Espacios topológicos. 3.1 Espacio topológico

(1)

Cap´ıtulo 3

Espacios topol´ogicos

3.1 Espacio topol´ogico

Definici´on 3.1.1. Un espacio topol´ogico es un par(X, τ), dondeX es un conjunto, yτ es una familia de subconjuntos deXque verifica las siguientes condiciones

(1) X∈τ y∅∈τ.

(2) Dada una familia{Ai ∈τ, i∈I}de elementos deτ, su unión∪i∈IAi ∈τ también está

enτ.

(3) SiA1, A2 ∈ τ, entoncesA1∩A2 ∈τ (la intersecci´on de dos elementos de la familiaτ

tambi´en es un elemento de la familia)

Diremos entonces, que la familiaτ es una topolog´ıa sobreX, y a sus elementos les llamaremos conjuntos abiertos de(X, τ).

De la condición (2) se deduce, por inducción, que la intersección de una familia finita de conjuntos abiertos sigue siendo un conjunto abierto en(X, τ). (Ejercicio)

Ejemplo 3.1.2.

(1) Topolog´ıa asociada a una métrica. Todo espacio métrico(X, d)tiene asociado un espacio topológico(X, τd), dondeτdes la familia de los conjuntos abiertos deXpara la distanciadtal y

como los hemos definido en [2.3.3]. El teorema [2.3.6] prueba que, efectivamente, estos abiertos constituyen una topolog´ıa que llamamos topolog´ıaτdasociada a la m´etricad.

(2) Topolog´ıa discreta. Sea X un conjunto; consideremos la familiaτ = P(X), formada por todos los subconjuntos deX. Esta familia es una topolog´ıa en la que cualquier subconjunto deX

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es un abierto y se llama topolog´ıa discreta, en este caso decimos que(X,P(X))es un espacio topol´ogico discreto.

(3) Topolog´ıa indiscreta. Si consideramos ahora la familia{_∅, X}cuyos ´unicos conjuntos son el vac´ıo y el propioX, tambi´en constituye una topolog´ıa sobreXque llamaremos topolog´ıa gruesa, indiscreta o trivial.

(4) Sea el conjuntoX = {a, b, c, d, e}. Entre otras, podemos construir las siguientes familias de subconjuntos deX:

τ1={X,∅,{a},{c, d},{a, c, d},{b, c, d, e}}

τ2 ={X,∅,{a},{c, d},{a, c, d},{b, c, d}}

τ3 ={X,∅,{a},{c, d},{a, c, d},{a, b, d, e}}

τ1es una topolog´ıa sobreXy sin embargo,τ2falla en la uni´on yτ3falla en la intersecci´on, por lo

tanto no lo son.

(5) Topolog´ıa cofinita. SeaXun conjunto cualquiera y definamosτcomo el conjunto vac´ıo junto con aquellos subconjuntosA ⊂X tales queAc =XrAes finito. τ es una topolog´ıa sobreX

que se conoce como la topolog´ıa cofinita y se representa porτcf. Cuando el conjuntoXes finito,

entonces la topolog´ıa cofinita coincide con la topolog´ıa discreta. Como este caso no introduce nada nuevo, siempre que se estudie la topolog´ıa cofinita ser´a sobre conjuntos infinitos.

Como hemos visto, sobre un conjunto se puede definir m´as de una topolog´ıa. Podemos establecer una cierta comparaci´on:

Definici´on 3.1.3 (Topolog´ıas m´as finas). Dado un conjunto X, sean τ1 y τ2 dos topolog´ıas

definidas sobre X. Si todo abierto de τ1 es un abierto de τ2, es decir, τ1 ⊂ τ2, diremos que

τ2 es más fina que τ1 o queτ1 es menos fina que τ2, o bien que τ2 es más débil queτ1. Dos

topolog´ıas son equivalentes si tienen los mismos abiertos y dos topolog´ıas no son comparables si ninguna es m´as fina que la otra.

Ejemplo 3.1.4.

(1) La topolog´ıa indiscreta es menos fina que cualquier otra y la topolog´ıa discreta es la m´as fina posible.

