TOPOLOG´IA
(Apuntes)
Juan Carlos S´anchez Monreal
1. Teor´ıa de conjuntos
2
1.1. Teor´ıa de Conjuntos . . . .
2
1.2. Aplicaciones entre conjuntos . . . .
5
1.3. Cardinalidad
. . . .
10
1.3.1. Conjuntos finitos . . . .
10
1.3.2. Conjuntos numerables . . . .
11
2. Espacios topol´
ogicos
12
2.1. Concepto de espacio topol´ogico . . . .
12
2.1.1. Tipos de topolog´ıas . . . .
13
2.2. Base de una topolog´ıa . . . .
14
2.3. Subespacios topol´ogicos
. . . .
15
2.4. Topolog´ıa producto . . . .
16
2.5. Subconjuntos especiales
. . . .
17
2.5.1. Conjuntos cerrados . . . .
17
2.5.2. Entornos . . . .
18
A. Demostraciones
20
A.1. Teor´ıa de conjuntos . . . .
20
A.2. Espacios topol´ogicos . . . .
28
Cap´ıtulo 1
Teor´ıa de conjuntos
1.1.
Teor´ıa de Conjuntos
Sin olvidar los trabajos de George Boole y otros matem´aticos del S. XIX, puede
conside-rarse al matem´atico alem´an
Georg Cantor
(1843-1918) el fundador de la teor´ıa de conjuntos.
A la edad de 29 a˜
nos public´o su primer art´ıculo sobre la teor´ıa de conjuntos infinitos. Las
ideas renovadoras de Georg Cantor no tuvieron aceptaci´on inmediata, levantando la hostilidad
de numerosos matem´aticos y principalmente del influyente
Leopold Kronecker
(1823-1891),
quien atac´o ferozmente las ideas de Cantor durante m´as de una d´ecada, siendo en parte
res-ponsable de que ´este no pudiera ense˜
nar en una universidad m´as prestigiosa.
La teor´ıa que comenz´o a desarrollar Georg Cantor, tuvo gran actividad durante la primera
mitad del S. XX. El intento de resolver las paradojas que se planteaban llev´o a la definici´on
axiom´atica de la teor´ıa de conjuntos.
Un conjunto es cualquier colecci´on definida de objetos. Normalmente se tiene un conjunto
de referencia que se suele llamar conjunto
universal
o
total
, y que denotaremos normalmente
como
X
.
Definici´
on 1.1
(Complementario)
.
Dado un conjunto cualquiera
A
⊂
X, definimos el complementario de
A
(en
X), y lo
denota-remos por
A
co
X
−
A, como el conjunto
A
c≡
X
−
A
=
{
x
∈
X
:
x /
∈
A
}
.
Definici´
on 1.2
(Conjunto vac´ıo)
.
Es el conjunto que no tiene ning´
un elemento y lo representaremos por
Ø
. Lo consideramos finito
y supondremos que est´a contenido en cualquier otro conjunto. Adem´as, satisface las siguientes
igualdades:
X
−
X
=
X
c= Ø
,
X
−
Ø = Ø
c=
X .
Definici´
on 1.3
(Uni´on de conjuntos)
.
La uni´on de los conjuntos
A
y
B
es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a
A, a
B
o a ambos, y se representa por
A
∪
B
=
{
x
:
x
∈
A
´o
x
∈
B
}
.
Definici´
on 1.4
(Intersecci´on de conjuntos)
.
La intersecci´on de dos conjuntos
A
y
B
es el conjunto formado por los elementos que pertenecen
simult´aneamente a los conjuntos
A
y
B, y se representa como
A
∩
B
=
{
x
:
x
∈
A
∧x
∈
B
}
.
Definici´
on 1.5
(Diferencia de conjuntos)
.
La diferencia de los conjuntos
A
y
B
es el conjunto formado por los elementos de
A
que no
pertenecen a
B
, y se representa como
A
−
B
=
{
x
:
x
∈
A
∧x /
∈
B
}
.
El conjunto
A
−
B
se llama a veces el
complemento
o el
complementario
de
B
en
A.
Proposici´
on 1.1.
A
−
B
=
A
∩
(
X
−
B
)
.
A
⊂
B
∧A
⊂
C
=
⇒
A
⊂
B
∪
C.
A
⊂
B
∧A
⊂
C
=
⇒
A
⊂
B
∩
C.
