Formulario para Cálculo de Varias Variables Formulario para Cálculo de Varias Variables 1.
1. Velocidad. SeaVelocidad. Sea r r t t
la función dada, entonces su velocidad es la función dada, entonces su velocidad es r r t t ''
2.2. Aceleración. SeaAceleración. Sea r r t t
la función dada, entonces su aceleración es la función dada, entonces su aceleración es r r t t ''''
3.3. Rapidez. SeaRapidez. Sea r r t t
la función dada, entonces su rapidez es la función dada, entonces su rapidez es r r t t ''
4.4. Vector Tangente. SeaVector Tangente. Sea F F t t
la función dada, entonces su Vector Tangente es la función dada, entonces su Vector Tangente es
''
F F t t 5.
5. Vector Tangente Unitario. SeaVector Tangente Unitario. Sea F F t t
la función dada, entonces su Vector la función dada, entonces su Vector Tangente Unitario es Tangente Unitario es
'' '' F F t t F F t t 6.6. Vector Normal. SeaVector Normal. Sea F F t t
la función dada, entonces su Vector Normal es la función dada, entonces su Vector Normal es
''''
F F t t 7.
7. Vector Normal Unitario. SeaVector Normal Unitario. Sea F F t t
la función dada, entonces su Vector Normal la función dada, entonces su Vector NormalUnitario es Unitario es
'''' '''' F F t t F F t t 8.8. Vector Binormal. SeaVector Binormal. Sea F F t t
la función dada, entonces su Vector Binormal es la función dada, entonces su Vector Binormal es
' ' '''' F F t t F t F t 9.9. Vector Binormal Unitario. SeaVector Binormal Unitario. Sea F F t t
la función dada, entonces su Vector la función dada, entonces su Vector Binormal Unitario es Binormal Unitario es
' ' '''' ' ' '''' F F t t F t F t F F t t F t F t 10.10. Plano Osculador. SeaPlano Osculador. Sea
33, , ,,
p
p a a b b cc , sea, sea F F t t
la función dada, sea la función dada, sea
33, , ,,
x
x y y zz una vector cualquiera, sea una vector cualquiera, sea B F B F t t ' '
F F t t ''''
el Vector Binormal. el Vector Binormal.Entonces el Plano Osculador está definido
Entonces el Plano Osculador está definido
x x y , , , , y z z
F p F
p BB 00 11.11. Plano Normal. SeaPlano Normal. Sea
33, , ,,
p
p a a b b cc , sea, sea F t t F
la función dada, sea la función dada, sea
x x y , , ,,y zz
33una vector cualquiera, sea
una vector cualquiera, sea B B F F t t ' '
F F t t ''''
el Vector Binormal y sea el Vector Binormal y sea
''''
N
N F F t t el Vector Normal. Entonces el Plano Normal está definido el Vector Normal. Entonces el Plano Normal está definido
x y x , , , , y z z
F F p
p
N N B B
00 12.12. Plano Rectificador. SeaPlano Rectificador. Sea
33, , ,,
p
p a a b b cc , sea, sea F F t t
la función dada, sea la función dada, sea
33, , ,,
x
x y y zz una vector cualquiera, sea una vector cualquiera, sea B F B F t t ' '
F F t t ''''
el Vector Binormal y el Vector Binormal ysea
sea T T F F t t ''
el Vector Tangente. Entonces el Plano Rectificador está definido el Vector Tangente. Entonces el Plano Rectificador está definido
x y x , , , , y z z
F F p
p
T T B B
00 13. Curvatura. Sea F t
la función dada, entonces su Curvatura es
3 ' '' ' F t F t F t 14. Torsión. Sea F t
la función dada, entonces su Torsión es
2 ' '' '' ' '' F t F t F t F t F t 15. Longitud de Arco. Sea F x t y t z t
, ,
un campo vectorial dado, tal quea t b, entonces la Longitud de Arco de F x t y t z t
