Funciones:
Introducción al concepto de función
Para introducir el concepto de función se propone generar situaciones en las que se presenten, en forma natural, las características de una función y los elementos que en ella intervienen. Esto supone dar oportunidad para que los estudiantes se familiaricen con las nociones de variable, regla de formación, variable independiente, variable dependiente, dominio, imagen, recorrido, variable discreta, y variable continua.
A continuación, algunas situaciones en las que es posible introducir el lenguaje y las nociones antes mencionadas, haciendo uso de conocimientos al alcance de la mayoría de los alumnos.
Situación 1: el volumen de un paralelepípedo recto a partir de sus aristas
Consideremos la fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo recto de base rectangular:
Figura 1: el volumen de un paralelepípedo
Dónde “V” representa el volumen y “a”, “b” y “c”, son las medidas de tres aristas que concurren a un vértice.
En un paralelepípedo como el de la figura anterior, supongamos que se puede dar valores a las aristas (en cm) y calcular su volumen en cada caso (en cm3):
a cm b cm c cm V cm3 2 3 5 30 3 4 5 60 4 5 5 100 5 6 x 360 3 3 3 y
¿Qué valor debe tener “x” para que el volumen sea 360?, ¿Qué volumen “y” tiene un cubo de 3 cm de arista? A partir de la tabla se pueden plantear varias actividades como las señaladas, lo que permitirá asegurarse que los estudiantes comprenden la fórmula que se desea usar como soporte para introducir el concepto de función.
La noción de variable
Para comenzar, necesitamos la idea de variable.
Regresando al ejemplo, observamos que a medida que se da valores a los lados, a, b y c, el volumen queda determinado y, además, que el volumen cambia en la medida que los valores de los lados cambian.
En una situación como esta, decimos que “V”, “a”, “b” y “c” son “variables”.
Podemos pensar que una variable es una magnitud o característica de un fenómeno o situación que admite diferentes valores. Por ejemplo: “edad de un alumno”, “estatura de una persona” o “temperatura ambiente”, son variables.
En ciencias y en la vida diaria hacemos uso de “variables” para describir y para explicar fenómenos. Por ejemplo, si conocemos la edad, la estatura, el sexo y procedencia de un conjunto de alumnos, podemos formarnos una idea de lo que es ese curso. En este contexto “sexo” también es una variable, que puede adoptar dos valores: femenino o masculino; y “procedencia” puede ser definida como una variable cualitativa que admite valores tales como: “Talca”, “Rancagua” u otra ciudad.
Situación 2: el volumen expresado a partir del valor del área de la base y de la altura
Podemos reducir el número de variables de las que depende el volumen, considerando el área de la base del sólido.
En la tabla siguiente, podemos observar valores del área, la altura y los correspondientes valores del volumen:
A cm2 h cm V cm3
6 3 30
12 4 60
20 5 100
Situación 3: el volumen dependiendo sólo del valor de la altura
Al analizar la situación en que el área de la base es constante (figura 2), nos da la oportunidad de mostrar que las variaciones del volumen dependen sólo de las variaciones o cambios de la altura.
Supongamos ahora que “A” es 6 cm2. La tabla siguiente ilustra la situación.
A cm2 h cm V cm3
6 3 18
6 4 24
6 5 30
En este caso de ejemplo, vemos que la sola variación de la altura produce variaciones en el volumen.
Podemos entonces describir algebraicamente al volumen por la expresión V = 6 × h Decimos entonces que:
“el volumen está en función de la altura”
O bien que: “V es función de h”. Lo que se escribe mediante la notación:
V = f (h)
Nota: ver “Elementos Históricos” para relacionar la expresión “Función” y la notación funcional con los trabajos de Leibnitz y Euler.
En general, diremos que una variable “y” es función de otra variable “x”, si para cada valor de x existe uno, y sólo uno, valor de y.
La gráfica cartesiana es especialmente útil para mostrar que, en el caso de una función, “a cada valor de la variable x” le corresponde “un solo valor de la variable y” (Figura 3).
A cada valor de “x” le corresponde un
único valor de “y” A cada valor de “x” le corresponde un único valor de “y”
Figura 3: la gráfica muestra que a cada valor de “x” le corresponde un valor de “y”
Así mismo, estas gráficas permiten mostrar ejemplos de reglas de formación que no dan origen a una función.
Por ejemplo, la Figura 4 muestra situaciones en las que a algunos valores de la variable “x”, le corresponde 2, 3 o más valores de la variable dependiente o ninguno.
Existen valores de “x” a los que le corresponde dos valores “y”
Existe un valor de “x” a los que le corresponde infinitos valores “y”
Figura 4: gráficas de situaciones que no son funciones.
Situación 4: a cada alumno le corresponde una nota promedio semestral de matemática
Es importante mostrar situaciones en las que la regla de formación no es algebraica y situaciones en que los valores de las variables no son números reales.
Una lista de un curso con notas en alguna asignatura permite tener una situación como las descritas.
