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1. REPRESENTACUIN GRAFICA DE UN VECTOR
2. SUMA GRAFICA DE VECTORES
3. SUMA ANALITICA DE VECTORES
PRESENTACION
Estimado (a) Participante:
En este tema se introduce el concepto de vector para estudiar la magnitud, la dirección y el sentido de las cantidades físicas.
Algunas cantidades pueden ser descritas totalmente por un número y una unidad; por ejemplo las magnitudes de superficie, volumen, masa, longitud y tiempo reciben el nombre de magnitudes escalares.
Por definición, una magnitud escalar es aquella que se define con sólo indicar su cantidad expresada en números y la unidad de medida.
Existe otra clase de magnitudes que para definirlas, además de la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida, se necesita indicar claramente la dirección y sentido en que actúan; estas magnitudes reciben el nombre de magnitudes vectoriales. Por ejemplo, cuando una persona visita la ciudad de Mérida, Yucatán, y nos pregunta cómo llegar al puerto de Progreso, dependiendo de dónde se encuentre le diremos aproximadamente a qué distancia está y qué dirección seguir. Lo mismo sucede cuando se habla de la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo, pues aparte de señalar su valor se debe especificar si la fuerza se aplicará hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda, hacia el frente o hacia atrás.
Una magnitud vectorial se define por su origen, magnitud, dirección y sentido. Consiste en un número, una unidad y una orientación angular.
Unidad de Aprendizaje N° 1
REPRESENTACION GRAFICA DE UN VECTOR
Conocimientos Previos
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN VECTOR Un vector tiene las siguientes características
Punto de aplicación u origen
Magnitud. Indica su valor y representa por la longitud del vector de acuerdo con una escala convencional.
Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, y puede ser horizontal, vertical u oblicua.
Sentido. Indica hacia dónde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda, y queda señalado por la punta de la flecha.
Para representar un vector se necesita una escala convencional, la cual se establece de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le desee dar.
Vectores Coplanares y no Coplanares
Los vectores pueden clasificarse en coplanares, si se encuentran en el mismo plano o en dos ejes, y no coplanares si están en diferente plano, es decir en tres planos.
Sistema de vectores colineales
Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción. Un vector colineal cera positivo si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba y negativo si su sentido es hacia la izquierda o hacia abajo.
Sistema de vectores concurrentes
Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruza en algún punto, el punto de cruce constituye el punto de aplicación. A estos vectores se les llama angulares o concurrentes porque forman un ángulo entre ellos.
Son aquellos vectores que por más que alargan su trayectoria, jamás se pueden unir.
Resultante y equilibrante de un sistema de vectores
La resultante de un sistema de vectores es el vector que produce él solo, el mismo efecto que los demás vectores del sistema. Por ello un vector resultante es aquel capaz de sustituir un sistema de vectores.
La equilibrante de un sistema de vectores, como su nombre lo indica, es el vector encargado de equilibrar el sistema, por lo tanto tiene la misma magnitud y dirección que la resultante, pero con sentido contrario.
Propiedades de los vectores (principio de transmisibilidad y propiedad de los vectores libres.
Principio de transmisibilidad de los vectores.- Este principio se enuncia como “ El efecto externo de un vector o fuerza no se modifica si es trasladado en su misma dirección, es decir sobre su propia línea de acción”. Por ejemplo si se desea mover un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerza, el resultado sea el mismo si empujamos el cuerpo o si lo jalamos, Propiedad de los vectores libres.- Los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos. Esta propiedad se utilizará al sumar vectores por los métodos gráficos del paralelogramo y del polígono.
Experiencias de Aprendizaje
Lee comprensivamente los contenidos representados para que puedas realizar las siguientes interrogantes.
Estática de partícula.
Concepto de vector y su clasificación.
Obtención de vectores resultantes por métodos gráficos y analíticos. a. Instrucciones específicas para el autoaprendizaje.