A
⊂
B
´o
A
⊂
C
⇐⇒
A
⊂
B
∪
C.
Definici´
on 1.6
(Producto cartesiano)
.
Dados dos conjuntos
A
y
B
, el producto cartesiano
A
×
B
es el conjunto definido por
A
×
B
=
{
(
x, y
) :
x
∈
A ,
y
∈
B
}
.
Se puede utilizar la notaci´on
x
×
y
para indicar el elemento del conjunto
A
×
B
.
Proposici´
on 1.2.
Sean
X
e
Y
dos conjuntos:
A, C
⊂
X
y
B, D
⊂
Y
.
1.
A
×
(
B
∩
D
) = (
A
×
B
)
∩
(
A
×
D
)
.
2.
A
×
(
B
∪
D
) = (
A
×
B
)
∪
(
A
×
D
)
.
3.
A
×
(
Y
−
B
) = (
A
×
Y
)
−
(
A
×
B
)
.
4.
(
A
×
B
)
∩
(
C
×
D
) = (
A
∩
C
)
×
(
B
∩
D
)
.
5.
(
A
×
B
)
∪
(
C
×
D
)
⊂
(
A
∪
C
)
×
(
B
∪
D
)
.
CAP´
ITULO 1. TEOR´
IA DE CONJUNTOS
4
Proposici´
on 1.3.
A
⊂
C
y
B
⊂
D
⇐⇒
(
A
×
B
)
⊂
(
C
×
D
)
.
Definici´
on 1.7
(Conjunto potencia)
.
Dado un conjunto
A, el conjunto formado por todos los subconjuntos de
A
se denomina
con-junto potencia
de
A
y se denota por
P
(
A
)
. Tambi´en se suele decir
P
(
A
)
es el conjunto de
las partes de
A.
Ejemplo 1
Si
A
es el conjunto de tres elementos
{
a, b, c
}
, entonces el conjunto potencia de
A
(
P
(
A
)) es la
colecci´
on de todos los subconjuntos de
A
.
P
(
A
) =
{{
Ø
}
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
c
}
,
{
a, b
}
,
{
a, c
}
,
{
b, c
}
,
{
a, b, c
}}
Proposici´
on 1.4.
Leyes distributivas:
A
∩
(
B
∪
C
) = (
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
.
A
∪
(
B
∩
C
) = (
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
.
Leyes de Morgan:
A
−
(
B
∪
C
) = (
A
−
B
)
∩
(
A
−
C
)
.
A
−
(
B
∩
C
) = (
A
−
B
)
∪
(
A
−
C
)
.
Sea
A
una familia de conjuntos, entonces:
Definici´
on 1.8
(Uni´on de conjuntos)
.
La
uni´
on
de los elementos de
A
se define como el conjunto de todos los elementos que
perte-necen a alguno de los conjuntos de
A
, y lo representaremos por
[
A∈A
A
=
{
x
:
x
∈
A
para alg´
un
A
∈ A}
.
Definici´
on 1.9
(Intersecci´on de conjuntos)
.
La
intersecci´
on
de los elementos de
A
se define como el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a todos los elementos
A
:
\
A∈A
A
=
{
x
:
x
∈
A
∀
A
∈ A}
.
Proposici´
on 1.5.
Leyes distributivas
B
∪
\
i∈IA
i!
=
\
i∈I(
B
∪
A
i)
.
B
∩
[
i∈IA
i!
=
[
i∈I(
B
∩
A
i)
.
Leyes de De Morgan
Sea
A
=
{
A
i:
i
∈
I
}
una familia arbitraria de subconjuntos de un conjunto dado
X
. Entonces:
X
−
[
i∈IA
i!
=
\
i∈I(
X
−
A
i)
.
X
−
\
i∈IA
i!
=
[
i∈I(
X
−
A
i)
.
Proposici´
on 1.6.
Sean
A
y
B
dos subconjuntos de
X. Entonces:
1.
A
−
(
A
−
B
) =
A
∩
B.
2.
A
−
(
A
∩
B
) =
A
−
B.
1.2.
Aplicaciones entre conjuntos
Definici´
on 1.10
(Aplicaci´on)
.
Dados dos conjuntos
X
e
Y
una aplicaci´on es una forma de hacerle corresponder a cada
elemento de
X
un ´
unico elemento de
Y
.