, ,
está dada por
2
2
2 ' ' ' b a x t y t z t dt
16. Generalización de la Longitud de Arco. Sea F x t
1
, ,x t k
un campo vectorial dado, tal que a t b, entonces la Longitud de Arco de
1 , , k
F x t x t está dada por
2
21' ' b k a x t x t dt
que es equivalente decir 1 '
2 '
2 '
1
,
,
b b k k a a x t x t dt F x t x t dt
17. Operador Gradiente. Se define el Operador gradiente cómo , ,
x y z
y
en forma generalizada cómo
1 , , k x x
18. Gradiente a un Campo Vectorial. Sea F F x y z F x y z F x y z
1
, , ,
2 , , ,
3 , ,
un Campo Vectorial, entonces el Gradiente al Campo Vectorial dado es3 1 2 F F F F x y z que sale de
1 2 3 1 2 3 3 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , , F F x y z F x y z F x y z x y z F F x y z F x y z F x y z x y z F F F F x y z 19. Gradiente a un Campo Escalar. Sea f x y z
, ,
un Campo Escalar, entonces el Gradiente al Campo Escalar dado es f f , f , fx y z
, , , , , , f f x y z x y z f f f f x y z 20. Rotacional. Sea F F x y z F x y z F x y z
1
, , ,
2 , , ,
3 , ,
un Campo Vectorial,entonces el Rotacional se define como
1 2 3 i j k F x y z F F F Que desarrollado queda como:
3 2 1 3 2 1 1 2 3 i j k F F F F F F F i j k x y z y z z x x y F F F
21. Propiedad del Rotacional. Sea f x y z
, ,
un Campo Escalar, entonces0 f Demostración: i j k f x y z f f f x y z f f f f f f i j k y z z y z x x z x y y x 2 2 2 2 2 2 f f f f f f f i j k y z y z z x z x x y x y
0 0 0 0 f i j k f 22. Propiedad del Rotacional. Sea F F x y z F x y z F x y z
1
, , ,
2 , , ,
3 , ,
un Campo Vectorial, entonces
F
0 Demostración:
1 2 3 , , i j k F x y z x y z F F F
, , F 3 F2 , F1 F 3 , F2 F 1 F x y z y z z x x y
F
F 3 F2 F1 F 3 F2 F 1 x y z y z x z x y
2 2 2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 F F F F F F F x y x z y z y x z x z y
F
0 23. Teorema de Fubini. Primera Versión. Sea
a b , c d , un rectángulo en n,sea f x y
,
un Campo Escalar continúo en el dominio. Entonces
,
,
b d d a
a c c b
f x y dxdy f x y dydx
24. Teorema de Fubini. Segunda Versión. Sea n
A un subconjunto, sea f x y
,
un Campo Escalar continúo en el dominio. Entonces sí
,
1 , 2 n c d g x g x A y
1 2 , , n a b h y h y A sonequivalentes se deduce que
2 2 1 1 , , h y g x b d a h y c g x f x y dxdy f x y dydx
25. Teorema del Valor Medio. Sea n
A un subconjunto, sea 0
x A, sea f x y
,
un campo escalar continúo en el dominio, sea F F x y z F x y z
1
, , ,
2 , ,
un Campo Vectorial. Entonces
0
0 .b d
A a c
FdA f x Fdxdy f x Vol A
26. Integral de Trayectoria sobre un Campo Escalar. Sea f x y
,
un Campo Escalar, sea
t una trayectoria de clase C 1 con a t b entonces la Integral de Trayectoria sobre un Campo Escalar es
'
b a
f t t dt
27. Integral de Línea sobre un Campo Vectorial. Sea
1 , , , 2 , , , 3 , ,
F F x y z F x y z F x y z un Campo Vectorial, sea
t una trayectoria de clase 1C con a t b entonces la Integral de Línea sobre un Campo Vectorial es
'
b a
F t t dt
28. Integral de Línea sobre un Campo Gradiente. Sea f x y
,
un Campo Escalar, sea f x y z
, ,
un Campo Gradiente, sea
t una trayectoria de clase C 1 cona t b entonces la Integral de Línea sobre un Campo Gradiente es
'
b a f t t dt
29. Vector Normal de un Campo Vectorial. Sea F x u v y u v z u v
, , , , ,
unCampo Vectorial, sean T v x , y , z
