AJUSTE DE PARÁMETROS DE CURVAS EXPERIMENTALES PARA MATERIALES DÚCTILES

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AJUSTE DE PARÁMETROS DE CURVAS EXPERIMENTALES PARA MATERIALES DÚCTILES

Tomás Amateco Reyes1, José Alberto Escobar Sánchez2,1, Juan N. Dyer2 y Adelfo Morales Lozano1 1

Coordinación de Investigación y Estudios de Posgrado Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Guerrero

Av. Lázaro Cárdenas s/n, Ciudad Universitaria, Chilpancingo, Gro, C.P. 39000, Tel/Fax: (017)47.279.43, Dir. elec.: [email protected]

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Instituto de Ingeniería, UNAM, Ciudad Universitaria, Apdo. Postal 70-472, Coyoacan 04510, México D.F. Tel.: 5622.3470, Dir. elec.: [email protected]

RESUMEN

Las cargas sísmicas intensas en las estructuras pueden provocar que los materiales que las componen excedan su resistencia llegando a presentar comportamiento no lineal. Por tanto, es necesario contar con funciones matemáticas adecuadas para representar este comportamiento. Estas funciones están gobernadas por parámetros que se determinan por prueba y error. En el presente trabajo se desarrolla y calibra un método basado en un ajuste por mínimos cuadrados para obtener los parámetros que rigen el comportamiento, representado mediante el modelo de Ramberg-Osgood (1943), de materiales inelásticos metálicos, sometidos a cargas cíclicas obtenidos de pruebas de laboratorio.

SUMMARY

Intense seismic loads on structures can produce that their materials exceed its load capacity presenting non-linear behavior. On the other hand, in order to analytically represent the non-non-linear behavior of materials, it is necessary to develop theoretical hysteresis curves. These curves are governed by parameters, mostly of the times determined by trial and error. In order to determine the values of these parameters from laboratory tests of metals for the Ramberg-Osgood model (1943), in this work a method based on the well known least-square curve fitting technique, is proposed.

INTRODUCCIÓN

Los sismos intensos producen en las estructuras fuerzas que pueden provocar que los materiales que las integran excedan su capacidad de carga llegando a presentar comportamiento no lineal. Por esta razón es necesario estudiar analíticamente la respuesta sísmica de sistemas estructurales inelásticos. Para ello se debe poder representar teóricamente el comportamiento histerético de los materiales, el cual se puede reproducir mediante curvas teóricas cuya forma está gobernada por ciertos parámetros.

La determinación de estos parámetros resulta de gran importancia ya que, dependiendo de los valores que se les asignen, se podrá lograr una representación más realista del comportamiento de los materiales y en consecuencia el de la estructura completa. Muchas veces la determinación de los parámetros que gobiernan estas curvas se obtienen por prueba y error, comparándolas con datos experimentales. Ante esta situación surge la necesidad de contar con un procedimiento matemático que permita determinar los parámetros que rigen el comportamiento de materiales inelásticos.

Para caracterizar curvas esfuerzo-deformación unitaria teóricas (σ-ε), como la ecuación de Ramberg-Osgood, existen métodos relativamente simplistas como el que emplea las funciones de potencia, o el que utiliza las llamadas funciones de Menegotto-Pinto (Bruneau et al., 1998).

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El presente trabajo tiene como objetivo desarrollar y calibrar un método basado en un ajuste por mínimos cuadrados para determinar, a partir de datos experimentales, los parámetros que gobiernan el comportamiento de materiales inelásticos con base en la ecuación de Ramberg-Osgood.

El procedimiento resultante se aplica al ajuste de datos obtenidos de pruebas estáticas de laboratorio para diferentes metales dúctiles, así como a placas de acero sometidas a cargas cíclicas de flexión que exceden su resistencia. Se señalan las ventajas y limitaciones de los métodos para caracterizar adecuadamente el comportamiento analítico de este tipo de materiales.

ECUACIÓN DE RAMBERG-OSGOOD

Para un elemento estructural, la curva esqueletal que describe la relación esfuerzo-deformación (unitaria) o fuerza-desplazamiento de acuerdo con Ramberg-Osgood (Ramberg y Osgood, 1943) puede representarse como: n y y y F F F F         + = α δ δ (1)

donde α y n son parámetros que dependen del material; δ y δy = δ0 son el desplazamiento y el desplazamiento de fluencia, y F y Fy son la fuerza y la fuerza de fluencia del material, respectivamente.

