Unidad 4. Transformada de Laplace

(1)

2013

Gil Sandro Gómez 23/01/2013

Unidad 4. Transformada de Laplace

(2)

Prof. Gil Sandro Gómez. 1

Contenido

Introducción. ... 2

4.1 Definición. Transformada de Laplace ... 3

4.2 Linealidad de la transformada ... 3

4.3 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada ... 3

4.4 Propiedades de la transformada de Laplace ... 5

4.5 La transformada inversa de Laplace ... 6

4.6 Solución de Problemas con Valores Iniciales ... 7

4.7 La transformada de Laplace y funciones especiales ... 9

4.8 Convolución, Función Impulso y Delta de Dirac ... 15

4.9 Función de transferencia ... 18

4.10 Función Respuesta al Impulso ... 18

Bibliografía ... 20

(3)

Introducción.

En nuestro curso de cálculo elemental aprendimos que la derivación y la integración son transformadas, es decir, que estas operaciones transforman una función en otra. Estas transformadas poseen la propiedad de linealidad, de que la transformada de una combinación lineal de funciones; es una combinación lineal de las transformadas. En este capítulo analizaremos un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene otras propiedades muy importantes para resolver problemas con valores iniciales.

Es necesario revisar los conceptos de las integrales impropias que aprendimos en nuestro curso de cálculo II, para tener un buen desempeño en este tema.

Es importante también, revisar nuestro conocimiento de la técnica de fracciones parciales que hemos estudiado en el álgebra lineal.

(4)

4.1 Definición. Transformada de Laplace

Sea una función definida para , la transformada de Laplace de se define como

L(f(t))= e 

0^ ^-st

f t dt ( ) ~ (1)

siempre que converja la integral.

Cuando la integral (1) converge, el resultado es una función de . La transformada de Laplace se puede escribir también como .

Una de las principales propiedades de la transformada de Laplace es la linealidad. Esto nos dice que la transformada de Laplace un operador lineal.

4.2 Linealidad de la transformada

Teorema 4.1. Sean y funciones cuyas transformadas de Laplace existen para

y sea

una constante. Entonces, para

,

     

   

1 2 1 2

~ (2)

~ (3)

f f f f

cf c f

  



L L L

L L

4.3 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada

La integral que define la transformada de Laplace no tiene que converger. Un ejemplo concreto son las funciones la cual decrece rápidamente cuando , de forma similar no existe una transformada para

que crece de manera veloz cuando . Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de

_{L f t}  ^{( )} 

son que sea continua por partes en [ ] y que sea de orden exponencial para .

Continuidad por partes

Definición. Una función es continua por partes en un intervalo finito [ ] si es continua en cada punto de [ ] excepto en un número finito de puntos donde tiene una discontinuidad de salto.

Una función es continua por partes en [ si es continua por partes en [ ] para todo .

(5)

Orden exponencial

Definición. Una función es de orden exponencial si existen constantes positivas y tal que

| | para toda

Ejemplo 1. Determine si la función dada es de orden exponencial en [

Vamos a realizar un análisis gráfico para determinar si la función dada es de orden exponencial o no.

La gráfica azul representa a y la roja la de Para y .

Como podemos observar, crece más rápido que , por tanto es de orden exponencial.

Teorema 4.2 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada Si es continua por partes en [ y de orden exponencial , entonces

 ^{( )} 

L f t

existe para

.

Teorema 4.3. Comportamiento de cuando

.

Si

es continua por partes en y de orden exponencial y

_{L f t}  ^{( )} 

^,

entonces

lim ( ) 0

s

F s





.

        

















x y

(6)

Tabla 4.1 Transformadas de Laplace de algunas funciones básicas

4.4 Propiedades de la transformada de Laplace

No siempre es conveniente usar la definición para hallar la transformada de Laplace de . Como es sabido por todos, para determinar la transformada de Laplace de una función es necesario resolver una integral por partes, que en algunas ocasiones resulta un poco tedioso. Analizaremos algunas propiedades de la Transformada de Laplace que agilizan el cálculo. Estas propiedades nos permitirán aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas con condiciones iniciales.

Teorema 4.4 Traslación en el eje

Si la transformada de Laplace

_{L f t}  ^{( )} 



^{F s} ^{( )}

existe para

,

entonces

^L  ^{e f t}

^at

^{( )} 

^

^{F s} ⁽

^

^a ^{) ~ (1)}

para

.