v v v y u , , x y z T u u u los Vectores Tangentes al Campo Vectorial, entonces el Vector Normal de un Campo Vectorial es N T u T v
30. Área de un Campo Vectorial (Superficie Parametrizada). Sea
, , , , ,
F x u v y u v z u v un Campo Vectorial, sean T v x , y , z
v v v y , , u x y z T u u u
los Vectores Tangentes al Campo Vectorial, entonces el Área de un Campo Vectorial es u v
D
A S
T T dudv31. Jacobiano. Sea F x u v y u v
, , ,
un Campo Vectorial. Entonces el Jacobianoestá definido como
, , x x x y u v J y y u v u v 32. Teorema de Cambio de Variable. Sea f x y
,
un Campo Escalar, sea Anun subconjunto, entonces se puede cambiar de variable si también cambiamos su región
, , , , , , A D x y f x y dxdy f x u v y u v dudv u v
33. Cambio de Variable a Coordenadas Polares. Sea f x y
,
un Campo Escalar,sea n
A un subconjunto, entonces el cambio a Coordenadas Polares está
dado por , cos ,
A D
f x y dxdy f r rsen rdrd
34. Jacobiano Triple. Sea F x u v w y u v w z u v w
, , ,
, , ,
, ,
un Campo Vectorial.Entonces el Jacobiano está definido como
, , , , x x x u v w x y z y y y J u v w u v w z z z u v w 35. Cambio de Variable a Coordenadas Cilíndricas. Sea f x y z
, ,
un CampoEscalar, sea n
A un subconjunto, entonces el cambio a Coordenadas
Cilíndricas está dado por , , cos , ,
A D
f x y z dxdydz f r rsen z rdrd dz
36. Cambio de Variable a Coordenadas Esféricas. Sea f x y z
, ,
un Campo Escalar, sea nEsféricas está dado por
2
, , cos , , cos
A D
f x y z dxdydz f sen sen sen sen d d d
37. Masa de un Cuerpo. Sea
x y z, ,
la densidad del cuerpo, entonces su Masaestá dada por
, ,
Wx y z dxdydz
38. Centro de Masa de un Cuerpo. Sea
x 1, ,xi
la densidad del cuerpo,entonces su Centro de Masa está dada por
1 1 1 , , , , i i i W i i i W x x x dx x x x dx dx
donde 1, , i n39. Momentos de Inercia. Sea
x 1, ,xi
la densidad del cuerpo, entonces suCentro de Masa está dada por
2 2 2 2
1 1 1 i x i i k i W I
x x x x dx para 1, , i k40. Integral de Superficie. Sea F x t y t z t
, ,
un Campo Vectorial, sea
t una trayectoria de clase 1C con a t b entonces la Integral de Superficie es
, ,
'
b a F x t y t z t t dt
41. Integral en línea en su Forma Diferencial. Sea
1 , , , 2 , , , 3 , ,
F F x y z F x y z F x y z un Campo Vectorial, con a t b entonces la Integral en Línea en su Forma Diferencial es
1 2 3 b a dx dy dz F F F dt dt dt dt
42. Integral de Línea para Campos Vectoriales Gradientes. Sea f x y z
, ,
unCampo Gradiente, sea n
A un subconjunto, entonces la Integral de Línea
para Campos Gradientes es
, ,
Af x y z dS f A b f A a
43. Área de una Superficie de Rotación. Sea f x
una función diferenciable, entonces, el Área de la Superficie generada por la Rotación de esta función está dada por
2 1 '
2b a
A S
x f x dx44. Integral de un campo Escalar sobre una Superficie. Sea f x y z
, ,
un Campo Escalar, entonces la Integral de un Campo Escalar sobre una Superficie es
, ,
,
u vS D
f x y z dS f u v T T dudv
45. Integral de Superficie de un Campo Vectorial. Sea F x u v y u v z u v
, , , , ,
un Campo Vectorial, entonces la Integral de Superficie de un Campo Vectorial es
, , , , ,
, , , , ,
u v
S D
F x u v y u v z u v dS F x u v y u v z u v T T dudv
46. Integral de Superficie de un Campo Vectorial sobre una Gráfica. Sea
1 , , 2 , , 3 ,