Figura 1. Efecto del parámetro n sobre el comportamiento de la ecuación de Ramberg-Osgood

La ecuación (1) se puede escribir como: n o y F F K F     + = δ (2)

donde el término (F/Fo)n tiene unidades de longitud, Fo es un parámetro con unidades de esfuerzo diferente al esfuerzo de fluencia y Ky es la rigidez en la fluencia definido como

Desplazamiento (δ/δ0) Fuerza ( F/F o ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 n=15 n=25 n=51 n=1 n=5 n=3

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y y y F K δ = (3)

En la figura 1 se presenta la forma de la función de Ramberg-Osgood para diferentes valores del parámetro n.

Por otro lado, de la ec (2) se tiene que el desplazamiento inelástico se puede expresar como n o p F F     = δ (4) de donde, para el i-ésimo valor del desplazamiento, se tiene que la fuerza se puede calcular como

o n pi

i F

F =δ 1/ (5) En la figura 2 se muestran diferentes curvas de histéresis obtenidas utilizando la función de Ramberg-Osgood incluyendo la regla de Masing para n=5, α = 0.5 y (δ/δ0)max=1, 2, 3.

Figura 2. Curvas de histéresis de Ramberg-Osgood incluyendo la regla de Masing.

Para determinar el valor de los parámetros n y Fo a partir de datos experimentales, se pueden utilizar diferentes métodos de ajuste como los que se describen en el capítulo siguiente.

Desplazamiento (δ/δo) F/Fo ) _____ (δ/δo)max =3 __ __ (δ/δo)max =2 _ . . . _ (δ/δo)max =1

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AJUSTE DE PARÁMETROS Funciones de potencia

El principio fundamental de una función de potencia consiste en que en la relación esfuerzo-deformación unitaria, la deformación unitaria total, εtotal, puede ser dividida en una parte elástica, εelástica, y en una

inelástica, εinelástica (Popov, 1963), esto es

εtotal = εelástica+ εinelástica (6) De acuerdo con la ecuación anterior y la ecuación (1) se tiene que

elástica n n inlástica E αε σ α ε  =      = (7) Una aproximación razonable para representar analíticamente el comportamiento de un material dúctil en el intervalo de comportamiento inelástico, consiste en tomar dos puntos alejados entre sí, por ejemplo el punto 1 en intervalo elástico y un punto 2 en el intervalo inelástico (figura 3), y así, calcular los valores de n y α con las ecuaciones

        − − = 1 2 1 2 log log log log elástico elástico inelástico inelástico n ε ε ε ε (8) y 1 elástico 1 inelástico n ε ε α log log log = − (9) El método de funciones de potencia se basa en la ecuación que representa una recta con pendiente n en escala log-log. Su principal desventaja consiste en ubicar adecuadamente los puntos 1 y 2, ya que en casos prácticos los datos experimentales no necesariamente siguen la trayectoria de esta línea. Para evitar este inconveniente, además de obtener mayor precisión en el cálculo de la curva esfuerzo-deformación, es necesario llevar a cabo un ajuste por mínimos cuadrados como se describe a continuación.

Figura 3. Ajuste de parámetros utilizando funciones de potencia para acero (Bruneau et al., 1998). 0.003 0.004

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Mínimos cuadrados

Desarrollando la ecuación (4) en serie de Taylor, se obtiene

(

)

( )

n n TOS n F F F n F _o o p o p o p p − + ∂ ∂ + − ∂ ∂ + =δ δ δ δ ( , ) (10) donde TOS son los términos de orden superior. Los residuos para los puntos δpi y Fi, están dados por

(

)

(

)

2 1 1 2 , ∑ = ∑ − = = nd i nd i p o pi i F n R δ δ (11)

Para minimizar el error asociado a los puntos de una curva esfuerzo-deformación utilizando mínimos cuadrados se tiene que (Nakamura, 1992)

0 R F nd 1 i 2 i o = ∑ ∆ ∂ ∂ = y 0 R n nd 1 i 2 i = ∑ ∆ ∂ ∂ =

De las expresiones anteriores se obtiene un sistema de ecuaciones de la forma

[ ]

A

{ } { }

∆ = B (12) donde

[ ]

      = 22 21 12 11 A A A A A ;

{ }

      ∆ ∆ = ∆ n Fo ;

{ }

      = 2 1 B B B (13) a su vez ∑_ _ = = m i _o n o i F n F F A 1 2 2 2 11 ∑−_ _ _ _ = = m i _o i o n o i F F F n F F A 1 2 12 ln ∑−_ _ _ _ = = m i _o i o n o i F F F n F F A 1 2 21 ln ∑                 = = m i _o i n o i F F F F A 1 2 2 22 ln ∑             −     = = m i n o i pi o n o i F F F n F F B 1 1 δ

