Cálculo en Varias Variables

Cálculo en Varias Variables

RESUMEN DE FÓRMULAS

Ingeniería civil

Ignacio F. Garcés

Universidad de los Andes 2018

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v1.8

Índice de contenidos

Prefacio ... 2

Material útil ... 2

Ejercicios y apuntes de Cálculo en Varias Variables ...2

Otros resúmenes de fórmulas para ingeniería ...2

1. Topología ... 3

1.1 Bola abierta ...3

1.2 Clasificación de conjuntos ...3

1.3 Interior ...3

1.4 Adherente ...3

1.5 Frontera ...3

1.6 Derivado ...4

1.7 Campos vectoriales y escalares ...4

1.8 Grafo ...4

1.9 Conjuntos de nivel ...4

2. Límites y continuidad... 5

2.1 Definición de límite para Cálculo Vectorial ...5

2.2 Teoremas y Criterios de estudio de límites ...5

2.3 Continuidad ...6

3. Cálculo diferencial en varias variables ... 7

3.1 Diferenciabilidad ...7

3.2 Derivadas parciales ...7

3.3 Jacobiano ...7

3.4 Jacobiano y derivada ...7

3.5 Jacobiano y diferenciabilidad ...8

3.6 Continuidad de las derivadas parciales ...8

3.7 Resumen implicancias diferenciabilidad ...8

3.8 Regla de la cadena ...8

3.9 Gradiente ...9

3.10 Plano tangente ...9

3.11 Derivada direccional ...9

4. Derivadas de orden superior. Máximos y mínimos, etc. ... 10

4.1 Derivadas de orden superior ... 10

4.2 Clase ... 10

4.3 Hessiano ... 10

4.4 Teorema de Taylor ... 10

4.5 Extremos de funciones ... 10

4.6 Matrices positivas y negativas ... 11

4.7 Puntos críticos... 11

4.8 Teorema de los multiplicadores de Lagrange (optimización) ... 11

4.9 Lagrangeano ... 12

4.10 Hermosiano ... 12

5. Cálculo integral en varias variables ... 13

5.1 Sumas de Riemann ... 13

5.2 Teorama de Fubini ... 14

5.3 Integración sobre dominios más generales ... 14

5.4 Teorema de cambio de variables ... 14

5.5 Cambios de variable clásicos ... 15

5.6 Integración sobre curvas ... 15

5.7 Integración sobre superficies ... 16

5.8 Tablita resumen de curvas y superficies ... 17

5.9 Teorema de Pappus ... 17

5.10 Operadores diferenciales ... 18

6. Geometría diferencial e integral en ℝ³ ... 19

6.1 Clasificación de curvas y superficies ... 19

6.2 Teorema de Gauss (o de la divergencia) ... 19

6.3 Teorema de Stokes (o del rotor) ... 19

6.4 Teorema de Green ... 20

Bibliografía principal ... 21

Prefacio

Este es un resumen de la materia concerniente al ramo Cálculo en Varias Variableso también llamado Cálculo Vectorial. No considere este documento como pedagógico, en el sentido de que no se pretende enseñar o demostrar los contenidos, y se omiten ciertos detalles y formalidades matemáticas. En ciertos casos se usa una notación distinta a la usual, con el fin de ser más intuitiva y fácil de recordar.

El presente documento es sólo una ayuda complementaria para el estudiante, aún en desarrollo, incluso posiblemente con algunos errores.

Material útil

EJERCICIOS Y APUNTES DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES

⋆ Selección de material de Ignacio F. Garcés (libros, pruebas, etc.) → goo.gl/r73rM4 Material de CDI, Universidad de los Andes → goo.gl/kHNb4Q

Apuntes Universidad de Chile → goo.gl/ZhcyuN

Videos de Cálculo II, Universidad de los Andes → goo.gl/SRFHy2

OTROS RESÚMENES DE FÓRMULAS PARA INGENIERÍA

Trigonometría → goo.gl/TdyjuF

Cónicas → goo.gl/JL6gp8 Álgebra Lineal → goo.gl/eruxah

Cálculo I (Cálculo en una Variable) → goo.gl/uwF8NQ Ecuaciones Diferenciales → goo.gl/nBikNA

1. Topología

Para las siguientes definiciones, se considera 𝐴 ⊆ ℝ^𝑛.

1.1

BOLA ABIERTA

Son todos los vectores 𝑥⃗ que están a una distancia 𝑟 de un vector definido 𝑥⃗₀. Definición formal:

𝐵(𝑥⃗₀, 𝑟) = {𝑥⃗ ∈ ℝ^𝑛 ∶ dist(𝑥⃗, 𝑥⃗₀) < 𝑟}

1.2

CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

Diremos que el conjunto 𝐴 es:

▪ Abierto, si 𝐴 = int(𝐴)

▪ Cerrado, si 𝐴^𝐶 es abierto. También si 𝐴 = adh(𝐴)

▪ Acotado, si ∃𝑟 > 0 ∶ 𝐴 ⊆ 𝐵(0⃑ , 𝑟)

▪ Compacto, si es cerrado y acotado a la vez.

El conjunto de los reales ℝ y el vacío ∅ son ambos abiertos y cerrados a la vez.

Que un conjunto sea no abierto, no implica que sea cerrado.

1.3

INTERIOR

𝑎 ∈ 𝐴 es un punto interior de 𝐴 ⇔ (∃𝑟 > 0) ∶ 𝐵(𝑎, 𝑟) ⊆ 𝐴

int(𝐴) es el conjunto de todos los puntos interiores de 𝐴.

Siempre se cumple que:

▪ int(𝐴) ⊆ 𝐴

▪ int(𝐴) = 𝐴 ⇔ 𝐴 es abierto

1.4

ADHERENTE

El conjunto de todos los puntos adherentes a 𝐴 se denota como adh(𝐴), y se puede calcular como:

adh(𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ^𝑛∶ (∀𝑟 > 0) 𝐵(𝑥, 𝑟) ∩ 𝐴 = ∅}

O también

adh(𝐴) = (ℝ^𝑛∖ int(𝐴))^𝐶 Siempre se cumple que 𝐴 ⊆ adh(𝐴)

1.5

FRONTERA

La frontera (o borde) del conjunto 𝐴 ⊆ ℝ es

fr(𝐴) = 𝜕𝐴 = adh(𝐴) − int(𝐴)

1.6

DERIVADO

der(𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ^𝑛∶ (∀𝑟 > 0) [ (𝐵(𝑥, 𝑟) ∖ {𝑥}) ∩ 𝐴 ≠ ∅ ]}

Dibujito ilustrativo para comprender estos conceptos:

1.7

CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES

Sea 𝑓: ℝ^𝑛→ ℝ^𝑚, con 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ,

▪ Si 𝑚 > 1 ⟹ 𝑓 es un campo vectorial

▪ Si 𝑚 = 1 ⟹ 𝑓 es un campo escalar.

No existe restricción para 𝑛.