1.- Enunciará el concepto de vector y como se clasifica.
2.- Resolverá ejercicios para hallar vectores resultantes por métodos gráficos (polígono y paralelogramo) y analíticos (Teorema de Pitágoras).
b. objetivos del tema.
1.- El alumno enunciará el concepto de vector, conocerá sus características así como su clasificación.
2.- El alumno resolverá ejercicios para obtener un vector resultante por el método gráfico del paralelogramo (para 2 vectores a la vez) por el método gráfico del polígono (para más de 2 vectores a la vez) y por el método analítico del Teorema de Pitágoras.
c. desarrollo del tema.
Como se señaló, una cantidad vectorial es aquel que tiene una magnitud, dirección y sentido, como por ejemplo un automóvil que lleva una velocidad de 80 km/h al Noreste, o un desplazamiento de un móvil de 5 km a 40° al Suroeste.
Una magnitud vectorial puede ser representada gráficamente por medio de una flecha llamada vector, la cual es un segmento de recta dirigido. Para simbolizar una magnitud vectorial se traza una flechita horizontal sobre la letra que la define por ejemplo:
a F d
v , ,y representan cada una un vector como son la velocidad, el desplazamiento, la fuerza y la aceleración, respectivamente.
AUTO EVALUACION N° 1
1. Define utilizando para ellos los conceptos de vector y su clasificación.
2. Enumere y desarrolle las características y clasificación de un vector.
3. Desarrolle que es una cantidad vectorial.
4. A que llamamos resultante y equilibrante de un sistema de vectores.
Si has respondido sin dificultad las interrogantes, “Felicidades” continua con la unidad de aprendizaje N° 2
Unidad de Aprendizaje N° 2
SUMA GRAFICA DE VECTORES
Conocimientos Previos.
SUMA DE VECTORES:
Cuando necesitamos sumar 2 o más cantidades escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente: por ejemplo 2 kg + 5 kg = 7 kg, 3 horas + 7 horas= 10 horas, 200 km + 300 km = 500 km. Sin embargo para sumar magnitudes vectoriales, que como ya se mencionó aparte de magnitud tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos.
SUMA GRÁFICA de VECTORES
Para realizar la suma gráfica de dos vectores, utilizamos el "método del paralelogramo". Para ello, trazamos en el extremo del vector A, una paralela al vector B y viceversa. Ambas paralelas y los dos vectores, determinan un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo, que contiene al punto origen de ambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver un ejemplo en el gráfico que va a continuación:
Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior, sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así sucesivamente. Pero también podemos hacerlo colocando en el extremo del primer vector, un vector igual en módulo, dirección y sentido que el segundo. A continuación de éste, colocamos un vector equivalente al tercero y así sucesivamente. Finalmente, unimos el origen del primer vector con el extremo del último que colocamos y, el vector resultante es el vector suma.
http://usuarios.lycos.es/pefeco/sumavectores/sumavectores.htm METODO PARALELOGRAMO
En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma
es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas”. En la figura 1 se ilustra el método.
Figura 1
En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial (S)de los vectores de color rojo (a) y de color azul (b).
Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma con una línea horizontal. Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras.
En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes: ( la Ley del Coseno); (Ley de los senos)
Ejemplo:
Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entre los vectores sumandos (el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas (rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante.
su dirección sería: (Ley de los senos) Método del polígono
Cuando vamos a sumar más de dos vectores, podemos sumar dos de ellos por el método del triángulo. Luego el vector resultante sumarlo con otro vector también por el método del
triángulo, y así sucesivamente hasta llegar a obtener la resultante final.
Otra forma de hacer la suma, es utilizando el llamado método del polígono. Este método es simplemente la extensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza" del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que cierra el polígono desde la "cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo también libre (cerrar con un "choque de cabezas"). Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígono resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.
Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico. En la figura 1se ilustra la suma de cuatro vectores.