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            −     ∑_ _ = = o i pi n o i m 1 i _o i 2 F F F F F F B δ ln

Al resolver el sistema de ecuaciones (12) se calculan los valores de ∆Fo y ∆n, y con ellos, utilizando un proceso iterativo, los de Fo y n con las expresiones

Fo = Fo + ∆Fo (14) n = n + ∆n

El procedimiento anterior, propuesto por Margetson (1981), se puede completar para lograr una mejor representación de la función de Ramberg-Osgood incluyendo los tres parámetros que gobiernan la ecuación (1), en este caso se tiene que

δp = f(α, Fy, n)

Siguiendo un procedimiento análogo al utilizado para dos parámetros, ahora se obtiene que el sistema de ecuaciones (12) es de tercer orden, al resolverlo se encuentra además de ∆Fy y ∆n el valor de ∆α y con ello α = α +∆α (15) El valor de α también se puede calcular utilizando alguno de los valores de los datos experimentales, así, para el primero de ellos se tiene que

n y i F F −         =δ 1 α (16) EJEMPLOS

En las tablas 1 a 4 se comparan los resultados obtenidos para diferentes materiales. Se anotan los valores de los errores relativos obtenidos con el algoritmo de Margetson (casos denominados A y B), los obtenidos de aplicar el método de funciones de potencia, así como los que produce el método de ajuste aquí propuesto. Se utilizan los datos experimentales de Margetson y Bruneau et al., obtenidos de pruebas de tensión para probetas de acero, de aluminio y de una aleación especial de metales. En las tablas 1 a 3 se puede apreciar que para los datos mostrados, se obtiene mayor precisión con el método de ajuste aquí propuesto, particularmente cuando el parámetro α se calcula con la ecuación (15), y que en una gran cantidad de puntos los valores máximos para el error relativo son inferiores al 1 por ciento.

En estas tablas también se observa que los errores relativos obtenidos con el método propuesto en el presente trabajo son inferiores a los calculados utilizando el algoritmo de Margetson y con el de funciones de potencia.

Para evaluar la aplicabilidad del algoritmo aquí propuesto, además de los datos esfuerzo-deformación evaluados en los ejemplos anteriores, se utilizan datos de pruebas de laboratorio de materiales expresados también como relaciones fuerza-desplazamiento. Así, se utilizan los datos obtenidos de pruebas de laboratorio para un disipador de energía sísmica. Este dispositivo está hecho a base de una placa de acero estructural y trabaja como viga a flexión sometida a cargas dinámicas perpendiculares a su plano para producir desplazamientos de ±30 mm, con un periodo de 3 s en placas de 410x228x25 mm (Escobar y Sánchez, 1998).

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Tabla 1. Relaciones esfuerzo-deformación calculadas para carga axial obtenidas de probetas de acero (Margetson) y errores relativos debido al ajuste de los datos.

Error relativo, método de Margetson (%) Error relativo (%), método de Punto Deformación medida (mm) Esfuerzo medido (N/mm²) Esfuerzo calculado, (N/mm²) α con ec (15) Error relativo (%), mé-todo pro-puesto, α con ec (15) Esfuerzo calculado, (N/mm²) α con ec (16) Error relativo (%), mé- todo pro-puesto, α con ec (16) Caso A Caso B Funciones de potencia 1 1.975 x10-5 1900 1913 0.7 1900 0.0 0.0 0.1 237.6 2 5.938 x10-5 1981 1962 -1.0 1948 -1.6 -1.9 -1.8 104.6 3 1.894x10-4 ₂₀₁₁ ₂₀₁₅ _0.2 ₂₀₀₁ _-0.5 _-1.1 _-1.0 _-0.3 4 5.288 x10-4 _2054. ₂₀₆₃ _0.5 ₂₀₄₉ _-0.2 _-1.1 _-1.0 _-19.7 5 8.498 x10-4 ₂₀₈₄ ₂₀₈₆ _0.1 ₂₀₇₁ _-0.6 _-1.6 _-1.5 _-5.3 6 1.129 x10-3 ₂₀₉₈ ₂₀₉₉ _0.1 ₂₀₈₅ _-0.6 _-1.7 _-1.6 _-2.9 7 1.409 x10-3 2115 2110 -0.2 2096 -0.9 -2.0 -1.9 13.9 8 1.969 x10-3 ₂₁₂₈ ₂₁₂₆ _-0.05 ₂₁₁₂ _-0.7 _-2.0 _-1.9 _11.5 9 2.859 x10-3 2144 2145 0.06 2130 -0.6 -1.9 -1.8 8.0

Tabla 2. Relaciones esfuerzo-deformación calculadas para carga axial obtenidas de probetas de aluminio (Margetson) y errores relativos debido al ajuste de los datos.