Si 𝑓 es campo vectorial, entonces necesariamente existen 𝑚 campos escalares asociados denotados como 𝑓_𝑖 y denominados funciones componentes de 𝑓. De esta forma, 𝑓 se podrá escribir como

𝑓 = ( 𝑓₁

⋮ 𝑓_𝑚

) Donde 𝑓_𝑖: ℝ^𝑛→ ℝ

De esta forma, por ejemplo, lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)𝑓(𝑥, 𝑦) = ( lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)𝑓₁(𝑥, 𝑦) , lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)𝑓₂(𝑥, 𝑦))

1.8

GRAFO

𝐺𝑟(𝑓) = {(𝑥, 𝑓(𝑥) ∈ ℝ^𝑛+𝑚) ∶ 𝑥 ∈ Dom(𝑓)}

El grafo es visible ⟺ 𝑛 + 𝑚 ≤ 3

1.9

CONJUNTOS DE NIVEL

Sea 𝑓: ℝ^𝑛→ ℝ un campo escalar. Su conjunto de nivel es:

𝐶_𝑎= {𝑥 ∈ ℝ^𝑛 | 𝑓(𝑥) = 𝑎}

con 𝑎 ∈ ℝ

El conjunto de nivel es visible ⟺ 𝑛 ≤ 3

Por lo tanto, tanto el grafo como el conjunto de nivel serán visibles si 𝑛 = 2 y 𝑚 = 1. Si esta última condición ocurre, el conjunto de nivel 𝑎 (𝐶_𝑎) es el dibujo de la función en el plano 𝑥, 𝑦 cuando 𝑧 = 𝑎. De esta forma, se puede esbozar el grafo al analizar los conjuntos de nivel.

Ejemplo → goo.gl/92pbXd

2. Límites y continuidad

2.1

DEFINICIÓN DE LÍMITE PARA CÁLCULO VECTORIAL

Sea 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ^𝑚.

Diremos que 𝑓 tiende a ℓ cuando 𝑥 tiende a 𝑎 si:

𝑎 ∈ der(𝐴) y

(∀𝜀 > 0)(∃𝛿 > 0) ∶ ‖𝑥 − 𝑎‖ < 𝛿 ⟹ ‖𝑓(𝑥) − ℓ‖ < 𝜀

2.2

TEOREMAS Y CRITERIOS DE ESTUDIO DE LÍMITES

TEOREMA DE ÁLGEBRA DE LÍMITES Sean 𝑓, 𝑔: 𝐴 ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ^𝑚, con lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = ℓ₁ ∧ lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = ℓ₂ 1) lim

𝑥→𝑎(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = ℓ₁± ℓ₂ 2) lim

𝑥→𝑎(𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)) = ℓ1· ℓ₂ ⟺ 𝑚 = 1 3) lim

𝑥→𝑎(𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)) =ℓ₁

ℓ2

⟺ 𝑚 = 1 ∧ ℓ₂≠ 0

TEOREMA DEL SANDWICH Sean 𝑓, 𝑔, ℎ ∶ 𝐴 ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ tales que:

1) 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ∀𝑥⃗ ∈ 𝐴 2) lim

𝑥⃗→𝑎𝑔(𝑥) = lim

𝑥⃗→𝑎ℎ(𝑥) = ℓ Entonces, lim

𝑥⃗→𝑎𝑓(𝑥) = ℓ

TEOREMA CERO POR ACOTADA Sean 𝑓, 𝑔: 𝐴 ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ tales que:

1) lim

𝑥⃗→𝑎𝑓(𝑥) = 0

2) ‖𝑔(𝑥)‖ ≤ 𝐶 ∀𝑥 ∈ 𝐴, con 𝐶 una constante (es decir, 𝑔 es acotada superiormente) Entonces, lim

𝑥⃗→𝑎(𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)) = 0

TEOREMA (…) DE LOS LÍMITES DE LOS SUB CONJUNTOS Sea 𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ un campo escalar.

Supongamos que lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = ℓ y que 𝐴₁, 𝐴₂⊆ Ω, con 𝑎 ∈ der(𝐴).

Si lim

𝑥→𝑎𝑓|_𝐴1(𝑥) ≠ lim

𝑥→𝑎𝑓|_𝐴2(𝑥) ⟹ lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) no existe.

Si estos dos últimos límites son iguales, no puedo concluir nada.

LÍMITES ITERADOS Sea lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦), se puede descomponer en dos sub-límites llamados iterados:

𝑥→𝑎lim(lim

𝑦→𝑏𝑓(𝑥, 𝑦)) y lim

𝑦→𝑏(lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥, 𝑦)) 1) Si ∃ lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦), y además alguno de los límites iterados existe y vale ℓ, entonces lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦) = ℓ.

2) Si ambos límites iterados existen y son distintos, entonces lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦) no existe.

3) Si al menos uno de los límites iterados no existe, no se puede concluir nada.

4) Tampoco podemos concluir nada si ambos límites iterados existen y son iguales.

Puede ocurrir que lim

(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓(𝑥, 𝑦) exista y valga ℓ, pero que ninguno de sus iterados exista.

COORDENADAS CARTESIANAS Y POLARES

Cartesianas: (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² Coordenadas polares: (𝜌, 𝜃)

Ambos tipos de coordenadas son equivalentes.

𝜌 = √𝑥²+ 𝑦²

𝜃 = { 𝜋

2, 𝑠𝑖 𝑦 > 0 ∧ 𝑥 = 0 arctg (𝑦

𝑥) , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0

−𝜋

2, 𝑠𝑖 𝑦 < 0 ∧ 𝑥 = 0

𝑥 = 𝜌 cos(𝜃) 𝑦 = 𝜌 sin(𝜃)

Así, se puede conformar un criterio que permite definir si el límite existe o no, y calcularlo en caso de existir.

(1) lim

(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ℓ (2) lim

(𝜌,𝜃)→(0,𝜃0) 𝑓(𝜌 cos(𝜃) , 𝜌 sin(𝜃)) = ℓ Con 𝜃₀ un real arbitrario.

Ambos límites son iguales, por lo que para determinar el límite (1), se puede estudiar (2), usando los criterios antes vistos. Si (2) no depende de 𝜃₀, entonces ambos límites existen y son iguales. Si (2) resulta ser

dependiente de 𝜃₀, entonces ningún límite existe.

2.3

CONTINUIDAD

Sea un campo vectorial 𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ^𝑚. 𝑓 es continuo en 𝑎 ⟺ lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

ÁLGEBRA DE CAMPOS CONTINUOS

Sean 𝑓, 𝑔: Ω ⊆ ℝ^𝒏→ ℝ^𝒏 campos continuos en 𝑎.

1) 𝑓 + 𝑔 es continuo en 𝑎

2) Si 𝑚 = 1, ⟹ 𝑓 · 𝑔 es continuo.

3) Si 𝑚 = 1 y 𝑔(𝑎) ≠ 0, ⟹ 𝑓/𝑔 es continuo.

3. Cálculo diferencial en varias variables

3.1

DIFERENCIABILIDAD

Sea 𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ^𝑚, con Ω un conjunto abierto

Diremos que 𝑓 es diferenciable en 𝑥⃗₀ ∈ Ω si existe una transformación lineal 𝐷𝑓(𝑥⃗₀): ℝ^𝑛→ ℝ^𝑚 tal que:

ℎlim⃑⃑⃗→0⃑⃑⃗( ‖𝑓(𝑥⃗0+ ℎ⃑⃗) − 𝑓(𝑥⃗₀) − 𝐷𝑓(𝑥₀) · ℎ⃑⃗‖

‖ℎ⃑⃗‖ ) = 0

𝐷𝑓(𝑥⃗₀) =

↑ notación

𝐽𝑇𝑓[𝑥⃗₀] se llama la derivada de 𝑓 en 𝑥⃗₀, la cual, en caso de existir, es única.

