Menores y cofactores.
Expansi´ on del determinante por cofactores
Objetivos. Definir menores y cofactores de una matriz, demostrar la f´ormula de expansi´on por cofactores.
Requisitos. Definici´on y propiedades b´asicas del determinante de una matriz cuadrada.
Menores y cofactores
1. Motivaci´on del concepto de cofactor. El determinante de tercer orden se puede escribir como una combinaci´on lineal de los elementos de la primera fila, y los coeficientes correspondientes son determinantes de segundo orden con ciertos signos:
det
A1,1 A1,2 A1,3 A2,1 A2,2 A2,3 A3,1 A3,2 A3,3
= A1,1(A2,2A3,3− A2,3A3,2) − A1,2(A2,1A3,3− A2,3A3,1) + A1,3(A2,1A3,2− A2,2A3,1)
= A1,1
A2,2 A2,3 A3,2 A3,3
+ A1,2
−
A2,1 A2,3 A3,1 A3,3
+ A1,3
A2,1 A3,2 A3,1 A3,2
.
Vemos que det(A) se puede expandir en una suma de productos: las entradas de la primera fila se multiplican por ciertos cofactores. Vamos a establecer una f´ormula similar para el caso general.
2. Definici´on (menor de una matriz). Sea A ∈ Mm,n(F), 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ir ≤ m, 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jr ≤ n. El menor de rango r de la matriz A, correspondiente a las filas i1, . . . , ir y las columnas j1, . . . , jr, se define como el determinante de la submatriz A{i1,...,ir},{j1,...,jr} y se denota por MA
i1 i2 . . . ir j1 j2 . . . jr
.
3. Ejemplo. Sea
A =
3 −4 1 0
7 2 −1 3
2 3 1 4
.
Entonces MA 1 3 2 3
=
−4 1 3 1
= −7.
Expansi´on del determinante por cofactores, p´agina 1 de 4
4. Definici´on (cofactor). Sean A ∈ Mn(F), p, q ∈ {1, . . . , n}. El cofactor (o el adjunto) de la entrada (p, q) de la matriz A se define como el menor correspondiente a las filas {1, . . . , n} \ {p} y las columnas {1, . . . , n} \ {q}, multiplicado por (−1)p+q. Lo denotamos por bAp,q:
Abp,q := (−1)p+qMA 1, . . . , p − 1, p + 1, . . . , n 1, . . . , q − 1, q + 1, . . . , n
.
Recordamos que MA
1, . . . , p − 1, p + 1, . . . , n 1, . . . , q − 1, q + 1, . . . , n
es el determinante de la matriz obte- nida al eliminar la fila p y la columna q de A, as´ı que
Abp,q = (−1)p+qdet A{1,...,n}\{p},{1,...,n}\{q} .
5. Ejemplo. Sea
A =
−3 4 2
1 0 5
7 3 −1
. Entonces
Ab2,3 = det −3 4 7 3
= −37.
6. Nota sobre la notaci´on. En muchos libros la (i, j)-´esima entrada de la matriz A se denota por ai,j y su cofactor se denota por Ai,j. En estos apuntos usamos la notaci´on Ai,j para la (i, j)-´esima entrada de A y por eso introducimos otra notaci´on (no est´andar) para los cofactores.
7. Observaci´on muy importante: el cofactor de la entrada (i, j) no depende del valor de la entrada A. Por definici´on, el cofactor de la entrada (i, j) se calcula usando las entradas de A ubicadas en las filas {1, . . . , n} \ {p} y en las columnas {1, . . . , n} \ {n}.
Esto implica que el cofactor no depende del valor de la entrada (i, j). M´as a´un, el cofactor de la entrada (i, j) no depende de la i-´esima fila ni de la j-´esima columna de A.
Por ejemplo, las siguientes dos matrices A y B tienen el mismo cofactor (1, 3):
A =
4 −2 6
7 8 −5
1 −4 −1
, B =
−7 −9 5
7 8 0
1 −4 6
, Ab1,3 = bB1,3 =
7 8
1 −4
= −36.