∀
x
∈
X,
∃
!
y
∈
Y
:
y
=
f
(
x
) =
⇒
f
:
X
−→
Y
es aplicaci´on.
Dada una aplicaci´on
f
:
X
−→
Y
, al conjunto
X
se le llama el
dominio
(de definici´on) de
f
, al conjunto
Y
el
codominio
de
f
. Al subconjunto de elementos de
Y
que son im´agenes de
X
se le llama la imagen
1de
f
.
Imf
=
{
y
∈
Y
:
∃
x
∈
X
:
f
(
x
) =
y
}
.
Diremos que dos aplicaciones son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio,
y asocian el mismo elemento del codominio a uno mismo del dominio.
Definici´
on 1.11
(Imagen directa y rec´ıproca)
.
Sea
f
:
X
−→
Y
una aplicaci´on, y
A
⊂
X. Entonces se define la imagen (directa) de
A
como
f
∗(
A
) =
{
f
(
x
) :
x
∈
A
}
.
CAP´
ITULO 1. TEOR´
IA DE CONJUNTOS
6
Si
B
⊂
Y
, se define la imagen rec´ıproca de
B
como
f
∗(
B
) =
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
∈
B
}
.
Seg´
un esta definici´on, tenemos
f
∗(
A
)
⊂
Y, f
∗(
B
)
⊂
X. Adem´as, ocurre que
f
∗(
X
) =
Imf
, y
f
∗(
Y
) =
X
Definici´
on 1.12
(Gr´afica o Grafo)
.
Una funci´on
f
:
X
−→
Y
puede ser considerada como un subconjunto del producto cartesiano
X
×
Y
.
Γ(
f
) =
{
(
x, y
)
∈
X
×
Y
;
x
∈
Dom
(
f
)
, y
=
f
(
x
)
}
y que denominaremos
gr´
afica
de
f
o
grafo
de
f
.
Definici´
on 1.13
(Conjunto imagen)
.
Sea
f
:
X
−→
Y
una funci´on y sea
A
⊂
X. El
conjunto imagen
de
A
por
f
, que denotaremos
por
f
(
A
)
, es el subconjunto de
Y
formado por todas las im´agenes de los elementos de
A:
f
(
A
) =
{
y
∈
Y
:
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
A
}
.
La aplicaci´on
f
restringida al subconjun to
A
se denomina la
restricci´
on
de
f
a
A
y se
denota por
f
|
A.
Definici´
on 1.14
(Composici´on)
.
Sean las funciones
f
:
X
−→
Y
y
g
:
Y
−→
Z. Se define la composici´on
g
◦
f
de
f
y
g
como
la aplicaci´on
g
◦
f
:
X
−→
Z
dada por
(
g
◦
f
)(
x
) =
g
(
f
(
x
))
.
La composici´on de aplicaciones es asociativa.
Definici´
on 1.15
(Aplicaci´on inyectiva)
.
Diremos que una aplicaci´on
f
:
X
−→
Y
es inyectiva si elementos distintos de
X
tienen
im´agenes distintas en
Y
. Es decir, si
x, x
′∈
X, x
6
=
x
′=
⇒
f
(
x
)
6
=
f
(
x
′)
o equivalentemente,
si
f
(
x
) =
f
(
x
′) =
⇒
x
=
x
′∀
y
∈
Imf,
∃
!
x
∈
X
:
f
(
x
) =
y.
Definici´
on 1.16
(Aplicaci´on sobreyectiva o suprayectiva)
.
Una aplicaci´on
f
:
X
−→
Y
es sobreyectiva si todo elemento de
Y
es imagen de alguno de
X.
Es decir, si
∀
y
∈
Y,
∃
x
∈
X
:
f
(
x
) =
y
o lo que es lo mismo, si
Imf
=
Y
Definici´
on 1.17
(Aplicaciones biyectiva)
.
Diremos que una aplicaci´on es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Es decir, una
aplicaci´on
f
:
X
−→
Y
es biyectiva si y s´olo si
∀
y
∈
Y,
∃
!
x
∈
X
:
f
(
x
) =
y.
Ejemplo 2
La aplicaci´
on inclusi´on
i
:
A
⊂
X
−→
X
x
7−→
x
es siempre inyectiva. Adem´
as es sobreyectiva si y s´
olo si
A
=
X
. En este caso tenemos la aplicaci´
on
identidad en
X
1
X:
X
−→
X
x
7−→
x
que claramente es biyectiva.
