Los Boletos de la Rifa Plan de clase (1/2)
Escuela: _____________________________________________ Fecha: _______________ Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: MI
Contenido: 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas de reparto proporcional.
Consigna: En equipos, resuelvan los siguientes problemas:
1. Carlos y Raúl participaron en una rifa de $1200.00 y ganaron. ¿Cómo deben repartirse el dinero si para la compra del boleto Carlos cooperó con $8.00 y Raúl con $16.00? 2. En otro sorteo el premio fue de $1000.00 y para la compra del boleto Carlos puso
$10.00 y Raúl $15.00. ¿Cómo deben repartirse el dinero si desean que lo recibido sea proporcional a sus aportaciones?
Consideraciones previas:
En este plan se trata que los estudiantes utilicen procedimientos personales y se den cuenta de que una manera de lograr que un reparto sea equitativo consiste en hacer que las cantidades que se reciben sean proporcionales a las cantidades que se aportaron, es decir, que el reparto sea proporcional.
Para ello, se puede averiguar qué parte del total aportó cada persona y hacer que le toque esa misma parte pero de la cantidad a repartir.
En el problema 1, la cantidad a repartir es $1200.00, las razones del reparto son: $8.00 es a $24.00 y $16.00 es a $24.00, es decir, la primera cantidad representa
3 1 del total y la segunda 3 2
del total; así que las cantidades por recibir son $400.00 y $800.00, pues representan 3 1 y 3 2
del premio, respectivamente. Es probable que algunos resultados no correspondan a un reparto proporcional, dado que la consigna no lo establece, en tal caso, habrá distintos resultados que pueden ser correctos, siempre y cuando se expliquen los criterios bajo los cuales se obtuvieron, por ejemplo, “se dividieron el premio a la mitad, dado que la amistad que los une es más importante que la diferencia entre las cantidades que aportaron”.
Si no hacen que las cantidades recibidas sean proporcionales a lo que aportó cada uno, podría preguntarse si es posible hacer otro tipo de repartición. Por ejemplo, se les puede
pedir que observen que una persona aportó lo doble que otra e infieran que una podría recibir también lo doble que la otra.
En el problema 2 no cabría otro criterio pues desde el planteamiento del problema se estableció que el reparto sería proporcional a la aportación de cada uno, así que como una persona aportó $10 de los $25 que costó el boleto, esto es,
5 2
partes, la otra aportó $15, que representa
5 3
de $25. Por lo tanto, a una le toca 5 2
de los $1000 del premio, esto es, $400, y a la otra
5 3
, esto es $600.
El problema también se puede resolver como un problema de proporcionalidad típico, mediante el procedimiento de valor unitario o de regla de tres, lo importante es plantear correctamente las relaciones:
A $35 que costó el billete le corresponden $1000 del premio,
A $15 pesos que aportó una persona le corresponden x pesos de premio.
Cualquiera que sea el procedimiento que se use, se debe verificar que la razón que guardan las aportaciones ente sí (10/15) es igual la razón que guardan las cantidades recibidas (400/600). En este caso ambas son iguales a
3 2
.
Los elementos de un reparto proporcional son: cantidad a repartir, razones del reparto (también llamadas factores o índices del reparto) y cantidades recibidas.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Reparto Equitativo Plan de clase (2/2)
Escuela: ______________________________________________ Fecha: ______________ Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 Secundaria Eje temático: MI
Contenido: 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos expertos para resolver problemas de reparto proporcional.
Consigna: En equipos resuelvan los siguientes problemas. Usen la calculadora.
1. Tres amigos obtienen un premio de $1 000.00 en la lotería, si uno de ellos aportó $14.00, el otro $9.00 y el tercero $17.00, ¿cuánto le corresponde a cada uno, si la repartición del premio debe hacerse proporcionalmente a sus aportaciones?
2. Una empresa va a repartir $35 900.00 entre cuatro empleados, en proporción directa a su antigüedad en el trabajo. Roberto tiene dos años, Jesús 3.75 años, Macario cuatro años y Teresa 1.5 años, ¿cuánto le corresponde a cada no?
3. Cuatro amigos ganaron un premio de $15 000.00 en un sorteo y se lo repartieron proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto que costó $100.00. Al primero le tocó $2 100.00, al segundo $5 700.00, al tercero $3 300.00 y al cuarto el resto de los $15 000.00 ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra del boleto?
Consideraciones previas:
Por las cantidades en juego en estos problemas es difícil que los alumnos utilicen los procedimientos comentados en el plan anterior, por ejemplo, en el problema 1 no es fácil determinar qué parte representan 14, 9 y 17 de 40. La intención es que los alumnos busquen otras estrategias, o bien, elaboren procedimientos “expertos” como el siguiente:
Reducción a la unidad.
Se establece cuánto se invirtió en total y se averigua entonces qué cantidad de premio le corresponde a cada peso invertido. En el primer problema:
Se invirtieron $14.00 + $9.00 + $17.00 = $40.00
Entonces, dado que el premio fue de $1000.00, a cada peso invertido corresponden 1000 40 = 25 pesos de premio
$40$1 000
Posteriormente se multiplica el aporte de cada quien por 25 (factor constante) y se obtienen las cantidades recibidas.
Quien aportó $14.00, le corresponde $350.00, resultado de $14 x 25 Quien aportó $9.00, le corresponde $225.00, resultado de $9.00 x 25 Quien aportó $17, le corresponde $425.00, resultado de $17.00 x 25
Si a los alumnos no se les ocurre este procedimiento, se pueden plantear las siguientes preguntas: ¿cuánto le corresponde a cada peso invertido?, entonces, ¿cuánto le toca a cada participante?
Es probable que algunos alumnos intenten utilizar la regla de tres o bien que empleen porcentajes:
Regla de tres: 40 1 000 14 x Donde x representa la ganancia de quien aportó $14.00
Con porcentajes:
¿Qué tanto por ciento de $40.00 representa $14.00, si $40.00 es el 100% del aporte?
Una vez que se conozca esto, lo aplica a $1 000.00 para obtener la parte del premio que corresponde.
Si aparece el uso de porcentajes, se sugiere revisar el trabajo de los alumnos y hacer las precisiones necesarias, sin profundizar en el tema, ya que estos contenidos serán objeto de estudio más adelante.
El problema 2 tiene la misma estructura que el 1 y por lo tanto puede resolverse mediante la reducción a la unidad, la diferencia es que en éste se trabajan, además de naturales, también números decimales.
En relación con el problema 3 cabe mencionar que, a diferencia de los demás, se dan la cantidad a repartir y las cantidades recibidas y lo que se pide es lo que invirtió cada quien. Es importante que los alumnos adviertan que la relación entre la cantidad recibida y el total de premio es la misma que entre la cantidad invertida y el precio total del boleto. Para el caso de quien le tocó $2 100.00, se trata de averiguar qué parte de 15 000 es 2 100 y calcular la misma parte de $100.00, precio total del boleto.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
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