TOPOLOG´
IA GENERAL
Clara M. Neira U.
Departamento de Matem´
aticas
Introducci´on 5
1. Espacios M´etricos 7
1.1. M´etricas y seudom´etricas . . . 7
1.2. Funciones continuas . . . 12
1.3. Topolog´ıa de un espacio m´etrico . . . 14
2. Espacios Topol´ogicos 20 2.1. Bases para una topolog´ıa - Conjuntos abiertos . . . 20
2.2. Espacios topol´ogicos . . . 23
2.3. Vecindades . . . 29
2.4. Conjuntos cerrados . . . 36
2.5. Adherencia de un conjunto . . . 38
2.6. Puntos de acumulaci´on . . . 45
2.7. Interior, exterior y frontera de un conjunto . . . 49
2.8. Subespacios . . . 53
3. Funciones continuas 57 3.1. Funciones continuas . . . 57
3.2. Homeomorfismos e inmersiones . . . 65
4. Topolog´ıas iniciales y Topolog´ıas finales 69 4.1. Estructuras iniciales - Topolog´ıa inicial . . . 69
4.2. Topolog´ıa Producto . . . 72 2
´INDICE GENERAL 3
4.3. Productos arbitrarios . . . 74
4.4. Estructuras finales - Topolog´ıa final . . . 79
4.5. Topolog´ıa cociente . . . 81
5. Propiedades de Separaci´on y de enumerabilidad 86 5.1. Espacios T0 y espacios T1 . . . 86
5.2. Espacios de Hausdorff - T2 . . . 90
5.3. Espacios regulares y Espacios T3 . . . 94
5.4. Espacios completamente regulares y Espacios de Tychonoff . . 97
5.5. Espacios normales . . . 100
5.6. El Lema de Urysohn y el Teorema de Extensi´on de Tietze . . 103
5.7. Propiedades de enumerabilidad . . . 108
6. Convergencia - Filtros 113 6.1. Filtros sobre un conjunto . . . 113
6.2. Bases y sub-bases para un filtro . . . 116
6.3. Convergencia de filtros . . . 119 6.4. Ultrafiltros . . . 124 7. Espacios compactos 127 7.1. Espacios Compactos . . . 127 7.2. La Caracterizaci´on de Kuratowski-Mr´owka . . . 130
7.3. Algunos resultados sobre compacidad . . . 133
7.4. El Teorema de Tychonoff . . . 137
7.5. Compacidad local - Compactificaci´on de Alexandroff . . . 139
7.6. La compactificaci´on de Stone- ˇCech . . . 141
7.7. Compacidad en espacios m´etricos . . . 144
8. Espacios Conexos 149 8.1. Espacios Conexos . . . 149
8.2. Propiedades de los espacios conexos . . . 153
8.3. Componentes conexas . . . 156
8.4. Conexidad por arcos . . . 159
A. Teor´ıa de Conjuntos 165
A.1. Definiciones b´asicas . . . 165
A.2. Uni´on, intersecci´on y diferencia - Diferencia sim´etrica . . . 166
A.3. Uniones e intersecciones arbitrarias . . . 170
A.4. Producto cartesiano . . . 172
A.5. Funciones . . . 173
A.6. Productos arbitrarios . . . 177
A.7. Relaciones . . . 179
A.8. Cardinalidad . . . 182
Introducci´
on
Estas notas de topolog´ıa nacieron de la necesidad de presentar los contenidos b´asicos de topolog´ıa general, de la forma m´as clara posible, a estudiantes de la carrera y del posgrado en Matem´aticas de la Universidad Nacional de Colombia.
Poco a poco se vislumbr´o la posibilidad de dar a conocer a trav´es de ellas presentaciones novedosas de conceptos conocidos, as´ı como algunas demostra-ciones y resultados originales.
Es bien conocido por ejemplo, que cualquier espacio topol´ogico T0 se puede
sumergir en un producto de espacios de Sierpinski. Como una generalizaci´on de este resultado, se muestra aqu´ı que cualquier espacio topol´ogico, goce o no de la propiedad de ser T0, se puede sumergir en un producto de espacios
de Sierpinski de tres puntos.
En el cap´ıtulo de compacidad se hace especial ´enfasis en la Caracterizaci´on de Kuratowski-Mr´owka de los espacios topol´ogicos compactos, que da una visi´on categ´orica del concepto y es una herramienta valiosa que permite dar demostraciones alternativas de resultados ya conocidos sobre compacidad. Es de resaltar la asombrosa sencillez de la demostraci´on del Teorema de Tychonoff que, en el caso finito, brinda esta caracterizaci´on.
Al final de cada secci´on se ofrece una variada selecci´on de ejercicios, algunos de los cuales buscan reforzar los conocimientos en los estudiantes, mientras que otros les ofrecen la oportunidad de poner a prueba su creatividad y su ingenio.
Las referencias bibliogr´aficas incluyen no s´olo textos cl´asicos de Topolog´ıa General, sino tambi´en enlaces con otros sitios de inter´es en topolog´ıa ubicados en la red.
Cap´ıtulo
1
Espacios M´etricos
En este cap´ıtulo estudiaremos el concepto de distancia entre dos puntos de un conjunto. Con este prop´osito definiremos una estructura matem´atica sobre un conjunto dado, que nos permita decidir cu´ando un punto est´a “cerca” de otro.
1.1.
M´
etricas y seudom´
etricas
1.1.1 Definici´on. Sea X un conjunto. Una m´etrica sobre X es una funci´on ρ : X × X −→ R tal que:
1. ρ(x, y) ≥ 0,
2. ρ(x, y) = 0 si y s´olo si x = y, 3. ρ(x, y) = ρ(y, x) y
4. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (desigualdad triangular)
para todo x, y, z ∈ X. Si ρ es una m´etrica sobre X decimos que (X, ρ), o simplemente X, si no hay lugar a confusi´on sobre la m´etrica con la que se trabaja, es un espacio m´etrico.
1.1.2 EJEMPLOS.
1. Si X es un conjunto cualquiera, la funci´on ρ : X × X −→ R definida por
ρ(x, y) = (
0 si x = y 1 si x 6= y
es una m´etrica sobre X que se llama la m´etrica discreta.
2. El conjunto R de los n´umeros reales, junto con la funci´on distancia ρ definida por ρ(x, y) = |x − y|, es un espacio m´etrico. En adelante diremos que esta funci´on es la m´etrica usual de R y, a menos que se especifique lo contrario, cuando nos refiramos a los n´umeros reales estaremos considerando esta m´etrica sobre R.
En general, Rn con la m´etrica usual definida por
ρ((x1, ..., xn), (y1, ..., yn)) = v u u t n X i=1 (xi− yi)2 es un espacio m´etrico.
3. El plano R2, junto con la funci´on ρ
1 definida por
ρ1((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 − x2| + |y1− y2|
es un espacio m´etrico. La funci´on ρ1 se suele llamar la m´etrica del
taxista.
4. El plano R2, junto con la funci´on ρ
2 definida por
ρ2((x1, y1), (x2, y2)) = m´ax{|x1− x2|, |y1− y2|}
es un espacio m´etrico.
5. Sea X el conjunto de todas las funciones acotadas f : R −→ R (una funci´on f : R −→ R es acotada si existe un n´umero real M > 0 tal que |f (x)| < M para todo x ∈ R). La funci´on ρ : X × X −→ R definida por ρ(f, g) = sup{|f (x) − g(x)| : x ∈ R} es una m´etrica sobre X.
1.1. M ´ETRICAS Y SEUDOM ´ETRICAS 9
6. Sea C(I) el conjunto de todas las funciones continuas definidas del intervalo I = [0, 1] en R. La funci´on ρ : C(I) × C(I) −→ R definida por ρ(f, g) =R01|f (x) − g(x)|dx es una m´etrica sobre C(I).
7. Cualquier subconjunto Y de un espacio m´etrico (X, d) es un espacio m´etrico con la restricci´on d Y ×Y de la funci´on d a Y × Y .
8. Si X = {x1, x2, ...} es un conjunto contable, entonces la funci´on d :
X × X −→ R definida por d(xi, xj) = 1 + 1 i + j si i 6= j 0 si i = j
es una m´etrica sobre X. El espacio (X, d) se llama el Espacio M´etrico de Sierpinski y d se llama la m´etrica de Sierpinski.
En un espacio m´etrico, adem´as de medir la distancia entre dos puntos, es posible medir la distancia entre un punto y un conjunto.
1.1.3 Definici´on. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Si A es un subconjunto no vac´ıo de X entonces la distancia d(x, A) de un punto x ∈ X al conjunto A se define como el ´ınfimo de los n´umeros d(x, a) donde a ∈ A; esto es,
d(x, A) = ´ınf{d(x, a) : a ∈ A}.
N´otese que si (X, d) es un espacio m´etrico y A ⊂ X entonces d(x, A) = 0 para todo x ∈ A; pero que d(x, A) = 0 no implica que x sea un elemento de A. Si consideramos por ejemplo el conjunto R de los n´umeros reales con la m´etrica usual y A = {n1 : n ∈ N} entonces d(0, A) = 0 y 0 /∈ A.
1.1.4 Definici´on. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Si A es un subconjunto no vac´ıo de X entonces el di´ametro de A, diam A es sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. Si diam A < ∞ entonces decimos que el conjunto A es acotado. Por definici´on diam ∅ = 0.
De la definici´on se tiene que el espacio m´etrico X es acotado si la funci´on d es acotada. Las condiciones que debe satisfacer la funci´on distancia d en
un espacio m´etrico X son bastante rigurosas. En ocasiones una funci´on d : X × X −→ R, pudiendo no ser una m´etrica en el sentido estricto, permite hablar de “distancia” lo suficientemente bien para algunos prop´ositos.
