INTEGRALES VECTORIALES DE RIEMANN Y MCSHANE TESINA DE LICENCIATURA

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INTEGRALES VECTORIALES DE

RIEMANN Y MCSHANE

Jos´

e Rodr´ıguez Ruiz

TESINA DE LICENCIATURA

Departamento de Matem´

aticas

Universidad de Murcia

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D. José Luis Garc´ıa Hernández, director del Departamento de Ma-temáticas de la Universidad de Murcia,

CERTIFICA

que la presente memoria con t´ıtulo Integrales vectoriales de Riemann y McShaneha sido realizada por el licenciado en Matem´aticasJos´e Rodr´ıguez Ruizy constituye su tesina.

Y para que as´ı conste, en cumplimiento de la legislaci´on vigente, firmo la presente en Murcia, a 6 de septiembre de 2002.

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D.Gabriel Vera Bot´ı

CERTIFICA

que la presente memoria con t´ıtulo Integrales vectoriales de Riemann y McShaneha sido realizada bajo su dirección por el licenciado en Matemáticas José Rodr´ıguez Ruizy constituye su tesina.

Y para que as´ı conste, en cumplimiento de la legislaci´on vigente, firmo la presente en Murcia, a 6 de septiembre de 2002.

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Agradecimientos

Como suele ser habitual, parte del papel que el sufrido lector tiene entre sus manos est´a destinado a mostrar la gratitud del autor hacia aquellas personas que, de un modo u otro, han colaborado para que este trabajo vea, al fin, la luz. En primer lugar, quiero mostrar mi m´as sincero agradecimiento a Gabriel Vera, mi director, por proporcionarme la oportunidad de realizar esta tarea y, pese a la aleatoriedad de mis visitas, ser siempre un firme punto de apoyo, bien a la hora de despejar dudas, bien a la hora de ofrecer una perspectiva global de un cierto asunto.

Quisiera también reconocer la ayuda prestada por Bernardo Cascales, as´ı como su constante empuje y motivación, que sin duda me han marcado profun-damente. Asimismo, la colaboración de Mat´ıas Raja ha contribuido al enrique-cimiento de la Sección 5.2 de esta memoria.

Sirvan estas l´ıneas como homenaje a toda mi familia, mis padres, hermanos, t´ıos, abuelos... que siempre est´an ah´ı y me han ayudado permanentemente en la m´as dif´ıcil de todas las carreras: la vida.

Aunque en su ”Espacios Métricos Booleanos” ha dejado bien claro que no es partidario de semejantes muestras de afecto, no quiero pasar por alto la ocasión de manifestar mi gratitud hacia Antonio Avilés. Las largas conversaciones sobre Matemáticas, de las que sin duda he salido beneficiado, y, sobre todo, su gran amistad, justifican plenamente su inclusión en la presente ”lista”...

... en la que no puede faltar Mari ´Angeles, una buena amiga que me ofreci´o su ordenador para teclear, entre otras cosas, esta memoria.

Y, sobre todo, doy las gracias a Gloria. Por su amor, por su comprensi´on, por estar a mi lado en los d´ıas grises y soleados, por su apoyo, por su paciencia, por su confianza y, en definitiva, por todo. A esta maravillosa chica va dedicado este modesto trabajo.

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´

_{Indice General}

Introducci´on vii

I

Integral de Riemann

1

1 Definici´on y propiedades elementales 3 2 Condiciones suficientes de integrabilidad 15

2.1 Variaci´on d´ebilmente acotada . . . 15

2.2 Integrabilidad Darboux . . . 18

3 La propiedad de Lebesgue 27 3.1 Espacios de Banach con la propiedad de Lebesgue . . . 27

3.2 La propiedad d´ebil de Lebesgue . . . 31

3.3 Otros espacios sin la propiedad LP . . . 35

4 Formas débiles de la integral 39 5 Continuidad débil e integrabilidad 47 5.1 Caracterización de la propiedad de Schur . . . 48

5.2 Espacios de Banach con la propiedad [H] . . . 52

6 Integrabilidad y propiedad de Bourgain 57 7 L´ımites de sumas de Riemann 61

II

Integral de McShane

67

8 Introducci´on a la integral de McShane 69 8.1 Propiedades elementales . . . 69

8.2 El lema de Henstock . . . 73

8.3 Integrabilidad de funciones simples . . . 76

8.4 Relaci´on con la integral de Riemann . . . 77 v

(8)

vi

9 La integral de funciones escalares 81

9.1 Integrabilidad absoluta . . . 81

9.2 El teorema de la convergencia mon´otona . . . 82

9.3 Medibilidad de las funciones integrables . . . 85

9.4 La equivalencia Lebesgue-McShane . . . 88

10 Relaci´on con otras integrales 91 10.1 Integrabilidad Pettis . . . 91

10.2 Paso al l´ımite bajo la integral de McShane . . . 97

10.3 Relaci´on con la integral de Bochner . . . 107

III

Ap´

endices

117

A Complementos 119 A.1 Medida e integraci´on Lebesgue . . . 119

A.2 Medidas vectoriales . . . 122

A.3 Series incondicionalmente convergentes . . . 125

A.4 Medibilidad, integral de Bochner y Pettis . . . 127

A.4.1 Medibilidad e integraci´on Bochner . . . 127

A.4.2 Integral de Pettis . . . 129

A.5 La propiedad de Bourgain . . . 136

A.6 Espacios de Banach . . . 140

(9)

Introducci´

on

Desde sus or´ıgenes, la Teor´ıa de la Integración ha constituido una de las ramas más destacadas de la Matemática y sus aplicaciones en otros campos son múltiples y de enorme importancia. Nuestro trabajo se enmarca dentro de lo que se conoce como Integración Vectorial, que podemos definir brevemente como el estudio de técnicas de integración de funcionesf : Ω−→X, donde Ω es un espacio de medida yX un espacio vectorial topológico, en general un espacio de Banach.

Desde los trabajos iniciales de G. Birkhoff, S. Bochner, N. Dunford y B.J. Pettis en los años 30 (véase [30]), un gran número de matemáticos ha puesto toda su energ´ıa en el desarrollo de técnicas de integración vectorial como medio para estudiar propiedades topológicas y geométricas de los espacios de Banach. Hasta ahora las integrales más analizadas y de mayor impacto en la teor´ıa de espacios de Banach han sido las de Bochner (una generalización natural de la de Lebesgue) y Pettis. Nuestro trabajo versa sobre otros dos tipos de integral vectorial: las integrales de Riemann y McShane de funciones f : [a, b] −→X, dondeX es un espacio de Banach.

LaIntegral de Riemann Vectorial es la extensión natural de la cono-cida integral que se enseña a los estudiantes de primer curso de licenciatura. A ella dedicamos la primera parte de esta memoria, cuyo contenido resumimos a continuación.

En el Cap´ıtulo 1 definimos la integral de Riemann y extendemos al caso general algunas propiedades elementales. Pronto se pone de manifiesto que el caso vectorial presenta ciertas diferencias con el escalar. As´ı, existen funciones f : [a, b] −→ X integrables Riemann cuya norma kfk : [a, b] −→ R no es

integrable Riemann y que, adem´as, no son medibles Bochner. En particular, se observa que la integral de Bochner no es una extensi´on de la de Riemann, al contrario de lo que ocurre para funciones reales con la integral de Lebesgue.

En el Cap´ıtulo 2 analizamos dos condiciones suficientes para que una fun-ción sea integrable Riemann: que tenga variación débilmente acotada o que sea integrable Darboux. Adaptamos al caso vectorial la conocida caracterización de Lebesgue sobre integrabilidad Darboux y deducimos que una función acotada continua en casi todo punto es integrable Riemann. Sin embargo, el rec´ıproco no es cierto en general y el Cap´ıtulo 3está dedicado a estudiar la clase de los espacios de Banach para los que toda función integrable Riemann es continua

(10)

viii INTRODUCCI ´ON

en casi todo punto. Los ´unicos espacios conocidos con esta propiedad son los de dimensi´on finita,l1 _{y el espacio de Tsirelson. Proporcionamos ejemplos que}

desmienten la conjetura para el resto de espacios de sucesiones clásicos,C[0,1] y los espacios uniformemente convexos, además de analizar el problema para la topolog´ıa débil.

En elCap´ıtulo 4probamos que la integral de Pettis extiende a la de Riemann y hacemos un breve estudio de ciertas formas d´ebiles de la integral.

ElCap´ıtulo 5está dedicado en su totalidad a caracterizar, mediante integra-ción Riemann, un par de propiedades de los espacios de Banach relativas a la convergencia en norma de sucesiones convergentes respecto de ciertas topolog´ıas vectoriales más gruesas. Por ejemplo, y como aplicación del principal resultado de laSección 5.1, obtenemos que:

• un espacio de BanachX es de Schursi y sólo si toda función débilmente continuaf : [0,1]−→X es integrable Riemann;

• un espacio de Banach X es de dimensión finita si y sólo si toda función ω∗-continuaf : [0,1]−→X∗ es integrable Riemann.

En el Cap´ıtulo 6 demostramos que toda funci´on integrable Riemann tiene la llamada propiedad de Bourgain cuando X es real. Como consecuencia de este resultado, que creemos original, obtenemos una mejora de la afirmaci´onla integral de Pettis extiende a la de Riemann y una prueba de la compacidad de Zf ={x∗f : x∗∈BX∗}enk.k₁.

Finalizamos el bloque dedicado a la integral de Riemann con un breve resu-men (Cap´ıtulo 7) de lo que actualmente se conoce sobre los conjuntos de l´ımites de sumas de Riemann de una funci´on acotadaf : [0,1]−→X. Repasamos sin demostraciones la historia de los dos principales problemas: la existencia de l´ımites y laconvexidad del conjunto de los mismos.

La segunda parte de esta memoria est´a dedicada al estudio de la_Integral de McShane Vectorial, aunque el caso escalar ocupa un lugar importante en nuestro desarrollo.

A finales de los cincuenta, mientras trabajaba en problemas de ecuaciones diferenciales, J. Kurzweil defini´o y utiliz´o ([41]) la integral que luego se llamar´ıa

de Henstock(ointegral de Riemann generalizada) para funcionesf : [a, b]−→R.

