Tema 1 1. Un balón de fútbol es lanzado desde el techo de un edicio con un ángulo de 45◦sobre la horizontal, y cae a 30 metros medido horizontalmente. La altura del edicio es de 10 metros. Calcular el vector velocidad inicial.
Vamos a ubicar los ejes coordenados, de tal forma que el eje x sea paralelo al piso y el eje y perpendicular al x, como muestra la gura.
Sabemos que el balón es lanzado con un ángulo de 45◦sobre la horizontal. Esto signica que el ángulo entre la horizontal y la velocidad inicial es 45◦. Si descomponemos el vector velocidad en sus componentes x e y, vemos que
v0x =v0cosα=v0cos45 (1)
v0y =v0senα =v0sen45 (2)
Por lo tanto,
v0x =v0y (3)
Ahora debemos plantear las ecuaciones de movimiento para x e y en función del tiempo: x(t) =x0+v0x(t−t0) + 1 2ax(t−t0) 2 (4) y(t) =y0+v0y(t−t0) + 1 2ay(t−t0) 2 (5)
De acuerdo a cómo hemos planteado los ejes, vemos que: x0 = 0, y0 = h. Como el
problema no dice explícitamente que el balón se acelere horizontalmente, ax = 0. La
aceleración en el eje y es ay = −g. Consideraremos t0 = 0. Finalmente, de acuerdo a lo
que calculamos anteriormente (ecuación (3)), llamaremos v0x = v0y = v. Las ecuaciones
x(tf) = vtf = 30m (8) y(tf) =h+vtf − 1 2gt 2 f = 0 (9)
Reemplazando por los valores correspondientes,
vtf = 30m (10) 10m+vtf − 1 29.8 m s2t 2 f = 0 (11)
Con lo cual tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (tf y v); las ecuaciones no son
una múltiplo de la otra, por lo tanto es un sistema determinado y podemos calcular la solución. Resolviendo, llegamos a que
v = 10.5m
s y tf = 20/7s ≈2.86s (12) Con lo cual, el vector velocidad inicial es ~v0 = (10.5
m s ; 10.5
m s )
2. Para el problema mostrado en la gura: a) Realice el DCL de los cuerpos,
b) Calcule aceleración (módulo y sentido) de los cuerpos considerando que el coeciente de rozamiento con ambas supercies es de 0.2, el ánguloα es de 30◦, que la masa del cuerpo 1 es de 3 kg y la masa del cuerpo 2 es de 5 kg. Suponer la cuerda de masa despreciable, inextensible y la polea sin rozamiento.
Para comenzar, suponemos que el sistema se mueve en algún sentido. El sentido común nos dicta que, si no hay una fuerza externa aplicada (como es el caso), el sistema se moverá de tal forma que el cuerpo 2 caiga y el 1 se mueva hacia la izquierda.
Vemos las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo: los pesos, dirigidos hacia abajo (hacia el centro de la Tierra); las normales, que son realizadas por la supercie, perpendiculares a la misma. Las tensiones se aplican en la dirección de la cuerda, y las fuerzas de roce en dirección contraria al movimiento.
Suponemos los ejes de coordenadas como se plantean en la gura. Los DCL para cada cuerpo son (punto a):
b) Ahora debemos plantear la Segunda ley de Newton para ambos cuerpos, en direc-ciones x e y. Tengamos en cuenta que, por como planteamos los ejes, ambos cuerpos se mueven en dirección del eje -x.
Cuerpo 1: X Fx =−T +F r1 =m1(−a) (13) X Fy =N1−P1 = 0 (14) Cuerpo 2: X Fx =−P2x+F r2+T =m2(−a) (15) X Fy =N2 −P2y = 0 (16)
Las aceleraciones de ambos cuerpos son iguales, dado que la cuerda es inextensible. También las tensiones.
N2−m2gcosα = 0 (20)
Resolviendo el sistema de ecuaciones, llegamos a que a≈1.267m
s2 , y tiene el mismo
sentido del movimiento, es decir, −ˆi.
3. Un disco gira desde el reposo hasta alcanzar una velocidad angular de 20 rad/s al cabo de 10 segundos. ¾Cuántas vueltas (o revoluciones) habrá dado al cabo de 15 segundos si sigue girando con la misma aceleración?
El disco parte de ω0 = 0 y llega a ω = 20rads en t = 10s, y luego sigue girando con
esa aceleración angular. Es decir, se mueve en un MCUV durante (al menos) 15 s. La aceleración angular es:
α= ∆ω ∆t ⇒α= 20rad/s−0rad/s 10s (21) α= 2 1 s2 (22)
La ecuación para el ángulo recorrido en función del tiempo es: θ(t) = θ0+ω0(t−t0) +
1
2α(t−t0)
2 (23)
Suponemos que empezamos a contar desde 0, por lo tantot0 = 0. Sabemos queω0 = 0,
y calculamos el valor de α. La ecuación anterior nos queda: θ(t) = 1 22 1 s2t 2 (24) Ent = 15s, θ(t = 15s) = 1 22 1 s2(15s) 2 = 225rad (25) Una vuelta o revolución son 2π radianes, entonces, 225 radianes equivalen a 2252π ≈
Tema 2
1. Un balón de fútbol es lanzado desde el techo de un edicio con un ángulo de 45◦sobre la horizontal, y cae a 30 metros medido horizontalmente. La altura del edicio es de 10 metros. Calcular el vector velocidad del balón cuando llega al piso.