1.1.5 Definici´on. Sea X un conjunto. Una funci´on ρ : X × X −→ R tal que
1. ρ(x, y) ≥ 0, 2. ρ(x, x) = 0, 3. ρ(x, y) = ρ(y, x) y
4. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
para cada x, cada y y cada z en X, se llama una seudom´etrica sobre X. Si ρ es una seudom´etrica sobre X decimos que (X, ρ) (o simplemente X) es un espacio seudom´etrico.
N´otese que en un espacio seudom´etrico (X, ρ) pueden existir puntos distintos x y y con ρ(x, y) = 0.
1.1.6 EJEMPLOS.
1. Toda m´etrica sobre un conjunto X es tambi´en una seudom´etrica. 2. Si X es un conjunto entonces la funci´on ρ : X × X −→ R definida por
ρ(x, y) = 0 es una seudom´etrica sobre X.
3. Sea x0 ∈ [0, 1]. La funci´on η : C(I) × C(I) −→ R definida por η(f, g) =
|f (x0) − g(x0)| es una seudom´etrica sobre C(I).
Ejercicios 1.1
1. Demuestre que las siguientes funciones son m´etricas sobre los conjuntos dados.
1.1. M ´ETRICAS Y SEUDOM ´ETRICAS 11
a) Si X es un conjunto cualquiera, sea ρ : X × X −→ R la funci´on definida por
ρ(x, y) = (
0 si x = y 1 si x 6= y. b) En R la funci´on definida por ρ(x, y) = |x − y|. c) En Rn la funci´on definida por
ρ((x1, ..., xn), (y1, ..., yn)) = v u u t n X i=1 (xi− yi)2.
d ) En el plano, la funci´on definida por
ρ1((x1, y1), (x2, y2)) = |x1− x2| + |y1− y2|.
La funci´on ρ1 se suele llamar la m´etrica del taxista.
e) En el plano, la funci´on definida por definida por
ρ2((x1, y1), (x2, y2)) = m´ax{|x1− x2|, |y1− y2|}.
f ) En el conjunto X de todas las funciones acotadas f : R −→ R, la funci´on ρ : X × X −→ R definida por ρ(f, g) = sup{|f (x) − g(x)| : x ∈ R}.
g) En el conjunto C(I) de todas las funciones continuas definidas del intervalo I = [0, 1] en R, la funci´on ρ : C(I)×C(I) −→ R definida por ρ(f, g) =R1
0 |f (x) − g(x)|dx.
h) En cualquier conjunto contable X = {x1, x2, ...}, la funci´on d :
X × X −→ R definida por d(xi, xj) = 1 + 1 i + j si i 6= j 0 si i = j.
2. Demuestre que las funciones definidas a continuaci´on son seudom´etricas sobre los conjuntos dados.
a) En un conjunto X, la funci´on ρ : X × X −→ R definida por ρ(x, y) = 0.
b) Sea x0 ∈ [0, 1]. En C(I), la funci´on η : C(I) × C(I) −→ R definida
por η(f, g) = |f (x0) − g(x0)|.
3. Sean (X, d) y (Y, m) dos espacios m´etricos. ¿Es la funci´on ρ : (X ×Y )× (X×Y ) −→ R, definida por ρ((x1, x1), (x2, y2)) = m´ax{d(x1, x2), m(y1, y2)},
una m´etrica sobre X × Y ?
4. Sea ρ una seudom´etrica definida sobre un conjunto X. Definimos la relaci´on ∼ sobre X por x ∼ y sii ρ(x, y) = 0.
a) Pruebe que ∼ es una relaci´on de equivalencia sobre X.
b) Sea X/∼ el conjunto de todas las clases de equivalencia determi-nadas por ∼. Demuestre que la funci´on d : X/∼ × X/∼ −→ R definida por d([x], [y]) = ρ(x, y) es una m´etrica sobre X/∼.
1.2.
Funciones continuas
Sin duda el concepto m´as ´util e importante en el estudio de los espacios m´etricos, seudom´etricos y en general de los espacios topol´ogicos es el concepto de continuidad.
1.2.1 Definici´on. Sean (X, ρ) y (Y, η) espacios m´etricos (resp. seudom´ etri-cos). Una funci´on f : X −→ Y es continua en un punto x0 ∈ X si dado
> 0 existe δ > 0 tal que si ρ(x, x0) < δ, entonces η(f (x), f (x0)) < .
Si la funci´on f es continua en cada punto de X decimos simplemente que f es continua.
Los siguientes son ejemplos t´ıpicos de funciones continuas. 1.2.2 EJEMPLOS.
1. Si (X, d) es un espacio m´etrico entonces IdX : X −→ X, la
fun-ci´on id´entica de X, es continua. En efecto, si x0 ∈ X y si es un
n´umero real positivo y consideramos δ = entonces d(x, x0) < δ
1.2. FUNCIONES CONTINUAS 13
2. Si (X, ρ) y (Y, η) son espacios m´etricos y si k ∈ Y es un punto arbi-trario pero fijo de Y , entonces la funci´on constante f : X −→ Y de valor k es una funci´on continua. Para demostrar esto basta observar que si x0 ∈ X, si > 0 y si δ es un n´umero real arbitrario, entonces
ρ(x, x0) < δ implica η(f (x), f (x0)) = η(k, k) = 0 < .
El siguiente resultado muestra la continuidad de una funci´on poco menciona-da hasta ahora.
1.2.3 Proposici´on. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X, A 6= ∅. La funci´on de X en los n´umeros reales definida por x 7−→ d(x, A) es continua. Demostraci´on. Sean x0 ∈ X y > 0. Si d(x, x0) < , entonces para cada
a ∈ A se tiene que
d(x, A) ≤ d(x, a)
≤ d(x, x0) + d(x0, a)
< + d(x0, a).
Esto significa que d(x, A) − < d(x0, a) para todo a ∈ A. Entonces d(x, A) −
≤ d(x0, A), es decir
d(x, A) − d(x0, A) ≤ .
De la misma forma se obtiene que
d(x0, A) − d(x, A) ≤ ,
luego
|d(x, A) − d(x0, A)| ≤ .
Esto completa la demostraci´on.
Ejercicios 1.2
1. Demuestre que si X tiene la m´etrica discreta y Y es un espacio m´etrico cualquiera, entonces cualquier funci´on definida de X en Y es continua. ¿Qu´e ocurre si Y es un espacio seudom´etrico?
2. Demuestre que si X es un espacio m´etrico cualquiera y Y tiene la seudom´etrica definida por d(w, z) = 0 para todo w y todo z en Y , entonces cualquier funci´on definida de X en Y es continua. ¿Qu´e ocurre si X es un espacio seudom´etrico?
3. De un ejemplo de dos m´etricas d1 y d2, definidas sobre un mismo
con-junto X, de tal manera que la funci´on id´entica de (X, d1) en (X, d2) no
resulte continua.
4. Suponga que d1y d2 son dos m´etricas definidas sobre un mismo
conjun-to X. Si la aplicaci´on id´entica definida de (X, d1) en (X, d2) es continua,
¿qu´e puede afirmar de d1 y d2? Demuestre su conjetura.
5. Dos espacios m´etricos (X, d) y (Y, m) son isom´etricos si existe una funci´on biyectiva f : X −→ Y tal que
d(x1, x2) = m(f (x1), f (x2))
para cada x1 y cada x2 en X. La funci´on f se llama una isometr´ıa.
a) Pruebe que si f : X −→ Y es una isometr´ıa, entonces f y f−1 son funciones continuas.
b) Pruebe que el intervalo [0, 1] es isom´etrico a cualquier otro inter-valo cerrado de R de la misma longitud.
c) Pruebe que si R y R2 tienen cada uno su m´etrica usual, entonces
no son isom´etricos.
d ) Pruebe que si X y Y tienen cada uno la m´etrica discreta entonces X y Y son isom´etricos si y s´olo si tienen la misma cardinalidad. e) Defina una m´etrica en el intervalo abierto (0, 1), de tal manera
que el espacio m´etrico resultante sea isom´etrico a R con la m´etrica usual.
1.3.
Topolog´ıa de un espacio m´
etrico
1.3.1 Definici´on. Sean (X, d) un espacio m´etrico, x ∈ X y > 0. El conjunto B(x, ) = {y ∈ X : d(x, y) < } se llama la bola abierta centrada en x con radio . El conjunto B[x, ] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ } se llama la bola cerrada centrada en x con radio .
1.3. TOPOLOG´IA DE UN ESPACIO M ´ETRICO 15
N´otese que en R, la bola abierta centrada en un n´umero real x con radio es el intervalo abierto (x − , x + ).
La siguiente figura muestra la bola abierta de radio 1 centrada en el origen, para cada una de las m´etricas ρ, ρ1 y ρ2 definidas sobre R2 en los numerales
2, 3 y 4 de los ejemplos 1.1.2..
Por su parte, la bola abierta de radio centrada en una funci´on f : R −→ R que pertenezca al espacio m´etrico de-scrito en el numeral 5. de los ejemp-los 1.1.2., est´a formada por las fun-ciones acotadas que tienen su gr´afica contenida en la franja que se muestra en la figura.
Si X es un espacio discreto, es decir si en X consideramos la m´etrica discreta, entonces la bola abierta de radio > 0 centrada en un punto x ∈ X se reduce a {x} si ≤ 1 y es todo el conjunto X si > 1.
Si X es el Espacio M´etrico de Sierpinski definido en el numeral 8 de 1.1.2. entonces la bola de radio 0 < ≤ 1 centrada en cualquier punto x ∈ X se reduce a {x}.