Teorema 4.5 Transformada de Laplace de la derivada

Sea continua en [ y continua por partes en [ , ambas de orden exponencial . Entonces, para

,

_L  ^{f t} ^{'( )} 

^

^s _L  ^{f t} ^{( )} 

^

^f ^{(0) ~ (2)}

^.

(7)

Teorema 4.6 Transformada de Laplace de derivadas en orden superior

Sean continuas en [ y sea continuas por partes en [ , con todas estas funciones de orden exponencial

.

Entonces, para

,

L  f

^{( )}ⁿ

^{( )} t 



s

ⁿ

L ^ f t ^{( )} ^



s

ⁿ^¹

f ⁽⁰⁾



s

ⁿ^²

f ^{'(0) ...}

 

f

ⁿ^¹

^{(0) ~ (3).}

Los teoremas 5.5 y 5.6 nos muestran la ventaja que tiene utilizar la transformada de Laplace, porque una ecuación diferencial, la transformamos en una ecuación algebraica bastante simple.

Teorema 4.7 Derivadas de la Transformada de Laplace

Sea

^{F s} ^{( )}

^

_L  ^{f t} ^{( )} 

y suponga que

f t ( )

es continua por partes en [ y de orden exponencial

.

Entonces, para

,

^{( )} L 

^{( )}

^{( )}  ^{( 1)} ^{( )} ^{~ (4).}

n

n n

n

d F s

F s t f t

  

ds

Tabla 4.2 Propiedades de la transformada de Laplace

( ) ( ) ( )

L f  g  L f  L g

( ) ( )

L cf  c L f

para cualquier constante

c

.

 ^{( )}  ⁽ ⁾

L e f t

^at

 F s  a

 ^{'( )}   ^{( )}  ⁽⁰⁾

L f t



s L f t



f

 ^{''( )} 

²

 ^{( )}  ⁽⁰⁾ ^'(0).

L f t  s L f t  sf  f



^{( )}

^{( )}  ^ ^{( )} ^

¹

⁽⁰⁾

²

^{'(0) ...}

⁽ ¹⁾

^(0).

L f

ⁿ

t



s

ⁿ

L f t



s

ⁿ^

f



s

ⁿ^

f

 

f

ⁿ^



^{( )}

^{( )}  ^{( 1)} ^{( )}

L

n

n n

n

t f t d F s

 

ds

4.5 La transformada inversa de Laplace

Definición. Si es la transformada de Laplace de una función , es decir,

 ^{f t} ^{( )} 

^

^{F s} ^{( ),}

L

decimos entonces que es la transformada de Laplace inversa de y se escribe

f t ^{( )}  L

^¹

 F s ^{( )} 

.

(8)

Teorema 4.8 Linealidad de la transformada inversa

Si

L

^¹

  F , L

^¹

  F

1 y

L F

^¹

 

2 existen y son continuas en [ y sea

cualquier constante. Entonces

     

   

1 1 1

1 2 1 2

1 1

~ (1),

~ (2).

L L L

L L

F F F F

cF c F

  

 

  



Ejemplo 2. Encuentre la función cuya transformada de Laplace es,

1 2

1 1 1

L 2

s s s



        

Primero apliquemos el teorema 5.8 y luego el concepto de transformada inversa de Laplace.

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2

L L L L

s s s s s s



         



     



       



      

, entonces

4.6 Solución de Problemas con Valores Iniciales

Hasta este momento habíamos tratado el tema de la transformada de Laplace, pero todo eso era para llegar al objetivo principal, que es, resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales sin tener que encontrar primero la solución general como hacíamos en el inicio de nuestro curso.

Otras aplicaciones que podemos hacer de la transformada de Laplace es determinar la solución de una ecuación diferencial con coeficientes variables de una forma sencilla, así como resolver ecuaciones integrales, sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales parciales.

Método de transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales con valores iniciales.

Para resolver una ecuación diferencial con condiciones iniciales realizamos los siguientes pasos:

a. Aplique la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación.

b. Use las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones iniciales para obtener una ecuación para la transformada de Laplace de la solución y luego despeje la transformada en esta ecuación.

(9)

c. Determine la transformada de Laplace de la solución, buscándola en una tabla o usando un método apropiado (como fracciones parciales) junto con la tabla.

Ejemplo 3. Utilizando transformada de Laplace resuelva el problema con condiciones iniciales.

Apliquemos la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación dada en (2).