La nomenclatura actualmente empleada es consecuencia del estudio detallado que R. Henstock hizo de la construcción de Kurzweil en [27] y [28] (probando, por ejemplo, el teorema de la convergencia monótona). La integral de Henstock (que coincide con la de Perron-Denjoy) es una extensión de la de Lebesgue, pero, en general, para una función f integrable Henstock su valor absoluto

|f| no tiene por qu´e serlo (esto asegura la existencia de funciones que no son integrables Lebesgue pero s´ı en el sentido de Henstock).

Ampliando la clase de particiones utilizada por Kurzweil, E.J. McShane ob-tuvo (en [43], dentro de un contexto mucho m´as general que el que nosotros vamos a considerar) una integral que coincide con la de Lebesgue. Aunque el

(11)

ix

caso escalar est´a sobradamente estudiado (hay tratados como [44] donde se de-sarrolla toda una teor´ıa de integraci´on McShane de funciones_Rn _−→

R –a la

postre equivalente a la de Lebesgue–), no es fácil encontrar una prueba autocon-tenida de la equivalencia entre las construcciones de McShane y Lebesgue para funciones de [a, b] en _K. Por ello hemos optado por incluir todo un cap´ıtulo (concretamente el 9) dedicado a justificar dicha equivalencia, que desempeña un papel fundamental en el resto de la memoria. A continuación resumimos el contenido de los otros dos cap´ıtulos de este bloque.

En elCap´ıtulo 8introducimos la integral de McShane vectorial, demostramos ellema de Henstock (de especial importancia en la teor´ıa), probamos que toda funci´on medible simple es integrable McShane y un hecho destacable: al igual que en el caso escalar, la integral de McShane extiende a la de Riemann.

Esto muestra la diferencia que existe en el caso vectorial entre las integrales de McShane y Bochner (que, como indicamos anteriormente, es la extensión natural de la de Lebesgue). En general, la integral de McShane es una extensión de la de Bochner y ambas integrales coinciden si y sólo si el espacio es de dimensión finita. Estos resultados son parte del contenido del Cap´ıtulo 10, que está dedicado a comentar las relaciones existentes entre las integrales de McShane, Bochner y Pettis. En laSección 10.1mostramos que la integrabilidad Pettis extiende a la de McShane. El rec´ıproco es cierto si exigimos medibilidad Bochner a la función (Sección 10.3). Para demostrarlo nos apoyamos en un dif´ıcil teorema de paso al l´ımite bajo la integral –Sección 10.2–, que nos permite deducir además los teoremas de Vitali y de la convergencia dominada para la integral de McShane. Cerramos el apartado dedicado a esta integral dando una caracterización de los espacios de Banach de dimensión finita en términos de una formafuerte del lema de Henstock.

Hemos confeccionado unApéndiceque contiene una serie de definiciones y resultados complementarios utilizados en el resto de la memoria, desglosado en una serie de apartados. La mayor´ıa son sobradamente conocidos y nos limitamos a dar el enunciado y una referencia bibliográfica. Sin embargo, se incluye la demostración de otros menos difundidos o para los que no hemos podido dar una referencia concreta.

En lo que respecta a las numerosas referencias empleadas, destacamos [21], [57] y [51] para la parte dedicada a la integral de Riemann, y [44], [22], [20] y [19] en lo que se refiere a la integral de McShane. No obstante, a lo largo de la memoria indicamos con precisión la fuente de cada resultado y proporcionamos al inicio de cada sección o cap´ıtulo las referencias elementales relativas al mismo. El presente trabajo no es una mera recopilación del material de los art´ıculos citados anteriormente o el resto de los que aparecen en la bibliograf´ıa.

Hemos ampliado y, en algunos casos, corregido algunas de las demostraciones originales (ejemplos destacados son A.4.15, 3.3.1 y 10.3.3).

Ciertos resultados han sido obtenidos de manera independiente (es decir, he-mos conseguido una prueba de ellos sin disponer de los art´ıculos donde aparecen

(12)

x INTRODUCCI ´ON

demostrados), por ejemplo 2.2.14, 3.2, 8.2.2, 8.3.1 iii), 8.4.1, 10.3.1 iii), 10.3.9 y 10.3.10. En otros casos hemos conseguido demostraciones alternativas m´as elementales o transparentes, como pueden ser 3.2.5, 6.0.4, 10.3.1 ´o 10.3.4.

Incluimos tambi´en mejoras y generalizaciones de resultados previos, como pueden ser 2.1.4, 4.0.12iii), 5.1.2iv), 5.2.5 y 6.0.2. Adem´as, creemos que 6.0.1 es un resultado original que aparece publicado aqu´ı por primera vez.

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Notaciones y convenios

Aunque la notaci´on es est´andar (la de textos como [17]), creemos conveniente hacer una serie de observaciones al respecto.

En toda la memoriaKdenota indistintamente el cuerpoR(de los n´umeros

reales) ´oC(de los n´umeros complejos).

Para nosotros unespacio de medida es una terna (Ω,Σ, µ), donde Ω es un conjunto, Σ es unaσ-´algebra en Ω yµ: Σ−→[0,∞] una medida contablemente aditiva tal que µ(∅) = 0. Denotamos por L1_{(µ) al conjunto de las funciones}

de Ω en K integrables Lebesgue. El subconjunto de las reales se representa

medianteL1

R(µ). El espacio de Banach cociente obtenido identificando funciones

integrables que coinciden en casi todo punto se denota porL1(µ). Mantenemos la misma notaci´on para una funci´on integrable y su clase de equivalencia en L1_{(µ). Si}_E_∈_{Σ, definimos Σ}

E ={A∩E: A∈Σ} yµE=µΣE.

Si A, B ∈Σ son medibles, decimos que A est´a contenido esencialmente en B siµ(A\B) = 0.

La medida (resp. exterior) de Lebesgue se representa mediante m (resp. m∗) y la σ-´algebra de Lebesgue de [a, b] mediante Σ. Un subconjunto medible E⊂[a, b] esconulosim([a, b]\E) = 0.

SiE⊂Ω, sufunci´on caracter´ısticaviene dada porχE: Ω−→R,χE(x) = 0

si x6∈E y χE(x) = 1 six∈E. SiV es un espacio vectorial yf : Ω−→V es

una aplicaci´on, definimosχEf como la funci´on que vale 0 fuera deEy coincide

con f enE.

En toda la memoriaX representa un espacio de Banach arbitrario sobreK

(es decir, puede ser tanto real como complejo). Las excepciones a esta regla se indican convenientemente. El dual topol´ogico se representa medianteX∗,BXes

el conjunto de elementos de X de norma menor o igual que 1 y SX el formado

por los de norma 1. La topolog´ıa d´ebil de X (resp. d´ebil estrella de X∗_{) la}

denotamos por ω ´oσ(X, X∗) (resp. ω∗ ´o σ(X∗, X)). Si no se dice lo contrario la topolog´ıa del espacio X que consideramos es la inducida por la norma (por ejemplo, si escribimos limnxn =xnos referimos a la topolog´ıa normada). Una

inmersi´on de espacios de Banach es una aplicaci´on linealT :X−→Y que es un homeomorfismo entreX yT(X). Obtenemos unrenormamiento de un espacio de Banach cuando cambiamos la norma original por otra equivalente (es decir, que induce la misma topolog´ıa).

Para cadan∈Ndefinimosen= (δi,n)i∈N∈ {0,1}N, dondeδi,n representa la

delta de Dirac: δi,n= 0 sii6=n,δn,n= 1.

Unatopolog´ıa vectorialτen un espacio vectorialV es una topolog´ıa (no nece-sariamente Hausdorff) que hace continuas a las operaciones de suma y producto por escalares del espacio V. El par (V, τ) se diceespacio vectorial topol´ogico.

Elinteriorde un subconjuntoAde un espacio topol´ogico se denota mediante int(A), su adherencia o clausura medianteA.

En toda la memoria [a, b] es un intervalo cerrado y acotado de _R. Salvo que se diga lo contrario todos los intervalos son no degenerados (es decir, no unipuntuales).

(14)

(15)

Parte I

Integral de Riemann

(16)

(17)

Cap´ıtulo 1

Definici´

on y propiedades

elementales

Se llamapartici´on de Riemann de [a, b] a una colecci´on

P={([ai, bi], si) :i= 1, . . . , n}

donde

• {[ai, bi]}i=1,...,n es un conjunto de subintervalos de [a, b] (lossubintervalos

deP) que no se solapan (es decir, la intersecci´on de dos distintos es como mucho un punto) cuya uni´on es [a, b]. El conjunto de extremos de estos intervalos se llama conjunto de puntos deP y lo denotaremos mediante e(P).

• si∈[ai, bi] para cadai= 1, . . . , n. Se llamar´anpuntos intermedios de la

partici´on y su conjunto lo denotaremos port(P). Normalmente escribire-most(P) ={s1, . . . , sn}(aunque haya repeticiones).

Lanorma de la partici´on se define como

|P|= max{bi−ai:i= 1, . . . , n}.

Sea P0 _{otra partici´}_{on de Riemann del intervalo [a, b]. Diremos que} _P0 _es_m´_as

fina queP sie(P)⊂e(P0_).

Sea ahoraf : [a, b]−→X una funci´on. La suma de Riemann def asociada a la partici´onP se define como

f(P) =

n X i=1

(bi−ai)f(si).

En otras ocasiones escribiremos abreviadamentef(P) =Pn_i₌₁m(Hi)f(si) para

Hi= [ai, bi] ym(Hi) =bi−ai.

(18)

4 CAP´ITULO 1. DEFINICI ´ON Y PROPIEDADES ELEMENTALES

Denotaremos el conjunto de las particiones de Riemann del intervalo [a, b] me-diante Π[a, b]. De aqu´ı en adelante, salvo que se diga lo contrario, cuando hablemos de unapartici´on de Riemann nos estaremos refiriendo a unapartici´on de Riemann del intervalo [a, b].

Definici´on 1.0.1. Seaf : [a, b]−→X una funci´on. Diremos que es integrable Riemann en [a, b] con integral z ∈ X si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

i) Para cada >0 existe δ >0 tal que, para toda partici´on de Riemann P

de norma menor que δ,

kf(P)−zk< .

ii) Para cada > 0 existe una partici´on de Riemann P tal que, para toda

P ∈Π[a, b]m´as fina queP,

kf(P)−zk< .

Demostramos la equivalencia como en [21, Teorema 3].

Proposici´on 1.0.2. Para una funci´on f : [a, b] −→ X las dos condiciones anteriores son equivalentes e implican quef es acotada.