Una de las propiedades m´as bonitas y relevantes de las bolas en un espacio m´etrico se enuncia en el siguiente resultado:
1.3.2 Proposici´on. Si (X, d) es un espacio m´etrico, si a y b son elementos de X, si y δ son n´umeros reales positivos y si x ∈ B(a, ) ∩ B(b, δ) entonces existe γ > 0 tal que B(x, γ) ⊂ B(a, ) ∩ B(b, δ).
Para probar esta proposici´on basta considerar γ = m´ın{−d(a, x), δ−d(x, b)} y utilizar la desigualdad triangular.
En los espacios m´etricos tenemos la posibilidad de hablar de “cercan´ıa”. Decir que un punto est´a tan cerca de otro como queramos, significa que los puntos est´an a una distancia menor que un n´umero positivo que hemos fijado con anterioridad. En otras palabras, si para nosotros “estar suficientemente cerca” de un punto a significa estar a una distancia menor que un cierto n´umero > 0, entonces los “vecinos” de a o los puntos “suficientemente cercanos a a” son precisamente los elementos del conjunto B(a, ). Estas consideraciones sugieren la siguiente definici´on:
1.3.3 Definici´on. Sean X un espacio m´etrico y x ∈ X. Un subconjunto V de X es una vecindad de x si existe > 0 tal que B(x, ) ⊂ V . Denotamos por V(x) al conjunto de todas las vecindades del punto x.
1.3.4 EJEMPLOS.
1. En los n´umeros reales el intervalo [1, +∞) es una vecindad de 3 (en realidad es una vecindad de cualquier real mayor que 1); pero no es una vecindad de 1.
1.3. TOPOLOG´IA DE UN ESPACIO M ´ETRICO 17
3. La bola cerrada B[x, 1] es una vecindad de x = (0, 0) en R2.
4. El conjunto A = {(x, y) : y < x} ⊂ R2 es una vecindad de cada uno
sus puntos.
5. El conjunto {f : |f (x)| < 2 para cada x ∈ R} es una vecindad de la funci´on arctan x en el espacio de funciones acotadas definido en el numeral 5. de 1.1.2..
Los items 2 y 4 de los ejemplos anteriores muestran conjuntos muy especiales en los que se basar´a todo nuestro estudio en topolog´ıa. Tienen en com´un la caracter´ıstica de ser vecindades de cada uno de sus puntos. De estos conjuntos diremos que son conjuntos abiertos.
1.3.5 Definici´on. Un subconjunto A de un espacio m´etrico X es un con-junto abierto en X si A es vecindad de cada uno de sus puntos.
Consideremos un espacio m´etrico X. De la definici´on se infieren de manera inmediata los siguientes hechos:
1. El conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.
2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ B es un conjunto abierto en X.
3. La uni´on de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un conjunto abierto en X.
N´otese que en un espacio m´etrico X las bolas abiertas son conjuntos abiertos y que cada conjunto abierto se puede expresar como una uni´on de bolas abier-tas. Decimos entonces que las bolas abiertas “generan” los conjuntos abiertos. M´as adelante expresaremos este hecho diciendo que las bolas abiertas “ge-neran la topolog´ıa del espacio X” o que “son una base para la topolog´ıa de X”.
La siguiente definici´on establece un criterio que nos permite saber cu´ando, desde el punto de vista puramente topol´ogico, vale la pena distinguir entre dos m´etricas aparentemente distintas.
1.3.6 Definici´on. Dos m´etricas sobre un conjunto X son equivalentes si generan los mismos conjuntos abiertos.
1.3.7 EJEMPLOS.
1. Hemos visto que si X es un conjunto contable entonces los subconjuntos unitarios de X son bolas abiertas, tanto si consideramos la m´etrica discreta sobre X, como si consideramos la m´etrica de Sierpinski. Estas dos m´etricas generan entonces los mismos conjuntos abiertos en X. En otras palabras, estas m´etricas son equivalentes.
2. Los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen m´etricas equivalentes sobre R2.
3. Si (X, d) es un espacio m´etrico, la funci´on d1 : X × X −→ R definida
por d1(x, y) = m´ın{d(x, y), 1} es una m´etrica acotada sobre X
equiva-lente a la m´etrica d.
Estudiaremos otros conceptos topol´ogicos en espacios m´etricos a lo largo de los siguientes cap´ıtulos.
Ejercicios 1.3
1. Sea X un espacio m´etrico. Demuestre los siguientes hechos: a) El conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos. b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A∩B es un conjunto
abierto en X.
c) La uni´on de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un conjunto abierto en X.
d ) Todo intervalo abierto de R es un conjunto abierto.
2. Sea X un espacio m´etrico. Decimos que un subconjunto F de X es cerrado en X si su complemento es abierto. Pruebe las siguientes afir-maciones:
1.3. TOPOLOG´IA DE UN ESPACIO M ´ETRICO 19
a) Los subconjuntos de X que tienen exactamente un punto son cerrados.
b) Si A y B son conjuntos cerrados en X entonces A ∪ B es un conjunto cerrado en X.
c) La intersecci´on de cualquier familia de conjuntos cerrados en X es un conjunto cerrado en X.
d ) Si X tiene la m´etrica discreta entonces todo subconjunto de X es abierto y cerrado.
e) Todo intervalo cerrado de R es un conjunto cerrado.
3. Sean X y Y espacios m´etricos y sea f : X −→ Y una funci´on. De-muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) f es continua.
b) Si A es un subconjunto abierto de Y entonces f−1(A) es un sub-conjunto abierto de X.
c) Si K es un subconjunto cerrado de Y entonces f−1(K) es un sub-conjunto cerrado de X.
4. Muestre que los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen m´etricas equi-valentes sobre R2.
5. Sea (X, d) es un espacio m´etrico. Muestre que la funci´on d1 : X ×X −→
R definida por d1(x, y) = m´ın{d(x, y), 1} es una m´etrica acotada sobre
Cap´ıtulo
2
Espacios Topol´
ogicos
La distancia definida en un espacio m´etrico da lugar al concepto de bola abierta, que a su vez permite hablar de las vecindades de un punto y de los conjuntos abiertos en el espacio. En este cap´ıtulo generalizamos estas ideas a otros conjuntos en los que no necesariamente se tiene la noci´on de distancia.
2.1.
Bases para una topolog´ıa - Conjuntos
abiertos
Hemos visto que en un espacio m´etrico (X, d) las bolas abiertas satisfacen las siguientes propiedades:
1. S
x∈X,>0B(x, ) = X.
2. Si a, b ∈ X, si , δ > 0 y si x ∈ B(a, ) ∩ B(b, δ) entonces existe γ > 0 tal que B(x, γ) ⊂ B(a, ) ∩ B(b, δ).
Con estas propiedades en mente y teniendo en cuenta que la colecci´on de bolas abiertas en un espacio m´etrico da lugar a conceptos tan importantes como el concepto de vecindad y el de conjunto abierto que nos permiten estudiar el espacio m´etrico a profundidad, formulamos la siguiente definici´on:
2.1. BASES PARA UNA TOPOLOG´IA - CONJUNTOS
ABIERTOS 21
2.1.1 Definici´on. Sea X un conjunto. Una colecci´on B de subconjuntos de X es una base para una topolog´ıa sobre X si se satisfacen las siguientes condiciones:
1. S
B∈BB = X.
2. Si B1, B2 ∈ B y x ∈ B1∩ B2 entonces existe C ∈ B tal que x ∈ C y
C ⊂ B1∩ B2.
La primera condici´on nos dice que todo elemento de X debe pertenecer a un elemento de B y la segunda que la intersecci´on de dos elementos de la colecci´on B se puede expresar como una uni´on de elementos de la misma colecci´on.
2.1.2 EJEMPLOS.
1. La colecci´on de todas las bolas abiertas en un espacio m´etrico X es una base para una topolog´ıa sobre X.
2. La colecci´on de todos los intervalos de la forma [a, b) con a y b n´umeros reales y a < b es una base para una topolog´ıa sobre R.
Al igual que sucede en los espacios m´etricos, el concepto de base para una topolog´ıa da lugar al concepto de conjunto abierto.
2.1.3 Definici´on. Sean X un conjunto y B una base para una topolog´ıa sobre X. Un subconjunto A de X es un conjunto abierto en X si es uni´on de una familia de elementos de B.
La colecci´on de todos los conjuntos abiertos en X es la topolog´ıa sobre X generada por B. Esta definici´on justifica el t´ermino “base para una topolog´ıa” sobre X.
N´otese que, al igual que en los espacios m´etricos, la topolog´ıa sobre X gene-rada por B tiene las siguientes propiedades:
2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ B es un conjunto abierto en X.
3. La uni´on de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un conjunto abierto en X.
Ejercicios 2.1
1. Pruebe que la colecci´on de todos los intervalos de la forma [a, b) con a y b n´umeros reales y a < b es una base para una topolog´ıa sobre R. 2. Pruebe que la colecci´on de todos los rect´angulos abiertos (es decir, sin
sus bordes) es una base para una topolog´ıa sobre el plano.
3. Para cada entero positivo n, sea Sn = {n, n + 1, ...}. Muestre que la
colecci´on de todos los subconjuntos de N que contienen a alg´un Sn es
una base para una topolog´ıa sobre N.
4. Sean X un conjunto y S una colecci´on de subconjuntos de X. Sea B la colecci´on de todas las intersecciones finitas de elementos de S.
a) Demuestre que la uni´on de la colecci´on B es X. (Sugerencia: Con-sidere la intersecci´on de una familia vac´ıa de elementos de S.) b) Pruebe que si A y B pertenecen a B y si x ∈ A ∩ B, entonces
existe C ∈ B tal que x ∈ C y C ⊂ A ∩ B.
Se ha demostrado que B es una base para una topolog´ıa sobre X. La colecci´on S es una sub-base para la topolog´ıa, que genera la base B. Los elementos de S se dicen ser sub-b´asicos.
