CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Curso 2015-16
1. En R2 se considera la circunferenciaC de centro (0,1) y radio 1. Sea R la recta af´ın tangente aC en(0,2). Para cada p∈C− {0}, la recta que une 0 y p interseca aRen un ´unico puntoq. La recta perpendicular aRque pasa porqy la recta horizontal que pasa por pse cortan en un ´unico puntom(p). Se define labruja de Agnesicomo el lugar geom´etrico de los puntosm(p)obtenidos cuandop∈C−{0}. Parametrizar la bruja de Agnesi y probar que hay un ´unico punto de la curva cuya recta af´ın tangente es horizontal.
2. Se considera la curvaα:R→R2definida porα(t) =e−t(cos(t),sen(t)). Se pide:
(i) Hacer un esbozo de la traza deα: la trayectoria recorrida se llamaespiral logar´ıtmica.
(ii) Demostrar queαes una curva regular y embebida.
(iii) Calcular L0b(α)para cada b>0 y l´ımb→+∞Lb0(α). Encontrar una reparametrizaci´on por el arco deα.
(iv) Calcular el diedro de Frenet y la curvatura deαen cada instante.
(v) SeaRθ la semirrecta que sale del origen en la direcci´on del vector(cos(θ),sen(θ)).
Demostrar que en los puntos de corte de la traza deαconRθla recta af´ın tangente de
αforma conRθun ´angulo que no depende del punto de corte ni deθ.
3. Seanaybn´umeros reales positivos. Se considera la elipse:
C= (x,y)∈R2/ x 2 a2+ y2 b2 =1 .
Obtener una curva regular α:R→R2 tal que α(R) =C. ¿En qu´e puntos de la elipse la
recta af´ın tangente es vertical? Calcular la curvatura deαy determinar sus puntos cr´ıticos.
4. (Diedro de Frenet y curvatura frente a homotecias). Seaα:I→R2 una curva plana
re-gular yφ:R2→R2la homotecia de raz´onλ>0 dada porφ(p) =λp, para cada p∈R2.
Definimos la curvaβ:I→R2comoβ=φ◦α. Demostrar queβes regular. Relacionar los
5. (Curvas paralelas). Seaα :I →R2 una curva plana p.p.a. Para cada r ∈R, se define la
curva paralelaαr :I →R2 dada porαr(s) =α(s) +r N(s). Obtener un esbozo de αr(I).
Supuesto queαr es regular, calcular su curvatura y relacionarla con la deα.
6. Seaα:I→R2 una curva plana p.p.a. cuya traza est´a contenida en uno de los dos
semi-planos cerrados determinados por una recta af´ınR. Probar que en los puntos de corte de la traza deαconRla recta af´ın tangente deαcoincide conR.
7. Seaα:I →R2 una curva plana p.p.a. cuya traza es un compacto deR2. Probar que si R
es una recta af´ın cualquiera deR2entonces existe al menos un punto de la traza deαen el
que la recta af´ın tangente deαes paralela aR.
8. Seanα:I→R2yβ:I0→R2curvas p.p.a. con trazas disjuntas. Supongamos que existen
instantess0∈I y s00∈I0 de forma que|α(s)−β(s0)| ≥ |α(s0)−β(s00)| para cada s∈I y cadas0∈I0. Probar que las rectas afines tangentes deαens0y deβens00son paralelas.
9. Seaα:I→R2una curva plana p.p.a. cuya traza esta contenida en un disco cerradoDde
radioRcentrado en el origen. Probar que siα(s0)∈∂Dentonces la recta af´ın normal deα
ens0contiene al origen y |k(s0)| ≥1/R. Deducir que a lo largo de una curva plana p.p.a. con traza compacta existe siempre una recta af´ın normal que pasa por el origen.
10. Demostrar que si todas las rectas afines tangentes de una curva plana p.p.a. son paralelas o pasan por un mismo punto entonces su traza est´a contenida en una recta.
11. Demostrar que si todas las rectas afines normales de una curva plana p.p.a. pasan por un mismo punto entonces su traza est´a contenida en una circunferencia.