Definici´
on 1.18
(Funci´on inversa)
.
Sea
f
:
X
−→
Y
una aplicaci´on biyectiva. Sea
y
∈
Y
, como sabemos que
∃
!
x
∈
X
:
f
(
x
) =
y,
el asignar a cada
y
∈
Y
el ´
unico
x
∈
X
:
f
(
x
) =
y, nos define una aplicaci´on de
Y
en
X
que
llamaremos la inversa de
f
y representamos por
f
−1, es decir
f
−1:
Y
−→
X, f
−1(
y
) =
x
⇐⇒
f
(
x
) =
y.
N´otese que
f
−1es una aplicaci´on biyectiva como
f
, est´a determinada de forma ´
unica por
f
, y adem´as cumple
f
◦
f
−1= 1
Y,
f
−1
◦
f
= 1
X.
Proposici´
on 1.7.
Sean
X
e
Y
dos conjuntos, y sean
f
:
X
−→
Y
y
g
:
Y
−→
X
dos aplicaciones tales que
g
◦
f
= 1
Xentonces
f
es inyectiva y
g
es sobreyectiva.
Si adem´as se tiene
f
◦
g
= 1
Yentonces
f
y
g
son biyectivas y
f
=
g
−1, g
=
f
−1.
Proposici´
on 1.8.
Sean
f
:
X
−→
Y
y
g
:
Y
−→
Z. Entonces se verifica:
Si
C
⊂
Z
=
⇒
(
g
◦
f
)
−1(
C
) =
f
−1(
g
−1(
C
))
.
Si
f
y
g
son inyectivas, entonces
g
◦
f
es inyectiva.
Si
g
◦
f
es inyectiva, entonces
f
es inyectiva.
Si
f
y
g
son sobreyectivas, entonces
g
◦
f
es sobreyectiva.
Si
g
◦
f
es sobreyectiva, entonces
g
es sobreyectiva.
CAP´
ITULO 1. TEOR´
IA DE CONJUNTOS
8
Proposici´
on 1.9.
Sea
f
:
X
−→
Y
una aplicaci´on. Se define en
X
la siguiente relaci´on binaria
x, x
′∈
X, x
∼
x
′⇐⇒
f
(
x
) =
f
(
x
′)
.
Entonces
∼
es una relaci´on de equivalencia en
X. Si
p
:
X
−→
X/
∼x
7−→
C
(
x
)
b
:
X/
∼−→
Imf
C
(
x
)
7−→
f
(
x
)
i
:
Imf
−→
Y
f
(
x
)
7−→
f
(
x
)
se tiene
f
=
i
◦
b
◦
p, adem´as
p
es sobreyectiva,
b
biyectiva e
i
inyectiva.
Corolario 1.1.
Si
f
es inyectiva
=
⇒
p
es biyectiva.
Si
f
es sobreyectiva
=
⇒
i
= 1
Yes biyectiva.
Si
f
es biyectiva
=
⇒
p, i
son biyectivas.
Una isometr´ıa de un conjunto
X
es toda aplicaci´on
f
:
X
−→
X
que conserve distancias.
2Proposici´
on 1.10.
Sea
f
:
X
−→
Y
una aplicaci´on y consideremos los subconjuntos
A
⊂
X
y
B
⊂
Y
. Entonces
se satisfacen:
A
⊂
f
−1(
f
(
A
))
.
f
(
f
−1(
B
))
⊂
B.
Ejemplo 3
Un contraejemplo que nos dice que el primer apartado de la
Proposici´
on
(1.10)
no se cumple, en
general, cuando la inclusi´on es la rec´ıproca.
f
:
R
−→
R
, f
(
x
) =
x
2, A
= [1
,
√
2] =
⇒
f
(
A
) = [1
,
2]
f
−1(
f
(
A
)) = [
−
√
2
,
−
1]
∪
[1
,
√
2]
A f
no es inyectiva
.
Otro contraejemplo que nos dice que el segundo apartado de dicha proposici´
on no se cumple, en
general, cuando la inclusi´on es la rec´ıproca.
2Ver en el libro [3], los tres ejemplos que pone de grupos (p´ag. 15-19): Conjunto de vectoresX de un plano
con la relaci´on de equipolencia enX, soluciones de la ecuaci´on diferencialf′
f
:
R
−→
R
, f
(
x
) = sin
x, B
= [
−
2
,
2] =
⇒
f
−1([
−
2
,
2]) =
R
=
⇒
f
(
f
−1(
B
)) = [
−
1
,
1]
!