5. Considere la colecci´on S de conjuntos de la forma (−∞, a) junto con los conjuntos de la forma (b, ∞). Esta colecci´on es una sub-base para una topolog´ıa sobre R.
a) Describa la base B generada por S.
b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.
6. Considere la colecci´on S de todas las lineas rectas en el plano. a) Describa la base B generada por S.
2.2. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS 23
b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.
7. Sea X un conjunto y B una base para una topolog´ıa sobre X. Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones:
a) El conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos. b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A∩B es un conjunto
abierto en X.
c) La uni´on de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un conjunto abierto en X.
2.2.
Espacios topol´
ogicos
La colecci´on de todos los conjuntos abiertos determinados por una base para una topolog´ıa sobre un conjunto X, es la mayor base que genera la misma topolog´ıa sobre X. Con frecuencia tomaremos como punto de partida esta base particular para nuestro estudio. Trabajaremos con la siguiente defini-ci´on:
2.2.1 Definici´on. Sea X un conjunto. Una colecci´on τ de subconjuntos de X tal que
1. el conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto X pertenecen a τ , 2. si A, B ∈ τ entonces A ∩ B ∈ τ ,
3. la uni´on de cualquier familia de elementos de τ pertenece a τ
es una topolog´ıa sobre X. Los elementos de la colecci´on τ se llaman con-juntos abiertos y la pareja (X, τ ), o simplemente X si no cabe duda sobre cu´al es la colecci´on τ , se llama un espacio topol´ogico.
2.2.2 EJEMPLOS.
1. Si X es un espacio m´etrico, la topolog´ıa generada por la colecci´on de to-das las bolas abiertas es una topolog´ıa sobre X que se llama la topolog´ıa m´etrica o la topolog´ıa generada por la m´etrica. Los espacios m´etricos
son una importante clase de espacios topol´ogicos.
La topolog´ıa usual sobre R, y en general sobre Rn, es la topolog´ıa gene-rada por la m´etrica usual.
Si la topolog´ıa sobre un espacio X est´a generada por una m´etrica deci-mos que X es un espacio metrizable.
2. Sea X un conjunto cualquiera. La colecci´on P(X) de todos los subcon-juntos de X es una topolog´ıa sobre X que recibe el nombre de topolog´ıa discreta. El espacio (X, P(X)) se llama espacio discreto. N´otese que esta topolog´ıa est´a generada por la m´etrica discreta sobre X.
3. Sea X un conjunto cualquiera. La colecci´on {∅, X} es una topolog´ıa sobre X que se llama topolog´ıa trivial o topolog´ıa grosera. El espacio X con esta topolog´ıa es un espacio trivial o espacio grosero.
4. La colecci´on τ = {∅, {0}, {0, 1}} es la topolog´ıa de Sierpinski so-bre el conjunto X = {0, 1}. El espacio (X, τ ) se llama el espacio de Sierpinski.
5. La colecci´on {(a, +∞) : a ∈ R} ∪ {R} es una topolog´ıa sobre R que se acostumbra llamar la topolog´ıa de las colas a derecha. Por su parte, la colecci´on {(−∞, a) : a ∈ R} ∪ {R} es tambi´en una topolog´ıa sobre R que se llama la topolog´ıa de las colas a izquierda.
6. Sea X un conjunto infinito. La colecci´on
{A ⊂ X : Ac es finito } ∪ {∅}
es una topolog´ıa sobre X que recibe el nombre de topolog´ıa de los com-plementos finitos.
7. Sea X un conjunto. La colecci´on
{A ⊂ X : Ac es contable } ∪ {∅}
es una topolog´ıa sobre X que recibe el nombre de topolog´ıa de los com-plementos contables.
8. Un subconjunto A del plano R2se llama radialmente abierto si por cada uno de sus puntos existe un segmento abierto de linea recta en cada direcci´on, que contiene al punto y est´a contenido en el conjunto. Es
2.2. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS 25
inmediato que la colecci´on de todos los conjuntos radialmente abiertos es una topolog´ıa sobre R2 que se llama topolog´ıa radial. El plano R2 junto con esta topolog´ıa es el plano radial.
9. Sea X un conjunto totalmente ordenado por la relaci´on <. Dos elemen-tos a, b ∈ X con a < b, determinan los siguientes intervalos:
Intervalo abierto: (a, b) = {x ∈ X : a < x < b}, (a, b] = {x ∈ X : a < x ≤ b},
[a, b) = {x ∈ X : a ≤ x < b},
Intervalo cerrado: [a, b] = {x ∈ X : a ≤ x ≤ b}.
Sea B la colecci´on que consiste de los siguientes tipos de intervalos: a) Todos los intervalos abiertos (a, b) en X.
b) Todos los intervalos de la forma [a0, b) donde a0 es el elemento
m´ınimo de X (si lo hay).
c) Todos los intervalos de la forma (a, b0] donde b0 es el elemento
m´aximo de X (si lo hay).
La colecci´on B es una base que genera la as´ı llamada topolog´ıa del orden sobre X. Un conjunto totalmente ordenado junto con la topolog´ıa del orden se llama un espacio ordenado.
Consideremos sobre el conjunto de los n´umeros reales la topolog´ıa usual τusual
y la topolog´ıa de las colas a derecha τC. N´otese que cada conjunto abierto
en el espacio (R, τC) es un conjunto abierto en (R, τusual). Expresamos este
hecho diciendo que τC es menos fina que τusual o que τusual es m´as fina que
τC. En general tenemos la siguiente definici´on:
2.2.3 Definici´on. Sean X un conjunto y τ1, τ2 topolog´ıas sobre X. Decimos
que τ1 es menos fina que τ2 o que τ2 es m´as fina que τ1 si τ1 ⊂ τ2.
Como es natural, si τ1 es menos fina que τ2 y τ2 es menos fina que τ1 entonces
2.2.4 EJEMPLOS.
1. Recordemos la m´etrica del taxista ρ1 definida sobre R2 por
ρ1((x1, y1), (x2, y2)) = |x1− x2| + |y1− y2|.
Si (x1, y1) ∈ R2 y > 0 entonces
{(x, y) : |x − x1| + |y − y1| < }
⊂ {(x, y) : p(x − x1)2+ (y − y1)2 < }.
Esto implica que la topolog´ıa usual sobre R2 es menos fina que la topolog´ıa generada por la m´etrica del taxista.
Adem´as se tiene que
( (x, y) :p(x − x1)2+ (y − y1)2 < √ 2 2 ) ⊂ {(x, y) : |x − x1| + |y − y1| < } .
2.2. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS 27
Entonces la topolog´ıa usual sobre R2
es m´as fina que la topolog´ıa genera-da por la m´etrica del taxista.
Aunque ya lo hab´ıamos mencionado, las consideraciones anteriores im-plican que la m´etrica usual y la m´etrica del taxista generan la misma topolog´ıa sobre R2.
2. Si z es un punto en una bola abierta en R2 con la topolog´ıa usual,
para cada posible direcci´on existe un segmento abierto de linea en esta direcci´on, que contiene a z y que est´a contenido en la bola. Esto implica que la topolog´ıa usual de R2 es menos fina que la topolog´ıa radial.
Ejercicios 2.2
1. Describa todas las topolog´ıas que existen sobre un conjunto de dos elementos y determine para cada par de ellas si una es mas fina o menos fina que la otra.
2. Determine cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu´ales son falsas. En cada caso, justifique su respuesta con una demostraci´on o un contraejemplo.
a) La intersecci´on de dos topolog´ıas sobre un conjunto X es una topolog´ıa sobre X.
b) La intersecci´on de cualquier familia de topolog´ıas sobre un con-junto X es una topolog´ıa sobre X.
c) La uni´on de dos topolog´ıas sobre un conjunto X es una topolog´ıa sobre X.
d ) La uni´on de cualquier familia de topolog´ıas sobre un conjunto X es una topolog´ıa sobre X.
3. Demuestre que si B es una base para una topolog´ıa sobre X, entonces la topolog´ıa generada por B es igual a la intersecci´on de todas las topolog´ıas sobre X que contienen a B.
4. Demuestre que si S es una sub-base para una topolog´ıa sobre X, en-tonces la topolog´ıa generada por S es igual a la intersecci´on de todas las topolog´ıas sobre X que contienen a S.
5. D´e un ejemplo que muestre que la topolog´ıa radial del plano no es menos fina que la topolog´ıa usual.
6. Sea X un conjunto totalmente ordenado. Verifique que la colecci´on B que consiste de los siguientes tipos de intervalos:
a) todos los intervalos abiertos (a, b) en X,
b) todos los intervalos de la forma [a0, b) donde a0 es el elemento
m´ınimo de X (si lo hay),
c) todos los intervalos de la forma (a, b0] donde b0 es el elemento
m´aximo de X (si lo hay),
es una base para una topolog´ıa sobre X.
7. Considere la topolog´ıa del orden lexicogr´afico sobre R2.
a) Haga un bosquejo que muestre los distintos tipos de intervalos que se pueden encontrar.
b) Muestre que la funci´on d∗ : R2× R2 −→ R definida por
d ∗ ((x1, y1), (x2, y2)) =
(
m´ın{|y1− y2|, 1} si x1 = x2
1 si x1 6= x2
es una m´etrica sobre R2.
c) Compare la topolog´ıa generada por la m´etrica d∗ con la topolog´ıa del orden lexicogr´afico sobre R2.
2.3. VECINDADES 29
2.3.
Vecindades
Ahora estamos en capacidad de definir el concepto de vecindad de un punto en un espacio topol´ogico.
2.3.1 Definici´on. Sean X un espacio topol´ogico y x ∈ X. Un subconjunto V de X es una vecindad de x si existe un conjunto abierto A tal que x ∈ A y A ⊂ V . Denotamos por V(x) el conjunto de todas las vecindades de x. N´otese que un subconjunto A de un espacio topol´ogico X es un conjunto abierto si y s´olo si A es vecindad de cada uno de sus puntos.