(2) La topolog´ıa cofinita sobreR2es menos fina que la topolog´ıa usual, puesto que siAes abierto

de la topolog´ıa cofinita,Aes complementario de un subconjunto finito deR2y, como los conjuntos

finitos son cerrados para la topolog´ıa usual,Atambi´en es abierto enR2para la topolog´ıa usual.

Definición 3.1.5 (Base de una topolog´ıa). Sea(X, τ)un espacio topológico. Diremos que una subfamiliaB ⊂τ, es una base de la topolog´ıaτ si cada abiertoAse puede expresar como unión de conjuntos deB, es decir, existe{Bi}i∈I ⊂ Btal queA=

S

(3)

3.1. ESPACIO TOPOL ÓGICO 25 Proposición 3.1.6. SeaXun conjunto yB ⊂ P(X)una familia de subconjuntos deX. Entonces Bes base de una topolog´ıaτ sobreXsi, y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

(a) X=S

B∈BB.

(b) SiB1, B2 ∈ B, para cadax∈B1∩B2, existeB ∈ Btal quex∈B ⊂B1∩B2.

Demostraci´on. =⇒ Si suponemos queB es base de una topolog´ıaτ enX, como X ∈ τ, est´a claro queX = ∪_B∈BB y se cumple (a). Veamos que se cumple (b); siB1, B2 ∈ B, es evidente

queB1, B2 ∈ τ, por tantoB1 ∩B2 ∈ τ, luego esta intersección será unión de conjuntos deB,

B1∩B2 =∪i∈IBiconBi ∈ Bpara todoi ∈I. Six ∈ B1∩B2, entoncesx ∈ Bj para alg´un

j∈I. Por tantox∈Bj ⊂B1∩B2.

⇐= Supongamos ahora queB es una familia de subconjuntos de X que cumple (a) y (b) y veamos que existe una topolog´ıa determinada porB. Definimos la familia

τ ={A⊂X:A=∪j∈JBj, conBj ∈ B, para todoj∈J}.

Hay que comprobar que se trata de una topolog´ıa.X∈τ por (a);∅∈τ pues∅∈ B.

Si{A_i}_i∈I es una familia de conjuntos deτ, tendremos que cadaAi ser´a uni´on de conjuntos de

B, es decir, Ai = ∪j∈JiBij para cadai ∈ I conBij ∈ B para todoj ∈ Ji; como la uni´on es asociativa, tendremos que

[ i∈I Ai = [ i∈I ([ j∈Ji Bij) = [ i∈I,j∈Ji Bij

lo que implica que la uni´on de conjuntos deτ es deτ.

Por ´ultimo veamos que si A1, A2 ∈ τ entonces A1 ∩A2 ∈ τ. Tenemos que A1 = ∪i∈IBi y

A2 = ∪j∈JBj conBi, Bj ∈ Bpara todoi∈ I, j ∈ J. Para cadax ∈ A1 ∩A2,x ∈ ∪i∈IBiy

x∈ ∪j∈JBj, luego existenio ∈I yjo ∈J tales quex∈Bio ∩Bjo y por (b), existeBx ∈ Btal quex∈Bx ⊂Bio∩Bjo ⊂A1∩A2y por tanto∪x∈A1∩A2Bx=A1∩A2.

Ejemplo 3.1.7.

(1) Los intervalos abiertos(a, b); a, b∈Rson una base de la topolog´ıa usual enR.

(2) La familia{B(x, r) : x ∈ X, r > 0}son base de la topolog´ıa asociada a la distancia en un espacio m´etrico(X, d).

(3) Los rect´angulos abiertos y de lados paralelos a los ejes, son una base de la topolog´ıa eucl´ıdea enR2.

(4) Si consideramos(X, τD)espacio topol´ogico con la topolog´ıa discreta, la familiaB ={{x}:

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3.2 Cerrados

Definici´on 3.2.1 (Cerrado). Dado un espacio topol´ogico (X, τ), diremos que un subconjunto C ⊂Xes cerrado si su complementarioCc =XrCes abierto. Representaremos la familia de

todos los cerrados porC Ejemplo 3.2.2.