Demostraci´on. i)⇒ii) Sea >0. Existeδ >0 tal quekf(P)−zk< para cada

P ∈Π[a, b] de norma menor queδ. FijamosP0∈Π[a, b] de norma menor queδ.

Si P es una partici´on de Riemann m´as fina queP0 es claro que |P| ≤ |P0|< δ

y as´ıkf(P)−zk< .

Antes de probar la otra punta de flecha afirmamos que si f satisface ii), entonces est´a acotada. En efecto: tomemos una partici´on de Riemann

P0={([ai, bi], si) :i= 1, . . . , n}

tal que kf(P)−zk <1 para cada P ∈Π[a, b] m´as fina que P0. Para ver que

f es acotada basta comprobar que lo est´a en cada uno de los subintervalos de

P0. Fijamos 1≤i≤n. Para cadat∈[ai, bi] definimos la partici´onPt∈Π[a, b]

como aquella que tiene como subintervalos los deP0 y puntos intermedios

sj∈[aj, bj] para cadaj=6 i y t∈[ai, bi].

Evidentemente, Pt es m´as fina que P0 y por tanto kf(Pt)−zk <1. Adem´as

kf(P0)−zk<1 y, entonces,kf(Pt)−f(P0)k<2. Pero f(Pt)−f(P0) = (bi−ai)(f(t)−f(si)), lo que implica kf(t)−f(si)k< 2 bi−ai .

Esta desigualdad es v´alida para todo t ∈ [ai, bi] y as´ıf es acotada en dicho

(19)

5

ii)⇒i) Por la observaci´on anterior existeM >0 tal que kf(t)k< M para todo t∈[a, b].

Dado >0, seaP0∈Π[a, b] tal quekf(P)−zk < ₂ para cadaP ∈Π[a, b]

m´as fina queP0. Afirmamos que para cadaP ∈Π[a, b]

|P|< δ:=

4M(n+ 1) ⇒ kf(P)−zk< , dondenes el n´umero de subintervalos deP0.

En efecto, seaP ∈Π[a, b] tal que |P|< δ. Escribimos

P0={([ai, bi], si) :i= 1, . . . , n}

P ={([ci, di], ti) :i= 1, . . . , m}.

Definimos el conjunto Y de los pares (i, j)∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , m} tales que [ai, bi]∩[cj, dj] =: Ii,j no es ni vac´ıo ni un punto. Construimos la siguiente

partici´on auxiliarP1∈Π[a, b]

P1={(Ii,j, ri,j) : (i, j)∈Y},

donde para cada (i, j)∈Y

• SiIi,j= [cj, dj], entoncesri,j:=tj.

• En caso contrario tomamosri,j∈Ii,j arbitrario.

Observamos que kf(P)−f(P1)k = m X j=1 (dj−cj)f(tj)− X (i,j)∈Y

m(Ii,j)f(ri,j) = m X j=1 X 1≤i≤n (i,j)∈Y

m(Ii,j) (f(tj)−f(ri,j)) ≤ m X j=1 X 1≤i≤n (i,j)∈Y Ii,j6=[cj,dj]

m(Ii,j)kf(tj)−f(ri,j)k

≤ 2M m X j=1 X 1≤i≤n (i,j)∈Y Ii,j6=[cj,dj] m(Ii,j) ≤ 2MX j∈J (dj−cj), (1.1)

donde J es el conjunto de los j ∈ {1, . . . , m} para los que existe un 1≤i≤n tal que (i, j) ∈Y y [cj, dj]6=Ii,j (es decir, (cj, dj)∩e(P0)6=∅). Comoe(P0)

(20)

De la desigualdad anterior se desprende que

kf(P)−f(P1)k<2M(n+ 1)|P|<

2

por la elección deδ. Por construcciónP1 es más fina queP0 y as´ı

kf(P)−zk ≤ kf(P1)−zk+kf(P)−f(P1)k<

2+

2 =.

Sif es integrable Riemann, la unicidad del vectorzque aparece en la defini-ci´on es obvia. Lo llamaremosintegral def en [a, b] y lo denotaremos mediante

Rb

af ´o (R) Rb

a f. Otra notaci´on que conviene fijar es: Ra

b f :=− Rb

af.

Es evidente que Π[a, b] puede ser preordenado de dos formas: 1. P 1P0 si y s´olo si|P0| ≤ |P|.

2. P 2P0 si y s´olo sie(P)⊂e(P0).

Proposici´on 1.0.3. (Π[a, b],1)y (Π[a, b],2)son conjuntos dirigidos. Dada

una funci´onf : [a, b]−→X podemos definir dos redes

S_f1: (Π[a, b],1)−→X y Sf2: (Π[a, b],2)−→X

mediante S1

f(P) =Sf2(P) =f(P). Son equivalentes:

i) f es integrable Riemann en[a, b]. ii) La redS1

f es convergente.

iii) La red S2

f es convergente.

En tal caso la integral y los l´ımites de las redes coinciden.

Demostraci´on. Es elemental. Veamos por ejemplo que (Π[a, b],2) es dirigido.

En efecto, seanP,P0_∈_{Π[a, b], que representamos}

P ={([ai, bi], si) :i= 1, . . . , n},

P0 ={([ci, di], ti) :i= 1, . . . , m}.

Definimos, como en la prueba precedente, el conjunto Y de los pares (i, j) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , m} tales que [ai, bi]∩[cj, dj] =: Ii,j no es ni vac´ıo ni un

punto. Definimos ahoraP00_∈_{Π[a, b] mediante}

P1={(Ii,j, ri,j) : (i, j)∈Y}

(21)

7

La completitud del espacioX nos permite dar el siguiente criterio de Cauchy [21, Teorema 5]. La condicióniv) (aparentemente más débil) nos será de gran utilidad en lo sucesivo.

Proposici´on 1.0.4. Para una funci´onf : [a, b]−→X son equivalentes: i) f es integrable Riemann en[a, b].

ii) Para cada > 0 existe δ > 0 tal que si P1,P2 ∈ Π[a, b] tienen norma

menor queδ, entonceskf(P1)−f(P2)k< .

iii) Para cada > 0 existe P ∈ Π[a, b] tal que si P1,P2 ∈ Π[a, b] son m´as

finas queP, entonceskf(P1)−f(P2)k< .

iv) Para cada >0 existe P ∈Π[a, b] tal que si P1,P2 ∈Π[a, b] satisfacen

e(P1) =e(P2) =e(P), entonceskf(P1)−f(P2)k< .

Demostración. i)⇔ii) yi)⇔iii) son consecuencia de la condición de Cauchy para redes y la proposición 1.0.3.

iii)⇒iv) es evidente.

iv)⇒iii) Sea >0 fijo. Por hip´otesis existeP∈Π[a, b] tal que para cada

parP1,P2∈Π[a, b] con los mismos puntos quePtenemoskf(P1)−f(P2)k< ₂.

EscribimosP={([ai, bi], si) :i= 1, . . . , n}y definimos la partici´on auxiliar

P0={([ai, bi], ai) :i= 1, . . . , n}.

Vamos a demostrar a continuaci´on que para cada P ∈Π[a, b] m´as fina que P

se cumplekf(P)−f(P0)k< ₂ (con esta afirmaci´on la prueba termina).

En efecto, tomamosP ={([cj, dj], tj) :i= 1, . . . , m}m´as fina queP. Existe

una partici´on de{1, . . . , m}, digamos J1, . . . , Jn, tal que para cada 1≤i≤n

[ai, bi] = [ j∈Ji [cj, dj]. Por lo tanto f(P0)−f(P) = n X i=1 (bi−ai)f(ai)− m X j=1 (dj−cj)f(tj) = n X i=1  (bi−ai)f(ai)− X j∈Ji (dj−cj)f(tj)   = n X i=1 X j∈Ji (dj−cj)(f(ai)−f(tj)) = n X i=1 X j∈Ji dj−cj bi−ai (bi−ai)(f(ai)−f(tj)). (1.2)

(22)

Es decir,f(P0)−f(P)∈

Pn

i=1co(Ri), siendo

Ri={(bi−ai)(f(s)−f(t)) :t, s∈[ai, bi]},

Por otra parte afirmamos

n X i=1 co(Ri)⊂co( n X i=1 Ri). (1.3)

En efecto: es inmediato (razonando por inducci´on enn) que nos podemos reducir al caso n= 2. Sean x∈ co(R1) e y ∈co(R2). Existen f1, . . . , fr, g1, . . . , gs ∈

[0,1] tales que Pr_k₌₁fk = 1, Ps_l₌₁gl = 1, x = P_kfkxk e y = P_lglyl para

ciertosx1, . . . , xr∈R1ey1, . . . , ys∈R2. Es inmediato comprobar que

x+y=X

k,l

(fkgl)(xk+yl)

y, adem´as, 1 = (P

kfk) (Plgl) =Pk,lfkgl, lo que prueba la afirmaci´on.

Volviendo aiv)⇒iii), tenemos entonces quef(P0)−f(P)∈co(Pn_i₌₁Ri).

Para concluir vamos a ver que

x∈co n X i=1 Ri ! ⇒ kxk< 2

En efecto, por la convexidad de las bolas enX basta probar que six∈Pn_i₌₁Ri

entonceskxk<₂. Evidentemente

n X i=1

Ri={f(P1)−f(P2) :P1,P2∈Π[a, b] tales quee(P1) =e(P2) =e(P)}

est´a formado por elementos de norma menor que

2 por la elecci´on deP. Esto

completa la prueba.

A continuaci´on extendemos al caso vectorial unas sencillas propiedades so-bradamente conocidas de la integral de Riemann de funciones reales, tal y como sugiere R.A. Gordon en [21, Teoremas 7-8].

Observaci´on 1.0.5. Sea x∈X fijo. Sea f : [a, b]−→X la funci´on constante con imagen{x}. Entoncesf(P) = (b−a)xpara cadaP ∈Π[a, b]y, por tanto,f

es integrable Riemann yR_abf = (b−a)x. Emplearemos la notaci´onR_abx:=R_abf.

Proposici´on 1.0.6. Sean f : [a, b] −→X integrable Riemann y [c, d]⊂[a, b]. Entoncesf [c,d] es integrable Riemann en[c, d].

Nota 1.0.7. Denotaremos de igual modo a una funci´onf y a cualquier restric-ci´on suya.

