ ∂ 2 2 w x

♦Nótese que las curvaturas y alabeo no deforman la superficie media en su propio plano

IV.1.5 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN

• Cada capa puede considerarse trabajando bajo las condiciones de esfuerzo plano:

(

)

σ ν ε νε x x E = − + 1 2 y

(

)

σ ν ε νε y y E = − + 1 2 x τ γ ν ν γ xy G xy xy E = = − − ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 1 1 2 2

IV.1.6 ECUACIÓN DE LA PLACA

• La ecuación de equilibrio transversal se puede escribir ahora en términos de la deflexión w mezclando las relaciones anteriores, para llegar a

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 4 4 4 2 2 4 4 2 w x w x y w y q D x y + + = ( , ) donde

(

)

3 2 12 1 Eh D ν = −

♦Esta es la “ecuación biarmónica”

♦Nótese que para el caso de una viga la ecuación se reduce a d w

dx q EI 4

4 = como debe ser.

• Los cortantes transversales se determinan mediante estática.

♦No se pueden determinar de la relaciones esfuerzo-deformación ya que se ha supuesto γxz =γyz =0 . Esta es la misma situación que se presenta en teoría de vigas, los cortantes transversales son necesarios para equilibrio, aún cuando las deformaciones asociadas con ellos se hayan supuesto nulas.

♦De las ecuaciones de equilibrio vertical

(

)

V M x M y D x w x w y y w x y D x w x w y x x xy = + = − ⎛ + ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥+ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = − ⎡ ⎛_⎝⎜ + ⎞_⎠⎟ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ν ∂ ∂ ∂ ∂ ν ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 o bien

( )

V D x w x = − ∇ ∂ ∂ 2 De igual forma

( )

V D y w y = − ∇ ∂ ∂ 2

IV.1.7 COMPORTAMIENTO: FLEXIÓN ANTICLÁSTICA

• Considere una placa flexada por momentos Mx únicamente:

♦Como My = 0, de la ecuación momento-curvatura se tiene que ∂ ∂ ν ∂ ∂ 2 2 2 2 w y w x

= − ⇒ una curvatura de signo opuesto en la dirección y, que es llamada flexión anticlástica

♦La curvatura ∂ ∂ 2

2 w

y es mas pequeña que ∂ ∂ 2 2 w x , y es más pronunciada para materiales casi incompresibles.

IV.1.8 COMPORTAMIENTO: FLEXIÓN EN DOS SENTIDOS Y TORSIÓN

• Consideremos una placa cuadrada con carga uniforme y simplemente soportada en sus orillas:

SS

SS SS

SS

♦La deformación que se produce contiene curvatura en X, Y y alabeo:

♦Desde una vista superior, los momentos en X y Y son idénticos por la simetría:

Valor máximo

♦Los momentos torsores serán:

Valor máximo ¡Nada despreciables verdad!

IV.1.9 COMPORTAMIENTO: EFECTO DE LAS DIMENSIONES

• Considere un sistema de vigas cruzadas

y

b Q

a x

• Se mantiene b fija y se varía a.

• La carga se divide entre las vigas obligando a que sufran la misma deflexión δ = Q a EI x 3 48 y δ = Q b EI y 3 48

• De la igualdad de la flexión se sigue 3 x y Q b Q a ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ⇒ la carga se acarrea principalmente en la dirección del claro corto.

Mantenemos “b” fija y cambiamos “a”:

b a x y Q Q 1 1 2 0.125 3 0.037 4 0.016 5 0.008

• ¡La carga en el sentido largo rápidamente desaparece!

• En las placas muy larga se produce un efecto de soporte. Graficando Mx para una placa larga se observa un incremento en el momento cerca del soporte S.S b y S.S x S.S νMest Mx x ≅b/3

♦Lejos del soporte sólo se presenta flexión por el coeficiente Poisson

♦Al acercarse al extremo la lámina se tiene que doblar en dirección x produciendo un incremento de Mx

• Esto puede observarse en el siguiente ejemplo: Tomaremos una placa alargada con relación a/b = 6, simplemente soportada y carga uniforme:

SS SS SS 30 5 SS

♦Una vista latera de la placa deformada muestra la curvatura cerca de los apoyos extremos:

Efecto de orilla Casi recto

-22-♦Momentos en el sentido largo Mx:

Efecto de orilla

Debido al coeficiente de Poisson

♦Momentos en el sentido corto, My:

♦Momentos torsores Mxy:

Efecto de esquina

• Ejercicio 6: Placa cuadrada con vigas de borde.

IV.2 COMPORTAMIENTO DE CASCARONES

IV.2.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS

• Los cascarones son estructuras laminares de espesor delgado, cuya geometría se define en 3-D

♦La configuración geométrica tiene por objeto conseguir que las fuerzas externas aplicadas sobre la lámina se equilibren internamente mediante:

◊ Fuerzas de membrana

◊ Momentos flexionantes

♦La intención de manejar la geometría en 3-D es que las fuerzas de membrana sean las dominantes.

• Los cascarones pueden dividirse, por su uso, en cuatro grandes grupos:

♦Cascarones cilíndricos

♦Cascarones de revolución

♦Cascarones tipo doble-curvatura

♦Cascarones de forma general

IV.2.2 SUPOSICIONES BÁSICAS

• La deformación de los cascarones se determina a partir de la deformación de la superficie media también.