L   y ^''  ⁴ L y   ^'  L  ⁶ e

³^t

 ³ e

^^t

 ^{~ (3)}

Sustituimos las condiciones iniciales en (4):

Reagrupando los términos en (5)

Sacamos a factor común:

Despejamos a de (6):

De nuestro conocimiento de Álgebra hacemos uso de las fracciones parciales

(10)

Multiplicamos (7) por :

Desarrollando (9), tenemos:

Aplicando la teoría de la igualdad entre polinomios obtenemos que:

)

Resolviendo (10), encontramos los valores de A, B, C y D, donde:

Sustituyendo (11) en (8):

Haciendo uso del criterio de la inversa de la transformada de Laplace en (12):

{ } { }

{

} {

}

{

} Tenemos que la solución es:

Hemos podido observar lo útil que resulta usar transformada de Laplace para encontrar la solución de un problema con condiciones iniciales.

4.7 La transformada de Laplace y funciones especiales Transformada de integrales

En algunas aplicaciones de ingeniería, el comportamiento de un sistema puede estar representado por una ecuación integro-diferencial, que es una

(11)

ecuación que contiene tanto derivadas como integrales de una incógnita variable. Un caso recurrente es cuando estamos analizando un circuito eléctrico en el dominio del tiempo; en cuyo caso nos enfrentamos con ecuaciones tales como:

∫

Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario poder obtener la transformada de Laplace de integrales tales como ∫ .

Asumamos

∫ de ahí que:

Aplicando transformada de Laplace en (4):

{ } { } Esto nos da:

Aplicando las condiciones iniciales en (7) y despejando a :

{ } De la ecuación (8) podemos concluir que:

{∫ } { }

Continuamos analizando otras funciones especiales que surgen frecuentemente cuando usamos el método de la transformada de Laplace a problemas de ingeniería. Entre estas funciones tendremos la que introdujo el ingeniero eléctrico anglosajón Oliver Heaviside, que la denominó función escalón.

Función escalón unitario

Definición. La función escalón unitario está dada por {

(12)

Transformada de Laplace de la función escalón unitario

Por definición de transformada de Laplace, la transformada de , está dada por

^{L H t}  ⁽ ^a ⁾  ^e

^sa

s

 



Demostración:

 

0 0

( )

( ) ( ) (0) (1)

lim (1) lim lim

st a st st

a

st b sb sa s sa sa

b st

b a b b

a

L H t a H t a e dt e dt e dt

e e e e e e

e dt s s s s s s

    

      



  

    

 

         

 

  



En el caso de

a



0 ^{L H t}  ⁽ ^a ⁾  ¹

  s

Ejemplo 4. Escriba a en términos de funciones escalón unitario

3

2

0 4

( ) 2 3 4 6

5 6

t t

f t t t

t

  

     

 



Escribiendo a usando el concepto de función escalón unitario, tenemos que:

Teorema 4.9 Teorema de Traslación en

Suponga que { } existe para

. Si

es una constante positiva, entonces

{ }

(13)

y recíprocamente, una transformada inversa de Laplace de está dada

{

}

A este teorema, también se le llama segundo teorema de traslación.

Ejemplo 5. Encuentre la transformada de Laplace.

 

5. L cos 2 ( tu t   )

Como podemos observar, la expresión (5) no se ajusta al formato del segundo teorema de traslación, por tal motivo tenemos que acomodar la expresión para poder aplicar el teorema.

Hagamos la siguiente conversión:

 

2 cos(2 2 2 ) cos (2 2 ) 2

co t  t      t    

Usando la identidad trigonométrica del coseno de la suma de dos ángulos, tenemos que:

 

2 cos(2 2 2 ) cos (2 2 ) 2

cos (2 2 ) 2 cos(2 2 )cos 2 (2 2 ) 2

cos(2 2 )(1) (2 2 )(0) cos(2 2 ) cos 2( ) ~ (6)

co t t t

t t sen t sen

t sen t t t

   

     

   

     

     

       

Usando (6), podemos reescribir la expresión:

 ^{cos 2(} ^{) (} ^{) ~ (7)} 

L t   u t  

Observamos que la expresión (7) si se ajusta al segundo teorema de traslación.

Haciendo uso de la tabla de la transformada de Laplace:

 ^{cos 2(} ⁾ 

₂

4 L t s

 s

 



^.