El siguiente resultado resume las propiedades m´as importantes de las vecin-dades.
2.3.2 Proposici´on. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico. 1. x ∈ V para cada V ∈ V(x).
2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩ V ∈ V(x).
3. Si U ∈ V(x) entonces existe V ∈ V(x) tal que U ∈ V(y) para cada y ∈ V .
4. Si U ∈ V(x) y U ⊂ V entonces V ∈ V(x).
Demostraci´on.
1. La primera afirmaci´on es consecuencia inmediata de la definici´on de vecindad.
2. Si A, B ∈ τ , x ∈ A, x ∈ B, A ⊂ U y B ⊂ V entonces A ∩ B ∈ τ , x ∈ A ∩ B y A ∩ B ⊂ U ∩ V .
3.
Puesto que U ∈ V(x) existe V ∈ τ tal que x ∈ V y V ⊂ U . Entonces para cada y ∈ V , U ∈ V(y).
4. Si A ∈ τ es tal que x ∈ A y A ⊂ U entonces tambi´en A ⊂ V y as´ı V ∈ V(x).
En nuestra discusi´on incial de este cap´ıtulo vimos c´omo generar una topolog´ıa sobre un conjunto X partiendo de una colecci´on de subconjuntos de X con las mismas propiedades de la colecci´on de bolas abiertas en un espacio m´etrico. Esto es, partiendo de una base para una topolog´ıa sobre X. Ahora veremos que si tomamos como punto de partida colecciones con las mismas propieda-des de las vecindapropieda-des de los puntos, tambi´en podemos generar una topolog´ıa sobre el conjunto X.
2.3.3 Proposici´on. Sea X un conjunto. Si para cada x ∈ X se ha asignado una colecci´on no vac´ıa V(x) de subconjuntos de X tal que:
1. x ∈ V para cada V ∈ V(x),
2. si U, V ∈ V(x) entonces U ∩ V ∈ V(x),
3. si U ∈ V(x) entonces existe V ∈ V(x) tal que U ∈ V(y) para cada y ∈ V ,
4. si U ∈ V(x) y U ⊂ V entonces V ∈ V(x),
entonces existe una topolog´ıa sobre X tal que para cada x ∈ X la colecci´on V(x) es precisamente la colecci´on de vecindades de x.
2.3. VECINDADES 31
Demostraci´on. Diremos que un conjunto A ⊂ X es “abierto” si para cada x ∈ A se tiene que A ∈ V(x). Demostraremos ahora que la colecci´on de conjuntos “abiertos” es una topolog´ıa sobre X y que la colecci´on de vecindades de cada x ∈ X es V(x).
1. Es inmediato que ∅ y X son conjuntos “abiertos”.
2. Si A y B son conjuntos “abiertos” y si x ∈ A∩B, entonces A, B ∈ V(x). Por hip´otesis A ∩ B ∈ V(x), luego A ∩ B es un conjunto “abierto” . 3. Si A es una familia de conjuntos “abiertos” y x ∈S A entonces x ∈ A
para alg´un A ∈ A. Se tiene que A ∈ V(x), as´ıS A ∈ V(x) y se concluye que S A es un conjunto “abierto” .
Entonces la colecci´on τ de conjuntos “abiertos” es una topolog´ıa sobre X. Veamos ahora que para cada x ∈ X, la colecci´on de vecindades de x es precisamente V(x).
Si W es una vecindad de x existe A ∈ τ tal que x ∈ A y A ⊂ W . Como A ∈ τ , se tiene que A ∈ V(x), entonces W ∈ V(x).
De manera rec´ıproca, si V ∈ V(x) y si adem´as U = {y ∈ V : V ∈ V(y)},
entonces U contiene a x, est´a contenido en V y es un conjunto abierto. En efecto, si y ∈ U , entonces V ∈ V(y). Por hip´otesis, existe W ∈ V(y) tal que V ∈ V(w) para cada w ∈ W . Esto implica que W ⊂ U , de donde U ∈ V(y), lo cual permite concluir que U es abierto. Entonces V es una vecindad de x.
En R con la topolog´ıa usual los intervalos abiertos centrados en un punto x dan lugar a todas las vecindades de x en el siguiente sentido: Toda vecindad de x contiene un intervalo abierto centrado en x. Diremos que los intervalos abiertos centrados en x son un sistema fundamental de vecindades del punto x. En general tenemos la siguiente definici´on:
2.3.4 Definici´on. Sean X un espacio topol´ogico y x ∈ X. Un subconjunto B(x) de V(x) es un sistema fundamental de vecindades de x si para cada V ∈ V(x) existe U ∈ B(x) tal que U ⊂ V . Llamamos a los elementos de B(x) vecindades b´asicas de x.
2.3.5 EJEMPLOS.
1. Sean X un espacio topol´ogico y x ∈ X. La colecci´on de todas las vecin-dades abiertas de x es un sistema fundamental de vecinvecin-dades de x. 2. Si X es un espacio topol´ogico discreto y x ∈ X entonces el conjunto
cuyo ´unico elemento es {x} es un sistema fundamental de vecindades de x.
3. Si X es un espacio m´etrico y x ∈ X, el conjunto de todas las bolas abiertas centradas en x es un sistema fundamental de vecindades de x. Tambi´en lo es el conjunto de todas las bolas abiertas con radio racional, centradas en x.
De la definici´on se infiere que si X es un espacio topol´ogico y para cada x ∈ X la colecci´on B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x entonces:
1. Si V ∈ B(x), entonces x ∈ V .
2. Si V1, V2 ∈ B(x), entonces existe V3 ∈ B(x) tal que V3 ⊂ V1∩ V2.
3. Si V ∈ B(x), existe U ∈ B(x) tal que si y ∈ U entonces W ⊂ V para alg´un W ∈ B(y).
4. Un subconjunto A de X es abierto si y s´olo si contiene una vecindad b´asica de cada uno de sus puntos.
Al igual que sucede con las bases para una topolog´ıa y con las colecciones de vecindades, colecciones de subconjuntos de un conjunto X con las pro-piedades “adecuadas” para ser sistemas fundamentales de vecindades de los puntos de X, permiten generar una topolog´ıa sobre X como lo muestra el siguiente resultado.
2.3.6 Proposici´on. Sea X un conjunto. Si para cada x ∈ X se ha asignado una colecci´on B(x) de subconjuntos de X tal que:
1. x ∈ V para cada V ∈ B(x),
2.3. VECINDADES 33
3. si U ∈ B(x) entonces existe V ∈ B(x) tal que para cada y ∈ V , existe W ∈ B(y) con W ⊂ U ,
entonces existe una topolog´ıa sobre X tal que para cada x ∈ X la colecci´on B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x.
Demostraci´on. Para cada x ∈ X la colecci´on V(x) = {U ⊂ X : V ⊂ U para alg´un V ∈ B(x)} satisface las hip´otesis de la proposici´on 2.3.3, luego existe una topolog´ıa sobre X tal que para cada x ∈ X se tiene que V(x) es la colecci´on de todas las vecindades de x. Resulta inmediato que B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x para cada x ∈ X.
2.3.7 EJEMPLOS.
1. Los conjuntos de la forma [x, y) con x < y forman un sistema fun-damental de vecindades de x para una topolog´ıa sobre R. En efec-to, si x < y entonces x ∈ [x, y), si x < y y x < z y se tiene x < w < m´ın{y, z} entonces [x, w) ⊂ [x, y) ∩ [x, z) y finalmente, si x < y y z ∈ [x, y) entonces [z, y) ⊂ [x, y).
2.
Sea Γ = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}. Si y > 0 las vecindades b´asicas de z = (x, y) ser´an las bolas abiertas usuales centradas en z con radio menor o igual que y y si y0 = 0, las vecindades b´asicas de z0 = (x0, y0)
son los conjuntos de la forma {z0} ∪ A donde A es una bola abierta contenida en Γ tangente al eje real en z0.
El espacio topol´ogico que se obtiene recibe el nombre de Plano de Moore. 3.
Para cada punto z del plano definimos las vecindades b´asicas de z como los conjuntos de la forma {z} ∪ A donde A es una bola abierta usual, centra-da en z, de la cual se ha removido un n´umero finito de segmentos de linea que pasan por z.
El espacio topol´ogico que se obtiene se llama plano ranurado.
4. Para cada n´umero real x distinto de 0 definimos B(x) como los inter-valos abiertos centrados en x mientras que los elementos de B(0) ser´an los conjuntos de la forma (−∞, −n) ∪ (−, ) ∪ (n, ∞) donde n ∈ N y > 0.
5. Consideremos el conjunto RI de todas las funciones definidas del
in-tervalo I = [0, 1] en R. Definimos las vecindades b´asicas de f ∈ RI como los conjuntos de la forma U (f, F, δ) = {g ∈ RI : |g(x) − f (x)| <
δ, para cada x ∈ F } donde F es un subconjunto finito de I y δ > 0.
Ejercicios 2.3
1. Suponga que X es un conjunto dotado con la topolog´ıa discreta. De-termine todas las vecindades de cada punto x ∈ X.
2. Sea X un conjunto dotado con la topolog´ıa grosera y sea x ∈ X. De-termine todas las vecindades de x.
3. Considere el conjunto de los n´umeros naturales con la topolog´ıa de las colas a la derecha. Determine todas las vecindades de cada n´umero natural.
2.3. VECINDADES 35
4. Considere el conjunto de los n´umeros naturales con la topolog´ıa de los complementos finitos. Determine todas las vecindades de cada n´umero natural.
5. Suponga que τ1 y τ2 son dos topolog´ıas sobre el mismo conjunto X y
que τ1 es m´as fina que τ2. Compare las colecciones de vecindades de un
mismo punto en los dos espacios topol´ogicos.