En cálculo vectorial, que 𝑓 sea diferenciable en 𝑥⃗₀ no implica que sea continua en 𝑥⃗₀.

Si alguna de las derivadas parciales de 𝑓 resulta no existir en un punto, entonces 𝑓 no es diferenciable en tal punto.

3.2

DERIVADAS PARCIALES

Sea 𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ un campo escalar.

La derivada parcial de la función 𝑓 en 𝑥⃗₀∈ int(Ω) respecto a la variable 𝑥𝑖, con 𝑖 = {1, … , 𝑛}, se define como:

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖

(𝑥⃗₀) =

↑ notación

𝑓_𝑥𝑖(𝑥⃗₀) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥⃗₀+ ℎ𝑒⃗_𝑖) − 𝑓(𝑥⃗₀) ℎ

con 𝑒⃗_𝑖 = (0,0, … ,1, … ,0,0) la 𝑖-ésima base canónica de ℝ^𝑛; con su 1 en la coordenada 𝑖. Esta base indica en qué dirección se está derivando.

3.3

JACOBIANO

La matriz representante de 𝐷𝑓(𝑥₀), en términos de las bases canónicas de ℝ^𝑛 y ℝ^𝑚, corresponde al Jacobiano de 𝑓, denotado como 𝐽𝑓[𝑥₀], el cual contiene a todas las derivadas parciales de 𝑓 y será entonces de la forma:

𝐷𝑓(𝑥₀) =

en↑ bases canónicas

𝐽𝑓[𝑥₀] = [

𝜕𝑓₁

𝜕𝑥₁(𝑥₀) ⋯ 𝜕𝑓₁

𝜕𝑥_𝑛(𝑥₀)

⋮ ⋱ ⋮

𝜕𝑓_𝑚

𝜕𝑥1

(𝑥₀) ⋯ 𝜕𝑓_𝑚

𝜕𝑥𝑛

(𝑥₀) ]

∈ ℳ_𝑚×𝑛(ℝ)

Al igual que 𝐷𝑓, en caso de existir, el Jacobiano es una matriz única.

Jacobiano de composición de funciones: 𝐽 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥₀) = 𝐽 𝑓(𝑔(𝑥₀)) · 𝐽 𝑔(𝑥₀)

3.4

JACOBIANO Y DERIVADA

El Jacobiano es distinto a la derivada de 𝑓 en 𝑥₀: 𝐽𝑓[𝑥₀] ≠ 𝐷𝑓(𝑥₀) Pero sí se cumple que

𝑇𝑓[𝑥₀](ℎ) = 𝐽𝑓[𝑥₀] · ℎ Con ℎ coordenado en las bases canónicas.

COROLARIO

▪ Si 𝑓 es diferenciable ⟹ ∃ 𝐽𝑓[𝑥₀]

▪ Si ∃ 𝐷𝑓(𝑥₀) ⟹ ( ∃ 𝐽𝑓[𝑥₀] 𝑦 ∴ ∃ todas las ∂)

▪ Pero si ∃ todas las ∂ ⇏ ∃ 𝐷𝑓(𝑥₀)

Evaluado en ℎ

3.5

JACOBIANO Y DIFERENCIABILIDAD

Si 𝑓: ℝ^𝑛→ ℝ^𝑚 es diferenciable en 𝑥₀, entonces todas las derivadas parciales de 𝑓 y sus funciones componentes 𝑓𝑗, en 𝑥₀ existen. Por ello el Jacobiano estará bien definido: todos sus elementos existen.

𝑓 diferenciable ⟹ 𝐽 𝑓[𝑥₀] bien definido Notar que esta implicancia es en un solo sentido solamente.

3.6

CONTINUIDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Si las derivadas parciales ^𝜕𝑓𝑗

𝜕𝑥_𝑖 (𝑥) existen, serán continuas en 𝑥₀ si lim

𝑥→𝑥₀

𝜕𝑓_𝑗

𝜕𝑥_𝑖(𝑥) =𝜕𝑓_𝑗

𝜕𝑥_𝑖(𝑥₀) Además, si esta condición se cumple, entonces 𝑓 es diferenciable en 𝑥₀.

Así, hay dos formas de demostrar que 𝑓 sea diferenciable o no: ésta ↑ (continuidad de las derivadas) o la mostrada en 3.1 (límite).

3.7

RESUMEN IMPLICANCIAS DIFERENCIABILIDAD

Donde es implicancia (⟹) y es no implicancia (⇏)

3.8

REGLA DE LA CADENA

Sea 𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ^𝑚 y 𝑔: Ψ ⊆ ℝ^k → ℝ^𝑝, por lo que (𝑔 ∘ 𝑓): Ω̃ ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ^𝑝 Con Ω̃ = {𝑥 ∈ Ω: 𝑓(𝑥) ∈ Ψ}

Supongamos que 𝑓 es diferenciable en 𝑥₀∈ Ω̃, y que 𝑔 es diferenciable en 𝑓(𝑥₀) ∈ Ψ.

Entonces, (𝑔 ∘ 𝑓) es diferenciable en 𝑥₀. Además, por regla de la cadena,

(𝑔 ∘ 𝑓)^′(𝑥₀) = 𝑔^′(𝑓(𝑥0)) · 𝑓^′(𝑥₀) En términos del Jacobiano:

𝐷⏟ _{(𝑔∘𝑓)}(𝑥₀)

∈ ℳ_𝑝×𝑛

= 𝐷⏟ _𝑔(𝑓(𝑥0))

∈ ℳ_𝑝×𝑛

⋅ 𝐷⏟ _𝑓(𝑥₀)

∈ ℳ_𝑚×𝑛

Esta última fórmula permite encontrar el Jacobiano de una función desconocida, la cual se sabe que es compuesta de otras dos funciones que sí son conocidas.

𝑓 diferenciable en 𝑥₀

𝑓 continua en 𝑥₀

𝜕𝑓_𝑗

𝜕𝑥_𝑖(𝑥₀) existen

𝜕𝑓_𝑗

𝜕𝑥_𝑖(𝑥₀) continuas

3.9

GRADIENTE

Si 𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ, entonces el vector 𝐽 𝑓(𝑥₀)^𝑇 se llama gradiente de 𝑓 en 𝑥₀, y de denota como ∇𝑓(𝑥₀).

∇𝑓(𝑥₀) = (𝐽 𝑓[𝑥₀])^𝑇 = (𝜕𝑓

𝜕𝑥1

(𝑥₀), … , 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑛

(𝑥₀))

𝑇

=

(

𝜕𝑓

𝜕𝑥₁(𝑥₀)

⋮

𝜕𝑓

𝜕𝑥_𝑛(𝑥₀) ) Con ∇𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ^𝑛

3.10

PLANO TANGENTE

Si se hace el cambio de variable 𝑥 = 𝑥_𝑜+ ℎ, para la definición de límite de Diferenciabilidad expuesta en 3.1, queda:

𝑥→𝑥lim₀

‖𝑓(𝑥) − [𝑓(𝑥₀) + ∇𝑓(𝑥₀) · (𝑥 − 𝑥₀)]‖

‖𝑥 − 𝑥₀‖ = 0

Sea

𝑓(𝑥₀) + ∇𝑓(𝑥₀) · (𝑥 − 𝑥₀) = 𝑍

Entonces 𝑍 corresponde a la ecuación de un plano, donde ∇𝑓(𝑥₀) el vector normal de dicho plano.