12. Seaαuna curva plana p.p.a. con la propiedad de que todas sus rectas afines tangentes
equi-distan de un punto. Probar que su traza est´a contenida en una recta o en una circunferencia. 13. (Curvatura y posici´on local respecto de rectas tangentes). Seaα:I→R2una curva plana
p.p.a. ys0∈I. Se considera la funci´on f :I→Rdada por f(s) =α(s)−α(s0),N(s0)
, que mide la distancia con signo de los puntos deα(I)a la recta af´ın tangenteRaαens0.
Calcular f(s0), f0(s0)y f00(s0). Deducir que:
i) Sik(s0)>0 (resp.k(s0)<0) existe un entorno abiertoJ des0enI tal queα(J)est´a en el semiplano cerrado determinado porRhacia el que apuntaN(s0)(resp.−N(s0)). ii) Si existe un entornoJdes0enItal queα(J)est´a en el semiplano cerrado determinado
porRhacia el que apuntaN(s0)(resp.−N(s0)), entoncesk(s0)≥0 (resp.k(s0)≤0).
14. (Evoluta de una curva plana). Seaα:I→R2una curva plana p.p.a. ys0∈Iun instante en el quek(s0)>0. Para cada n´umero λ6=0 denotamoscλ=α(s0) +λN(s0). Definimos la
siλ<1/k(s0)(resp. λ>1/k(s0)) entonces existe un entorno abiertoJ des0enI tal que
α(J)est´a fuera del disco abierto (resp. dentro del disco cerrado) de centrocλy radio|λ|.
Lo anterior nos indica que, para λ=1/k(s0), la circunferencia de centro cλ y radio λ es
la circunferencia tangente a α ens0 que mejor aproxima a la curva en un entorno de s0. Se llamaradio de curvatura de α en s0 a 1/k(s0). El centro de curvatura deα en s0 es el puntoα(s0) + (1/k(s0))N(s0). La circunferencia determinada por el centro y el radio anteriores es la circunferencia osculatrizde αen s0. Cuandok(s)>0 para cada s∈I, la curvae(s) =α(s) + (1/k(s))N(s)se llamaevolutadeα.
15. Seaα:I→R2una curva p.p.a. ys0∈Iconk(s0)6=0. Demostrar que existeε>0 tal que, para cadas∈(s0−ε,s0+ε), la recta af´ın normal aαensinterseca en un ´unico punto p(s)
a la recta af´ın normal aαens0. Demostrar que l´ıms→s0p(s) =α(s0) + (1/k(s0))N(s0). 16. Seaα:I →R2 una curva plana p.p.a. conk(s)>0 para todo s∈I. Demostrar que si las
circunferencias osculatrices de α pasan por un mismo punto entonces la traza de α est´a
dentro de una circunferencia.
17. Seaα:I→R2una curva plana p.p.a. conk(s)>0 para todos∈I. Demostrar que si todas
las rectas afines normales de α equidistan de un punto, entonces la traza deα o la de su
evoluta est´a contenida en una circunferencia.
18. (La curvatura como medida de variaci´on de un ´angulo). Seaα:I→R2 una curva plana
p.p.a. ys0∈I. Se define la funci´on θ:I→Rque, para cada s∈I, mide el ´angulo que la
recta af´ın tangente aαensforma con la recta af´ın normal aαens0. Demostrar que existe Jentorno abierto des0enItal queθes diferenciable enJyθ0(s) =−k(s)para cadas∈J.
19. (La curvatura como medida de comparaci´on entre longitudes). Seaα:I →R2 una curva
plana p.p.a. Para cadas0∈Idemostrar que:
|k(s0)|= l´ım h→0 Ls0+h s0−h(α 0) Ls0+h s0−h(α) .
20. Seaα:R→R2 una curva plana p.p.a. cuya curvatura es una funci´on par. Demostrar que
la traza deαes sim´etrica con respecto a la recta af´ın normal aαens=0.
21. Sea α:R→R2 una curva plana p.p.a. cuya curvatura es una funci´on impar. Demostrar
22. Consideremos las curvasα,β:R→R3dadas por:
α(t) = (1+cos(t),sen(t),cosh(t)),
β(t) = ((4/5)cos(t),1−sen(t),−(3/5)cos(t)).