6. Sea X un espacio topol´ogico y suponga que para cada x ∈ X la colec-ci´on B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x. Pruebe los siguientes hechos:
a) Si V ∈ B(x), entonces x ∈ V .
b) Si V1, V2 ∈ B(x), entonces existe V3 ∈ B(x) tal que V3 ⊂ V1∩ V2.
c) Si V ∈ B(x), existe U ∈ B(x) tal que si y ∈ U entonces W ⊂ V para alg´un W ∈ B(y).
d ) Un subconjunto A de X es abierto si y s´olo si contiene una vecin-dad b´asica de cada uno de sus puntos.
7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}. Para cada z = (x, y) ∈ Γ considere
la colecci´on B(z) definida de la siguiente manera: Si y > 0 B(z) es la colecci´on de todas las bolas abiertas usuales centradas en z con radio menor o igual que y y si y0 = 0, V(z0) es la colecci´on de todos los conjuntos de la forma {z0}∪A donde A es una bola abierta contenida en Γ tangente al eje real en z0. Demuestre que estas colecciones satisfacen las hip´otesis de la Proposici´on 2.3.6.
8. Para cada punto z del plano definimos B(z) como la colecci´on de todos los conjuntos de la forma {z} ∪ A donde A es una bola abierta usual, centrada en z, de la cual se ha removido un n´umero finito de segmentos de linea que pasan por z. Demuestre que estas colecciones satisfacen las hip´otesis de la Proposici´on 2.3.6.
9. Para cada n´umero real x distinto de 0 definimos B(x) como la colecci´on de todos los intervalos abiertos centrados en x mientras que los elemen-tos de B(0) ser´an los conjuntos de la forma (−∞, −n) ∪ (−, ) ∪ (n, ∞) donde n ∈ N y > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen las hip´otesis de la Proposici´on 2.3.6.
10. Consideremos el conjunto RI de todas las funciones definidas del
in-tervalo I = [0, 1] en R. Para cada f ∈ RI definimos B(f ) como la colecci´on de todos los conjuntos de la forma U (f, F, δ) = {g ∈ RI :
|g(x) − f (x)| < δ, para cada x ∈ F } donde F es un subconjunto finito de I y δ > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen las hip´otesis de la Proposici´on 2.3.6.
2.4.
Conjuntos cerrados
Ligado ´ıntimamente con el concepto de conjunto abierto en un espacio topol´ ogi-co, est´a el concepto de conjunto cerrado.
2.4.1 Definici´on. Sea X un espacio topol´ogico. Un subconjunto F de X es un conjunto cerrado en X si su complemento, Fc, es un conjunto abierto.
Hacemos notar que el conjunto vac´ıo y el mismo conjunto X son a la vez abiertos y cerrados y que un subconjunto de X puede no ser abierto ni cerrado como sucede por ejemplo con Q en R con la topolog´ıa usual.
La siguiente proposici´on establece algunas de las m´as importantes propieda-des de los conjuntos cerrados.
2.4.2 Proposici´on. Sea X un espacio topol´ogico. 1. ∅ y X son conjuntos cerrados.
2. Si F y K son conjuntos cerrados entonces F ∪K es un conjunto cerrado. 3. Si C es una familia de conjuntos cerrados entonces T
F ∈CF es un
con-junto cerrado. Demostraci´on.
1. Que ∅ y X son conjuntos cerrados es una consecuencia inmediata de la definici´on.
2. Por las Leyes de De Morgan, (F ∪ K)c = Fc∩ Kc que es un conjunto
2.4. CONJUNTOS CERRADOS 37
3. Nuevamente por las Leyes de De Morgan, T
F ∈CF
c = S
F ∈CFc que
es tambi´en un conjunto abierto.
La uni´on arbitraria de conjuntos cerrados no siempre es un conjunto cerrado como lo muestra el siguiente ejemplo.
2.4.3 EJEMPLO. Sea R el espacio de los n´umeros reales con la topolog´ıa
usual. La colecci´on de conjuntos de la forma
−1, 1 − 1 n
donde n ∈ N, es una familia de conjuntos cerrados cuya uni´on es el intervalo [−1, 1) que no es un conjunto cerrado.
Ejercicios 2.4
1. Determine cu´ales de los siguientes subconjuntos de R son cerrados jus-tificando completamente su respuesta.
a) [−1, 1). b) [1, ∞). c) 1 n : n ∈ N . d ) 1 n : n ∈ N ∪ {0}. e) Z. f ) Q. g) R r Z. h) R r Q.
2. Pruebe que en cualquier espacio m´etrico (X, d), cada bola cerrada B[x, ] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ } es un conjunto cerrado.
3. Sean τ1 y τ2 dos topolog´ıas definidas sobre un mismo conjunto X. Si
τ1 es m´as fina que τ2, ¿qu´e relaci´on hay entre la colecci´on de conjuntos
cerrados de (X, τ1) y la colecci´on de conjuntos cerrados de (X, τ2)?
4. Sean X y Y espacios topol´ogicos. Una funci´on f : X −→ Y es cerrada si aplica conjuntos cerrados en conjuntos cerrados. Esto es, si para cada K cerrado en X se tiene que f (K) es cerrado en Y .
a) Sean τ la topolog´ıa usual sobre R y ρ la topolog´ıa de complementos finitos sobre Z. D´e un ejemplo de una funci´on cerrada definida de (R, τ ) en (Z, ρ).
b) Muestre con un ejemplo que no toda funci´on cerrada definida de un espacio m´etrico en otro es continua.
c) Muestre con un ejemplo que no toda funci´on continua definida de un espacio m´etrico en otro es cerrada.
5. Sean X un espacio topol´ogico y K una familia de subconjuntos de X que satisface las siguientes condiciones:
a) ∅ y X pertenecen a K.
b) Si F, K ∈ K entonces F ∪ K ∈ K. c) Si C ⊂ K, entonces T
F ∈CF ∈ K.
Demuestre que la colecci´on τ de todos los complementos de elementos de K es una topolog´ıa sobre X y que K es la colecci´on de conjuntos cerrados del espacio (X, τ ).
6. Sea X un espacio topol´ogico. Una familia K de subconjuntos cerrados de X es una base para los conjuntos cerrados en X si cualquier conjunto cerrado es intersecci´on de elementos de K.
a) Demuestre que K es una base para los conjuntos cerrados en X si y s´olo si la colecci´on B = {Kc: K ∈ K}, de todos los complementos de elementos de K es una base para la topolog´ıa de X.
b) ¿Es la colecci´on de todos los intervalos cerrados en R una base para los conjuntos cerrados en Rusual?
2.5.
Adherencia de un conjunto
En los conjuntos cerrados se nota un hecho particular. Si un punto est´a fuera de un conjunto cerrado, intuitivamente se sabe que el punto est´a “realmente
2.5. ADHERENCIA DE UN CONJUNTO 39
muy lejos” del conjunto. Esto se sabe porque existe toda una vecindad del punto contenida en el complemento del conjunto. En otras palabras, si un conjunto es cerrado no hay puntos “adheridos” a ´el que se encuentren fuera de ´
el. Acudiendo nuevamente a la intuici´on, diriamos que un punto est´a “adhe-rido” a un conjunto si con seguridad encontraremos puntos del conjunto tan “cerca” como queramos del punto. Esta idea que surge de manera natural de nuestra propia experiencia da lugar a la siguiente definici´on.
2.5.1 Definici´on. Sean X un espacio topol´ogico y A un subconjunto de X. Un punto x ∈ X es adherente a A si toda vecindad de x contiene puntos de A. El conjunto de todos los puntos adherentes a A se denota por A y se llama la adherencia de A.
2.5.2 EJEMPLOS.
1. Consideremos A = −1
n : n ∈ N
como subconjunto de R. El n´umero 0 es adherente a A si sobre R consideramos la topolog´ıa usual, pero 0 NO es adherente a A si sobre R consideramos la topolog´ıa discreta o la topolog´ıa generada por los intervalos de la forma [a, b) con a < b. N´otese que cada elemento de A es adherente a A. Dado n ∈ N, cualquier vecindad de −1
n contiene por lo menos a −1
n .
2. En el Plano de Moore, cada punto de la forma (a, 0) es adherente al conjunto {(x, y) ∈ Γ : y > 0}.
3. Si R2 tiene la topolog´ıa de los complementos finitos, el punto (0, 0) es adherente al conjunto A = {(x, y) : y > x2 + 1}. Este punto NO es
adherente a A si estamos considerando la topolog´ıa usual sobre R2.
4. En R con la topolog´ıa usual la adherencia del intervalo (a, b) es el inter-valo [a, b]. Sin embargo no en todo espacio m´etrico la adherencia de la bola abierta B(x, ) es la bola cerrada B[x, ]. Si X es un conjunto con m´as de un punto y consideramos la m´etrica discreta sobre X, entonces para x ∈ X, B(x, 1) = {x} y B[x, 1] = X.
5. La adherencia del conjunto de los n´umeros racionales Q en R es R. En este caso decimos que el conjunto Q es denso en R. En general,
decimos que un subconjunto A de un espacio topol´ogico X es denso en X si A = X.
El comentario final del primer ejemplo nos hace reflexionar sobre un hecho completamente natural:
Si X es un espacio topol´ogico y A ⊂ X, entonces A ⊂ A. Adem´as resulta tambi´en inmediato que si A ⊂ B entonces A ⊂ B.
El siguiente resultado nos permite hacer otra presentaci´on de la adherencia de un conjunto.
2.5.3 Proposici´on. Si X un espacio topol´ogico y A ⊂ X entonces A = T{K ⊂ X : K es cerrado y A ⊂ K}.
Demostraci´on.
