2019
Departamento de Matemáticas MSc:. Alejandro Andrés Panes Pérez
Potencias –
N
◦3
Definición 1. Sea an = a·a·a· · · a (n veces). La expresión an se lla-ma potencia n-ésilla-ma de a, en donde
a es la base de la potencia y n es el exponente de esta.
Propiedades de las poten-cias de base entera o racional
Multiplicación de potencias de igual base
Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y su-mamos los exponentes, es decir:
an·am =am+n a b n · a b m = a b n+m
División de potencias de igual base
En este caso, mantenemos la base y restamos los exponentes, es decir:
an :am =an−m a b n : a b m = a b n−m
Elevación de potencia a potencia Aquí debemos elevar la base a la multiplicación de los exponentes.
(am)n =an·m a b nm = a b n·m Multiplicación de potencias de igual exponente
Elevamos el producto de las bases al exponente común. an·bn= (ab)n a b n · c d n = a b · c d n
División de potencias de igual exponente
Elevamos el cociente de las bases al exponente común. an:bn = a b n a b n · c d n = a b : c d n
Potencia de un producto
Se eleva cada factor del producto al exponente: (a·b)n=an·bn a b n · c d n = a n bn · cn dn Potencia de un cociente a b n = a n bn
Potencias de exponente cero
a0 = 1,∀a∈R,con a6= 0
a b
0
= 1,∀a, b∈R,con b6= 0
Potencia de exponente negativo
a−n= 1 an,∀a∈R,con a6= 0;n ∈N a b −n = a1 b n = b a !n = b n an
Aplique la definición de potencias para calcular: 1. 22 2. 23 3. 52 4. (−2)3 5. 33 6. 42 7. 101 8. 122 9. (−3)3 10. (8)3 11. (−12)3 12. (−11)2 13. (−5)4 14. (3)5 15. (−3)5 16. 63 17. (−6)3 18. 25 19. (−2)5 20. (0,5)2 21. (−1,1)3 22. (0,3)3 23. (−2)2 24. (3,5)0 25. (−1,7)0 26. (2,1)1 27. −(0,8)2 28. (−0,8)2 29. (2,5)3 30. 233 31. 3 2 3 32. 252 33. −3 4 4 34. 344 35. −3 4 6 36. 352 37. 112 4 38. 3232 39. 1154 40. 2133 41. 3252
42. −11 2 4 43. 2573 44. −33 4 3 45. (−0,27)1 46. (0,08)2
Calcule el valor de: 1. 3 + 32 2. 23−22 3. 20+ 21 + 22+ 23 4. 3·35 5. (2· −3)2 6. 2·(−3)2 7. −(2)2+ (−3)2 8. (0,2)2−(0,1)2 9. −5·(−3)2 10. (−5)2·(−2)3 11. (−3)1·(−3)3 12. 3·43 13. 23·32·41 14. 26·32−25·32−1 15. (12)−1+ (−12)−1 16. 3 4 −3 − 4 3 3 +2 3 17. 1− 1 2+ 1 2 2 − 1 2 3 18. 1−2−1+ 2−2−2−3 19. 3 4 −1 − 3 4 −2 + 4 3 3 20. (0,02)2+ (0,02)−2 21. 1 4 −1 + 2 3 −1 22. 3 2 2 + −3 2 2 23. 3 2 2 − −3 2 2 24. 2 3 −1 + 22 3 −2 − 11 5 −1 25. 4 7 −3 − 7 4 3 26. 3 2 4 · 2 3 4 27. 3−2 : 2−3 28. " 34 5 −1 + 1 2 −2#0 −3 29. " 113 5 −2#−1 0 30. 2 3−2 + 3 2−1 31. " 2 5− 1 7 2#0
32. 1 2 0 + 1 2 −1 + 2−1 33. " 1 + 1 2 − 1 2 2 + 1 2 3#2 34. 2 5 −1 · 5 2 −2 · 2 5 3
Determine el valor numérico de las siguienetes expresiones para los valores de las variables indicadas
1. x2+y2 con x= 1 e y = 2
2. x3 − 3y2 + 2x con x = 2 e
y=−1
3. 3(a2 + 2ab+ b2) con a = 4 e
b = 3 4. x−3+y−3 conx=−1ey=−2 5. a(2a2−a−2) con a=−3 6. (−3x2y4)−1 con x = −3 e y = −3 7. 2a−b+a2−b2 cona = 5eb = 3 8. x−2+y−3 conx=−2ey=−3 Listado número 1 1. a3·a5 2. x2·x3·x6
3. −6a4· −5a3· −2a8
4. (a−b2)4·(a−b2)3 5. 2ab(a2+b2) 6. nk−3 ·n4−k 7. 10c8·0,25c−4·2c6 8. pn+1·pn−2 9. (2a2−3b2)4 10. (a2+a3+a4)−2 11. (1 +a+a2)·a6 12. (na+1−2na−2+n)·na+3 13. (y−1−y6+y9)·2y2 14. (3an−2 −2an−3)a3 15. (m6+n6)(m6−n6) 16. 32·2k−2 17. 27·3m+3 18. 5·54 19. 16·24+a 20. 2 3p 5· −3 5p 9· 10 7 p 12 21. 0,07a−3·0,5a−2·11,1a−1 22. 4 5m 2p·3 5m 2p2