(23)

9

Demostraci´on. Es simple consecuencia del criterio de Cauchy 1.0.4. Si > 0, tomamos δ >0 tal que kf(P1)−f(P2)k < para todo par de particiones de

Riemann de [a, b] de norma menor queδ. Dadas ahoraP,P0_∈_{Π[c, d] tales que}

|P|,|P0_|_{< δ, podemos encontrar} _P

1,P2 ∈ Π[a, b] de norma menor que δ tales

que

f(P1)−f(P2) =f(P)−f(P0).

La construcci´on es obvia: seanPlyPrparticiones de Riemann de norma menor

queδde los subintervalos [a, c] y [d, b] respectivamente (si alguno es degenerado no lo consideramos en el razonamiento). Entonces los subintervalos deP1(resp.

P2) ser´an los de P (resp. P0) m´as los de Pl y Pr; los puntos intermedios

asociados a P1 (resp. P2) ser´an los de P (resp. P0) junto con los de Pr y

Pl.

Proposici´on 1.0.8. Seanf : [a, b]−→X una funci´on y a < c < b. Entonces

f es integrable Riemann en [a, b] si y s´olo si f [a,c] y f [c,b] son integrables

Riemann en [a, c] y[c, b]respectivamente. En tal caso

Z b a f = Z c a f+ Z b c f.

Demostraci´on. Una implicaci´on es consecuencia del resultado precedente. Para ver el rec´ıproco fijamos > 0 y un par de particiones P1 ∈ Π[a, c],

P2∈Π[c, b] tales que siP ∈Π[a, c] (resp. P ∈Π[c, b]) es m´as fina queP1(resp.

P2), entonces f(P)− Z c a f < 2 y respectivamente f(P)− Z b c f < 2.

Sea ahoraP0∈Π[a, b] definidaensamblando P1yP2(es decir, sus subintervalos

son los de P1 m´as los deP2, y sus puntos intermedios los deP1 m´as los de P2

–asociados a los subintervalos correspondientes–). Si ahora P ∈Π[a, b] es m´as fina que P0 resulta que e(P1)∪e(P2)⊂e(P),c ∈e(P) y podemos construir a

partir de P dos particiones P0

1∈Π[a, c] yP20 ∈Π[c, b] del modo siguiente:

• P0

1 tiene como subintervalos los de P contenidos en [a, c], y como puntos

intermedios los que tieneP asociados a los anteriores intervalos.

• P0

2 tiene como subintervalos los deP contenidos en [c, b], y como puntos

intermedios los que tieneP asociados a aqu´ellos. Es claro que P1 P10 yP2 P20. Por tanto

f(P)− Z c a f− Z b c f = f(P0 1)− Z c a f + f(P0 2)− Z b c f ! < .

Esto prueba la otra implicaci´on y laaditividad respecto del intervalo de integra-ci´on.

(24)

Proposici´on 1.0.9. El conjunto R([a, b], X) de las funciones de [a, b] en X

integrables Riemann es un espacio vectorial y la integral es una forma lineal sobre ´el.

Demostraci´on. Trabajamos con las notaciones de la proposici´on 1.0.3. Sif, g∈

R([a, b], X) yv, w∈K, entonces la funci´onh=vf+wg: [a, b]−→X satisface

para cadaP ∈Π[a, b]

S_h1(P) =vS_f1(P) +wS1_g(P). Por hip´otesis existen los l´ımites (en norma)

Z b a f = limS1_f y Z b a g= limS_g1.

La continuidad de la suma y el producto por escalares enX implica que existe el l´ımite de la redS1_hy valevR_abf+wR_abg.

Proposici´on 1.0.10. Seaf : [a, b]−→X una funci´on integrable Riemann. Sea

M una cota superior dekfk en[a, b]. Entonces

Z b a f ≤M(b−a).

Si adem´askfk: [a, b]−→Res integrable Riemann,

Z b a f ≤ Z b a kfk.

Demostraci´on. SeaP ∈Π[a, b] arbitraria. Si

P ={([ai, bi], si) :i= 1, . . . , n}, entonces kf(P)k= n X i=1 (bi−ai)f(si) ≤ n X i=1 (bi−ai)kfk(si) =kfk(P)≤M(b−a).

Esta desigualdad (válida para toda partición de Riemann del intervalo) y la proposición 1.0.3 finalizan la prueba.

Hasta ahora todo lo que hemos visto guarda un claro paralelismo con las propiedades de la integral de Riemann de funciones reales. A continuación mostramos que una de ellas no se preserva en el caso general: la integrabilidad absoluta. El siguiente ejemplo [21, Ejemplo 14] reúne diversas patolog´ıas de la integral de Riemann vectorial que serán analizadas con detalle en los Cap´ıtulos 2 (sección 2.2) y 3.

(25)

11

Ejemplo 1.0.11 (B.J. Pettis, 1938). Sea B[a, b] el espacio de Banach de las funciones reales acotadas definidas en[a, b] (con la norma del supremo). Si

E ⊂[a, b]no es medible Lebesgue, consideramos la funci´onf : [a, b]−→B[a, b]

definida por f(t) =χ{t} si t ∈ E, f(t) = 0 en caso contrario. Entonces f es

integrable Riemann, mientras quekfk no es medible Lebesgue (y, por tanto, no puede ser integrable Riemann).

Demostraci´on. Veamos en primer lugar la integrabilidad. SeanP,P0 _∈_{Π[a, b]}

con los mismos subintervalos {[ai, bi]}1≤i≤n y puntos intermedios (si)1≤i≤n y

(ti)1≤i≤n, respectivamente. Supongamos que bi−ai =dpara todo 1≤i≤n.

Un punto x∈[a, b] puede coincidir como mucho con dos de los (si) y con dos

de los (ti). Por tanto

kf(P)−f(P0)k = n X i=1 (bi−ai)(f(si)−f(ti)) = d n X i=1 (χ{si}∩E−χ{ti}∩E) ≤ 2d.

Esta desigualdad, junto con el criterioiv) de la proposici´on 1.0.4, proporcio-na la integrabilidad Riemann def.

Por otro lado, la elecci´on de E garantiza que kfk = χE no es medible

Lebesgue.

Presentamos a continuación una versión preliminar delteorema fundamental del cálculo para la integral de Riemann [21, Teorema 8]. Recuérdese que una funciónf : [a, b]−→X se dicelipschitziana (con constante de LipschitzL >0) cuando

kf(t)−f(s)k ≤L|t−s|

para cadat, s∈[a, b]. En tal casof es continua.

Proposici´on 1.0.12. Sea f : [a, b] −→ X integrable Riemann. Definimos su funci´on integral indefinida mediante F(t) := Rt

af para a < t ≤b, F(a) = 0.

Entonces:

• F es lipschitziana en[a, b].

• Sif es continua en un punto t∈[a, b], entonces existeF0_{(t) =}_f_(t)_.

Demostraci´on. Veamos en primer lugar la lipschitzianidad de F. Sea M una cota superior dekfken [a, b]. Para cualquier part < sen [a, b] las proposiciones 1.0.8 y 1.0.10 nos muestran que

kF(s)−F(t)k= Z s t f ≤M(s−t).

(26)

Vamos a probar la segunda afirmaci´on del enunciado. Supongamos quet∈[a, b] es un punto de continuidad def. Para cadah∈_R∗_{tal que}_t_+h_∈_{[a, b] tenemos}

la siguiente igualdad F(t+h)−F(t) h −f(t) = 1 h Z t+h a f− Z t a f− Z t+h t f(t) ! = 1 h Z t+h t (f−f(t)),

por la linealidad de la integral y la aditividad con respecto al intervalo de inte-graci´on.

Fijemos ahora > 0. La continuidad de f en t nos dice que existe un δ >0 tal que para cada h∈_R∗ _{que verifique}_|_h_|_{< δ} _y _t₊_h_∈_{[a, b] entonces}

kf(t+h)−f(t)k< . Para un talhobtenemos que

F(t+h)−F(t) h −f(t) ≤ 1 |h|(|h|) =

en virtud de la proposici´on 1.0.10. Esto finaliza la prueba.

La composici´on de una funci´on integrable Riemann con un elemento del dual es integrable Riemann [21, Teorema 7]. Esta es la principal consecuencia de la siguiente

Proposición 1.0.13. Sea f : [a, b] −→ X una función integrable Riemann. Sea T :X −→Y un operador continuo entre espacios de Banach. Entonces la composiciónT f es integrable Riemann en[a, b] y

Z b a T f =T Z b a f ! .

En particular, para cada x∗ ∈ X∗ la funci´on x∗f : [a, b] −→ _K es integrable Riemann con integral R_abx∗f =x∗R_abf.

Demostraci´on. SiT = 0 el resultado es trivial. Supongamos entonces quekTk> 0 y fijemos >0 arbitrario. Seaδ >0 tal quekf(P)−Rb

a fk<

kTk para cada

P ∈Π[a, b] de norma menor queδ. Dada una partici´on cualquiera P ∈Π[a, b] tenemos (T f)(P) =T(f(P)) y, si adem´as tiene norma menor queδ,

(T f)(P)−T Z b a f ! ≤ kTk f(P)− Z b a f < .

Como una pequeña aplicación demostramos el siguiente resultado a partir del teorema fundamental del cálculo para la integral de Riemann de funciones reales, simplificando la prueba de [21, Teorema 16], que se apoya en la integral de Bochner.

(27)

13

Proposici´on 1.0.14 (Graves, 1927). Si f : [a, b]−→X es derivable en todo punto y f0: [a, b]−→X es integrable Riemann en[a, b], entonces

f(t)−f(a) =

Z t

a

f0

para cada t∈[a, b].

Demostración. Six∗∈X∗, la funciónx∗fes derivable en todo [a, b] con derivada (x∗f)0(t) =x∗(f0(t)). La integrabilidad Riemann def0 implica que la derivada (x∗f)0 es integrable Riemann (proposición 1.0.13) y podemos concluir que para todo t∈[a, b] x∗(f(t)−f(a)) =x∗f(t)−x∗f(a) = Z t a x∗(f0) =x∗ Z t a f0 .

Aplicando el teorema de Hahn-Banach tenemos el resultado deseado.

Es sencillo adaptar a nuestro contexto la prueba del caso real del teorema de cambio de variable para la integral de Riemann.