(1) En un espacio métrico (X, d), la definición de cerrado para la métricadcoincide con la de cerrado para la topolog´ıaτd, asociada a la distanciad.

(2) En un espacio topol´ogico con la topolog´ıa indiscreta, los ´unicos cerrados sonXy∅.

(3) En un espacio topol´ogico con la topolog´ıa discreta, todos los subconjuntos deXson cerrados. (4) En la topolog´ıa cofinita, (X, τcf), un subconjuntoC ⊂ X es cerrado si y s´olo siC = X, o

bienCes finito.

El hecho de que un conjunto sea cerrado no implica que este conjunto no sea abierto; de hecho, existen conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados, por ejemplo el espacio totalXen cualquier espacio topol´ogico(X, τ); o la topolog´ıa discreta del ejemplo anterior, tiene todos sus conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados. Tambi´en existen, como hemos visto, conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados como cualquier intervalos[a, b)enRcon la topolog´ıa usual.

Los cerrados cumplen una serie de propiedades, que podemos llamar, duales de las propiedades de los abiertos y que, en el caso de espacios m´etricos ya hemos visto en [2.4.7].

Teorema 3.2.3. Dado un espacio topol´ogico(X, τ), la familia de los conjuntos cerrados cumple las siguientes propiedades:

(1) Xy∅son cerrados.

(2) Si{C_i :i∈I}es una familia de cerrados enX, entonces∩_i∈ICies un cerrado.

(3) Si {C_i : i = 1,2, . . . , n} es una familia finita de cerrados, entonces ∪n

i=1Ci es un

cerrado.

Ya hemos visto en el ejemplo [2.4.8(1)] que la uni´on arbitraria de cerrados no es, en general, un cerrado.

3.3 Entornos

Otro concepto que ya apareció en los espacios métricos, pero que en realidad es topológico es el de entorno de un punto.

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3.3. ENTORNOS 27 Definici´on 3.3.1 (Entorno de un punto). Dado un espacio topol´ogico(X, τ), diremos que un subconjuntoU ⊂Xes un entorno de un puntox ∈Xsi existe un abiertoAtal quex∈A⊂U. Al conjunto o familia de todos los entornos de un puntox∈Xlo representaremos porU_x. Ejemplo 3.3.2.

(1) Si(X, d)es un espacio métrico, todo entorno para la métrica será obviamente un entorno para la topolog´ıa asociada a la distancia. El rec´ıproco también es cierto.

(2) En un espacio topológico trivial el único entorno posible de un punto es el espacio total. (3) En un espacio topológico discretoU ∈ Uxsi y sólo six∈U.

(4) En la topolog´ıa cofinita,U ∈ Uxsi y s´olo six∈U yUc =XrU es finito.

Recordemos que, en un espacio métrico los conjuntos abiertos se pueden caracterizar a partir de la noción de entorno. En el caso general de los espacios topológicos también se pueden caracterizar los conjuntos abiertos de una manera análoga.

Proposición 3.3.3. En un espacio topológico(X, τ), un conjuntoAes abierto si, y sólo siAes entorno de todos sus puntos.

Demostraci´on. =⇒ SiAes abierto, se tiene, obviamente, quex∈A⊂A, y por tantoAes un entorno dex, para todox∈A.

⇐= Rec´ıprocamente, si suponemos queA es entorno de todos sus puntos, entonces, para todo x∈Aexiste un abiertoUxtal quex∈Ux ⊂A. De esta manera se puede escribirA=∪x∈AUx,

que ser´a abierto ya que es uni´on de abiertos.

Proposici´on 3.3.4. Dados un espacio topol´ogico(X, τ)y un puntox∈X, la familia de entornos U_xverifica las siguientes propiedades:

(1) SiU ∈ Ux, entoncesx∈U.

(2) SiU ∈ U_xyU ⊂V, entonces tambi´enV ∈ U_x.

(3) SiU, V ∈ Ux, entoncesU ∩V ∈ Ux.

(4) SiU ∈ U_x, existeV ∈ U_xtal quex∈V ⊂U yV ∈ U_ypara todoy∈V.