Este plano 𝑍 corresponde al plano tangente a 𝑓 en el punto 𝑥₀. Es la extensión de la recta tangente a una función de cálculo I (ℝ²), a cálculo II (ℝ^𝑛).

3.11

DERIVADA DIRECCIONAL

Se puede derivar en otra dirección que sea diferente a la de los vectores canónicos. De esta forma, de la definición 3.2, se reemplaza 𝑒_𝑖 (𝑖-ésima base canónica), con un vector normalizado cualquiera 𝑣:

𝐷_𝑣𝑓(𝑥₀) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥₀+ ℎ𝑣) − 𝑓(𝑥₀) ℎ

Con 𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ, y ℎ ∈ ℝ.

Entonces, al límite anterior se le llama derivada direccional en la dirección de 𝑣 de 𝑓 en 𝑥₀. Además, se cumple que

𝐷_𝑣𝑓(𝑥₀) = ∇𝑓(𝑥₀) · 𝑣 = ‖∇𝑓(𝑥₀)‖ · cos(𝜃) con 𝜃 el ángulo entre ambos vectores.

4. Derivadas de orden superior. Máximos y mínimos, etc.

4.1

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea 𝑓: ℝ^𝑛→ ℝ. Su derivada 𝛼̃-ésima será:

𝜕^𝛼̃𝑓

𝜕𝑥_𝑛^𝛼𝑛 … 𝜕𝑥₂^𝛼2 𝜕𝑥₁^𝛼1

donde 𝛼̃ = ∑ 𝛼𝑘

𝑛

𝑘=1

4.2

CLASE

Diremos que 𝑓 es de clase 𝑘, denotado como 𝑓 ∈ 𝐶^𝑘(Ω), si todas las derivadas parciales de 𝑓 con respecto a todas las variables son funciones continuas en Ω hasta el orden 𝑘.

Ejemplo: si 𝑓 ∈ 𝐶², entonces se cumplen:

(1) 𝑓 continua (2) 𝜕𝑓

𝜕𝑥_𝑖 continuas TEOREMA

Si 𝑓 ∈ 𝐶¹, entonces las derivadas parciales mixtas son iguales. Es decir, por ejemplo, si 𝑓: ℝ²→ ℝ, 𝑓 ∈ 𝐶¹ ⟹ 𝜕²𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝜕²𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

4.3

HESSIANO

El Hessiano o matriz Hessiana de 𝑓 en 𝑥₀ se calcula como la transpuesta del Jacobiano del gradiente de 𝑓:

𝐻𝑓(𝑥₀) = 𝐷 (∇𝑓)^𝑇 En bases canónicas, es de la forma

𝐽 (∇𝑓(𝑥₀))^𝑇 = [

𝜕²𝑓

𝜕𝑥₁²(𝑥₀) ⋯ 𝜕²𝑓

𝜕𝑥₁𝜕𝑥_𝑛(𝑥₀)

⋮ ⋱ ⋮

𝜕²𝑓

𝜕𝑥_𝑛𝜕𝑥₁(𝑥₀) ⋯ 𝜕²𝑓

𝜕𝑥_𝑛²(𝑥₀) ]

=↑ notación

[

𝑓_𝑥𝑥(𝑥₀) ⋯ 𝑓_1𝑛(𝑥₀)

⋮ ⋱ ⋮

𝑓_𝑛1(𝑥₀) ⋯ 𝑓_𝑛𝑛(𝑥₀)

] = 𝐻𝑓(𝑥₀)

Observación: si 𝑓 ∈ 𝐶¹ ⟹ 𝐻𝑓 es simétrica.

4.4

TEOREMA DE TAYLOR

Sea 𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ, con Ω un conjunto abierto. Recordando Cálculo I, se puede aproximar la función en un vecindario cercano a 𝑥₀∈ (𝑎, 𝑏) con un polinomio

𝑓(𝑥) ≈ ∑𝑓^(𝑘)(𝑥₀) ∙ (𝑥 − 𝑥₀)^𝑘

𝑘!

𝑛

𝑘=0

= 𝑓(𝑥₀) + 𝑓^′(𝑥₀)(𝑥 − 𝑥₀) +𝑓^′′(𝑥₀)(𝑥 − 𝑥₀)²

2! + ⋯

Haciendo ℎ = 𝑥 − 𝑥₀, reemplazando, y considerando los términos siguientes como resto 𝑅(𝑥 − 𝑥₀), queda 𝑓(𝑥₀+ ℎ) ≈ 𝑇(𝑥) = 𝑓(𝑥₀) + ∇𝑓(𝑥₀) · ℎ +ℎ^𝑇· (𝐻𝑓(𝑥₀)) · ℎ

2 + 𝑅(ℎ)

Con 𝑥₀, ℎ ∈ Ω ⊆ ℝ^𝑛. Si consideramos 𝑅(ℎ) = 0, es un polinomio de Taylor de orden 2, denotado 𝑇₂(𝑥).

4.5

EXTREMOS DE FUNCIONES

Sea 𝑓: Ω ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ. Si 𝑥₀∈ Ω cumple cualquiera de las siguientes premisas, es llamado extremo local de 𝑓.

𝑥₀ es un máximo local ⟺ ∃𝜀 tal que ∀𝑥 ∈ 𝐵(𝑥₀, 𝜀), se cumple que 𝑓(𝑥₀)≥𝑓(𝑥)

𝑥₀ es un máximo local estricto ⟺ ∃𝜀 tal que ∀𝑥 ∈ 𝐵(𝑥₀, 𝜀), se cumple que 𝑓(𝑥₀)>𝑓(𝑥) 𝑥₀ es un mínimo local ⟺ ∃𝜀 tal que ∀𝑥 ∈ 𝐵(𝑥₀, 𝜀), se cumple que 𝑓(𝑥₀)≤𝑓(𝑥)

𝑥₀ es un mínimo local estricto ⟺ ∃𝜀 tal que ∀𝑥 ∈ 𝐵(𝑥₀, 𝜀), se cumple que 𝑓(𝑥₀)<𝑓(𝑥)

TEOREMAS

▪ Si ∇𝑓(𝑥₀) = 0⃑⃗ ⟹ 𝑥₀ es punto crítico.

▪ Si 𝑓 tiene un extremo local estricto o no en 𝑥₀ ⟹ ∇𝑓(𝑥₀) = 0⃑⃗

▪ Un punto crítico corresponde a un 𝑥̅ tal que ∇𝑓(𝑥̅) = 0⃑⃗.

▪ Por esto último, si 𝑥₀ es extremo ⟹ 𝑥₀ es punto crítico.

Además, si 𝑥₀ es un máximo local [estricto] ⟹ 𝐻𝑓(𝑥₀) < 0 Si 𝑥₀ es mínimo local [estricto] ⟹ 𝐻𝑓(𝑥₀) > 0.

Pero si 𝐻𝑓(𝑥₀) ≥ 0 ∨ 𝐻𝑓(𝑥₀) ≤ 0, no se puede concluir nada sobre 𝑥₀.

4.6

MATRICES POSITIVAS Y NEGATIVAS

Sea 𝐴 ∈ ℳ_𝑛×𝑛, con 𝐴_𝑘 ∈ ℳ_𝑘×𝑘 sus matrices menores. (𝐴_𝑛= 𝐴)

También:

▪ 𝐴 es definida positiva (DP) si todos sus valores propios son > 0, o también si det(𝐴_𝑘) > 0.