B
f
no es sobreyectiva.
Proposici´
on 1.11.
Sea
f
:
X
−→
Y
y sean
B
i⊂
Y
para
i
= 1
,
2
. Entonces:
1.
B1
⊂
B2
−→
f
−1(
B1
)
⊂
f
−1(
B2
)
.
2.
f
−1(
B1
∪
B2
) =
f
−1(
B1
)
∪
f
−1(
B2
)
.
3.
f
−1(
B1
∩
B2
) =
f
−1(
B1
)
∩
f
−1(
B2
)
.
4.
f
−1(
B1
−
B2
) =
f
−1(
B1
)
−
f
−1(
B2
)
.
Proposici´
on 1.12.
Sea
f
:
X
−→
Y
y sean
A
i⊂
X
para
i
= 1
,
2
. Entonces:
1.
A1
⊂
A2
−→
f
(
A1
)
⊂
f
(
A2
)
.
2.
f
(
A1
∪
A2
) =
f
(
A1
)
∪
f
(
A2
)
.
3.
f
(
A1
∩
A2
)
⊂
f
(
A1
)
∩
f
(
A2
)
.
4.
f
(
A1
−
A2
)
⊃
f
(
A1
)
−
f
(
A2
)
.
Proposici´
on 1.13.
Sea
{
B
i⊂
Y
:
i
∈
I
}
una familia de subconjuntos de
Y
. Entonces se verifica:
1.
f
−1[
i∈I
B
i!
=
[
i∈If
−1(
B
i)
.
2.
f
−1\
i∈I
B
i!
=
\
i∈If
−1(
B
i)
.
Proposici´
on 1.14.
Sea
{
A
i⊂
X
:
i
∈
I
}
una familia de subconjuntos de
X. Entonces se verifica:
1.
f
[
i∈IA
i!
=
[
i∈If
(
A
i)
.
2.
f
\
i∈IA
i!
⊂
\
i∈If
(
A
i)
.
Proposici´
on 1.15.
CAP´
ITULO 1. TEOR´
IA DE CONJUNTOS
10
1. Si
f
es inyectiva entonces
A
=
f
−1(
f
(
A
))
.
2. Si
f
es sobreyectiva entonces
f
(
f
−1(
B
)) =
B.
Proposici´
on 1.16.
Sea
f
:
X
−→
Y
una aplicaci´on inyectiva y sean
A
i⊂
X
para
i
= 1
,
2
. Entonces:
1.
f
(
A1
∩
A2
) =
f
(
A1
)
∩
f
(
A2
)
.
2.
f
(
A1
−
A2
) =
f
(
A1
)
−
f
(
A2
)
.
1.3.
Cardinalidad
Sabiendo que
N
⊂
Z
⊂
Q
⊂
R
podemos decir que
R
es m´as grande que
N, aunque
N
,
Z, y
Q
tienen esencialmente el
mismo n´
umero
de elementos.
Definici´
on 1.19
(Equipotentes)
.
Dos conjuntos
X
y
Y
se dicen equipotentes (X
∼
Y
) si existe una biyecci´on entre ambos.
1.3.1.
Conjuntos finitos
Definici´
on 1.20
(Conjunto finito)
.
Un conjunto
X
se dice que es finito si existe un n´
umero natural
n
y una aplicaci´on biyectiva
entre
X
y el conjunto
{
1
, . . . , n
}
. El n´
umero
n
se llama el
cardinal
3de
X. Si
X
= Ø
entonces
su cardinal es 0.
Proposici´
on 1.17.
Propiedades
4:
1. Si
X
es finito, entonces no existe una aplicaci´on biyectiva entre
X
y un subconjunto
propio de
X
.
2. El cardinal de un conjunto finito
X
est´a un´ıvocamente determinado por el conjunto
X.
3. Si
A
es un subconjunto de un conjunto finito
X, entonces
A
es finito. Si
A
es un
sub-conjunto propio, entonces el cardinal de
A
es menor que el cardinal de
X.
El conjunto
N
de los n´
umeros naturales no es finito ya que la funci´on
f
:
N
−→
N
− {
1
}
,
definida por
f
(
n
) =
n
+ 1, es una biyecci´on entre
N
y un subconjunto propio de s´ı mismo
5.