En este caso, a cada nombre le corresponde una y sólo una nota semestral. Se cumple entonces la regla que establecimos para la existencia de una función.
Alumno Nota _______________ Arancibia 6,5 Aranda 5,0 Bowen 6,7 . . . Valencia 4,5
Dominio, imagen y recorrido
Hasta ahora hemos puesto atención a la “regla de formación”, al modo en que es posible determinar una variable, conocidos los valores de otra variable. ¿Cuáles son los valores posibles o definidos para las variables?
Si regresamos a la expresión en que el volumen se expresa en función de la altura (área basal constante).
V = A h
Si “h” y “A” son números reales, “V”, también es real (el producto de números reales, es un real).
Podemos decir que hemos definido una función que “va de los reales a los reales”.
Si regresamos a la situación de la lista de curso con las notas, podemos pensar que la variable independiente la constituye el conjunto de alumnos y la dependiente son las notas.
¿Cuáles son los valores posibles para la variable “alumnos”? Bueno, nombres de los alumnos de ese curso o de esa lista.
¿Cuáles son los valores posibles para la variable “notas”?
Según el reglamento del colegio, puede ser que sean números racionales, entre 1 y 7, redondeados a uno o dos decimales.
En este caso tendríamos una función definida “de la lista de nombres a los números racionales, entre 1 y 7, redondeados a uno o dos decimales”.
En general:
Se llama “dominio” de la función a los valores posibles o definidos de la variable independiente.
Se llama “imagen” de un valor de la variable independiente, al valor que toma la variable dependiente.
Se llama “recorrido” de la función a un conjunto en el que se encuentran las imágenes de la función.
En los ejemplos anteriores:
a) Para el volumen en función de la altura, el dominio, el conjunto de las imágenes y el recorrido, son los números reales.
b) En el caso de la lista, el dominio es el conjunto de nombres de los alumnos; las imágenes son los promedios y el recorrido es el conjunto de los números racionales, o el conjunto de los reales.
Situaciones que pueden ser modeladas usando funciones El volumen de una caja
El volumen de un cubo depende del valor que tenga la arista, decimos que el volumen esta en “función”
de la medida de su arista. En este caso, el volumen del cubo es la variable dependiente (V) y la arista (a) a quien le asignamos valores arbitrarios, le llamaremos variable independiente.
V= a3
http://www.fantasiasmiguel.com/f antasias/dbmProductos/1251.jpg
Cambio de moneda
De acuerdo al indicador económico que aparece en el diario, se puede observar el cambio de moneda. Por ejemplo 1 dólar es igual a $714,02 chilenos. Es decir, la cantidad de pesos chilenos que se puede obtener por una cierta cantidad de dólares esta en función o depende del valor del dólar y viceversa, la cantidad de dólares que puedo obtener a partir de una cantidad de pesos chilenos depende o esta en función del valor del dólar.
En la página:
http://www.oanda.com/converter/classic?user=laupeppo&lang=es
Podrá encontrar una forma de transformar de una moneda a otra, luego podría ver cambios más significativos para los alumnos, por ejemplo de pesos a soles, de peso chileno a peso argentino, etc.
Ahora, consideremos algunas situaciones que no cumplen con la noción de función antes mencionada.
Restricción vehicular
La Secretaría Regional Ministerial de Transportes de la Región Metropolitana ha definido para el presente año 2003, el siguiente calendario de restricción vehicular1.
Tipo de episodio Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Permanente 7-8 9-0 1-2 3-4 5-6
Alerta 7-8-1-2 9-0-3-4 1-2-5-6 3-4-7-8 5-6-9-0
Preemergencia 7-8-1-2-3-4 9-0-3-4-5-6 1-2-5-6-7-8 3-4-7-8-9-0 5-6-9-0-1-2
1
1 Tabla extraída del sitio web de la Unidad Operativa de Control de Tránsito
http://www.uoct.cl/uoct/mapas_info/restriccion_vehicular.htm
La medida rige de 7:30 a 20:30 horas, para los vehículos motorizados de cuatro o más ruedas sin convertidor catalítico.
En la tabla anterior, considere el episodio de Preemergencia. Si tomamos los días hábiles como la variable independiente, vemos que para cada día hábil existen seis dígitos de restricción vehicular. Inversamente, si tomamos los dígitos como la variable independiente, podemos observar que existe más de un día hábil para cada uno de los dígitos de restricción vehicular.
En ambos casos no se cumple la definición de función dada anteriormente: “a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente”
Record mundiales
La siguiente gráfica muestra la evolución del récord mundial de salto alto durante 10 años a partir del año 1983.
Al analizar el gráfico se puede observar que durante el año 1983 se batió el récord mundial en dos ocasiones, existiendo así, dos marcas (imágenes) 2,37 y 2,38, lo mismo sucede en el año 1985 también existen dos marcas (imágenes) 2,40 y 2,41, y para el año 1988 ocurre una situación similar existiendo dos nuevas marcas 2,42 y 2,43. Luego este gráfico