Demostraci´on. (1)Es evidente. (2) ComoU ∈ Ux, entonces existeAabierto de modo quex ∈

A⊂U, pero entoncesx∈A⊂V; por tantoV ∈ Ux.

(3) SiU, V ∈ Ux existen abiertosA,B, tales quex ∈ A ⊂ U yx ∈ B ⊂ V. Eso implica que

x ∈ A∩B ⊂ U ∩V, y comoA∩B es abierto por ser intersecci´on de dos abiertos, tendremos queU∩V ∈ Ux.

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La familia de todos los entornos habitualmente es muy grande y, con frecuencia, dif´ıcil de repre-sentar. Incluso en el caso deRcon la topolog´ıa usual, los entornos pueden ser muy complicados.

Esto se resuelve trabajando sólo con los intervalos. En el caso de un espacio métrico este papel lo hacen las bolas y en el caso general introduciremos un concepto que facilitará el trabajo de forma semejante:

Definici´on 3.3.5 (Base de entornos). Dado un espacio topol´ogico(X, τ), un puntox∈X, y una subfamiliaVx ⊂ Uxde la familia de entornos dex; diremos queVxes una base de entornos dex,

o base local dex, en(X, τ)si verifica

SiU ∈ Uxes un entorno dex, entonces existeV ∈ V(x)tal queV ⊂U

Ejemplo 3.3.6.

(1) EnRcon la topolog´ıa usual, una base de entornos para cadax∈Res la familia formada por

los intervalos de centroxy radior >0variandor, es decir{(x−r, x+r) :r >0}.

(2)En un espacio m´etrico(X, d), la familia de bolasVx ={B(x, r) :r >0}es obviamente, una

base de entornos dex, para cadax∈X.

(3)En un espacio m´etrico (X, d), la familia de bolasV_x = {B(x, 1

n) : n ∈ N

∗_}_{es tambi´en una}

base de entornos dex, para cadax∈X, puesto que para cadar >0existen∈N∗tal que 1_n < r.

(4) En un espacio topol´ogico trivial o indiscreta,(X, τI), la ´unica base de entornos posible es la

formada ´unicamente por el espacio totalX.

(5) Si el espacio topol´ogico es discreto,(X, τD),{x}es un entorno dex, para todox ∈X, y por

tanto se deduce que la familia formada por este entorno,V_x={{x}}, es una base de entornos de

x.

3.4 Subespacios topol´ogicos

Proposici´on 3.4.1. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico yH ⊂Xentonces la familiaτH ={H∩A:

a∈τ}de las intersecciones de los abiertos de(X, τ)conHes una topolog´ıa sobreH.

Demostraci´on. EvidentementeH ∈τH puesto queH =H∩Xy∅=H∩∅, luego∅∈τH.

Si tenemos una familia{H∩Ai : i ∈ I, Ai ∈ τ} de elementos deτH, entonces la uni´on ser´a

∪_i∈I(H∩Ai) =H∩(∪i∈IAi)y como∪i∈IAi ∈τ por ser abiertos, tendremos que la uni´on de

elementos deτH tambi´en es deτH. Aplicando la misma propiedad en sentido contrario se prueba

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3.4. SUBESPACIOS TOPOL ÓGICOS 29 Definición 3.4.2 (Subespacio topológico). Si (X, τ) es un espacio topológico y H ⊂ X, al espacio topológico (H, τH) se le llama subespacio topológico de X y a la topolog´ıa τH se le

llama topolog´ıa inducida porτ sobreH o topolog´ıa relativa deHcon respecto a (X, τ). A los abiertos deτH les llamamos abiertos relativos o abiertos para la topolog´ıa relativa.

Ejemplo 3.4.3. Los subconjuntos de un espacio m´etrico con la topolog´ıa asociada a la distancia inducida son subespacios topol´ogicos.

Los cerrados en la topolog´ıa inducida tambi´en son intersecciones de cerrados del espacio total con el subespacio.

Proposición 3.4.4. Sea(X, τ)un espacio topológico y seaH ⊂X. Un subconjunto deF ⊂H, es un cerrado relativo si, y sólo si existe un cerradoCen el espacio total, de forma queF =C∩H.