1. Si x ∈ A y K es un subconjunto cerrado de X que contiene a A entonces x ∈ K, pues de lo contrario existir´ıa una vecindad V de x con V ⊂ Kc, lo cual implicar´ıa que V no contiene puntos de A. Entonces x ∈T{K ⊂ X : K es cerrado y A ⊂ K}.
2. Por otro lado, si x /∈ A existe una vecindad abierta V de x sin puntos en com´un con A, entonces Vc es un conjunto cerrado tal que A ⊂ Vc y x /∈ Vc. Esto significa que x /∈T{K ⊂ X : K es cerrado y A ⊂ K}.
Algunas de las m´as importantes propiedades de la adherencia se resumen en el siguiente resultado.
2.5.4 Proposici´on. Sea X un espacio topol´ogico. 1. A = A para cada A ⊂ X.
2. A ∪ B = A ∪ B para cada A, B ⊂ X. 3. A ⊂ X es cerrado si y s´olo si A = A.
2.5. ADHERENCIA DE UN CONJUNTO 41
Demostraci´on.
1. Por ser intersecci´on de conjuntos cerrados, A es un conjunto cerrado que contiene a A. Entonces A ⊂ A. La otra inclusi´on es inmediata. 2. El conjunto A ∪ B es cerrado y contiene a A ∪ B, entonces contiene
tambi´en a A ∪ B, entonces A ∪ B ⊂ A ∪ B. Por otro lado, puesto que A ⊂ A∪B y B ⊂ A∪B se tiene que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B, entonces A ∪ B ⊂ A ∪ B.
3. Si A es cerrado, A ⊂ A, lo que implica A = A. Por otra parte, si A = A y x /∈ A existe V ∈ V(x) tal que V ∩ A = ∅. Entonces V ⊂ Ac, de
donde Ac es abierto y A es cerrado.
Cuando se tiene un espacio topol´ogico X autom´aticamente se tiene una fun-ci´on, que se llama operaci´on de adherencia de Kuratowski, de P(X) en P(X) que asigna a cada subconjunto A de X su adherencia A. De manera rec´ıpro-ca, dado un conjunto X y una funci´on A 7−→ A : P(X) −→ P(X) con las propiedades adecuadas, se puede encontrar una topolog´ıa sobre X en la que la adherencia de cada subconjunto de X est´a dada por la funci´on. Este es el resultado que se presenta en la siguiente proposici´on.
2.5.5 Proposici´on. Sea X un conjunto y supongamos que se ha definido una operaci´on A 7−→ A : P(X) −→ P(X) tal que
1. A ⊂ A para cada A ⊂ X. 2. A = A para cada A ⊂ X.
3. A ∪ B = A ∪ B para cada A, B ⊂ X. 4. ∅ = ∅.
Existe una topolog´ıa sobre X cuya operaci´on de adherencia es precisamente A 7−→ A.
Demostraci´on. Como nuestro deseo es que la operaci´on dada sea la operaci´on de adherencia en el espacio topol´ogico que formemos, comenzaremos por dar la colecci´on de los que esperamos sean conjuntos cerrados. Sea F = {F ⊂ X : F = F }. Veamos que la colecci´on τ = {A : Ac ∈ F } es la topolog´ıa sobre
X que estamos buscando.
1. Puesto que ∅ ∈ F , X ∈ τ . Por otro lado, X ⊂ X, luego X = X, de donde X ∈ F , por tanto ∅ ∈ τ .
2. Si A, B ∈ τ se tiene (A ∩ B)c= Ac∪ Bc = Ac∪ Bc = Ac∪ Bc = (A ∩ B)c, entonces (A ∩ B)c ∈ F y A ∩ B ∈ τ .
3. Veamos ahora que la uni´on de cualquier colecci´on de elementos de τ pertenece a τ . En primer lugar, n´otese que si A ⊂ B entonces B = A ∪ B, luego B = A ∪ B = A ∪ B, de donde A ⊂ B. As´ı se tiene que si C ⊂ F entonces T
C∈CC ⊂ C para cada C ∈ C, de donde
T
C∈CC ⊂
C = C para cada C ∈ C, lo cual implica que T
C∈CC ⊂
T
C∈CC. Esto
significa que T
C∈CC ∈ F .
Si A es una familia de subconjuntos de X contenida en τ se tiene [ A∈A A !c = \ A∈A Ac = \ A∈A Ac = \ A∈A Ac = [ A∈A A !c , entonces S A∈AA c ∈ F y S A∈AA ∈ τ .
2.5. ADHERENCIA DE UN CONJUNTO 43
Hasta aqu´ı hemos demostrado que τ es una topolog´ıa sobre X. Veamos que la operaci´on de adherencia en este espacio topol´ogico es precisamente la opera-ci´on dada inicialmente.
Sea A ⊂ X. Puesto que A = A, se tiene que A es un conjunto cerrado. Si F es un conjunto cerrado tal que A ⊂ F , entonces
F = F ∪ A = F ∪ A,
luego A ⊂ F = F . Esto implica que la adherencia de A en X es A.
2.5.6 EJEMPLOS.
1. Sea X cualquier conjunto. Diremos que para cada A ⊂ X, A = A. En este caso cada subconjunto de X ser´a un conjunto cerrado y la topolog´ıa que se genera a partir de esta operaci´on de adherencia es la topolog´ıa discreta.
2. Sea X un conjunto cualquiera y definamos ahora A = X para todo A ⊂ X, A 6= ∅ y ∅ = ∅. En este caso encontramos la topolog´ıa trivial o grosera sobre X.
3. Si X es un conjunto infinito y para cada A ⊂ X definimos A =
(
A si A es finito X si A es infinito,
obtenemos la topolog´ıa de complementos finitos sobre X. 4. Si para cada A ⊂ R definimos
A =
(−∞, sup A] si A es no vac´ıo y est´a acotado superiormente
R si A es no vac´ıo y no est´a acotado superiormente
∅ si A = ∅,
5. Sean X un conjunto y B un subconjunto fijo de X. Para cada A ⊂ X definimos A = ( A ∪ B si A 6= ∅ ∅ si A = ∅.
La funci´on A 7−→ A es una operaci´on de adherencia que da lugar a una topolog´ıa sobre X para la cual los conjuntos cerrados son ∅ y los subconjuntos de X que contienen a B.
Ejercicios 2.5
1. Consideremos A = −1
n : n ∈ N
como subconjunto de R. Pruebe que el n´umero 0 es adherente a A si sobre R consideramos la topolog´ıa usual, pero NO si sobre R consideramos la topolog´ıa discreta o la topolog´ıa generada por los intervalos de la forma [a, b) con a < b.
2. Pruebe que en el Plano de Moore, cada punto de la forma (a, 0) es adherente al conjunto {(x, y) : y > 0}.
3. Pruebe que si R2tiene la topolog´ıa de los complementos finitos, el punto
(0, 0) es adherente al conjunto A = {(x, y) : y > x2 + 1} y que este punto NO es adherente a A si estamos considerando la topolog´ıa usual sobre R2.
4. Pruebe que en R con la topolog´ıa usual la adherencia del intervalo (a, b) es el intervalo [a, b].
5. Pruebe que la adherencia del conjunto de los n´umeros irracionales en R es R.
6. ¿Es Q un conjunto denso en R con la topolog´ıa de los complementos finitos?
7. ¿Es Q un conjunto denso en R con la topolog´ıa de las colas a la derecha? 8. Suponga que τ1 y τ2 son dos topolog´ıas sobre un mismo conjunto X y
que τ1 es m´as fina que τ2. Compare la adherencia de un subconjunto A
2.6. PUNTOS DE ACUMULACI ´ON 45
9. Sea X cualquier conjunto. Diremos que para cada A ⊂ X, A = A. Pruebe que la funci´on A 7−→ A es una operaci´on de adherencia. 10. Sea X un conjunto cualquiera y definamos A = X para todo A ⊂ X,
A 6= ∅ y ∅ = ∅. Pruebe que la funci´on A 7−→ A es una operaci´on de adherencia.
11. Si X es un conjunto infinito y para cada A ⊂ X definimos
A = (
A si A es finito X si A es infinito,
pruebe que la funci´on A 7−→ A es una operaci´on de adherencia. 12. Si para cada A ⊂ R definimos
A =
(−∞, sup A] si A es no vac´ıo y est´a acotado superiormente
R si A es no vac´ıo y no est´a acotado superiormente
∅ si A = ∅,
pruebe que la funci´on A 7−→ A es una operaci´on de adherencia. 13. Sean X un conjunto y B un subconjunto fijo de X. Para cada A ⊂ X
definimos
A = (
A ∪ B si A 6= ∅ ∅ si A = ∅.
Pruebe que la funci´on A 7−→ A es una operaci´on de adherencia.
2.6.
Puntos de acumulaci´
on
El concepto que estudiaremos ahora permite tambi´en caracterizar los con-juntos cerrados en un espacio topol´ogico.
2.6.1 Definici´on. Sean X un espacio topol´ogico y A un subconjunto de X. Un punto x ∈ X es un punto de acumulaci´on de A si para cada vecindad V de x se tiene V ∩ (A r {x} 6= ∅. El conjunto de todos los puntos de acumulaci´on de A se denota por A0 y se llama el derivado de A.
De la definici´on se tiene
A0 ⊂ A as´ı como tambi´en que
A = A ∪ A0
y de esta ´ultima igualdad se obtiene el siguiente resultado.
2.6.2 Proposici´on. Sea X un espacio topol´ogico. Un subconjunto A de X es cerrado si y s´olo si contiene todos sus puntos de acumulaci´on.
2.6.3 EJEMPLOS.
1. Consideremos R con la topolog´ıa usual. Cada punto del conjunto A = 1
n : n ∈ N
es adherente a A pero que ning´un elemento de A es punto de acumulaci´on de A. El ´unico punto de acumulaci´on de este conjunto es 0.