Modelo Cascarón

• Suposiciones mecánicas básicas que reducen el problema real de 3-D a 2-D son:

1) El esfuerzo que actúa normal a la superficie es pequeño y puede despreciarse: σz=0

2) Una línea recta normal a la superficie media antes de la deformación permanece recta, normal y sin elongarse después de la deformación:

εZ =γXZ =γYZ = 0

• Mecánicamente, puede imaginarse a un cascarón como un ensamble de pequeñas láminas apiladas, conectadas entre sí por la regla de la normalidad.

Modelo de láminas

• Para definir las fuerzas resultantes, esto es, fuerzas por unidad de longitud de placa, se emplea el modelo mecánico que simula la placa como un ensamble de láminas.

♦A continuación se muestran los esfuerzos actuando en una lámina de espesor dz a una distancia z de la superficie media

-30-dx dy dz τyx σy σx τxy z y x z

• Convención de signos positivos de los esfuerzos resultantes sobre la superficie media Fuerzas de flexión: Fuerzas de membrana: x Mxy Mx My y Vx Vy Myx

-31-• Definición de esfuerzos resultantes (por unidad de longitud) Cortantes: Vx xzdz, V d h h = −

∫

τ / / 2 2 z y yz h h = −

∫

τ / / 2 2 x x h h = −

∫

σ / / 2 2 z y y h h = Flexión: M z dz, M dz −

∫

σ / / 2 2 z dz xy xy h h = , M −

∫

τ / / 2 2 X h h = −

∫

σ / / 2 2 y y h h = En el plano: N _Xdz , N dz −

∫

σ / / 2 2 N_{xy xy}dz h h = , −

∫

τ / / 2 2 Ny x Nyx Nxy y Nx

IV.2.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO

• Considere la distribución de fuerzas de membrana y de fuerzas de flexión actuando en la superficie media del elemento

Fuerzas de membrana : Fuerzas de flexión : Fx=

∑

0 (Membrana) Ny

-32-x y Myx + ∆ Myx Mxy + ∆ Mxy Mx + ∆ Mx My + ∆ My Vy + ∆ Vy _{Vx +} ∆ _Vx Vy My Myx Mx Vx Mxy qz Nyx Nxy _qx Nx _x qy Nx + ∆ Nx Ny + ∆ Ny Nyx + ∆ Nyx Nxy + ∆ Nxy y

∂ ∂ ∂ ∂ N x N y q x xy x + + =0 Fy=

∑

0 (Membrana) ∂ ∂ ∂ ∂ N x N y q xy y y + + =0 Fz=

∑

0 (Placa) ∂ ∂ ∂ ∂ V x V y q x y z + + =0 My=

∑

0 (Placa) V M x M y x x xy = ∂ + ∂ ∂ ∂ Mx=

∑

0 (Placa) V M x M y y xy y =∂ + ∂ ∂ ∂

IV.2.4 COMPORTAMIENTO: CONCENTRACIÓN DE FLEXIÓN

• De la teoría clásica de cascarones cilíndricos se obtiene una analogía interesante:

(

)

EI = Eh − 3 2 12 1 ν Pz k Eh R = ₂ y

◊ Los anillos, que forman la cimentación elástica, son muy rígidos. z

◊ Las vigas, en cambio, son muy flexibles.

◊ Por tanto, cualquier efecto concentrado es absorbido por los anillos, no por las vigas y no se propaga.

-34-• Consideremos un tanque de agua, en donde la cimentación aplica fuerzas cortantes y momentos flexionantes concentrados en la base. Observen los resultados.

L

γ Pz = -_{Px = Py = 0} γ(L-y) = -γL(1-ξ)

2R

Solución:

La solución puede encontrarse como

(

)

w L K L K = +⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − − γ β ψ β ψ γ β ξ 5 4 1 3 5 4 4 1 1 4 1 M Kd w dy L y = − = − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 2 3 2 3 1 2 1 1 γ β ψ β ψ

(

)

N R P dQ dy L L z y θ _{γ ξ γ ψ} β ψ = − − = − − +⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 1 ₁ 1 1 ₃

De estos resultados es fácil observar que en el extremo fijo (y = 0)

M₀ L 3 2 2 1 1 = ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ γ β β y Q L 0 2 2 2 1 = − ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ γ β β y Nθ =0

Los resultados se muestran a continuación

(+) ₍₊₎

My Nθ w

Tanque

• Observemos ahora soluciones numéricas para un tanque similar.

◊ Modelo de una cuarta parte:

R = 300 cm t = 15 cm E = 2x105 kg/cm2 ν = 0.18 γ = 1000 kg/m3 H = 400 cm Base empotrada ◊ Flexión My: Efecto localizado Concentración

• El mismo efecto ocurre en cualquier cascarón que forma anillos cerrados.

IV.2.5 COMPORTAMIENTO: PROPAGACIÓN DE FLEXIÓN

• Para cascarones abiertos, o sea, aquellos que no forman anillos, se produce el efecto contrario. Cualquier fuerza produce flexión que se propaga por toda la superficie.

• Consideremos ahora un “barril”, que es un segmento de cascarón cilíndrico que comúnmente se emplea para cubiertas sujeto a su propio peso.

Diafragma Libre Libre z x y Espesor = 0.25 ft E = 4.32 x 108 lb/ft2 R = 25 ft 50 40° Diafragma

• Observen como se activan todas las fuerzas de un cascarón con magnitudes similares: (En una cuarta parte)

◊ Fuerzas de membrana

◊ Fuerzas de flexión

IV.2.6 VALIDACIÓN

Ejercicio 7: Tanque de agua.

Ejemplo 4: Tubo de succión.