▪ 𝐴 es semi definida positiva (SDP) si (…) son ≥ 0.

▪ 𝐴 es definida negativa (DN) si (…) son < 0.

▪ 𝐴 es semi definida negativa (SDN) si (…) son ≤ 0.

4.7

PUNTOS CRÍTICOS

Los puntos críticos 𝑥̃ de 𝑓 son los cuales cumplen que ∇𝑓(𝑥̃) = 0.

Además, si 𝑥̃ es un punto crítico:

▪ 𝑥̃ es mínimo local, si 𝐻𝑓(𝑥̃) ≥ 0 (SDP)

▪ 𝑥̃ es mínimo local estricto, si 𝐻𝑓(𝑥̃) > 0 (DP)

▪ 𝑥̃ es máximo local, si 𝐻𝑓(𝑥̃) ≤ 0 (SDN)

▪ 𝑥̃ es máximo local estricto, si 𝐻𝑓(𝑥̃) < 0 (DN)

Se denominará punto de silla a aquel punto crítico que no sea ni máximo ni mínimo.

Un máximo o mínimo es un punto crítico, pero un punto crítico no necesariamente es un máximo o mínimo.

4.8

TEOREMA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (OPTIMIZACIÓN)

Para resolver un problema de optimización de esta forma, se debe resolver el sistema:

∇𝑓(𝑥₀) = 𝜆 · ∇𝑔(𝑥₀)

𝑔(𝑥₀) = 𝐶

Donde 𝑓: ℝ^𝑛+𝑚 → ℝ es la función objetivo y 𝑔: ℝ^𝑛+𝑚→ ℝ^𝑚 representa las restricciones.

Con 𝑛 ∈ ℕ₀, 𝑚 ∈ ℕ, tales que 𝑚 ≤ 𝑛.

En se tienen 𝑛 + 𝑚 ecuaciones. Aparecen tras la suposición de que 𝑓 alcanza su máximo o mínimo en un 1

2

1

punto 𝑥₀ dentro de las restricciones, y que el jacobiano de 𝑔 es de rango completo (que tiene todas sus filas l.i.).

A los 𝜆 se les llama multiplicadores de Lagrange.

Buen documento sobre multiplicadores de Lagrange con ejemplos (inglés) → goo.gl/AT3SMm

4.9

LAGRANGEANO

Con lo anterior, podemos entonces con Lagrange encontrar puntos críticos. El Lagrangiano sirve para decidir si estos puntos son máximos, mínimos, o puntos silla. Por ahora trabajaremos con 𝑚 = 1 definido anteriormente.

El Lagrangiano (𝐿) se define como

𝐿(𝑥, 𝜆) = 𝑓(𝑥) − 𝜆 · 𝑔(𝑥) Con 𝑥 ∈ ℝ^𝑛+𝑚 ⟹ 𝑥 ∈ ℝ^𝑛+1. 𝜆 ∈ ℝ.

Por composición, 𝐿: ℝ^𝑛+2→ ℝ

Luego, el gradiente del Lagrangiano, recordando que estamos considerando solo 𝑚 = 1, será

∇𝐿_(𝑚=1)=

(

𝜕𝑓

𝜕𝑥₁− 𝜆𝜕𝑔

𝜕𝑥₁

⋮

𝜕𝑓

𝜕𝑥_𝑛+1− 𝜆 𝜕𝑔

𝜕𝑥_𝑛+1

−𝑔 )

Entonces, el Jacobiano del gradiente es

𝐽(∇𝐿) =

[

𝜕²𝑓

𝜕𝑥₁²− 𝜆𝜕²𝑔

𝜕𝑥₁² ⋯ 𝜕²𝑓

𝜕𝑥₁²− 𝜆𝜕²𝑔

𝜕𝑥₁² − 𝜕𝑔

𝜕𝑥₁

⋮ ⋱ ⋮ ⋮

𝜕²𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥𝑛+1

− 𝜆 𝜕²𝑔

𝜕𝑥1𝜕𝑥𝑛+1

⋯ 𝜕²𝑓

𝜕𝑥_𝑛+1² − 𝜆 𝜕²𝑔

𝜕𝑥_𝑛+1² − 𝜕𝑔

𝜕𝑥𝑛+1

− 𝜕𝑔

𝜕𝑥₁ ⋯ − 𝜕𝑔

𝜕𝑥_𝑛+1 0

]

∈ ℳ(𝑛+2)×(𝑛+2)

4.10

HERMOSIANO

Reordenando 𝐽(∇𝐿), de forma que primero última columna se corre a la primera, y luego la última fila se acopla sobre la primera, formándose así el Hermosiano (© profe Hernández).

ℋ =

[

0 − 𝜕𝑔

𝜕𝑥₁ ⋯ − 𝜕𝑔

𝜕𝑥_𝑛+1

− 𝜕𝑔

𝜕𝑥₁

𝜕²𝑓

𝜕𝑥₁²− 𝜆𝜕²𝑔

𝜕𝑥₁² ⋯ 𝜕²𝑓

𝜕𝑥_𝑛+1𝜕𝑥₁− 𝜆 𝜕²𝑔

𝜕𝑥_𝑛+1𝜕𝑥₁

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

− 𝜕𝑔

𝜕𝑥_𝑛+1

𝜕²𝑓

𝜕𝑥₁𝜕𝑥_𝑛+1− 𝜆 𝜕²𝑔

𝜕𝑥₁𝜕𝑥_𝑛+1 ⋯ 𝜕²𝑓

𝜕𝑥_𝑛+1² − 𝜆 𝜕²𝑔

𝜕𝑥_𝑛+1² ]

∈ ℳ(𝑛+2)×(𝑛+2)

El Hermosiano es una transformación lineal.

Definiendo ℋ_𝑘 ∈ ℳ_𝑘×𝑘 como la submatriz menor 𝑘-ésima de ℋ. Con 𝑘 = {3, … , 𝑛 + 2}. Notar que ℋ_𝑛+2= ℋ.

Se le suele nombrar generalmente como matriz Hessiana Orlada, al parecer.

PROPIEDADES

Sea el Hermosiano evaluado en algún 𝑥₀.

▪ Si det(ℋ_𝑘) < 0 ⟹ 𝑥₀ es un mínimo.

▪ Si los determinantes van sucesivamente cambiando de signo: det(ℋ₃) > 0, det(ℋ₄) < 0, det(ℋ₅) > 0, … ,

⟹ 𝑥₀ es un máximo.

5. Cálculo integral en varias variables

5.1

SUMAS DE RIEMANN

Recordando las sumas de Riemann de Cálculo I:

Para una función 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊆ ℝ → ℝ, con 𝒫([𝑎, 𝑏]) las particiones de [𝑎, 𝑏].