2. Si consideramos nuevamente R con la topolog´ıa usual, entonces el con-junto de puntos de acumulaci´on de Z es vac´ıo, mientras que el conjunto de puntos de acumulaci´on de Q es R.
3. En el intervalo cerrado [0, 1] con la topolog´ıa usual, todo conjunto in-finito tiene un punto de acumulaci´on. En efecto, sea A un subconjunto infinito de [0, 1]. Si A ∩
0,1
2
es un conjunto infinito, sean a1 = 0 y
b1 =
1
2, de lo contrario sean a1 = 1
2 y b1 = 1. Note que en cualquier caso el intervalo [a1, b1] contiene un n´umero infinito de elementos de A.
Ahora bien, si A ∩ a1, a1+ b1 2
es un conjunto infinito, sean a2 = a1 y
b2 =
a1+ b1
2 , de lo contrario sean a2 =
a1+ b1
2.6. PUNTOS DE ACUMULACI ´ON 47
tenemos que el intervalo [a2, b2] contiene un n´umero infinito de
elemen-tos de A. Adem´as [a2, b2] ⊂ [a1, b1] y |b2− a2| =
1 22 =
1
4. Continuando este proceso de manera inductiva, supongamos que se ha construido el intervalo [ak, bk] ⊂ [ak−1, bk−1], que [ak, bk] contiene un n´umero infinito
de elementos de A y que |bk − ak| = 1 2k. Si A ∩ ak, ak+ bk 2 es un conjunto infinito, sean ak+1 = ak y bk+1 =
ak+ bk
2 , de lo contrario sean ak+1 =
ak+ bk
2 y bk+1 = bk. El intervalo [ak+1, bk+1] contiene un n´umero infinito de elementos de A. Adem´as [ak+1, bk+1] ⊂ [ak, bk] y
|bk+1− ak+1| =
1 2k+1.
Resumiendo, para cada n ∈ N con n > 2, se ha construido el intervalo [an, bn] que contiene un n´umero infinito de puntos de A y es tal que
[an, bn] ⊂ [an−1, bn−1] y |bn− an| =
1
2n. Note que (an) es una sucesi´on
creciente, mientras que (bn) es decreciente. Sea α = sup{an : n ∈ N}.
Veamos que α es un punto de acumulaci´on de A. Sea > 0. Existe N ∈ N tal que α − 1 2N, α + 1 2N ⊂ (α − , α + ) y existe n > N + 1 tal que |α − an| < 1 2N +1. Se tiene que [an, bn] ⊂ α − 1 2N, α + 1 2N . En efecto, si x ∈ [an, bn] entonces |an− x| ≤ 1 2n y se tiene: |x − α| ≤ |x − an| + |an− α| < 1 2n + 1 2N +1 < 1 2N +1 + 1 2N +1 = 1 2N.
Esto prueba que (α − , α + ) contiene un n´umero infinito de puntos de A y por tanto que α es un punto de acumulaci´on de A.
Ejercicios 2.6
1. Explique claramente cu´al es la diferencia entre punto de acumulaci´on y punto adherente.
2. Determine los puntos de acumulaci´on de cada uno de los siguientes subconjuntos de R. a) Z. b) Q. c) R r Q. d ) (−1, 1]. e) [1, ∞). f ) −1 n : n ∈ N . g) 1 n : n ∈ N ∪ {0}.
3. Demuestre o d´e un contraejemplo que refute la siguiente afirmaci´on: “Si X es un espacio topol´ogico y A ⊂ X es un conjunto unitario cerrado en X, entonces A0 = ∅.”
4. D´e un ejemplo de un espacio topol´ogico X en el cual A = A0 para todo subconjunto A de X con m´as de un punto.
5. Sea X es un espacio topol´ogico. Demuestre o d´e contraejemplos que refuten cada una de las siguientes afirmaciones:
a) (A0)0 = A0 para cada A ⊂ X.
b) (A ∪ B)0 = A0∪ B0 para cada A y cada B subconjuntos de X.
c) (A ∩ B)0 = A0∩ B0 para cada A y cada B subconjuntos de X.
d ) (Ac)0 = (A0)c para cada A ⊂ X.
2.7. INTERIOR, EXTERIOR Y FRONTERA DE UN CONJUNTO 49
2.7.
Interior, exterior y frontera de un
con-junto
Estudiaremos ahora un concepto tan importante en topolog´ıa como el con-cepto de punto adherente.
2.7.1 Definici´on. Sean X un espacio topol´ogico y A un subconjunto de X. Un punto x ∈ X es interior a A si existe una vecindad de x contenida en A. El conjunto de todos los puntos interiores a A se denota por A◦ y se llama el interior de A.
De la definici´on anterior se concluye que A◦ ⊂ A para todo A ⊂ X como tambi´en que si A y B son subconjuntos de X y A ⊂ B entonces A◦ ⊂ B◦.
El siguiente resultado caracteriza el interior de un conjunto y su demostraci´on es inmediata.
2.7.2 Proposici´on. Sean X un espacio topol´ogico y A un subconjunto de X. Entonces
A◦ =[{U ⊂ X : U es un conjunto abierto y U ⊂ A}.
En la siguiente proposici´on se resumen algunas de las m´as importantes pro-piedades de la operaci´on interior A 7−→ A◦ : P(X) −→ P(X).
2.7.3 Proposici´on. Sea X un espacio topol´ogico. 1. (A◦)◦ = A◦ para cada A ⊂ X.
2. (A ∩ B)◦ = A◦∩ B◦ para cada A, B ⊂ X.
3. A ⊂ X es abierto si y s´olo si A◦ = A.
Demostraci´on. La demostraci´on es consecuencia inmediata de la definici´on.
Tal como sucede con las operaciones de adherencia, dado un conjunto X y una funci´on A 7−→ A◦ : P(X) −→ P(X) con ciertas propiedades, se puede encontrar una topolog´ıa sobre X en la que el interior de cada subconjunto de X est´a determinado por la funci´on. Este es el resultado que se presenta en la siguiente proposici´on.
2.7.4 Proposici´on. Sea X un conjunto y supongamos que se ha definido una operaci´on A 7−→ A◦ : P(X) −→ P(X) tal que
1. A◦ ⊂ A para cada A ⊂ X. 2. (A◦)◦ = A◦ para cada A ⊂ X.
3. (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B◦ para cada A, B ⊂ X. 4. X◦ = X.
Existe una topolog´ıa sobre X cuya operaci´on de interior es precisamente A 7−→ A◦.
En este caso se definen los conjuntos abiertos como aquellos conjuntos que son iguales a su interior. La prueba de que estos conjuntos forman la topolog´ıa buscada es sencilla y la omitiremos aqu´ı.
2.7.5 EJEMPLOS.
1. En R con la topolog´ıa usual, el interior del intervalo [a, b] es el inter-valo (a, b) pero NO siempre en un espacio m´etrico el interior de una bola cerrada B[x, ] es la bola abierta B(x, ). Nuevamente la m´etrica discreta sobre un conjunto con m´as de un punto nos ilustra este hecho. 2. Consideremos nuevamente R con la topolog´ıa usual. Se tiene que Q◦ = (R r Q)◦ = ∅. N´otese que (Q ∪ (R r Q))◦ = R◦ = R. Este es un ejem-plo que muestra que puede ocurrir (A ∪ B)◦ 6= A◦∪ B◦.
Si A es un subconjunto de un espacio topol´ogico X decimos que el exterior de A es el interior del complemento de A, esto es, (X r A)◦. Los puntos de X que no est´an ni en interior ni en el exterior de A tienen una caracter´ıstica especial: cada vecindad de uno de estos puntos contiene tanto puntos de A como puntos de X r A. Se tiene entonces la siguiente definici´on.
2.7.6 Definici´on. Sean X un espacio topol´ogico y A un subconjunto de X. Un punto x ∈ X es un punto frontera de A si para cada vecindad V se tiene V ∩ A 6= ∅ y V ∩ (X r A) 6= ∅. El conjunto de todos los puntos frontera de A se denota por Fr A y se llama la frontera de A.
2.7. INTERIOR, EXTERIOR Y FRONTERA DE UN CONJUNTO 51
N´otese que
Fr A = A ∩ X r A
y que la frontera de A es siempre un conjunto cerrado.
El siguiente resultado muestra algunas relaciones entre la adherencia, el in-terior y la frontera.
2.7.7 Proposici´on. Sean X un espacio topol´ogico y A un subconjunto de X.
1. A = A ∪ Fr A. 2. A◦ = A r Fr A.
3. X = A◦∪ Fr A ∪ (X r A)◦. Demostraci´on.
1. La inclusi´on A ∪ Fr A ⊂ A es inmediata. Sea x ∈ A. Si x /∈ A, toda vecindad de x tiene puntos de A y puntos de su complemento (por lo menos a x). Entonces x ∈ A ∪ Fr A, lo cual prueba que A ⊂ A ∪ Fr A. 2. Si x ∈ A◦ entonces x ∈ A y x /∈ Fr A. Por otro lado si x ∈ A r Fr A
entonces existe una vecindad de x contenida en A, de donde x ∈ A◦. 3. Si x /∈ A◦
∪ Fr A, existe una vecindad de x contenida en X r A, de donde x ∈ A◦∪ Fr A ∪ (X r A)◦.
2.7.8 EJEMPLOS.
1. En R con topolog´ıa usual, la frontera del intervalo (a, b) (as´ı como del intervalo [a, b] o de cualquier otro intervalo con extremos a y b) es el conjunto {a, b}.
2. En R con topolog´ıa usual, la frontera de Q (y tambi´en de R r Q) es R. 3. Si X es un espacio topol´ogico, Fr X =Fr ∅ = ∅.