La solución final viene expresada como:

₂

4 s e

s







(14)

Función periódica

Antes habíamos calculado la transformada de Laplace para funciones periódicas como

y

, que son funciones continuas suaves (diferenciables). Pero, en muchas aplicaciones de ingeniería, frecuentemente nos encontramos con funciones periódicas que tienen un comportamiento discontinuo.

Podemos ver algunos ejemplos como los que se muestran a continuación:

Estas funciones pueden representarse como series infinitas de términos que involucran funciones escalonadas; una vez expresada en tal forma, podemos usar ese resultado para obtener la transformada de Laplace.

Definición. Una función es periódica con período si

para todo en el dominio de

Teorema 4.10. Transformada de una función periódica

Si tiene período y es continua en

[ ],

entonces

 ^{( )}  ^{( )}

⁰

^{( )} ^.

1 1

T st

T

sT sT

e f t dt L f t F s

e e



 

 

 



(15)

En términos de la función escalón unitario de Heaviside, el teorema 5.10 puede ser expresado de la siguiente manera:

Sea

,

definida para todo

, es una función periódica con período

entonces

   ^{( )} 

( ) 1

T sT

L f t L f t

e

^

  ^.

Ejemplo 6. Halle la transformada de Laplace de la función dada, siendo ésta periódica.

y tiene período 2.

Aplicando el teorema 5.10 en su segunda versión:

 

( ) ( ) ( ) ( ) f t

T 

f t u t



u t



T

 

( ) ( ) ( 2) ~ (7) f t

T 

t u t



u t



Desarrollamos (7):

( ) ( ) ( 2) ( ) ( 2 2) ( 2)

( ) ( ) ( 2 2) ( 2) ( ) ( 2) ( 2) 2 ( 2) ~ (8)

T

f t tu t tu t tu t t u t

f t tu t t u t tu t t u t u t

       

          

Como la función dada es periódica entonces,

         

 

2

2 2

2 2 2 2 2

1 ( ) ( 2) ( 2) 2 ( 2)

1 1 1 1 2 1 1 2

1 1

s

s s

L t L tu t L t u t L u t

e

e se

L t e e

e s s s e s



 

     



   

 

        

  ¹

₂ ²

²

₂ ²

(1 )

s s

s

e se

L t s e

 



 

 

Función gamma

Definición. La función gamma se define como

∫

(16)

Una propiedad importante de la función gamma es la relación recursiva

Para , digamos , entonces la relación recursiva puede aplicar varias veces para obtener

De la definición tenemos que:

4.8 Convolución, Función Impulso y Delta de Dirac

Definición. Sean

y

funciones continuas por partes en

[

. La convolución de

y

,

se denota por

, se

define como

∫

Propiedades de la convolución

Teorema 5.11. Sean

y

continuas por partes en

[

. Entonces

1.

2.

3.

4.

4.11 Teorema de Convolución

Teorema 5.12.

y

continuas por partes en

[

y de orden exponencial

;

^sean

{ }

^y

{ }.

Entonces

{ } { }

o en la forma inversa más usual,

{ }

Ejemplo 7. Use el teorema de la convolución para determinar la transformada inversa de Laplace de la función dada.

{

} {

}

(17)

Sabemos que: ¹

1

¹

1

²

y

1 2

t t

L e L e

s s



       

 

       



Por el teorema de la convolución:

1

2

* ,

( 1)( 2

t t

L e e

s s



        

  ^entonces

 

3

2 2 3 3

0 0

0 4

* 1

3 3

3

t v t

t t

t t t v v t v t t t

t t

e e e e dv e dv e e e

e e

           

 

      



 

La función impulso y delta de Dirac

Definición. La función delta de Dirac

 ( ) t

se caracteriza por las dos propiedades siguientes:



^0,^, ⁰^0,

-

1). ( )

2). ( ) ( ) (0)

t

y

f t t dt f





 





 

Para cualquier función

f t ( )

que sea continua en un intervalo abierto que contiene a

t  0

.

Función Impulso

Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como un bate de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.

(18)

Definición. Esta función está simbolizada por

y se define como

{

De manera coloquial, decimos que una función impulso unitario, es una señal que vale cero para

y su valor es uno cuando

Teorema 4.12. Área Bajo la Función Impulso

La función

se llama impulso unitario, porque posee la propiedad de

integración ₀

0^

 ( t



t dt )



1. 