Expansi´on del determinante por cofactores, p´agina 2 de 4
8. Lema (determinante de una matriz con la primera fila casi nula). Sean A ∈ Mn(F), q ∈ {1, . . . , n}. Supongamos que a1,q = 0 para todo k ∈ {1, . . . , n} \ {q}. Entonces
det(A) = A1,qAb1,q.
Demostraci´on. Usando q − 1 transposiciones de columnas, desplacemos el elemento (1, q) a la posici´on (1, 1). Formalmente, consideremos la matriz B que se obtiene de A al aplicar las operaciones elementales:
Cq ↔ Cq−1, Cq−1 ↔ Cq−2, . . . , C2 ↔ C1. Entonces
B∗,1 = A∗,q,
B∗,k = A∗,k−1 cuando k ≤ q;
B∗,k = A∗,k cuando k > q.
Como sabemos,
det(B) = B1,1· MB 2 . . . n 2 . . . n
. De aqu´ı
det(A) = (−1)q−1A1,q· MA
2, . . . , n {1, . . . , n} \ q
= A1,q· bA1,q.
9. Lema (determinante de una matriz con una fila casi nula). Sean A ∈ Mn(F), p, q ∈ {1, . . . , n}. Supongamos que ap,k = 0 para todo k ∈ {1, . . . , n} \ {q}. Entonces
det(A) = Ap,qAbp,q.
Demostraci´on. Usando p − 1 transposiciones de filas y q − 1 transposiciones de columnas, desplacemos el elemento (p, q) a la posici´on (1, q). Formalmente, consideremos la matriz B que se obtiene de A al aplicar las operaciones elementales:
Rp ↔ Rp−1, Rp−1↔ Rp−2, . . . , R2 ↔ R1. Entonces
B1,∗ = Ap,∗;
Bk,∗ = Ak−1,∗ cuando k ≤ p;
Bk,∗ = Ak,∗ cuand k > p.
A la matriz B apliquemos el lema anterior:
det(B) = B1,q(−1)q−1MB
2, . . . , n {1, . . . , n} \ {q}
. Usando que det(A) = (−1)p−1det(B), tenemos:
det(A) = Ap,q(−1)p+q−2MA {1, . . . , n} \ {p}
{1, . . . , n} \ {q}
= Ap,qAbp,q.
Expansi´on del determinante por cofactores, p´agina 3 de 4
10. Teorema (expansi´on del determinante por cofactores). Sean A ∈ Mn(F), p ∈ {1, . . . , n}. Entonces:
det(A) =
n
X
k=1
Ap,kAbp,k; (1)
det(A) =
n
X
k=1
Ak,pAbk,p. (2)
11. Nota. La f´ormula (1) se llama expansi´on del determinante por cofactores a lo largo del p-´esimo rengl´on. La f´ormula (2) se llama expansi´on del determinante por cofactores a lo largo de la q-´esima columna.
Demostraci´on. Podemos escribir la p-´esima fila de A en forma Ap,∗ =
n
X
k=1
Ap,kek.
Usemos la linealidad del determinante con respecto a la p-´esima fila:
det(A) =
n
X
k=1
Det(A1,∗, . . . , Ap−1,∗, Ap,kek, Ap+1,∗, . . . , An,∗).
A cada sumando apliquemos el lema anterior:
det(A) =
n
X
k=1
Ap,kAbp,k.
12. Ejemplo. Calcule el siguiente determinante al expanderlo en la segunda fila; en la segunda columna:
det
3 −2 1
5 1 −2
4 2 3
.
13. Ejemplo. Calcule los determinantes usando las operaciones elementales y la expan- si´on en filas o columnas casi nulas:
det
−2 0 3
2 −4 5
2 1 −2
, det
2 0 0 −2
2 5 −1 0
−3 −3 −2 −3
4 4 4 5
.
14. Ejercicio. Calcule los determinantes usando varios m´etodos:
det
5 −3 2
4 4 −2
−2 3 2
, det
1 4 1 2
−4 3 2 1
2 2 −2 0
1 4 2 0
.
Expansi´on del determinante por cofactores, p´agina 4 de 4