23. 2(a+b)7·5(a+b)8· −4(a+b)−6 24. 254+p·1253−p 25. 9·3n−2·3n+1 26. 125·5−2·5−4 27. 3c4·9c6·81c−4 28. 2·4n·83n 29. 64·2−6·22 30. p2n−1· 1 2p 2n−2· 1 4p 2n−3 31. am−3(am−2−a3−m) 32. 128·24n−1 33. 3 4(m−p) −n· 4 5(m−p) −2n 34. 0,4·4−1+ 0,3·3−2+ 0,1·10−3 35. (105 + 106)10−4 Listado número 2 1. x6 :x2 2. a4 :a 3. m16:m6 4. (2p−3q)5 : (2p−3q)3 5. (216: 24) : 28 6. a11 : (a3 :a5) 7. (a+b) 3 a+b 8. x7 :x4 9. x 6+x5 x5+x4 10. (a−8−a−3) :a−11 11. (p−a+p−2a+p−3a) :p−4a 12. (a:ab) :b 13. 81 : 3a−3 14. 2 3 −1 : 3 2 −2 15. a−6 :a−8 16. (2p−2q−3) : 6p−3q−5 17. (u−4 : 4u) :u−6 18. (a−2 : 3a4)(a6 :a−6) 19. 2 3 −2 : 2 3 −3 20. (ex−e−x) :ex 21. −3a2 : 6a3 22. m6−c:mc−6 23. x2n−1 :xn−1 24. 82−3x : 2x+2 25. a−2x:ax 26. a 4 −2 : a 2 −3
27. a 1−n bn : an b1−n 28. (m−a−m−b−m−c) :m 29. (a4−b4) : (a2−b2) 30. (a6−a5) :a5 31. (16a8−8a4−4a2) : 2a2 32. [a8 : (a4 :a2)] :a3 33. [mp+1 : 2mp+2] : 2mp−2 Listado número 3 1. 34·24 2. am·bm 3. (−2a)4x·(3b)4x 4. 2 3 5 · 3 2 5 5. (1,04)−1·(1,4)−1 6. 36−n·1 3 6−n 7. (2x+y)3 ·(2x−y)3 8. (m+n)6·(m−n)6 9. (2rs)−4· 2 rs −4 10. (0,2)5·105 11. 2 3 4 · 3 4 4 12. −3a 2 2 ! · 2 a2 −1 13. 2−6 : 3−6 14. a y !x · 2y 3a2 −1 15. (b2 −4ac)2·(b−2)2 16. (a−3b)−3·(a+ 3b)−3 17. 0,6a−4·0,2b−4 18. 27 : 37 19. 16 2 82 20. 3 5 95 21. 21 2 492 22. 2 3 4 : 4 9 4 23. 3,2−2 : 1,6−2 24. 25 −3 75−3 25. (3m) a ma 26. 6 3 (6a)3 27. 2a y 6ay 28. (a2−b2)2 : (a−b)2 29. −5p−2 :−6q−2 30. (6x−3y) 2a+b (36x2−9y2)2a+b
Listado número 4 1. (22)3 2. (32)3 3. [(−2)2]4 4. ((−6)3)−1 5. [(8,5)−1]−2 6. (2a2b)3 7. (mamb)ab1 8. 105 : (104 : 102) 9. [(a−b)2 : (a−b)]−1 10. (x2)m 11. (x2y−3)−1·x2y−2 12. [px+2·qx+2] 13. 3 2a −1 · 3 2a −2 −3 14. (a−a2+a3−a4)·a−1 15. (a−1+a−2+a−3+a−4) :a−5 16. [(−z−4) : (−z)4]3 17. [125x6 : (25x3 : 5x)]−2 18. [(a2−b2) : (a−b)]−1 19. [(−0,117)0 : (−3,15)2]−1 20. [(0,03)2·(0,3)2]−1 21. 9x5 : [2x:x5]−3 22. [16a3 : 4a2]−2 23. [ax+1·bx−2]3−x·(ab)x 24. [xu+yv]−1 25. [a6 :b5]−2 26. " −2 5 2 · − 3 5 2 ·20 3 #−1 Problemas de aplicación
Representar las siguientes situaciones a travéz de una potencia de base racional y exponente entero.
a.) Un tipo de bacteria se triplica cada hora en el organismo de un animal. Si en el momento que le diagnostican la enfermedad el animal tenía 20, ¿cuántas bacterias tendrá transcurridas 8 horas?
b.) Hay siete casas, con siete gatos cada una. Cada gato atrapa siete ratones que se habían comido siete espigas de trigo por cabeza. Cada espiga había producido siete hekats (unidad de capacidad principal que fue empleada en el antiguo Egipto equivalente a 4,54 l.) de grano. ¿Cuántas unidades tenemos de cada cosa? (Problema 79, papiro de Rhind).
c.) El fractal conocido como copo de nieve de Koch se forma del siguiente modo:
Si el lado del triángulo de la figura 1 mide 30 cm: ¿Cuánto mide el perímetro de la figura 2?
¿Cuántos triángulos nuevos se formaron en los lados del triángulo original para formar la figura 3?
¿Cuál es el perímetro de la figura 4?
d.) En un cuadrado de lado 8 m se unen los puntos medios de sus lados para formar otro cuadrado. A este que se le aplica el mismo procedimiento, uniendo sus puntos medios y así sucesivamente.
¿Cuál es el área del cuadrado que resulta al repetir 4 veces el procedimiento?
¿Cuál es el área del cuadrado que resulta al repetir n veces el procedimiento?