Proposici´
on 1.18.
Las uniones finitas y los productos cartesianos finitos de conjuntos finitos son finitos.
3n=Card(X)≡ |X|.
1.3.2.
Conjuntos numerables
Definici´
on 1.21
(Numerable)
.
Todo conjunto
X
que no sea finito se dice que es infinito. Si
X
es un conjunto infinito que
est´a en correspondencia biyectiva con
N
, entonces se dice que es infinito numerable. En otro
caso
X
se dice que es infinito no numerable. Diremos que
X
es numerable si es finito o infinito
numerable.
Proposici´
on 1.19.
Si
X
es un conjunto no vac´ıo, entonces son equivalentes:
1.
X
es numerable.
2. Existe una aplicaci´on sobreyectiva
f
:
N
−→
X.
3. Existe una aplicaci´on inyectiva
g
:
X
−→
N
.
Las aplicaciones
f
:
N
−→
X
. Este tipo de aplicaciones se denominan
sucesiones
y
habitualmente se denotan como
{
x
n}
∞
n=1
, donde
x
n=
f
(
n
). No debemos confundir una
sucesi´on con su conjunto imagen.
Proposici´
on 1.20.
Si
A
es un subconjunto de un conjunto numerable
X, entonces
A
es tambi´en numerable.
Lema 1.1.
El producto finito de copias de
N
es un conjunto numerable.
Proposici´
on 1.21.
Propiedades:
1. La uni´on numerable de conjuntos numerables es un conjunto numerable.
2. El producto finito de conjuntos numerables es un conjunto numerable.
Ejemplo 4
El conjunto
Q
de los n´
umeros racionales es numerable. El conjunto
Z
de los n´
umeros enteros es
numerable, ya que es la uni´
on de tres conjuntos numerables :
Z
=
N
∪
(
−
N
)
∪ {
0
}
.
Cap´ıtulo 2
Espacios topol´
ogicos
2.1.
Concepto de espacio topol´
ogico
Definici´
on 2.1
(Topolog´ıa)
.
Una topolog´ıa sobre un conjunto
X
es una colecci´on
T
de subconjuntos de
X
T
=
{
A
i}
i∈I:
∀
i
∈
I, A
i⊂
X
que cumplen las siguientes condiciones
1.
Ø
, X
∈ T
.
2.
[
j∈JA
j∈ T
(
J
⊆
I
)
.
3.
n\
k=1
A
k∈ T
(
n
≤
card
(
I
))
. Esta condici´on es equivalente a
A
i∩
A
j∈ T
(
∀
i, j
∈
I
)
.
Definici´
on 2.2
(Espacio topol´ogico)
.
Un conjunto
X
para el que se ha definido una topolog´ıa
T
se llama
espacio topol´
ogico
. En
realidad, un espacio topol´ogico es un par
(
X,
T
)
formado por un conjunto
X
y una topolog´ıa
T
sobre
X. Los elementos de
T
(
{
A
i}
i∈I) se denominan abiertos de
(
X,
T
)
.
Si
X
es un espacio topol´ogico con topolog´ıa
T
, decimos que un subconjunto
U
⊂
X
es un
conjunto
abierto
de
X
si
U
pertenece a la colecci´on de
T
(
U
∈ T
). Podemos decir que un
espacio topol´ogico es un conjunto
X
junto con una colecci´on de subconjuntos de
X
(llamados
conjuntos abiertos), tal que Ø y
X
son abiertos, tal que la uni´on arbitraria y la intersecci´on
finita de conjuntos abiertos es abierto.
2.1.1.
Tipos de topolog´ıas
Topolog´ıa discreta
Si
X
es cualquier conjunto, y
T
D=
P
(
X
)
entonces (
X,
T
D) es un espacio topol´ogico.
T
Dse denomina topolog´ıa discreta.
Topolog´ıa indiscreta o trivial
Si
X
es cualquier conjunto y consideramos
T
I=
{
Ø
, X
}
entonces (
X,
T
I) es un espacio topol´ogico.
T
Ise denomina topolog´ıa indiscreta o trivial
1.