Así, 𝑎 = 𝑥₀≤ 𝑥₁ ≤ ⋯ ≤ 𝑥_𝑛= 𝑏. Sea 𝑝 ∈ 𝒫([𝑎, 𝑏]) Si 𝑀_𝑖 = sup

𝑥∈[𝑥_𝑖,𝑥_𝑖+1]{𝑓(𝑥)} y 𝑚_𝑖 = inf

𝑥∈[𝑥_𝑖,𝑥_𝑖+1]{𝑓(𝑥)}

Luego, se definan las sumas superior 𝑆 e inferior 𝑆 de Riemann 𝑆(𝑓, 𝑝) = ∑ 𝑀_𝑖

𝑛−1

𝑖=0

(𝑥_𝑖+1− 𝑥_𝑖) 𝑆(𝑓, 𝑝) = ∑ 𝑚_𝑖

𝑛−1

𝑖=0

(𝑥_𝑖+1− 𝑥_𝑖)

Sean las integrales superior e inferior

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= inf

𝑝∈𝒫([𝑎,𝑏]){𝑆(𝑓, 𝑝)} ≥ 𝑆(𝑓, 𝑝) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= sup

𝑝∈𝒫([𝑎,𝑏]){𝑆(𝑓, 𝑝)} ≤ 𝑆(𝑓, 𝑝)

Luego, 𝑓 es integrable si las integrables superior e inferior son iguales, y entonces su integral es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏

Ahora veamos el caso de Cálculo II:

Sea 𝑓: ([𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑]) ⊆ ℝ²→ ℝ

Ahora en vez de sumarse rectángulos, ahora se sumarán paralelepípedos.

Sea 𝑝 ∈ 𝒫([𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑]) = 𝒫 de la forma 𝑝(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖): 𝑎 = 𝑥₀ ≤ 𝑥₁≤ ⋯ ≤ 𝑥_𝑛 = 𝑏 y 𝑐 = 𝑦₀≤ 𝑦₁ ≤ ⋯ ≤ 𝑦_𝑚 = 𝑑 Así, las sumas superior e inferior, respectivamente, serán

𝑆(𝑓, 𝑝) = ∑ ∑ 𝑀_𝑖𝑗𝐴_𝑖𝑗

𝑚−1

𝑗=0 𝑛−1

𝑖=0

𝑆(𝑓, 𝑝) = ∑ ∑ 𝑚_𝑖𝑗𝐴_𝑖𝑗

𝑚−1

𝑗=0 𝑛−1

𝑖=0

Con 𝐴_𝑖𝑗 = (𝑥_𝑖+1− 𝑥_𝑖)(𝑦_𝑗+1− 𝑦_𝑗) el área basal de cada paralelepípedo, de altura 𝑚 los menores y 𝑀 los mayores.

Luego, se definen las integrales superior e inferior

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 =

𝑏 𝑑

𝑎 𝑏

𝑝∈𝒫inf{𝑆(𝑓, 𝑝)} ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 =

𝑏 𝑑

𝑎 𝑐

sup

𝑝∈𝒫{𝑆(𝑓, 𝑝)}

Si las integrales superior e inferior son iguales, entonces 𝑓 es integrable. La integral de 𝑓 se denota como

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑑

𝑐 𝑏

𝑎

Todo lo anterior se extiende para una función de ℝ^𝑛→ ℝ.

5.2

TEORAMA DE FUBINI

Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] ⊆ ℝ²→ ℝ Sean además las funciones

ℎ: 𝑦 ⟼ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑘: 𝑥 ⟼ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝑑

𝑐

Supongamos que:

1) 𝑓 es integrable en [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑].

2) ℎ es integrable en [𝑐, 𝑑].

3) 𝑘 es integrable en [𝑎, 𝑏].

Entonces, todas las integrales son iguales:

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑑

𝑐 𝑏

𝑎

𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑏

𝑎 𝑑

𝑐

𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

𝑏

𝑎⏟

ℎ ]

𝑑𝑦

𝑑

𝑐

= ∫ [

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑑

𝑐

𝑑𝑦

⏟

𝑘 ]

𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Este teorema se extiende de manera intuitiva en más dimensiones.

5.3

INTEGRACIÓN SOBRE DOMINIOS MÁS GENERALES

Sea 𝑓: 𝑅 ⊆ ℝ²→ ℝ, con 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑦 ∈ [𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥)]}

La integral será

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

= ∫ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

] 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Con 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑥) los valores máximo y mínimo que alcanza 𝑓 en el eje 𝑦 (conjuntos de nivel). Delimitan a 𝑅.

𝑓, 𝑓: ℝ → ℝ.

También, definiendo 𝑅 ahora como 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ [𝑔(𝑦), 𝑔(𝑦)] , 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑]}

⟹ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

= ∫ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

𝑔(𝑦)

𝑔(𝑦)

] 𝑑𝑦

𝑑

𝑐

Con 𝑔(𝑦) y 𝑔(𝑦) los valores máximo y mínimo que alcanza 𝑓 en el eje 𝑥. Delimitan a 𝑅 también.

La integral ∫ 𝑓_𝑅 , en este caso, representa el volumen bajo la curva 𝑓.

5.4

TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLES

Recordando este teorema de Cálculo I:

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) · 𝑔^′(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

con 𝑔^′(𝑥) ≠ 0 ⟹ 𝑔 es biyectiva ⟹ 𝑔 es invertible Haciendo entonces 𝜇 = 𝑔(𝑥) ⟹ 𝑑𝜇 = 𝑔^′(𝑥)𝑑𝑥

∴ 𝐼 = ∫ 𝑓(𝜇)𝑑𝜇

𝑔(𝑏)

𝑔(𝑎)

En Cálculo II:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑇(𝐷)

= ∫ 𝑓(𝑇(𝜇)) · |det(𝐽𝑇(𝜇))| 𝑑𝜇

𝐷

Con 𝜇 y 𝑑𝜇 vectores 𝑛-dimensionales, y con 𝑇: 𝐷 ⊆ ℝ^𝑛→ ℝ una transformación lineal biyectiva, por lo que 𝐽𝑇(𝜇) ≠ 0_ℳ y 𝑇 invertible ⟹ det(𝐽𝑇(𝜇)) ≠ 0.

5.5

CAMBIOS DE VARIABLE CLÁSICOS

2D: COORDENADAS POLARES

{ 𝑥 = 𝑟 · cos(𝜃) 𝑦 = 𝑟 · sin(𝜃)

𝑇: ℝ²→ ℝ² tal que (𝑟, 𝜃) ⟼ (𝑥, 𝑦) = (𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 sin(𝜃))

|det(𝐽𝑇(𝑟, 𝜃))| =

↑ notación

𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑟, 𝜃)= 𝑟

3D: COORDENADAS CILÍNDRICAS {

𝑥 = 𝜌 cos(𝜃) 𝑦 = 𝜌 sin(𝜃) 𝑧 = 𝑧

⟹ |det(𝐽𝑇(𝜌, 𝜃, 𝑧))| = 𝜌 Con 𝜃 ∈ [0,2𝜋]; 𝜌 positivo.

3D: COORDENADAS ESFÉRICAS

Definiendo 𝜑 como el ángulo que se forma con el eje 𝑧, y 𝜃 con el eje 𝑥:

{

𝑥 = 𝜌 sin(𝜑) cos(𝜃) 𝑦 = 𝜌 sin(𝜑) sin(𝜃) 𝑧 = 𝜌 cos(𝜑)

⟹ |det(𝐽𝑇(𝜌, 𝜃, 𝜑))| = 𝜌²sin(𝜑)

En este último caso, con 𝜃 ∈ [0,2𝜋]; 𝜑 ∈ [0, 𝜋]; 𝜌 ∈ ℝ₀⁺.

5.6

INTEGRACIÓN SOBRE CURVAS

Curva:

𝛾: [𝑎, 𝑏] ⊆ ℝ → ℝ³

𝑡 ⟼ 𝛾(𝑡) = (𝛾₁(𝑡), 𝛾₂(𝑡), 𝛾₃(𝑡))

La curva se comporta unidimensionalmente. Es como una línea en el espacio.