Error relativo, método de Margetson (%) Error relativo (%), método de Punto Deformación medida (mm) Esfuerzo medido (N/mm²) Esfuerzo calculado, (N/mm²) α con ec (15) Error relativo (%), mé- todo pro-puesto, α con ec (15) Esfuerzo calculado, (N/mm²) α con ec (16) Error relativo (%), mé- todo pro-puesto, α con ec (16) Caso A Caso B Funciones de potencia 1 9.999 x10-5 400 389 -2.7 400 0.0 0.0 -5.3 480.0 2 1.948 x10-4 ₄₃₈ ₄₁₀ _-6.2 ₄₂₂ _-3.6 _8.6 _3.0 _27.8 3 4.211 x10-4 455 437 -3.9 449 -1.2 9.4 3.7 13.3 4 7.074 x10-4 ₄₆₅ ₄₅₆ _-1.9 ₄₆₉ _0.9 _10.3 _4.6 _-1.7 5 9.950 x10-4 473 469 -0.8 482 2.0 10.6 4.9 -6.0 6 3.681 x10-3 ₅₁₅ ₅₂₁ _1.3 ₅₃₆ _4.2 _9.6 _4.0 _12.9 7 6.419 x10-3 547 545 -0.2 561 2.6 6.6 1.2 87.2

Tabla 3. Relaciones esfuerzo-deformación calculadas para carga axial obtenidas de probetas de una aleación especial de metales (Margetson) y errores relativos debido al ajuste de los datos.

Error relativo, método de Margetson (%) Error relativo (%), método de Punto Deformación medida (mm) Esfuerzo medido (N/mm²) Esfuerzo calculado, (N/mm²) α con ec (15) Error relativo (%), mé- todo pro-puesto, α con ec (15) Esfuerzo calculado, (N/mm²) α con ec (16) Error relativo (%), mé- todo pro-puesto, α con ec (16) Caso A Caso B Funciones de potencia 1 9.995 x10-4 1.63 1.63 0.0 1.63 0.0 0.0 -2.4 56.4 2 1.419 x10-3 _1.86 _1.73 _-6.9 _1.73 _-7.0 _-6.8 _-9.0 _76.6 3 3.364 x10-3 2.04 2.00 -1.9 2.00 -2.0 -1.2 -3.5 13.1 4 8.255 x10-3 _2.29 _2.32 _1.3 _2.32 _1.3 _2.9 _0.6 _-15.2 5 1.350 x10-2 2.50 2.52 0.8 2.52 0.8 2.7 0.5 -13.6 6 1.921 x10-2 _2.66 _2.67 _0.3 _2.67 _0.4 _2.6 _0.4 _-11.2 7 4.353 x10-2 _3.07 _3.06 _-0.3 _3.06 _-0.3 _2.6 _0.4 _-2.2 8 7.520 x10-2 _3.35 _3.35 _0.0 _3.35 _0.0 _3.4 _1.2 _0.5

En la tabla 4 se presenta el ajuste de parámetros utilizando los diferentes métodos descritos, incluyendo el procedimiento propuesto en el presente trabajo, para datos de pruebas de laboratorio para aluminio sometido a tensión axial estática obtenidos por Bruneau et al.

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Se debe mencionar que la precisión del algoritmo de funciones de potencia, depende directamente de una elección adecuada del punto 2 para representar la recta de la ecuación (9) en escala logarítmica.

Tabla 4. Relaciones esfuerzo-deformación calculadas para carga uniaxial estática obtenidas de probetas de aluminio (Bruneau et al.) y errores relativos debido al ajuste de los datos.