Vamos a ubicar los ejes coordenados, de tal forma que el eje x sea paralelo al piso y el eje y perpendicular al x, como muestra la gura.
Sabemos que el balón es lanzado con un ángulo de 45◦sobre la horizontal. Esto signica que el ángulo entre la horizontal y la velocidad inicial es 45◦. Si descomponemos el vector velocidad en sus componentes x e y, vemos que
v0x =v0cosα=v0cos45 (26)
v0y =v0senα =v0sen45 (27)
Por lo tanto,
v0x =v0y (28)
Ahora debemos plantear las ecuaciones de movimiento para x e y en función del tiempo: x(t) =x0+v0x(t−t0) + 1 2ax(t−t0) 2 (29) y(t) =y0+v0y(t−t0) + 1 2ay(t−t0) 2 (30)
De acuerdo a cómo hemos planteado los ejes, vemos que: x0 = 0, y0 = h. Como el
problema no dice explícitamente que el balón se acelere horizontalmente, ax = 0. La
x(tf) = vtf = 30m (33) y(tf) =h+vtf − 1 2gt 2 f = 0 (34)
Reemplazando por los valores correspondientes,
vtf = 30m (35) 10m+vtf − 1 29.8 m s2t 2 f = 0 (36)
Con lo cual tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (tf y v); las ecuaciones no son
una múltiplo de la otra, por lo tanto es un sistema determinado y podemos calcular la solución. Resolviendo, llegamos a que
v = 10.5m
s y tf = 20/7s ≈2.86s (37) Veamos ahora las ecuaciones para la velocidad, según ambos ejes (haremos las mismas consideraciones que para las ecuaciones de posición):
vx(t) = vxO+ax(t−t0)⇒vx(t) =vxO (38)
vy(t) =vyO+ay(t−t0)⇒vy(t) =vyO−gt (39)
Reemplazando por los valores conocidos de la velocidad y aceleración,
vx(t) = 10.5 m s (40) vy(t) = 10.5 m s −9.8 m s2t (41)
Sabemos que la pelota llega al piso en t≈ 2.86s. Para ese t los valores de las compo-nentes de la velocidad son
vx(t) = 10.5 m s (42) vy(t) = 10.5 m s −9.8 m s22.86s=−17.5 m s (43)
El vector velocidad es entonces ~v = (10.5m
s;−17.5 m
s) 2. Para el problema mostrado en la gura:
a) Realice el DCL de los cuerpos,
b) Calcule aceleración (módulo y sentido) de los cuerpos considerando que el coeciente de rozamiento con ambas supercies es de 0.2, el ánguloα es de 30◦, que la masa del cuerpo 1 es de 3 kg y la masa del cuerpo 2 es de 5 kg. Suponer la cuerda de masa despreciable, inextensible y la polea sin rozamiento.
Vemos las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo: los pesos, dirigidos hacia abajo (hacia el centro de la Tierra); las normales, que son realizadas por la supercie, perpendiculares a la misma. Las tensiones se aplican en la dirección de la cuerda, y las fuerzas de roce en dirección contraria al movimiento.
Suponemos los ejes de coordenadas como se plantean en la gura. Los DCL para cada cuerpo son (punto a):
Cuerpo 2:
X
Fx =T −P2x−F r2 =m2a (46)
X
Fy =N2−P2y = 0 (47)
Las aceleraciones de ambos cuerpos son iguales (en módulo), dado que la cuerda es inextensible. También las tensiones.
Reemplazando, obtenemos para el cuerpo 1:
T −m1g =−m1a (48)
y, para el cuerpo 2
T −m2gcosα−µN2 =m2a (49)
N2−m2gsenα= 0 (50)
Resolviendo el sistema de ecuaciones, llegamos a que a≈3.29m
s2 , y tiene el mismo
sentido del movimiento.
3. Un disco gira desde el reposo hasta alcanzar una velocidad angular de 20 rad/s al cabo de 10 segundos. ¾Cuántas vueltas (o revoluciones) habrá dado al cabo de 5 segundos? El disco parte de ω0 = 0 y llega a ω = 20rads en t = 10s, es decir, se mueve en un
MCUV. La aceleración angular es: α= ∆ω ∆t ⇒α= 20rad/s−0rad/s 10s (51) α= 2 1 s2 (52)
θ(t) = θ0+ω0(t−t0) +
2α(t−t0) (53) Suponemos que empezamos a contar desde 0, por lo tantot0 = 0. Sabemos queω0 = 0,
y calculamos el valor de α. La ecuación anterior nos queda: θ(t) = 1 22 1 s2t 2 (54) Ent = 5s, θ(t= 5s) = 1 22 1 s2(5s) 2 = 25rad (55)
Una vuelta o revolución son 2π radianes, entonces, 25 radianes equivalen a 2π25 ≈