LARGO DE CURVA

Largo = ∫ 𝑑𝑆

𝛾

= ∫‖𝛾^′(𝑡)‖ 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

con 𝑑𝑠 = ‖𝛾^′(𝑡)‖ 𝑑𝑡 el llamado diferencial de largo.

Interpretación física: ℓ representa la masa de un cuerpo (cuerda, por ejemplo). La masa será igual a ℓ sólo si el cuerpo tiene densidad constante.

INTEGRAL DE TRAYECTORIA

Considerando lo anterior, la masa de un cuerpo representado como curva es

𝑚 = ∫ 𝑓 · 𝑑𝑆

𝛾

= ∫ 𝑓 · ‖𝛾^′(𝑡)‖ 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Con 𝑓 la función de densidad.

CENTRO DE MASAS

Siguiendo con lo anterior, se puede calcular el centro de masas de un cuerpo representado por una curva en el espacio (por ejemplo, un resorte).

Coordenadas del centro de masa: (𝑥_𝐶𝑀, 𝑦_𝐶𝑀, 𝑧_𝐶𝑀) ∈ ℝ³ 𝑥_𝐶𝑀= 1

𝑚∫ 𝑥 · 𝑓 · 𝑑𝑆

𝛾

𝑦_𝐶𝑀= 1

𝑚∫ 𝑦 · 𝑓 · 𝑑𝑆

𝛾

𝑧_𝐶𝑀= 1

𝑚∫ 𝑧 · 𝑓 · 𝑑𝑆

𝛾

INTEGRAL DE LÍNEA

Una curva puede representar la trayectoria de un objeto. Sea 𝐹 una fuerza que actúa sobre él, sin afectar su trayectoria, el trabajo que esta fuerza ejerce se puede calcular como

𝑊 = ∫ 𝐹(𝛾(𝑡)) · 𝛾^′(𝑡) 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

= ∫ 𝐹(𝛾(𝑡)) · 𝛾^′(𝑡)

‖𝛾^′(𝑡)‖𝑑𝑡 · ‖𝛾^′(𝑡)‖

𝑏

𝑎

Con ^{𝛾′(𝑡)}

‖𝛾^′(𝑡)‖= 𝑡̂ el vector tangente unitario a la curva.

⟹ 𝑊 = ∫ 𝐹 · 𝑡̂ 𝑑𝑆

𝛾

5.7

INTEGRACIÓN SOBRE SUPERFICIES

Superficie:

𝜎: [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] ⊆ ℝ²→ ℝ³ 𝜎(𝑠, 𝑡) ⟼ (𝑥, 𝑦, 𝑧)

La superficie se comporta bidimensionalmente. Es como una manta, sin grosor.

ÁREA

Área = ∫ 𝑑𝐴

𝜎

= ∫ ∫‖𝜎_𝑡× 𝜎_𝑠‖ 𝑑𝑠 𝑑𝑡

𝑏

𝑎 𝑑

𝑐

Con 𝑑𝐴 el diferencial de área. Usando abreviaciones 𝜎_𝑡 =^𝜕𝜎_𝜕𝑡, 𝜎_𝑠=^𝜕𝜎_𝜕𝑠.

𝑑𝐴 = ‖𝜎_𝑡× 𝜎_𝑠‖ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = ‖𝜕𝜎

𝜕𝑡×𝜕𝜎

𝜕𝑠‖ 𝑑𝑠 𝑑𝑡

INTEGRAL DE SUPERFICIE

𝑚 = ∫ 𝑓 · 𝑑𝐴

𝜎

= ∫ ∫ 𝑓(𝜎(𝑠, 𝑡)) ·

𝑏

𝑎 𝑑

𝑐

‖𝜎_𝑡× 𝜎_𝑠‖ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = ∫ ∫ 𝑓(𝜎(𝑠, 𝑡)) ·

𝑏

𝑎 𝑑

𝑐

‖𝜕𝜎

𝜕𝑡×𝜕𝜎

𝜕𝑠‖ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 Su interpretación física corresponde a la masa superficial.

CENTRO DE MASAS 𝑥_𝐶𝑀= 1

𝑚∫ 𝑥 · 𝑓 · 𝑑𝐴

𝜎

𝑦_𝐶𝑀= 1

𝑚∫ 𝑦 · 𝑓 · 𝑑𝐴

𝜎

𝑧_𝐶𝑀 = 1

𝑚∫ 𝑧 · 𝑓 · 𝑑𝐴

𝜎

INTEGRAL DE FLUJO

∫ 𝐹 · 𝑛̂ · 𝑑𝐴

𝜎

= ∫ ∫ 𝐹(𝜎(𝑠, 𝑡)) ·

𝑏

𝑎 𝑑

𝑐

𝜎_𝑠× 𝜎_𝑡

‖𝜎_𝑠× 𝜎_𝑡‖· ‖𝜎_𝑡× 𝜎_𝑠‖ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = ∫ ∫ 𝐹(𝜎(𝑠, 𝑡)) ·

𝑏

𝑎 𝑑

𝑐

(𝜎_𝑠× 𝜎_𝑡) 𝑑𝑠 𝑑𝑡 Con 𝑛̂ =_‖𝜎^{𝜎𝑠×𝜎𝑡}

𝑠×𝜎_𝑡‖ el vector normal del plano tangente a la superficie.

Interpretación física: esta integral representa el flujo o caudal instantáneo de un fluido al pasar por una membrana (superficie).

5.8

TABLITA RESUMEN DE CURVAS Y SUPERFICIES

Curvas Superficies

Diferencial de largo:

𝑑𝑆 = ‖𝛾^′(𝑡)‖ 𝑑𝑡

Diferencial de área:

𝑑𝐴 = ‖𝜎_𝑠× 𝜎_𝑡‖ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = ‖𝜕𝜎

𝜕𝑠×𝜕𝜎

𝜕𝑡‖ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 Vector tangente:

𝑡̂ = 𝛾^′(𝑡)

‖𝛾^′(𝑡)‖

Vector normal del plano tangente:

𝑛̂ = 𝜎_𝑠× 𝜎_𝑡

‖𝜎_𝑠× 𝜎_𝑡‖ Largo:

ℓ = ∫ 𝑑𝑆

𝛾

Área:

Á = ∫ 𝑑𝐴

𝜎

Integral de trayectoria:

𝑚 = ∫ 𝑓(𝛾(𝑡)) 𝑑𝑆

𝛾

Integral de superficie:

𝑚 = ∫ 𝑓(𝜎(𝑠, 𝑡)) 𝑑𝐴

𝜎

Centro de masas:

( 𝑥_𝐶𝑀 𝑦_𝐶𝑀 𝑧_𝐶𝑀

) = 1 𝑚

(

∫^{𝑥 · 𝑓}(𝛾(𝑡)) 𝑑𝑆

𝛾

∫𝑦 · 𝑓(𝛾(𝑡)) 𝑑𝑆

𝛾

∫𝑧 · 𝑓(𝛾(𝑡)) 𝑑𝑆

𝛾 )

Centro de masas:

( 𝑥_𝐶𝑀 𝑦_𝐶𝑀 𝑧_𝐶𝑀

) = 1 𝑚

(

∫^{𝑥 · 𝑓}(𝜎(𝑠, 𝑡)) 𝑑𝐴

𝜎

∫𝑦 · 𝑓(𝜎(𝑠, 𝑡)) 𝑑𝐴

𝜎

∫𝑧 · 𝑓(𝜎(𝑠, 𝑡)) 𝑑𝐴

𝜎 )

Integral de línea:

𝑊𝛾(𝐹) = ∫ 𝐹(𝛾(𝑡)) 𝑡̂ 𝑑𝑆

𝛾

Integral de flujo:

𝑊𝜎(𝐹) = ∫ 𝐹(𝜎(𝑠, 𝑡)) 𝑛̂ 𝑑𝐴

𝜎

Donde 𝐹 representan las fuerzas que actúan y 𝑓 la función densidad.