Proposici´on 1.0.15 (Cambio de variable). Sea f : [a, b]−→ X integrable Riemann. Sea φ : [c, d] −→ [a, b] estrictamente creciente de clase C1 _{tal que}

φ(c) =ay φ(d) =b. La funci´on g: [c, d]−→X definida por

g(s) =φ0(s)f(φ(s)) es integrable Riemann en[c, d] y Z d c g= Z b a f.

Demostraci´on. SeanM yKcotas superiores dekfky|φ0|en [a, b]. SiP ∈Π[c, d]

P ={([ci, di], si) :i= 1, . . . , n},

entonces la monoton´ıa deφnos permite construir una partici´on

Pφ={([φ(ci), φ(di)], φ(si)) :i= 1, . . . , n} ∈Π[a, b].

El teorema de los valores intermedios de Lagrange implica que|Pφ| ≤K|P|y

f(Pφ) = n X i=1 (φ(di)−φ(ci))f(φ(si)) = n X i=1 φ0(ti)(di−ci)f(φ(si)) = g(P)− n X i=1 (di−ci)(φ0(si)−φ0(ti))f(φ(si))

(28)

para ciertosti∈[ci, di]. Por tanto g(P)− Z b a f ≤ f(Pφ)− Z b a f +M n X i=1 (di−ci)|φ0(si)−φ0(ti)|.

Es claro que el resultado se sigue de la integrabilidad de f, la desigualdad

(29)

Cap´ıtulo 2

Condiciones suficientes de

integrabilidad

En este cap´ıtulo vamos a analizar un par de condiciones que garantizan la integrabilidad Riemann de una funci´on f : [a, b] −→ X. La referencia b´asica que hemos seguido es [21].

Recordemos que una funci´onf : [a, b]−→Kse dicede variaci´on acotada si

existe una constanteK >0 tal que para cada colecci´on finita de subintervalos de [a, b] que no se solapen,{[ai, bi]}1≤i≤n,

n X i=1

|f(bi)−f(ai)| ≤K.

En el casoX =_Rlos siguientes hechos son sobradamente conocidos:

• Las funciones de variaci´on acotada son integrables Riemann [2, 7.28].

• Una funci´on es integrable Riemann si y s´olo si es acotada y continua en casi todo punto (teorema de Lebesgue, [48, 5.27]).

Al considerar el caso vectorial la primera afirmación sigue siendo válida y, de hecho, la hipótesis se puede debilitar (véase la proposición 2.1.3). Extender el segundo resultado no es, en general, posible, aunque sigue siendo cierto el si

(corolario 2.2.8). El estudio de la validez, para un espacio de Banach X, del teorema de caracterizaci´on de Lebesgue ocupar´a una parte sustancial de esta memoria, en concreto todo el Cap´ıtulo 3.

2.1 Variaci´

on d´

ebilmente acotada

Volvamos por un momento al ejemplo 1.0.11. Un vistazo permite apreciar quef tiene una propiedad especial que nos permite obtener, a partir del criterio de Cauchyiv) (1.0.4), su integrabilidad Riemann: la existencia de una constante

(30)

16 CAP´ITULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD

K >0 (que s´olo depende def; en el citado ejemplo tomamos K = 2) tal que para cada familia finita de subintervalos de [a, b] que no se solapen, digamos

{[ai, bi]}1≤i≤n, n X i=1 (f(bi)−f(ai)) ≤K.

Definición 2.1.1. Una funciónf : [a, b]−→X que posea la anterior propiedad se llamará de variación débilmente acotada (abreviadamente VDA).

A continuaci´on justificamos esta terminolog´ıa.

Lema 2.1.2. Para una funci´on f : [a, b]−→X son equivalentes: i) f es de VDA.

ii) Para cadax∗∈X∗ la funci´onx∗f es de variaci´on acotada.

Demostraci´on. i)⇒ii) Fijemos x∗ ∈X∗ y una familia de subintervalos como en la definici´on precedente. Por A.7.1 existe una constanteC > 0 (universal, que podemos tomarπ) y un subconjuntoS⊂ {1, . . . , n}tal que

n X i=1 |x∗f(bi)−x∗f(ai)| ≤ C X i∈S x∗f(bi)−x∗f(ai) = C x∗ X i∈S (f(bi)−f(ai)) ! ≤ Ckx∗k X i∈S (f(bi)−f(ai)) ≤ Ckx∗kK,

siendoKuna constante que satisfaga las condiciones de la definición de función de VDA. Esto prueba quex∗f es de variación acotada.

ii)⇒i) S´olo necesitamos comprobar que el conjunto Ade las sumas de la formaP

i(f(di)−f(ci)), donde{[ci, di]}ies una colecci´on finita de subintervalos

de [a, b] que no se solapan, esacotado. Por elprincipio de la acotaci´on uniforme

A est´a acotado si y s´olo si x∗_{(A) es acotado para cada} _x∗ _∈ _X∗_{. Para verlo}

fijamos x∗ ∈ X∗. Por hipótesis x∗f es de variación acotada. Sea K > 0 (dependiente dex∗) una constante que satisfaga la condición de la definición de función de variación acotada mencionada anteriormente. Tenemos

x∗ X i (f(di)−f(ci)) ! ≤X i |x∗f(di)−x∗f(ci)| ≤K

para cada colecci´on finita de subintervalos que no se solapen. Por lo tantox∗(A) es acotado (para cadax∗∈X∗) yf es de VDA.

Repitiendo el argumento dado en el ejemplo que origin´o esta discusi´on vamos a probar (siguiendo [21, Teorema 9]) la siguiente

(31)

2.1. VARIACI ´ON D ´EBILMENTE ACOTADA 17

Proposici´on 2.1.3 (Alexiewicz-Orlicz). Seaf : [a, b]−→X una funci´on de VDA. Entonces es integrable Riemann en[a, b].

Demostraci´on. Empleamos el criterio de Cauchy 1.0.4. Sean >0 arbitrario y K >0 una cota superior de la norma de los elementos del conjunto de las sumas

P

i(f(di)−f(ci)), donde{[ci, di]}i es una colecci´on finita de subintervalos que

no se solapan. Fijamosn∈Ntal que ∆ := b−na <

K y una partici´onP0∈Π[a, b]

P0={([ai, bi], si) :i= 1, . . . , n}

de modo quebi−ai= ∆ para todo 1≤i≤n. Entonces, siP1,P2∈Π[a, b] son

de la forma P1={([ai, bi], ri) :i= 1, . . . , n}, P2={([ai, bi], ti) :i= 1, . . . , n} resulta que kf(P1)−f(P2)k= n X i=1 (bi−ai)(f(ri)−f(si)) = ∆ n X i=1 (f(ri)−f(si)) <

Aplicando 1.0.4 tenemos la integrabilidad Riemann def.

El rec´ıproco no es cierto, como mostramos en el siguiente ejemplo (que ge-neraliza uno de R. Rejouani [21, Ejemplo 11]).

Ejemplo 2.1.4. Sean1< p <∞ y Q= [0,1]∩Q={rn:n∈N}. Definimos

f : [0,1]−→lp _como_f_(r

n) =en para cadan, f(t) = 0 para t6∈Q. Entonces

existe R1

0 f = 0 perof no es de VDA.

Demostraci´on. Sea 1< q <∞tal que 1_p+1_q = 1. Fijamos >0 arbitrario. Sea

P ={([ai, bi], si) :i= 1, . . . , n} ∈Π[0,1]

de norma menor que δ= ₂q. SeaJ el conjunto de ´ındices correspondientes a los puntos intermedios de la partici´on que son racionales, y para cadaj∈J sea rnj el correspondiente punto intermedio. Existe una partici´onJ1, . . . , JN deJ

de manera que ni = nj para i, j ∈ Jk y ni 6= nj si i ∈ Jr, j ∈ Js y r 6= s.

Observamos que |Jk| ≤ 2 para todo k (un punto intermedio no puede estar

asociado a m´as de dos subintervalos de P) y N ≤ n. Para cada k definimos N(k) =ni sii∈Jk. Entonces X j∈J (bj−aj)enj = N X k=1   X j∈Jk (bj−aj)  eN(k).

(32)

Comop >1, tenemos (c+d)p_≤₂p−1_(cp₊_dp_{) para cada}_{c, d}_≥_{0. As´ı,}

kf(P)k= X si∈Q (bi−ai)f(si) = X j∈J (bj−aj)enj = N X k=1   X j∈Jk (bj−aj)  eN(k) =   N X k=1   X j∈Jk (bj−aj)   p  1 p ≤   N X k=1 2p−1   X j∈Jk (bj−aj)p     1 p ≤ 21q   N X k=1 (X j∈Jk (bj−aj)|P|p−1)   1 p ≤ (2|P|)1q   N X k=1 (X j∈Jk (bj−aj))   1 p = (2|P|)1q < .

Esto prueba la integrabilidad Riemann def en [0,1], con integral 0.

Pasamos ahora a ver que no es de VDA. Para ello tomamosn∈Narbitrario

y consideramos la familia de subintervalos (que no se solapan)

{[qk, yk] : 0≤k≤n−1}, donde cada qk, yk ∈ a+kb−_na, a+ (k+ 1)b−_na , qk = rnk es racional e yk es irracional. Entonces n X i=1 (f(qi)−f(yi)) = n X i=1 eni =n1p_.

Haciendo crecernarbitrariamente se observa quef no es de VDA.

2.2 Integrabilidad Darboux

Como anunciamos con anterioridad, vamos a demostrar que una funci´on

f : [a, b] −→ X acotada y continua en casi todo punto es integrable Riemann. Para ello adaptamos al caso vectorial el concepto cl´asico de integrabilidad Dar-boux, que en el caso de funciones escalares coincide con el de integrabilidad en sentido Riemann. Dicha coincidencia para un espacio de Banach X es, como

(33)

2.2. INTEGRABILIDAD DARBOUX 19

veremos m´as adelante, equivalente a la validez del cl´asicoteorema de Lebesgue

para funciones integrables Riemann.

Antes de nada recordamos una serie de conceptos.

Definición 2.2.1. Sean(T, τ)un espacio topológico y(X, d)un espacio métrico. Consideramos una funciónf :T −→X.

i) Si S⊂T, llamaremos oscilaci´ondef en S a

w(f, S) = sup

s,s0_∈_S

d(f(s), f(s0)).

ii) Sit∈T, se define la oscilaci´ondeF enT como

w(f, t) = inf

U∈(t)w(f, U),

donde(t) denota la familia de entornos deten (T, τ). Admitimos que puedan tomar como valor +∞.