Calcular el triedro de Frenet, la curvatura y la torsi´on deαyβ. ¿Est´a contenida la traza de βdentro de una circunferenciaC? En caso afirmativo, calcular el centro y el radio deC.
23. (Triedro de Frenet, curvatura y torsi´on frente a homotecias). Sea α :I→R3 una curva
regular y φ:R3→R3 la homotecia centrada en 0 de raz´on λ>0, es decir, φ(p) =λp,
para cada p∈R3. Definimos la curvaβ:I→
R3 dada porβ=φ◦α. Demostrar queβes
regular. Relacionar los triedros de Frenet, las curvaturas y las torsiones deαyβ.
24. Seaα:I→R3una curva p.p.a. con curvatura y torsi´on positivas. SeaB:I→
R3el vector
binormal deα. Determinar ´unicamente a partir deBy de sus derivadas expresiones para el
triedro de Frenet, la curvatura y la torsi´on deα.
25. (Interpretaci´on del signo de la torsi´on). Sea α: I →R3 una curva p.p.a. con curvatura positiva. Dados0∈I, se define f :I →R por f(s) =α(s)−α(s0),B(s0)
, que mide la distancia con signo de los puntos deα(I)al plano af´ın osculadorP0ens0. Calcular f(s0), f0(s0), f00(s0)y f000(s0). Deducir que siτ(s0)<0, entonces existe un entorno abiertoJ de s0enI tal queα(J∩ {s<s0})est´a en el semiespacio abierto determinado porP0 hacia el que apunta−B(s0)yα(J∩ {s>s0})est´a en el otro semiespacio. ¿Qu´e ocurre siτ(s0)>0?
26. (H´elices y teorema de Lancret). Una curva regularα:I→R3 se dice que es una h´elice
si sus rectas afines tangentes forman un ´angulo contante con un vector no nulov∈R3 (la rectaL(v)se llamaeje de la h´elice). Demostrar que sik>0 enI, entoncesαes una h´elice
si y s´olo siτ/kes constante enI.
¿Es una h´elice la curva α:R→R3 dada por α(t) = (t3/3,2t,t2)?. En caso afirmativo,
calcular su eje y el ´angulo que forman las rectas afines tangentes con dicho eje.
27. Seaα:I→R3una curva p.p.a. cuya traza est´a contenida en una esfera. Demostrar que si αtiene curvatura constante positiva entonces su traza est´a contenida en una circunferencia.
28. Sea α:I →R3 una curva p.p.a. con α(I)⊂S2. Supongamos que todas las rectas afines
binormales deαson tangentes aS2(es decir,α(s),B(s)=0 para cadas∈I). Demostrar
que la traza deαest´a contenida en un c´ırculo m´aximo deS2 (la intersecci´on deS2con un
plano vectorial).
29. Sea α:I →R3 una curva p.p.a. con curvatura positiva y traza contenida en una esfera.
Demostrar que siτ(s) =τ0 para cadas∈I, entonces existen constantes realesay btales que la curvatura deαest´a dada por:
k(s) = 1
acos(τ0s) +bsen(τ0s)
30. Sea α:I →R3 una curva p.p.a. con k(s)>0 para cada s∈I. Supongamos adem´as que
k0(s)yτ(s)nunca se anulan enI. Probar que la traza deαest´a contenida en una esfera de
radio 1 si y s´olo si se cumple: 1 k(s)2+
k0(s)2
τ(s)2k(s)4 =1, para cada
s∈I.
31. Sean α,β:I →R3 dos curvas p.p.a. tales que kβ(s) =kα(s)>0 y τβ(s) =−τα(s) para
cadas∈I. Probar que existe un movimiento r´ıgido inversoφ:R3→R3tal queβ=φ◦α.
32. Discutir razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
i) Si una curva p.p.a. en R3 tiene curvatura constante positiva entonces su traza est´a contenida en una circunferencia o en una h´elice circular.
ii) Si todas las rectas afines normales a una curva p.p.a. en R3 con curvatura positiva pasan por un mismo punto, entonces su traza est´a contenida en una circunferencia. iii) Existe una curva p.p.a. en R3 cuyas rectas afines binormales pasan por un mismo