Topolog´ıa de los complementos finitos o cofinita
Sea
X
un conjunto, y
T
cf=
{
U
⊂
X
:
X
−
U
es finito ´o
X
}
a la colecci´on de todos los subconjuntos
U
de
X
tales que
X
−
U
es finito o es todo
X
. Entonces
T
cfes una topolog´ıa sobre
X
, llamada topolog´ıa de los complementos finitos o cofinita.
Cuando el conjunto
X
es finito
2entonces
T
D=
T
cf.
Topolog´ıa de los complementos numerables o conumerable
Sea
X
un conjunto y
T
cn=
{
U
⊂
X
:
X
−
U
es numerable ´o
X
}
a la colecci´on de todos los subconjuntos
U
de
X
tales que
X
−
U
es numerable o todo
X
.
Enton-ces
T
cnes una topolog´ıa sobre
X
que se denomina topolog´ıa de los complementos numerables
o topolog´ıa conumerable
3.
Definici´
on 2.3.
Sea
X
un conjunto, y sean
T
1y
T
2dos topolog´ıas sobre
X.
1Ver [1] ejemplos 2.4, 2.5. P´ag. 34,35.
CAP´
ITULO 2. ESPACIOS TOPOL ´
OGICOS
14
Si
T
1⊂ T
2, diremos que
T
2es m´as
fina
que
T
1. O tambi´en queT
1es m´as
gruesa
que
T
2.Si
T
1⊂ T
2´o
T
2⊂ T
1, se dice queT
1es
comparable
con
T
2.Sea
T
cualquier topolog´ıa, tenemos que
T
I⊂ T
,
T ⊂ T
D,
T
cf⊂ T
cn.
2.2.
Base de una topolog´ıa
Para describir una topolog´ıa no es necesario indicar todos los abiertos de la misma, basta
con indicar un subconjunto con algunas propiedades.
Definici´
on 2.4
(Base)
.
Si
X
es un conjunto, una base para una topolog´ıa
T
sobre
X
es una colecci´on
B ⊂ T
de
subconjuntos de
T
(llamados
elementos b´
asicos
) tales que cada abierto
A
de
T
es la uni´on
de elementos de
B
.
Proposici´
on 2.1.
Sea
X
un conjunto y
B ⊂ P
(
X
)
una colecci´on de subconjuntos de
X. Entonces
B
es una base
para una topolog´ıa
T
si y s´olo si, se cumplen las dos propiedades siguientes:
1. Para cada
x
∈
X, existe al menos un elemento b´asico
B
que contiene a
x
∀
x
∈
X,
∃
B
∈ B
:
x
∈
B .
2. Si
x
pertenece a la intersecci´on de dos elementos b´asicos
B1
y
B2, entonces existe un
elemento b´asico
B3
que contiene a
x, y tal que
B3
⊂
B1
∩
B2
Si
x
∈
B1
∩
B2
:
B1
, B2
∈ B
=
⇒ ∃
B3
∈ B
, x
∈ B
3:
B3
⊂
B1
∩
B2
.
La colecci´on
{
(
a, b
) :
a, b
∈
R
}
de todos los intervalos abiertos de la recta real constituye
una base para una topolog´ıa sobre
R. Dicha topolog´ıa se denomina la
topolog´ıa usual
de
R
y se denota por
T
u.
La colecci´on
{
[
a, b
) :
a, b
∈
R
}
de todos los intervalos semiabiertos constituye una base
para una topolog´ıa sobre
R. Dicha topolog´ıa se llama
topolog´ıa del l´ımite inferior
,
y se denota
T
l. El espacio topol´ogico (R
,
T
l) se denota simplemente por
R
l, y se llama
recta de sorgenfrey
.
B
′es la colecci´on de todas las regiones rectangulares abiertas en el plano de lados paralelos
a los ejes de coordenadas. Entonces
B
′satisface las dos condiciones de la proposicion
(2.1)
, por lo que genera una topolog´ıa en el plano.
Sea
B
la colecci´on de todas las regiones circulares abiertas en el plano (es decir, sin la
circunferencia), cumplen las condiciones de la proposici´on
(2.1)
. La topolog´ıa generada
por
B
se denomina
topolog´ıa usual
de
R
2Proposici´
on 2.2.
Sean
B
1y
B
2bases para las topolog´ıas
T
1y
T
2, respectivamente, sobreX. Entonces son
equivalentes:
1.
T
2es m´as fina que
T
1.2. Para cada
x
∈
X, y cada elemento b´asico
B
∈ B
1, que contiene a
x, existe un elemento
b´asico
C
∈ B
2:
x
∈
C
⊂
B
.