Resumimos a continuaci´on una serie de propiedades elementales. Proposici´on 2.2.2. En las anteriores condiciones

i) Si S⊂S0_⊂_T_{, entonces} _{w(f, S)}_≤_{w(f, S}0₎_.

ii) SiB es una base de entornos det en(T, τ), se tiene

w(f, t) = inf

U∈Bw(f, U).

iii) Si T = [a, b]con la topolog´ıa ordinaria y t∈(a, b), entonces

w(f, t) = lim

δ→0+w(f,[t−δ, t+δ]).

iv) f es continua en un punto t∈T si y s´olo si w(f, t) = 0. v) Para cadaa >0 el conjunto{t∈T :w(f, t)< a} es abierto.

vi) Denotamos por Cont(f, τ) el conjunto de puntos de continuidad de f. EntoncesCont(f, τ) es un Gδ en T (intersecci´on numerable de abiertos)

y, por tanto, medible Borel.

Demostraci´on. Es inmediata. Como ejemplo hacemos las dos ´ultimas. iv) Si t ∈ T cumple w(f, t) < a entonces podemos encontrar U ∈ τ entorno de t tal que w(f, U) < a. Pero para cada s ∈ U ∈ τ, U es un entorno des y as´ı w(f, s)≤w(f, U)< a, es decir,U ⊂ {t∈T :w(f, t)< a}.

v)Deiii) deducimos que

[a, b]\Cont(f, τ) =∪∞_n₌₁{t∈T :w(f, t)≥ 1

n}, uni´on numerable de cerrados poriv).

(34)

Definición 2.2.3. Llamaremos partición de Darboux del intervalo[a, b] a una colección finitaP de subintervalos que no se solapen y cuya unión sea todo[a, b]. Su normaserá el máximo de las longitudes de los subintervalos que la componen. El conjunto de puntos de la partición será el formado por los extremos de los intervalos, y lo denotaremos mediantee(P). Finalmente, siP0 _{es otra partici´}_on

de Darboux de[a, b], diremos que es m´as finaquePsie(P)⊂e(P0₎_{. El conjunto}

de las particiones de Darboux de[a, b] se representa pordΠ[a, b].

Definici´on 2.2.4. Sea P = {[ai, bi] : 1 ≤ i ≤ n} ∈ dΠ[a, b]. La suma de

Darbouxdef asociada aP es d(f,P) = n X i=1 w(f,[ai, bi])(bi−ai)∈[0,∞].

Diremos que f esintegrable Darboux en [a, b] si cumple alguna (en tal caso ambas) de las siguientes condiciones:

i) Para cada >0 existe unδ >0 tal que siP ∈dΠ[a, b] tiene norma menor queδ, entonces d(f,P)< .

ii) Para cada > 0 existe unaP0 ∈dΠ[a, b] tal que para toda partici´on de

DarbouxP m´as fina queP0 se cumpled(f,P)< .

Proposici´on 2.2.5. Las anteriores condiciones son equivalentes.

Demostración. i)⇒ii) es consecuencia de que si una partición de Darboux es más fina que otra, entonces su norma es menor o igual.

ii)⇒i) En primer lugar observamos quef es acotada. Esto es claro: dado = 1 podemos encontrar una partici´onP ={[ai, bi] : 1≤i≤n} ∈dΠ[a, b] tal

que Pn_i₌₁(bi−ai)w(f,[ai, bi]) <1. Por tanto w(f,[ai, bi]) < _b 1

i−ai para cada

1≤i≤n, y, en particular, f est´a acotada en [ai, bi]. SeaM una cota superior

dekfk en [a, b].

Fijamos > 0 y P0 ∈ dΠ[a, b] tal que d(f,P) < para cada P ∈ dΠ[a, b]

m´as fina que P0. Escribimos

e(P0) ={a=t0< t1<· · ·< tN =b}.

Sea 0 < δ < ₈_M₍_N₊₁₎. Dada P ∈ dΠ[a, b] de norma menor que δ vamos a demostrar qued(f,P) <2. En efecto, si J1, . . . , Jm son los subintervalos de

P definimosA como el conjunto de pares (i, j)∈ {1, . . . , N} × {1, . . . , m} tales queIi,j= [ti−1, ti]∩[cj, dj] es no vac´ıo ni unipuntual. La partici´on de Darboux

(35)

P0={Ii,j}(i,j)∈A es m´as fina queP0y, por tanto, d(f,P0)< . Por otro lado

d(f,P) = m X j=1 w(f, Jj)m(Jj) = X (i,j)∈A w(f, Jj)m(Ii,j) = d(f,P0) + X (i,j)∈A

(w(f, Jj)−w(f, Ii,j))m(Ii,j)

< + X

(i,j)∈A

(w(f, Jj)−w(f, Ii,j))m(Ii,j).

Fijamos por un momento (i, j)∈A. Tenemos dos posibilidades

• Jj⊂Ii,j. En tal casow(f, Jj)−w(f, Ii,j)≤0.

• Jj 6⊂Ii,j. Entonces Jj 6⊂[ti−1, ti] y, como P tiene norma menor que δ,

resulta queJj⊂[ti−1−δ, ti−1+δ] ´o Jj ⊂[ti−δ, ti+δ].

Si B es el conjunto de pares (i, j)∈Aque cumplen esta ´ultima condici´on,

X

(i,j)∈A

(w(f, Jj)−w(f, Ii,j))m(Ii,j)≤ X

(i,j)∈B

(w(f, Jj)−w(f, Ii,j))m(Ii,j) =

N X i=0 X (i,j)∈B Jj⊂[ti−δ,ti+δ]

(w(f, Jj)−w(f, Ii,j))m(Ii,j)≤(N+ 1)4M(2δ)< .

Por tantod(f,P)< , como se quer´ıa demostrar.

Proposici´on 2.2.6. Si f : [a, b] −→ X es integrable Darboux, entonces es integrable Riemann.

Demostraci´on. Fijamos > 0 y una partici´on P = {[ai, bi] : 1 ≤ i ≤ n} ∈

dΠ[a, b] tal qued(f,P)< . SeanP1,P2∈Π[a, b] con subintervalos los dePy

puntos intermediossi, ti∈[ai, bi] respectivamente. Es claro que

kf(P1)−f(P2)k ≤

n X i=1

(bi−ai)kf(si)−f(ti)k ≤d(f,P)<

y la integrabilidad Riemann def se sigue de 1.0.4.

Podemos imitar la prueba del caso real para dar la siguiente caracterizaci´on de la integrabilidad Darboux [21, Teorema 18]:

Teorema 2.2.7 (Lebesgue). Una funci´onf : [a, b]−→X es integrable Dar-boux si y s´olo si es acotada y continua en casi todo punto.

(36)

Demostración. Sólo si. Ya hemos visto anteriormente que f es acotada si es integrable Darboux. Dado quef es continua en un puntot ∈[a, b] si y sólo si w(f, t) = 0, el conjunto de sus puntos de discontinuidad es la uniónE=∪∞

i=1Ei,

siendoEn={t∈[a, b] :w(f, t)≥ 1n}. Ees medible Lebesgue (uni´on numerable

de cerrados, que son medibles) y para ver que tiene medida cero s´olo hay que comprobar quem(En) = 0 para cadan∈N.

Fijemos n∈Ny sea >0 arbitrario. Tomemos P ={[ai, bi] : 1≤i≤p} ∈

dΠ[a, b] tal que d(f,P) < _n. Sea I ={1 ≤ i ≤ p: En ∩(ai, bi) 6= ∅}. Para

cadai∈Ipodemos fijar unti∈(ai, bi)∩En; [ai, bi] es un entorno deti en [a, b]

y as´ı _n1 ≤w(f, ti) ≤ w(f,[ai, bi]). Como En est´a esencialmente contenido en

∪i∈I(ai, bi) resulta n > d(f,P)≥ X i∈I w(f,[ai, bi])m([ai, bi])≥ 1 n X i∈I m([ai, bi])≥ 1 nm(En)

y as´ım(En)< (para cada >0). Por tantom(En) = 0.

Si. SeaM una cota superior dekfken [a, b]. Fijamosb−a > >0 yn∈N

tal que _n1 < .

Por hip´otesism(En) = 0 y existe una sucesi´on de intervalos abiertos

disjun-tos dos a dos{(ck, dk)}k∈Ntales que su uni´on contiene aEnyP∞k=1(dk−ck)< .

PeroEn es cerrado en el compacto [a, b] y, por tanto, compacto. As´ı, podemos

suponer que la sucesi´on anterior es finita: {(ci, di)}1≤i≤p. Asumiendo que todos

estos intervalos intersecan aEn, tenemos para cadaiqueIi= [a, b]∩[ci, di] es

un intervalo no degenerado y para i6=j la intersecci´on Ii∩Ij es a lo m´as un

punto.

Sea A= ∪p_i₌₁Ii ⊂[a, b]. Claramente [a, b] 6=A por ser m(A) < < b−a

y, as´ı,B = [a, b]\Aes una unión disjunta de intervalos abiertos y semiabiertos (estos últimos aparecen en caso de quea∈A ób∈A).

Sea J uno cualquiera de ellos con adherencia [r, s] =J. Es claro queEn∩

[r, s] = ∅ y, por lo tanto, para cada t ∈ [r, s] existe un intervalo cerrado Jt ⊂

[a, b] entorno de t en la topolog´ıa relativa de [a, b] tal que w(f, Jt) < _n1. La

compacidad de [r, s] implica la existencia det1, . . . , tn ∈[r, s] tales que [r, s]⊂

∪n

i=1Jti. SeaPJ la partici´on de Darboux de [r, s] con puntosr, sy los extremos

de cadaJtkque est´en contenidos en (r, s). Cada subintervaloGde esta partici´on

est´a contenido en alg´unJtk= [uk, vk] y, por lo tanto, satisfacew(f, G)< 1

n.

Resumiendo, tenemos descompuesto B = [a, b]\A en una uni´on disjunta de intervalos cuyas adherencias admiten particiones de Darboux PJ tales que

w(f, G) < _n1 para cada G∈ PJ. Adem´as,A es una uni´on finita de intervalos

cuyas longitudes suman menos que . Agrupando estos intervalos con los de las particiones asociadas aBpodemos obtener una partici´on de DarbouxP0 de

[a, b]. Denotaremos porP0

0 a la colecci´on de subintervalos de P que intersecan

aEn y porP000 a la colecci´on de los restantes.