Demostraci´on. =⇒ SeaF un cerrado en(H, τH). Eso significa que su complementario enH

es un abierto relativo,H rF ∈ τH. Por tanto, existeA ∈ τ tal que HrF = A∩H. Pero

entoncesC =XrAes un cerrado en(X, τ), y

F =Hr(HrF) =Hr(A∩H) =HrA=H∩(XrA) =H∩C

⇐= Rec´ıprocamente, seaF =C∩HconCcerrado en el espacio total. Su complementario en Hse puede expresar as´ı:

HrF =Hr(C∩H) =HrC=H∩(XrC)

ComoXrC ∈ τ, es abierto por ser complementario de un cerrado,HrF ∈ τH. Tendremos

queFes cerrado en(H, τH).

Ejemplo 3.4.5. Es importante darse cuenta de que, en general, los abiertos relativos no tienen por qu´e ser abiertos en el espacio total. As´ı,[0,1)no es abierto enRcon la topolog´ıa usual; sin

embargo, s´ı es abierto en[0,+∞)con la topolog´ıa inducida.

Proposici´on 3.4.6. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico y(H, τH)un subespacio. Entonces:

(a) Todo subconjuntoA⊂Habierto en(H, τH)es abierto en(X, τ)si, y s´oloHes abierto

en(X, τ).

(b) Todo subconjuntoC ⊂ H cerrado en (H, τH) es cerrado en (X, τ) si, y s´olo H es

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Demostraci´on. (a) Si todo abierto enτH lo es enτ, comoHes abierto enτH tambi´en es abierto

enτ.

Rec´ıprocamente, siHes abierto enτ, como todo abiertoAenτH es de la formaA=H∩B, con

B abierto en el espacio total,Aser´a abierto en el espacio total por ser intersecci´on de abiertos. (b)(Ejercicio).

Cada una de las dos afirmaciones de la proposici´on anterior son independientes, es decir la primera (a), habla de abiertos pero no dice nada de cerrados y la segunda (b) habla de cerrados pero no de abiertos. Observemos los dos ejemplos siguientes.

Ejemplo 3.4.7.

(1) Consideremos Rcon la topolog´ıa usual y el subespacio formado por los racionales Q. Los

abiertos enQpara la topolog´ıa inducida ser´an intersecciones de abiertos deRconQ. Entonces el

conjunto{x∈_Q: 0< x <1}es abierto enQpero no lo es enR.

(2) Sea A = {(x, y) ∈ _R2 _: _{xy >} _1} _{que es abierto en}₍

R2, d2) y, por tanto, todo abierto de

(A, d2), lo es en R2, por ejemplo,B = B((0,0),2)∩Aes abierto, sin embargoArB es un

cerrado en(A, d2)pero no lo es en(R2, d2).

Veamos, para concluir esta secci´on, como son los entornos y las bases de entornos en la topolog´ıa inducida.

Proposici´on 3.4.8. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico, y seaH⊂X. Dadox∈H, un subconjunto V ⊂H es un entorno relativo de x(V ∈ UH

x ) si, y s´olo si existeU entorno de xen el espacio

total, (U ∈ Ux), de forma queV =U ∩H.

Demostraci´on. =⇒ Sea V un entorno relativo de x: existe B ∈ τH tal que x ∈ B ⊂ V;

entonces existir´aA ∈ τ tal que B = A∩H. SeaU = A∪V; evidentementeU ∈ U_x, pues x∈B=A∩H,x∈A⊂A∪V. Adem´as:

U ∩H = (A∪V)∩H= (A∩H)∪(V ∩H) =B∪V =V.

⇐= Rec´ıprocamente seaU ∈ Ux; tomamos V = U ∩H; existeA ∈ τ tal quex ∈ A ⊂ U.

Entoncesx∈A∩H ⊂U∩H =V.

Proposici´on 3.4.9. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico y seax∈H ⊂X. SiB(x)es una base de entornos dexen(X, τ), la familiaB_H(x) ={B∩H:B ∈ B(x)}es una base de entornos para la topolog´ıa relativa.