Figura 1
http://letty220.tripod.com/id15.html
Lee comprensivamente los contenidos representados para que puedas realizar las siguientes interrogantes.
Suma de vectores
Concepto de la suma y resta algebraica de vectores.
Obtención de vectores resultantes por métodos gráficos (dibujo) a-instrucción específica para el autoaprendizaje.
1.- Enunciará el procedimiento grafico como calcular resultados de vectores.
2.- Resolverá ejercicios para hallar vectores resultantes por métodos gráficos (polígono y paralelogramo).
B-objetivos del tema.
1.- El alumno Dibujara a escala la magnitud de un vector y sentido, conocerá sus resultados del vector resultante
2.- El alumno resolverá ejercicios para obtener un vector resultante por el método gráfico del paralelogramo (para 2 vectores a la vez) por el método gráfico del polígono (para más de 2 vectores a la vez).
c- desarrollo del tema.
Como se señaló, una cantidad vectorial es aquel que tiene una magnitud, dirección y sentido, como por ejemplo un automóvil que lleva una velocidad de 80 km/h al Noreste, o un desplazamiento de un móvil de 5 km a 40° al Suroeste.
Una magnitud vectorial puede ser representada gráficamente por medio de una flecha llamada vector, la cual es un segmento de recta dirigido. Para simbolizar una magnitud vectorial se traza una flechita horizontal sobre la letra que la define por ejemplo:
a F d
v , ,y representan cada una un vector como son la velocidad, el desplazamiento, la fuerza y la aceleración, respectivamente.
AUTO EVALUACION N° 2
1-Presenta para ellos utilizando el método gráfico y a escala un vector.
2-Resuelva y desarrolle problemas básicos de diferentes suma y resta de vectores.
3-Explique brevemente la forma de hacer la suma de vectores, utilizando el método del polígono.
4-A que llamamos método del paralelogramo para la resolución de problemas vectoriales.
5-Realice suma y resta graficas de vectores a escala con el método del paralelogramo.
Si eres sincero en tu actitud y no has tenido dificultad alguna con las interrogantes, creemos que estas en derecho y capacidad de continuar con la unidad del aprendizaje N° 3
Unidad de Aprendizaje N° 3
SUMA ANALITICA DE VECTORES
Conocimientos Previos SUMA ANALITICA DE VECTORES.
STEPHANY quiere saber dónde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa. Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este. Hallar el resultado gráfico y analíticamente.
N Y V2 = -19 km v1 = 13 km O E -6 13 X S DATOS VX = V1 + V2 V1 = +13 KM VX = 13+ (-19) V2 = -19 KM VX = 13-19 = -6
2.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si
camino 15 km. al norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al
oeste. ¿Calcularle la distancia o el punto donde Norma se encuentra?
15 km. al norte V
110 km. al sur V
212 km. al oeste V
3y = V
1+ V
2y = 15 + (-16)
y = 5
x = V
3y = .12
a
2= b
2+ C
2R= (Fy)
2= (Fx)
2R= (Fy)
2+ (Fx)
2R= (5)
2+ (-12)
2R= 25 + 144
R= 169
R= 13 km.
θ= Tan-1 Fy/Fx = tan-1 5/12= tan-1 0.4166= 22.61°. 1. Evaluación del tema.
1.- Son los tipos de vectores que por más que prolonguen su trayectoria, nunca se van a unir. Paralelos, Concurrentes, Coloniales, Perpendiculares Libres
2.- Son los tipos de vectores que se intersectan entre sí formando ángulos rectos (90°). Perpendiculares, Concurrentes, Paralelos, Libres.
3.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cuál es aplicable a sólo 2 vectores a la vez.
Paralelogramo, Polígono, Ley de Senos, Ley de cosenos, Teorema de Pitágoras
4.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cual es aplicable a más de dos vectores a la vez.