No confundir 𝑑𝑆 (diferencial de largo) de curva con 𝑑𝑠 (diferencial de uno de los parámetros de 𝜎) de superficie.

5.9

TEOREMA DE PAPPUS

Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊆ ℝ → ℝ. Como se vio en Cálculo I, se puede calcular su área de revolución con respecto al eje 𝑥:

Á = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + (𝑓^′(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Pappus ⟹ Á = 2𝜋ℓ 𝑦𝐶𝑀

Con ℓ el largo de la curva 𝑓 en [𝑎, 𝑏] y 𝑦_𝐶𝑀 la coordenada ordenada de su centro de masas.

5.10

OPERADORES DIFERENCIALES

Sea 𝑓: ℝ^𝑛→ ℝ un campo escalar, y 𝑔: ℝ^𝑛→ ℝ^𝑛 un campo vectorial.

NABLA

∇ = [

𝜕

𝜕𝑥₁

⋮

𝜕

𝜕𝑥_𝑛]

∈ ℝ^𝑛 ∇𝑓 =

[

𝜕𝑓

𝜕𝑥₁

⋮

𝜕𝑓

𝜕𝑥_𝑛]

= grad(𝑓) ≠ ∇ · 𝑓

DIVERGENCIA

∇ · 𝑔 = div(𝑔) = [

𝜕

𝜕𝑥₁

⋮

𝜕

𝜕𝑥_𝑛]

· [ 𝑔₁

⋮

𝑔_𝑛] = ∑𝜕𝑔_𝑘

𝜕𝑥_𝑘

𝑛

𝑘=1

∈ ℝ

Se considera ^𝜕

𝜕𝑥_𝑘· 𝑔𝑘 =^𝜕𝑔_𝜕𝑥^𝑘

𝑘

Notar que ∄ (∇ · 𝑓)

ROTOR

Si 𝑔: ℝ³→ ℝ³, entonces existe el rotor de 𝑔.

𝛻 × 𝑔 = rot(𝑔) = det ([

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧 𝑔₁ 𝑔₂ 𝑔₃])

=

[

𝜕𝑔₃

𝜕𝑦 −𝜕𝑔₂

𝜕𝑧

𝜕𝑔₃

𝜕𝑥 −𝜕𝑔₁

𝜕𝑧

𝜕𝑔₂

𝜕𝑥 −𝜕𝑔₁

𝜕𝑦 ] ∈ ℝ³

LAPLACIANO

∇ · ∇𝑓 = div(grad(𝑓)) = ∑𝜕²𝑓

𝜕𝑥_𝑘²

𝑛

𝑘=1

=

↑ notación

∇²𝑓 = Δ𝑓 ∈ ℝ

⟹ Laplaciano de 𝑓 = ∇²𝑓 = ∑𝜕²𝑓

𝜕𝑥_𝑘²

𝑛

𝑘=1

Propiedad: div(rot(𝑓)) = 0

6. Geometría diferencial e integral en ℝ

³

6.1

CLASIFICACIÓN DE CURVAS Y SUPERFICIES

Considerando todos los cuerpos que se verán como finitos, se tiene que:

Notar que las superficies cerradas pueden ser no sólidas, o sea, huecas. Su superficie tiene que ser capaz de encerrar un volumen.

Se puede formar infinitas normales en los cuerpos, una en cada punto, obedeciendo a la regla de la mano derecha.

6.2

TEOREMA DE GAUSS (O DE LA DIVERGENCIA)

Sea 𝑓: ℝ^𝑛→ ℝ^𝑛. Si Ω representa a un cuerpo sólido (superficie abierta rellena), y 𝜕Ω el borde de esta (su cascarón). Entonces se cumple que

∫ (∇ · 𝑓)𝑑𝑉

Ω

= ∫ 𝑓 · 𝑛̂ · 𝑑𝐴

𝜕Ω

= 𝑊_𝜕Ω(𝑓)

Donde 𝑛̂ es el vector normal que apunta hacia fuera de la superficie, que cumple la regla de la mano derecha.

𝑊_𝜕Ω(𝑓) representa el trabajo de 𝑓 sobre el borde de Ω, es decir, la integral de flujo sobre 𝜕Ω.

Si Ω fuera no un cuerpo sólido, sino una superficie abierta, pero de forma tal que pudiera cerrarse si se le agrega otra superficie Ψ en cierta posición, entonces el borde de la superficie completa será 𝜕Ω + 𝜕Ψ, y se puede aplicar igualmente el teorema de Gauss, quedando

∫ (∇ · 𝑓)𝑑𝑉

Ω

= ∫ 𝑓 · 𝑛̂ · 𝑑𝐴

𝜕Ω

+ ∫ 𝑓 · 𝑛̂ · 𝑑𝐴

𝜕Ψ

= 𝑊_𝜕Ω(𝑓) + 𝑊_𝜕Ψ(𝑓)

6.3

TEOREMA DE STOKES (O DEL ROTOR)

Sea Φ una superficie abierta, y 𝜕Φ su borde.

∫ (∇ × 𝑓)

Φ

𝑛̂ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑓 · 𝑡̂ 𝑑𝑠

𝜕Φ

= 𝑊𝜕Φ(𝑓)

Con 𝑛̂ la normal a Φ y 𝑡̂ la tangente a 𝜕Φ. Ambos vectores deben cumplir la regla de la mano derecha.

Si se desea aplicar el teorema de Stokes para calcular una integral de flujo ∫ 𝑓 · 𝑛̂ 𝑑𝐴_𝜎 , se debe entonces encontrar una función 𝑔 tal que rot(𝑔) = 𝑓. Luego se debe parametrizar 𝜎 y 𝜕𝜎.

Para apreciar más fácilmente el sentido en que va la normal, para una figura complicada, un truco bueno es aplastar la figura, para que quede plana.

Abiertas

Cerradas

Superficies

Punto inicial ≠ punto final

Punto inicial = punto final

Tienen borde. No encierran volumen.

Encierran un volumen. Tienen un “adentro” y un “afuera”.

No tienen borde.

Curvas

Abiertas

Cerradas

6.4

TEOREMA DE GREEN

Sea 𝐷 una región cerrada y acotada en ℝ², delimitada por 𝜕𝐷. Si 𝐹 = (𝑓₁

𝑓₂) es un campo vectorial de clase 𝐶¹, se tiene que:

𝑊_𝜕𝐷(𝐹) = ∫ 𝐹 𝑡̂ 𝑑𝑆

𝜕𝐷

= ∫ (𝜕𝑓₂

𝜕𝑥 −𝜕𝑓₁

𝜕𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝐷

Ejemplo bueno de Green → youtu.be/sGLRJnpRpM8

Bibliografía principal

Hernández, Á. (2018). Apuntes del curso, Cálculo II. Universidad de los Andes. → goo.gl/uxuQC4 Agradecimientos: profesor Álvaro Hernández Uribe.