F F x y F x y F x y un Campo Vectorial, entonces la Integral de Superficie de un Campo Vectorial sobre una Gráfica es
1 , , 2 , , 3 ,
1 2 3
,
S D F F F F x y F x y F x y dS F F F x y dxdy x y
47. Teorema de GREEN. Sea D una región con su frontera orientada, sea
, ,
,F x y P x y dx Q x y dy una función sobre algún conjunto abierto en el
espacio tal que 3
K D . Entonces
,
, D D Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y
48. Área de una Región. Sea 2
D una región con frontera acotada, entonces el
Área de esa Región está dada por 1 2
D
A xdy ydx
49. Teorema de GREEN en su forma Vectorial. Sea 2
D una región con
frontera acotada, sea F F x y F x y F x y
1
, , 2 , , 3 ,
un Campo Vectorial sobreD, entonces
1
, , 2 , , 3 ,
D D D
F F x y F x y F x y dS F kdA rot F kdA
50. Teorema de Divergencia en el Plano. Sea 2
D una región con frontera
acotada, sea F P x y Q x y
, , ,
un Campo Vectorial sobre D, sea n el Vector Normal Unitario a la frontera de D, sea c t
x t y t
,
una parametrización de la frontera de D, entonces el Vector Normal Unitario está definido como
2
2 ' , ' ' ' y t x t n x t y t por lo tanto la Divergencia en el Plano es
, , ,
D D D F P x y Q x y ndS divFdA FdA
51. Teorema de STOKES para Gráficas y Superficies Parametrizadas. Sea S una superficie definida por una función z f x y
,
donde
x y ,
D que es una región, sea F F x y F x y F x y
1
, , 2 , , 3 ,
un Campo Vectorial sobre D,entonces
1
, , 2 , , 3 ,
S S S F F x y F x y F x y dS F dS rot F dS
52. Teorema de STOKES para Superficies Parametrizadas. Sea S una superficie definida mediante una parametrización, sea F F x y F x y F x y
1
, , 2 , , 3 ,
unCampo Vectorial sobre S , entonces
1 , , 2 , , 3 ,
S S F F x y F x y F x y dS F dS
53. Campos Vectoriales Conservativos. Sea F P x y Q x y
, , ,
un CampoVectorial sobre S , entonces las siguientes condiciones son equivalentes
a) Para cualquier curva cerrada C se tiene que
1 , , 2 , , 3 ,
0C
F F x y F x y F x y dS
b) Para cualesquiera dos curvas cerradas C S , que tengas los mismos extremos
1 , , 2 , , 3 ,
1
, , 2 , , 3 ,
C S F F x y F x y F x y dA F F x y F x y F x y dA
c) F F x y F x y F x y
1
, , 2 , , 3 ,
Es gradiente de algún Campo Escalar
,
f x y , es decir, F F x y F x y F x y
1
, , 2 , , 3 ,
f x y z
, ,
d) F 0Un Campo Vectorial que satisface al menos una de las condiciones dadas se le denomina Campo Vectorial Conservativo.
54. Teorema de la Divergencia de GAUSS. Sea D una región en el espacio, sea
1 , , 2 , , 3 ,
F F x y F x y F x y un Campo Vectorial definido en D, entonces
1
, , 2 , , 3 ,
D D
F dV F F x y F x y F x y dS
dicho en otras palabras
1
, , 2 , , 3 ,
D D D F dV div F dV F F x y F x y F x y ndS
55. Ley de GAUSS. Sea 3
M una región donde
0,0,0
M , sea
, ,
, ,
r x y z x y z una Función Vectorial y
2 2 2 , , , , r x y z r x y z x y z entonces
4 0, 0, 0 0 0, 0, 0 M M r n dS r M
56. Identidades de GREEN. Sea 3
W un subconjunto acotado, sean
, , ,
, ,
f x y z g x y z Funciones Escalares, entonces las Identidades de GREEN están dadas por
a)
2
W W f g ndS f g f g dV
b)
2 2
W W f g g f ndS f g g f dV
57. Teorema General de STOKES. Sea n
M una variedad con su frontera
compacta contenida en algún conjunto abierto n
K , sea una forma
k 1
diferenciable sobre K , entoncesM M dK d