Polígono, Ley de senos, Ley de cosenos, Paralelogramo, Teorema de Pitágoras. 5.- A los vectores concurrentes también se les denomina:
Angulares, Libres, perpendiculares, Paralelos, No coplanares
Experiencias de Aprendizaje
Lee de manera comprensiva los contenidos presentados para que puedas desarrollar los siguientes planteamientos.
1- Establece el término común entre soluciones gráficas y analíticas.
2- Comprende la solución de un problema expresado teóricamente a gráficamente.
3- Conoce cuales son los vectores que por más se prolongan su trayectoria, no se encontraran. 4- Elabora un vocabulario completo de los tipos de vectores según su situación.
5- Resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos de los vectores.
6- Hasta la altura de esta unidad, establece los pasos a seguir para la solución de los problemas de vectores según el método.
AUTO EVALUACION N° 3
1-Resuelve para ellos problemas el método gráfico, y a escala de vectores.
2-Resuelva y desarrolle problemas básicos de diferentes suma y resta de vectores.
3-Desarrole el concepto teórico brevemente de vectores paralelos.
4-A que llamamos vector resultante.
Si eres sincero en tu actitud y no has tenido dificultad alguna con las interrogantes, creemos que estas en derecho y capacidad de continuar con la unidad del aprendizaje N° 4
Unidad de Aprendizaje N° 4
COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA O VECTOR EN EL PLANO.
Conocimientos Previos. Componentes rectangulares de una fuerza.
Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina componentes.
.
Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes
Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones
Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de sus componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a (ángulo) con la función trigonométrica tangente.
Ejemplo:
Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º. Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.
El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X . La componente en Y tiene módulo igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la figura 3.
SUMA DE VECTORES EMPLEANDO EL METODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES.
Cuando vamos a sumar vectores , podemos optar por descomponerlos en sus componentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direcciones x e y.
Ejemplo:
Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentes rectangulares.
Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarnos mejor. Esto se ilustra en la figura 2
A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las componentes en Y:
Experiencias de Aprendizaje
Lee de manera comprensiva los contenidos presentados para que puedas desarrollar los siguientes planteamientos.
1- Que el alumno aprenda a obtener las componentes rectangulares de un vector o fuerza en el plano (Fx y Fy) utlizando las ecuaciones Fx= Fcos θ y Fy= F cos θ.
2-
2.- El alumno resolverá problemas del cálculo de un vector resultante en el plano de un sistema de vectores concurrente.
3.- El alumno resolverá problemas calculando un vector resultante en el espacio, conociendo sus componentes (Fx, Fy y Fz).
4.- El alumno resolverá problemas calculando las componentes de un vector resultante en el espacio (Fx, Fy y Fz) conociendo los cosenos directores θx, θy y θz.
5.- El alumno resolverá problemas buscando los cosenos directores de una fuerza en el espacio, conociendo las fuerzas y sus componentes (fx, Fy y Fz).
6.- El alumno resolverá problemas buscando la fuerza resultante en el espacio, conociendo solamente dos de los ángulos directores y una sola de las componentes, hallar además las otras dos componentes y el otro ángulo director.
AUTO EVALUACION N° 3
1.- Obtenga las componentes rectangulares de una fuerza o vector en el plano.
2.- Resuelva problemas del cálculo de un vector resultante en el plano y en el espacio, y la dirección de dichos vectores resultantes.
El carácter se forja diariamente en el laboratorio del saber, así obtendrás cambios de
conducta y un futuro satisfactorio para vivir mejor.
Bibliografía.
Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Culturales. Cuarte reimpresión de la Segunda Edición 2004.
a. Tema 1.3 Fuerzas en el espacio.
Subtema 1.3.1 Obtención de las componentes rectangulares de una fuerza en el plano.
Subtema 1.3.2. Resolución de problemas Con el cálculo de la resultante de un sistema de fuerzas coplanares en el plano y en el espacio.
Subtema 1.3.3. Enunciación y significado de la Primera Ley de Newton.