Error relativo (%), mé- todo pro- Error relativo (%), método de Margetson Punto Deformación medida (pulgadas) Esfuerzo medido (ksi) Esfuerzo calculad o (ksi) α con ec (15) Error relativo (%), mé- todo pro-puesto, α con ec (15) Esfuerzo calculado (ksi) α con ec (16) puesto, α con ec (16) Error relativo (%), método de Funciones de potencia Caso A Caso B 1 3.7 x10-3 ₃₅ _37.42 _6.9 _35.0 _0.0 _-0.5 _0.0 _-6.0 2 4.2 x10-3 36 37.58 4.4 35.2 -2.4 -0.5 -1.7 -7.6 3 5.2 x10-3 ₃₇ _37.85 _2.3 _35.4 _-4.3 _-0.1 _-2.6 _-8.4 4 8.0 x10-3 38 38.39 1.0 35.9 -5.5 -5.1 -1.5 -7.3 5 1.5 x10-2 ₃₉ _39.20 _0.5 _36.7 _-6.0 _-1.7 _1.3 _-4.6 6 2.65 x10-2 40 39.94 -0.1 37.4 -6.6 -0.04 3.8 -2.2 7 5.6 x10-2 ₄₁ _40.94 _-0.1 _38.3 _-6.6 _1.9 _8.1 _2.0 8 1.22 x10-1 42 42.01 0.0 39.3 -6.5 3.6 12.9 6.6

En la figura 4a se muestran las curvas carga-desplazamiento típicas obtenidas de las pruebas de laboratorio. Los parámetros calculados al aplicar el procedimiento de ajuste aquí propuesto son n=4.49; α=0.5 y Fo=9949.8 Kg. En la figura 4b se muestra, con línea llena la curva de histéresis teórica y con línea punteada la curva real obtenida experimentalmente para un ciclo de carga estable. El error relativo del área de la curva de histéresis calculada con respecto a la real es menor que 0.1 por ciento. Se observa que la curva teórica presenta un mejor ajuste con la curva experimental en la zona de comportamiento inelástico que en el elástico.

a) Curvas experimentales b) Curvas teórica y experimental Figura 4. Curvas fuerza-desplazamiento experimentales y calculadas con los parámetros obtenidos usando

el método de ajuste propuesto, para la placa tipo viga a flexión descrita.

CONCLUSIONES

Para poder representar analíticamente el comportamiento de materiales no lineales es necesario contar con curvas de histéresis que lo hagan adecuadamente. Estas curvas están gobernadas por parámetros que se determinan por prueba y error.

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En el presente trabajo se desarrolló un método basado en un ajuste por mínimos cuadrados para determinar los parámetros que rigen el comportamiento de materiales inelásticos sometidos a carga estática obtenidos de pruebas de laboratorio.

El procedimiento desarrollado se aplicó al ajuste de los parámetros que rigen el comportamiento de la función de Ramberg-Osgood para los datos obtenidos de pruebas de laboratorio de diferentes materiales sometidos a cargas estáticas y dinámicas que exceden su resistencia. Para los casos estudiados los resultados obtenidos presentan una buena precisión.

En general, el método propuesto presenta una precisión mayor que la obtenida por el método de Margetson. Además, a diferencia de éste, el proceso iterativo propuesto converge rápidamente aún para valores iniciales unitarios de los parámetros que se ajustan. Adicionalmente, con el método propuesto no es necesario definir los dos puntos (cerca de la fluencia y cerca de la inestabilidad) de la curva experimental por caracterizar que necesita el método de Margetson.

En el método desarrollado en el presente trabajo no es necesario proponer un valor inicial del esfuerzo de fluencia cercano al valor real.

Para la placa de acero sometida a carga dinámica se puede observar que, a pesar de que en esta etapa el modelo teórico propuesto no es capaz de representar el deterioro del material debido a cargas cíclicas, los resultados obtenidos presentan muy buena precisión.

Finalmente, la aplicación del método resulta adecuada para caracterizar, a partir de datos experimentales, curvas esfuerzo-deformación para materiales no lineales sometidos a carga estática o dinámica en los que se excede su resistencia.

AGRADECIMIENTOS

A David Murià Vila y a Roberto Gómez sus valiosos comentarios. El primer autor agradece el apoyo de Alberto Salgado Rodríguez y de Roberto Arroyo Matus.

REFERENCIAS

Bruneau M., Uang Ch.-M. y Whittaker A., (1998), “Ductile design of steel structures”, McGraw-Hill. Escobar J.A., y Sánchez R., (1998), “Ensayes ante carga estática y dinámica de un dispositivo disipador

de energía”, Informe interno, Instituto de Ingeniería, UNAM, agosto.

Margetson J., (1981), "Tensile/strain characterization of non-linear materials", Journal of Strain Analysis,

Vol. 16, No. 2.

Nakamura S., (1992), "Métodos numéricos aplicados con software", Prentice Hall. Popov E. P., (1963), "Introduction to Mechanics of Solids", Prentice Hall.

Ramberg W., y Osgood W.R. (1943), “Description of stress-strain curves by three parameters“, Technical