Demostración:

 

0 0 0

0 0

1 1 1

( ) (0) (0)

2 2 2

1 1

( ) (2 ) 1

2 2

. .

t a t a t a

t a

t a t a

t t dt dt dt dt t t a t a

a a a

a a

Q E D





   

  

        

   

   

Propiedad del Filtrado

Una propiedad importante de la función impulso unitario que es de significado práctico es la llamada propiedad del filtrado, que establece que si es continua en

entonces

^

f t ( ) (  t a dt ) f a ( )

  



Esto se conoce como la propiedad del filtrado porque provee un método que permite aislar, o separar, el valor de la función en cualquier punto particular.

Por razones puramente teórica es conveniente usar límites infinitos en la ecuación anterior, aunque en la realidad pueden ser sustituidos por límites finitos. Esto es cierto, dado que para

^{, donde}

son constantes ^

f t ( ) ( t a dt ) f a ( )





 



(19)

La transformada de Laplace de las funciones impulsos

Usando la definición de transformada de Laplace, tenemos que para cualquier

 

( )

0

( )

^st

L  t



a





^

 t



a e dt

^

la cual, aplicando la propiedad de filtrado, da el importante resultado

^L  ^ ⁽ ^t ^ ^a ⁾  ^ ^e

^^as

Expresando en término de la inversa de la transformada de Laplace,

^L

^¹

  ^e

^^as ^

^ ⁽ ^t

^

^a ⁾

4.9 Función de transferencia

Definición. La función de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo es la razón de la transformada de Laplace de la función de salida del sistema a la transformada de Laplace de la función de entrada , bajo el supuesto que todas las condiciones iniciales se anulan (el sistema inicialmente está en estado de reposo).

( ) ( ) ( ) H s Y s



G s

4.10 Función Respuesta al Impulso

Definición. Es la respuesta del sistema a un impulso unitario aplicado en el tiempo

cuando todas las condiciones iniciales son cero. Esta viene dada por

^{h t} ^{( )} ^ ^L

^¹

 ^{H s} ^{( )} 

Teorema 4.13. Solución Mediante la Función de Respuesta al Impulso Sea un intervalo que contiene al origen. La solución única del problema con condiciones iniciales

donde

y

son constantes y es continua en , está dada por

( ) ( ) * ( )

_k

( )

0^t

( ) ( )

_k

( ) ~ (16)

y t



h t g t



y t



 h t



v g v dv y t



(20)

Siendo

h t ( )

la función de respuesta al impulso y

y t

_k

( )

es la solución única.

Ejemplo. Un sistema lineal queda descrito por el problema de condiciones iniciales dado. Determine la función de transferencia para el sistema, la función de respuesta al impulso y dé una fórmula para la solución del problema con valores iniciales.

1. '' 9 y  y  g t ) ); (0) y  2, '(0) y  -3

Aplicamos transformada de Laplace a la ecuación (1) en ambos lados:

s Y s

²

( )



sy (0)



y '(0)



9 ( ) Y s



G s ( )

Por la definición de función de transferencia tenemos que:

2

( ) 9 ( ) ( ) ( )( 9) ( ) ~ (2) s Y s Y s G s

Y s s G s

 

Despejando de (2):

²

( ) ( ) ~ (3)

( 9)

Y s G s



s



De la ecuación (3) obtenemos la función de transferencia:

( )

₂

1 ( ) ~ (4)

( ) ( 9)

H s Y s

G s s

 



Aplicamos la inversa de la transformada de Laplace en (4):

¹ ₂

1 ( ) ( 9)

h t L s



 

     

Entonces, la función de respuesta al impulso es:

3 ( ) 3

sen t h t 

Revolvemos la ecuación homogénea asociada a (1):

y '' 9  y  0 ~ (5)

Escribimos la ecuación auxiliar de (5)

r

²

     9 0 r 3 i

(21)

y t

_k

( )



c

₁

cos3 t



c sen t

₂

3 ~ (6)

Derivamos la ecuación (6) y evaluamos

¹ ²

1 2

cos(0) (0) 2

~ (8) 3 (0) 3 cos(0) 3

c c sen

c sen c

  

     

Resolviendo (8):

1

2,

2

1 c



c

  Entonces,

y t

_k

( )



2cos3 t



sen t 3 ~ (9)

La fórmula para la solución del problema con valores iniciales es:

y t ( )   h t (  v g v dv ) ( )  2cos3 t  sen t 3

Bibliografía

Unidad 4. Transformada de Laplace

2013