(37)

SiP ∈dΠ[a, b] es m´as fina queP0 definimos

P0 ={I∈ P:I⊂J para alg´unJ ∈ P₀0} P00={I∈ P:I⊂J para alg´unJ∈ P000}.

La oscilaci´on de f en cada intervalo de P00 _{es evidentemente menor que} 1

n.

Adem´asP =P0_{∪ P}00₍_P _{es m´}_{as fina que}_P

0) y, por tanto, d(f,P) = X I∈P0 m(I)w(f, I) + X I∈P00 m(I)w(f, I) ≤ 2M X I∈P0 m(I) + 1 n X I∈P00 m(I) ≤ 2M p X i=1 m(Ii) + b−a n < (2M+ (b−a)).

Esto prueba la integrabilidad Darboux def en [a, b].

Corolario 2.2.8. Cualquier funci´onf : [a, b]−→X acotada y continua en casi todo punto es integrable Riemann en[a, b]. En particular, toda funci´on continua es integrable Riemann.

Nota 2.2.9. Se puede adaptar fácilmente la prueba del caso escalar para dar una demostración más elemental de la última afirmación, basada simplemente en la continuidad uniforme.

Nota 2.2.10. Es esencial que la continuidad sea respecto a la topolog´ıa de la norma en X, no se puede obtener la misma conclusión para funciones con-tinuas respecto a la topolog´ıa débil de X o ω∗ (caso de ser X el dual de un espacio normado). La integrabilidad Riemann de las funciones débilmente con-tinuas caracteriza ciertas propiedades topológicas de los espacios de Banach, como analizaremos en el Cap´ıtulo 5.

A continuación damos un par de ejemplos que muestran que, en general, la integrabilidad Darboux es más fuerte que la de Riemann. El primero ya es conocido, mientras que el segundo ha sido extra´ıdo de [21, Ejemplo 10]. Ejemplo 2.2.11. Sea f : [a, b] −→ B[a, b] la función definida en el ejemplo 1.0.11. Ya vimos que f es integrable Riemann en [a, b]. Sin embargo, no es integrable Darboux.

Demostraci´on. En caso contrario, por el teorema precedente,kfk: [a, b]−→R

ser´ıa acotada y continua en casi todo punto, es decir, integrable Riemann, en contra de lo probado en el citado ejemplo.

Ejemplo 2.2.12 (Rejouani). Existe una funci´onf : [0,1] −→ c0 integrable

(38)

Demostraci´on. SeaQ=_Q∩[0,1] ={r1, r2, . . .}y definimosf : [0,1]−→c0por

f(rn) =en (para todo n∈N) y f(t) = 0 para cada t∈[0,1] irracional. Para

ver quef no es continuaen ning´un punto basta notar que su normakfk=χQ

carece de puntos de continuidad.

Afirmamos que f es de VDA (y, en virtud de 2.1.3, integrable Riemann en [0,1]). En efecto, sea {[ci, di]}1≤i≤n una familia finita de subintervalos de

[0,1] que no se solapen. N´otese que entonces ci 6= cj (resp. di 6= dj) para

i 6= j y, as´ı, Pn_i₌₁f(ci) ∈ {0,1}N (resp. Pn_i₌₁f(di) ∈ {0,1}N). Por tanto Pn i=1(f(di)−f(ci))∈ {−1,0,1}Ny n X i=1 (f(di)−f(ci)) ∞ ≤1.

Esto prueba la afirmaci´on.

En particular, para todo espacio de BanachX que contenga una copia iso-morfa de c0 existe una funci´on de VDA f : [a, b] −→ X que no es integrable

Darboux (v´ease 3.1.1). Curiosamente el rec´ıproco es cierto (fue demostrado por Rejouani en [50]) y proporciona otra caracterizaci´on de los espacios de Banach que no contienen ac0, as´ı como una mejora de 2.1.3 en tales espacios.

Lema 2.2.13. Sea f : [a, b] −→ X una funci´on que no es continua en casi todo punto. Entonces existen α > 0 y una sucesi´on de subintervalos de [a, b]

disjuntos dos a dos{[rn, sn]}n∈Nde manera quekf(sn)−f(rn)k> α para cada

n∈N.

Demostraci´on. Por hip´otesis [a, b]\Cont(f) = ∪∞

n=1{t ∈ [a, b] : w(f, t) ≥ 1

n}

tiene medida positiva, luego existeβ >0 tal que K={t∈(a, b) : w(f, t)≥β}

tiene medidaη=m(K)>0. Fijamosα=β₂.

A continuaci´on construimos por recurrencia una sucesi´on de subintervalos abiertos de [a, b] disjuntos dos a dos, digamosI1, I2, . . ., tales que

• Ii∩K6=∅ para cadai∈N.

• Pn_i₌₁m(Ii)< η para todon∈N.

Fijamos t1 ∈ K arbitrario. Podemos tomar I1 = (t1−δ, t1+δ) siendo 0 <

δ < η₄ suficientemente peque˜no de manera que I1 ⊂ [a, b]. Para probar el

paso inductivo supongamos dadosI1, . . . , In⊂[a, b] intervalos abiertos disjuntos

dos a dos tales que Ii∩K 6= ∅ para 1 ≤ i ≤ n y Pn

i=1m(Ii) < η. Esta

desigualdad implica que K 6⊂ ∪n

i=1Ii y, por tanto, existe tn+1 ∈ K tal que

tn+1 6∈ ∪ni=1Ii. Basta tomar ahora δ >0 suficientemente peque˜no de manera

queIn+1= (tn+1−δ, tn+1+δ)⊂[a, b], no corte a ninguno de losIi y

2δ < η−

n X i=1

(39)

Como para cadan∈Nexiste tn ∈In verificandow(f, tn)≥β > α (eIn es

abierto), podemos tomarrn< sncontenidos enIntales quekf(sn)−f(rn)k> α.

La sucesi´on{[rn, sn]}n∈Nnos sirve.

Proposici´on 2.2.14. Para un espacio de BanachX son equivalentes: i) X no contiene copias isomorfas dec0.

ii) Toda funci´on f : [a, b]−→X de VDA es integrable Darboux.

Demostración. Sólo nos queda demostrari)⇒ii). Supongamos por reducción al absurdo que existe una funciónf : [a, b]−→X de VDA que no es integrable Darboux. Es fácil ver, a partir de la definición de VDA, quef es acotada. Por el teorema de Lebesgue 2.2.7 la funciónf no puede ser continua en casi todo punto y el lema anterior garantiza la existencia un α > 0 y una sucesión de subintervalos de [a, b] disjuntos dos a dos{[rn, sn]}n∈Ntales que

kf(sn)−f(rn)k> α

para cadan∈_N. En particular la serie

∞

X n=1

(f(sn)−f(rn))

no puede ser convergente enX. Sin embargo, para cadax∗∈X∗

∞ X n=1 |x∗(f(sn)−f(rn))|= ∞ X n=1 |x∗f(sn)−x∗f(rn)|<∞

porque x∗f es una función de variación acotada (lema 2.1.2). Esto contradice el teorema de Bessaga-Pelczynski de caracterización de los espacios de Banach que no contienen ac0(teorema A.3.5).

(40)

(41)

Cap´ıtulo 3

La propiedad de Lebesgue

El clásico teorema de Lebesgue de integración Riemann [48, Teorema 5.27] afirma que una función f : [a, b] −→ K es integrable Riemann si y sólo si

es acotada y continua en casi todo punto. Es decir, si y sólo si es integrable Darboux (2.2.7). Cuando tratamos el caso general de funciones que toman valores en un espacio de Banach sólo una de las implicaciones es válida en general (véase el corolario 2.2.8 y los ejemplos que lo siguen). Es natural preguntarse:

¿qu´e espacios de BanachX satisfacen que cualquier funci´on integrable Riemann

f : [a, b]−→X es continua en casi todo punto?. Hasta la fecha s´olo se pueden ofrecer respuestas parciales a esta cuesti´on. Todos los espacios de Banach finito-dimensionales tienen esta propiedad, al igual quel1 _{([51] y [21]) y el espacio de}

Tsirelson [21]. Para el resto de espacios de Banach cl´asicos la respuesta es negativa.

3.1 Espacios de Banach con la propiedad de

Lebesgue

Se dice que un espacio de BanachX tiene lapropiedad de Lebesgue (abrevia-damente LP) si toda funci´on integrable Riemannf : [a, b]−→X es continua en casi todo punto. Un espacio de BanachX tiene la propiedad d´ebil de Lebesgue

(WLP) si toda funci´onf : [a, b]−→X integrable Riemann es d´ebilmente con-tinua en casi todo punto. Evidentemente, un espacio Banach con la propiedad de Lebesgue tiene WLP.

Observación 3.1.1. SeaT :X −→Y una inmersión de espacios de Banach. SiX no tiene LP entoncesY también carece de dicha propiedad. En particular LP es una propiedad topológica (se preserva por renormamientos).

Demostración. Sea f : [a, b] −→X una función integrable Riemann que no es continua en casi todo punto. La composicióng=T f : [a, b]−→Y es integrable Riemann por 1.0.13. Vamos a demostrar que

Cont(g)⊂Cont(f) 27

(42)

28 CAP´ITULO 3. LA PROPIEDAD DE LEBESGUE

(y comof no es continua en casi todo punto, g tampoco lo puede ser). Para ello observamos que Z = T(X) es un subespacio cerrado del Banach Y to-pol´ogicamente isomorfo aX v´ıaT. Tenemos un operador continuoT−1_de_Z _en

X y, as´ı, la composici´on T−1_g₌_T−1_{T f} ₌_f _{es una funci´}_{on continua en cada}

t∈Cont(g).

El teorema cl´asico de Lebesgue de caracterizaci´on de las funciones integrables Riemann nos dice queKtiene la propiedad de Lebesgue. Un argumento sencillo

permite extender esta afirmaci´on a cualquier espacio de Banach de dimensi´on finita:

Proposici´on 3.1.2. Todo espacio de Banach finito-dimensional tiene la pro-piedad de Lebesgue.