Demostraci´on. EvidentementeBH(x)⊂ UxH. SeaV ∈ UxH; entoncesV =U ∩H, conU ∈ Ux.

Entonces existe B ∈ B(x)tal que x ∈ B ⊂ U; entoncesB ∩H ⊂ U ∩H = V y B∩H ∈ BH(x).

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3.5. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS METRIZABLES 31

3.5 Espacios topol´ogicos metrizables

Ya hemos visto en el ejemplo [3.1.2,1)] que cualquier espacio m´etrico(X, d)tiene asociada una topolog´ıa que llamamosτd, a partir de la definici´on [2.3.3] y el teorema [2.3.6]. Nos podemos

preguntar si todo espacio topol´ogico procede de una m´etrica.

Definici´on 3.5.1 (Espacio metrizable). Diremos que un espacio topol´ogico(X, τ)es metrizable si existe una distanciaddefinida sobreX, tal queτ coincide conτd.

Ejemplo 3.5.2.

(1) La topolog´ıa discreta sobre cualquier conjuntoX, es metrizable y la distancia asociada es la distancia discreta o trivial

(2) No todo espacio topol´ogico es metrizable. Por ejemplo, siX es un conjunto que contiene m´as de un punto y lo consideramos dotado de la topolog´ıa indiscreta(X, τI), no es un espacio

metrizable, puesto que los ´unicos cerrados para esta topolog´ıa son∅yX, pero sabemos que en

un espacio m´etrico, los conjuntos finitos son cerrados, con lo cual deber´ıan existir m´as cerrados.

Sigue teniendo, en el presente curso, un gran interés estudiar los espacios cuya topolog´ıa es metriz-able, es decir, los espacios métricos. Vamos a recordar como se concretan en los espacios métricos, los conceptos estudiados hasta ahora en el presente cap´ıtulo.

Base de la topolog´ıa.- Tal y como hemos definido los abiertos [2.3.3] en un espacio m´etrico (X, d), el conjunto{B(x, r) :x∈X, r >0}de las bolas abiertas es una base de la topolog´ıaτd

asociada a la distancia.

Entornos.- Lo mismo ocurre con los entornos, ya los definimos en [2.3.8].

Cerrados.- Tambi´en hemos definido y caracterizado los cerrados de un espacio m´etrico en el cap´ıtulo anterior [2.4.7].

Base de entornos.- Hemos visto en el ejemplo [3.3.6 2)] que para un puntox ∈ X, una base de entornos es el conjunto{B(x, r) : r > 0}de todas las bolas abiertas con centro en dicho punto. Tambi´en hemos visto que en el ejemplo [3.3.6 3)] que el conjunto{B(x,1

n) :n∈N

∗_}_{es tambi´en}

una base de entornos.

También hemos estudiado en el cap´ıtulo anterior los subespacios métricos. Veamos que son los subespacios topológicos asociados a la métrica.

Proposición 3.5.3. Sea un espacio métrico (X, d)y sea un subconjunto H ⊂ X. Entonces la topolog´ıa asociada a la métrica inducida sobre H coincide con la topolog´ıa inducida por la topolog´ıa métrica enX. Es decir:τd\H =τdH

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Demostraci´on. ⊂ SeaA0 ∈ τd\H, entonces existe unA ∈ τdtal que A0 = A∩H. Veamos

que A0 ∈ τdH. Para cualquier x ∈ A

0 _⊂ _A _{existe un} _{r >} ₀ _{tal que}_B

d(x, r) ⊂ A, entonces

Bd(x, r)∩H ⊂A0, pero ya hemos visto queBd(x, r)∩H=BdH(x, r). Por tanto,A

0 _∈_τ

dH. ⊃ Sea ahoraA0 ∈ τdH, para cualquierx ∈ A

0 _{existe un}_{r >} ₀_{tal que}_B

dH(x, r) ⊂ A 0_{. Como} antes,BdH(x, r) =Bd(x, r)∩H. Si tomamos A=∪_x∈A0B_d(x, r) tendremos A0 ⊂A∩H= (∪_x∈A0B_d(x, r))∩H=∪_x_∈_A0(B_d(x, r)∩H) =∪_x_∈_A0B_d H(x, r)⊂A 0

Entonces,A0=A∩Hy por tanto,A0∈τd\H.

Hemos visto que no todo espacio topológico es metrizable. Cabe entonces hacerse la siguiente pregunta: ¿Existen diferencias topológicas entre un espacio topológico que sea metrizable y otro que no lo sea? La respuesta es que s´ı, y existe una propiedad fundamental que se verifica en los espacios metrizables, pero que no es cierta, en general, en un espacio topológico arbitrario. Definición 3.5.4 (Espacio de Hausdorff o T2). Diremos un espacio topológico (X, τ) es un

espacio de Hausdorff o T2 o separado, si para todo par de puntos x, y ∈ X distintos, existen

entornos,Ux∈ Ux, yVy ∈ Uy, tales queUx∩Vy =∅.

Proposición 3.5.5. Un espacio topológico(X, τ)es de Hausdorff si, y sólo si para todo par de puntos distintosx, y∈X, existen abiertosA, B⊂X, tales quex∈A,y∈ByA∩B=∅.

Demostraci´on. Es consecuencia directa de la definici´on anterior y la de entorno.

Ejemplo 3.5.6.

(1) Todo espacio m´etrico es de Hausdorff.

(2) No todo espacio topol´ogico esT2. La recta real, con la topolog´ıa cofinita no es un espacio de

Hausdorff.

Vamos a comparar las topolog´ıas m´etricas. En realidad estudiaremos cuando dos m´etricas sobre un mismo espacioXgeneran la misma topolog´ıa, que es lo realmente interesante.

Definición 3.5.7 (Métricas equivalentes). Diremos que dos métricasdyd0sobre un mismo con-juntoXson equivalentes si dan lugar a la misma topolog´ıa, es decir, siτd=τd0.

Proposici´on 3.5.8. Sean d y d0 dos distancias definidas sobre un conjunto X. Entonces d y d0 son equivalentes si, y s´olo si para todo x ∈ X y para todo r > 0 existe δ > 0 tal que Bd(x, δ)⊂Bd0(x, r)y existeδ0 >0tal queB_d0(x, δ0)⊂B_d(x, r)

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3.5. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS METRIZABLES 33

Demostración. =⇒ Supongamos quedyd0 son equivalentes. Dadosx∈Xyr >0,Bd0(x, r) es un abierto de τd0, y por tanto de τ_d; por eso existe δ > 0 tal que B_d(x, δ) ⊂ B_d0(x, r). Análogamente se demuestra la segunda afirmación.

⇐= Rec´ıprocamente, si suponemos que se cumplen las dos afirmaciones veamos quedyd0son equivalentes. SeaAun abierto deτdy seax ∈ A. Entonces exister > 0tal queBd(x, r) ⊂A.

Aplicando la segunda propiedad, existiráδ0 >0 tal queBd0(x, δ0) ⊂B_d(x, r), y entoncesAes un entorno dexparaτd0 y es, por tanto, abierto en esta topolog´ıa. De forma análoga se demuestra que todo abierto deτd0lo es también deτ_d.

Corolario 3.5.9. Dos distanciasdyd0sobre un conjuntoXson equivalentes si existen constantes m, M >0tales que para todox, y∈X

md(x, y)≤d0(x, y)≤M d(x, y)

Demostraci´on. Seanx∈Xyr >0. Entonces tomandoδ= _Mr, se tiene qued(x, y)≤δimplica qued0(x, y) ≤ M d(x, y) ≤ M δ = r, con lo que Bd(x;δ) ⊂ Bd0(x, r). De forma an´aloga, tomandoδ0 =mrse tiene queBd0(x, δ0)⊂B_d(x, r).

Ejemplo 3.5.10.

(1) El hecho de que dos m´etricas sean equivalentes, significa que tienen los mismos abiertos, pero no necesariamente las mismas bolas; por ejemplo enRn las tres m´etricasd1, d2 y d∞ son

equivalentes (Ejercicio) y sin embargo, como ya hemos visto, no tienen las mismas bolas.