Demostración. Sea X un espacio de Banach de dimensión finita con una base algebraica {v1, . . . , vn}. Es fácil ver (a partir de la equivalencia de todas las

normas enKn) queT(a1, . . . , an) =Pn_i₌₁aividefine un isomorfismo topol´ogico

entre Kn y X. La observaci´on 3.1.1 nos reduce a demostrar que Kn tiene la

propiedad de Lebesgue. Definimos para cada 1≤i≤n, pi:Kn −→Kcomo la

proyecci´on en la i-´esima coordenada (lineal y continua). Seaf : [a, b]−→ Kn

integrable Riemann. Para cadai la composici´onpif : [a, b]−→Kes integrable

Riemann (1.0.13) y, por el teorema de Lebesgue, continua en un conjunto me-dible conulo Ei ⊂[a, b]. EntoncesE =∩ni=1Ei es un conjunto medible conulo

tal quepif es continua en cada punto deE para cualquier 1≤i≤ny, as´ı, f

es continua en cada punto deE. Esto completa la prueba.

Un espacio de Banach es de Schur (o tiene la propiedad de Schur) si toda

sucesión débilmente convergente es convergente en norma. Todo espacio de dimensión finita tiene dicha propiedad, as´ı comol1_{(Γ) para cualquier conjunto}

infinito Γ [11, Cap´ıtulo VII].

Proposici´on 3.1.3. Todo espacio de Banach que sea de Schur y tenga WLP posee la propiedad de Lebesgue.

Demostración. Sean f : [a, b] −→ X integrable Riemann y X un espacio de Schur que tiene WLP. Esta última condición implica quef es débilmente conti-nua en casi todo punto. Seat∈Cont(f, ω) y sea (tn)n∈Ncualquier sucesión en

[a, b] que converja haciat. Entoncesω−limf(tn) =f(t) y as´ık.k −limf(tn) =

f(t) gracias a la propiedad de Schur. Por tanto Cont(f) = Cont(f, ω) es un conjunto medible conulo.

A continuaci´on vamos a demostrar que l1 _{tiene la propiedad de Lebesgue.}

Los primeros en descubrirlo fueron Nemirovskii, Ochan y Rejouani [47] (1972). Nosotros seguiremos el m´etodo de [51], basado en una idea de M.I. Kadets, que extrae una propiedad del1suficiente para probar que tiene LP.

Definici´on 3.1.4. Un espacio de Banach X tiene la propiedad [K] si existen una constante a > 0 y un conjunto numerable N ⊂X∗ _{de manera que, para}

(43)

3.1. ESPACIOS DE BANACH CON LA PROPIEDAD DE LEBESGUE 29

• converge hacia0 respecto deσ(X, N)y

• existe >0 tal quekxnk ≥para todon,

se tiene

lim

mkx+xmk ≥ kxk+a

para todo x∈X.

Proposici´on 3.1.5. El espaciol1 tiene la propiedad [K]. Demostraci´on. Para cada n∈Ndefinimosx∗n∈(l1)∗ mediante

x∗n((am)m∈N) =an.

Supongamos que la sucesi´onam_{= (a}m

n)n,m= 1,2, . . ., cumple

i) Existe >0 tal quekam_k₌P∞ n=1|a

m

n| ≥,m∈N.

ii) limmx∗n(am) = limmamn = 0 para todon.

Dadox= (xn)n∈N∈l1 arbitrario, vamos a demostrar que

lim

mkx+a

m_{k ≥ k}_x_k₊

2.

Para ello fijamosn0∈Nsuficientemente grande tal queP∞n=n0+1|xn|<

8. Por

ii) podemos tomar M ∈ N tal que |amn|< 8n0 para cada 1 ≤n ≤n0 y cada m≥M. Entonces utilizamos la desigualdad triangularal rev´es para obtener

kx+amk = n0 X n=1 |xn+amn|+ ∞ X n=n0+1 |xn+amn| ≥ n0 X n=1 |xn| − n0 X n=1 |am_n| − ∞ X n=n0+1 |xn|+ ∞ X n=n0+1 |am_n| = kxk −2 ∞ X n=n0+1 |xn|+kamk −2 n0 X n=1 |am_n| > kxk −2 8 +−2n0 8n0 = kxk+ 2

para cada m ≥ M. Esto prueba la afirmaci´on y demuestra que l1 tiene la propiedad [K] cona= 1₂ yN={x∗_n}n∈N.

Teorema 3.1.6 (Rejouani). Todo espacio de BanachX con la propiedad [K] tiene la propiedad de Lebesgue.

Demostraci´on. Sean a > 0 y N ⊂X∗ _{numerable tales que si (x}

n)n∈N es una

(44)

30 CAP´ITULO 3. LA PROPIEDAD DE LEBESGUE

• existe un >0 de manera quekxnk ≥,n= 1,2, . . ., y

• σ(X, N)−limnxn = 0,

entonces

lim

n kxn+xk ≥ kxk+a (3.1)

para cadax∈X.

Sea f : [a, b]−→X integrable Riemann. Para cada x∗ ∈N la funci´onx∗f es integrable Riemann y, por tanto, m([a, b]\Cont(x∗f)) = 0. Consideramos el conjunto medible conulo (N es numerable)G=∩x∗_∈_NCont(x∗f). Sabemos

que [a, b]\Cont(f) = ∪∞

n=1Fn, donde Fn = {t ∈ [a, b] : w(f, t) ≥ _n1} para

n= 1,2, . . .. El teorema estar´a demostrado si vemos quem(Fn) = 0 para todo

n∈N.

Fijamos M ∈ _N. Como G es conulo, m(FM) = m(G∩FM). Vamos a

demostrar qued:=m(G∩FM) = 0 por reducci´on al absurdo. Supongamos que

d >0 y tomemos unδ >0 tal que para todo par de particionesP,P0 _∈_{Π[a, b]}

de norma menor queδ

kf(P)−f(P0)k< ad 8M.

FijamosP0={I1, . . . , In} una partici´on de Darboux de [a, b] de norma menor

queδ. Sea

J ={i∈ {1, . . . , n}: int(Ii)∩G∩FM 6=∅}

y tomemostj∈int(Ii)∩G∩FM para cadaj ∈J (evidentementeJ 6=∅ por ser

d >0). Podemos suponer queJ ={1, . . . , k}.

Afirmamos que existen t0_j∈Ij, j= 1, . . . , ktales que j X i=1 m(Ii)(f(ti)−f(t0i)) ≥ j X i=1 m(Ii) ! a 8M (3.2)

para todoj= 1, . . . , k. Vamos a construirlos recurrentemente.

• Dado que t1 ∈ FM ∩int(Ii), podemos encontrar una sucesi´on (sn)n∈N

contenida enI1convergente at1y tal quekf(t1)−f(sn)k ≥ ₄1_M para todo

n(la oscilaci´on def ent1es mayor o igual que _M1). Pero tambi´ent1∈G,

luego es un punto de continuidad de x∗f para cadax∗∈N y resulta que σ(X, N)−limn(f(sn)−f(t1)) = 0. ComoX tiene la propiedad [K] (3.1),

lim

n kf(sn)−f(t1)k ≥

a 4M.

Podemos tomar t0₁ = sn (para n suficientemente grande) cumpliendo

km(I1)(f(t1)−f(t01))k ≥m(I1)₈a_M.

• Sea 1 < j < ky supongamos que t0_i ∈Ii satisfacen (3.2) para 1≤i≤j.

En particular j X i=1 m(Ii)(f(ti)−f(t0i)) ≥ j X i=1 m(Ii) ! a 8M.

(45)

3.2. LA PROPIEDAD D ´EBIL DE LEBESGUE 31

Como tj+1 ∈ FM ∩int(Ij+1), podemos razonar como antes y encontrar

una sucesi´on contenida enIj+1, digamos (sn)n, convergente hacia tj+1 y

tal que kf(sn)−f(tj+1)k ≥ ₄_M1 para todo n. Adem´as tj+1 ∈ G y as´ı

σ(X, N)−limn(f(tj+1)−f(sn)) = 0. La propiedad [K] deX, si definimos

x=Pj_i₌₁m(Ii)(f(ti)−f(t0i)), implica que

lim

n kx+m(Ij+1)(f(tj+1)−f(sn))k ≥ kxk+m(Ij+1)

a 4M.

Podemos tomar un n suficientemente grande tal que, definiendo t0_j₊₁ = sn,kx+m(Ij+1)(f(tj+1)−f(t0j+1))k ≥ kxk+m(Ij+1)₈a_M. Aplicando la

hipótesis de inducción concluye la prueba. En particular (tómesej =k en (3.2)), k X i=1 m(Ii)(f(ti)−f(t0i)) ≥ k X i=1 m(Ii) ! a 8M. SeaP ∈Π[a, b] (resp. P0_{) una partici´}_{on con subintervalos}_I

1, . . . , In(y, por

tan-to, con norma menor queδ) y puntos intermediost(P) ={t1, . . . , tk, zk+1, . . . , zn}

(resp. t(P0_{) =}_{_t0

1, . . . , t0k, zk+1, . . . , zn}). Podemos releer la desigualdad

ante-rior en t´erminos de sumas de Riemann:

kf(P)−f(P0)k ≥m ∪ki=1Ii a

8M.

Por la definici´on deJ tenemos que G∩FM est´a contenido esencialmente (de

hecho, salvo quiz´as un n´umero finito de puntos) en ∪k

i=1Ii. Por tanto, d =

m(G∩FM)≤m(∪ki=1Ii) y de aqu´ıkf(P)−f(P0)k ≥ ₈ad_M, una contradicci´on.

Corolario 3.1.7. l1 _{tiene la propiedad de Lebesgue.}

Nota 3.1.8. Existe un espacio de Banach separable reflexivo infinito-dimensional con la propiedad de Lebesgue: el espacio de Tsirelson. La prueba se debe a Da Rocha y el lector interesado puede consultar [21].

3.2 La propiedad d´

ebil de Lebesgue

Observación 3.2.1. SeaT :X −→Y una inmersión de espacios de Banach. Si Y tiene WLP entoncesX tiene dicha propiedad. En particular WLP es una propiedad topológica (se preserva por renormamientos).

Demostración. Supongamos queXno tiene WLP. Seaf : [a, b]−→Xintegrable Riemann que no es débilmente continua en casi todo punto. La composición g = T f : [a, b] −→ Y es integrable Riemann (proposición 1.0.13). Sabemos que T(X) = Z es un subespacio cerrado de Y topológicamente isomorfo a X a través del operador T. Denotamos por Cont(g, σ(Y, Y∗)) al conjunto de