T
les estrictamente m´as fina que
T
u.
Proposici´
on 2.3.
Dado un conjunto
X
y una familia
S
de subconjuntos de
X
cuya uni´on es
X, entonces la
familia
B
formada por todas las intersecciones finitas de elementos de
S
es la base de una
topolog´ıa
T
. Diremos que
T
es la topolog´ıa generada por
S
y que
S
es una
subbase
para la
topolog´ıa
T
.
2.3.
Subespacios topol´
ogicos
Proposici´
on 2.4.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico y
H
⊂
X
un subconjunto. Entonces la familia
T
H=
{
H
∩
A
:
A
∈ T }
de las intersecciones de los abiertos de
X
con
H
es una topotolog´ıa sobre
H.
Definici´
on 2.5
(Topolog´ıa inducida)
.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico, y
H
⊂
X
un subconjunto. El espacio topol´ogico
(
H,
T
H)
se
llama subespacio topol´ogico de
X
y la topolog´ıa
T
Hse llama topolog´ıa inducida por
T
sobre
H
o
topolog´
ıa relativa
de
H
con respecto a
(
X,
T
)
. Los abiertos de
T
Hse denominan
abiertos
relativos
o abiertos para la topolog´ıa relativa.
Proposici´
on 2.5.
Si
B
es una base para la topolog´ıa de
X, entonces
B
H=
{
B
∩
H
:
B
∈ B}
es una base para la topolog´ıa inducida sobre
H.
Ejemplo 5
Los abiertos relativos no tienen por qu´e ser abiertos en el espacio total. En efecto, el intervalo [0
,
1) no
es abierto en
R
con la topolog´ıa usual; sin embargo, s´ı es abierto en [0
,
+
∞
) con la topolog´ıa inducida
puesto que se puede expresar como intersecci´
on de [0
,
+
∞
) con un abierto de
R
de la siguiente forma:
[0
,
1) = (
−
1
,
1)
∩
[0
,
+
∞
)
.
R
+0
= [0
,
+
∞
)
,
R
= (
−∞
,
+
∞
)
,
R
+ 0⊂
R
∀
x
∈
R
+− {
0
}
,
[0
, x
) = (
−
x, x
)
∩
[0
,
+
∞
)
.
Base de
T
u:
(
−
x, x
)
,
∀
x
∈
R
+− {
0
}
.
Base topolog´ıa inducida:
[0
, x
)
,
∀
x
∈
R
+CAP´
ITULO 2. ESPACIOS TOPOL ´
OGICOS
16
Proposici´
on 2.6.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico y
(
H,
T
H)
un subespacio. Entonces todo subconjunto
A
⊂
H
abierto en
(
H,
T
H)
es abierto en
(
X,
T
)
⇔
H
es abierto en
(
X,
T
)
.
Ejemplo 6
Consideremos
R
con la topolog´ıa usual y el subespacio formado por los racionales
Q
. Los abiertos
en
Q
, para la topolog´ıa inducida, ser´
an intersecciones de abiertos en
R
con
Q
. Entonces el conjunto
A
=
{
x
∈
Q
:
x
∈
(0
,
1)
}
es abierto en
Q
pero no lo es
R
.
(
Q
,
T
Q)
⊂
(
R
,
T
u)
,
B
Q=
{
Q
∩
B, B
∈ B}
,
B
(base de
T
uen
R
)
.
Dado
x
∈
A
es claro que cualquier intervalo abierto
x
∈
(
a, b
)
⊂
R
contiene irracionales, con lo que
ninguno de estos intervalos est´
a contenido en
A
, lo que implica que
A
no es abierto en
R
con la
topolog´ıa
T
u.
Se puede ver tambi´en aplicando la proposici´
on
(2.6)
. Como
Q
no es abierto en (
R
,
T
u) =
⇒
A
⊂
Q
abierto en (
Q
,
T
Q) pero no es abierto en (
R
,
T
u).
2.4.
Topolog´ıa producto
Definici´
on 2.6
(Topolog´ıa producto)
.
Sean
X
e
Y
espacios topol´ogicos. La topolog´ıa producto sobre
X
×
Y
es la topolog´ıa que tiene
como base la colecci´on
B
.
Teorema 2.1.
Si
B
es una base para la topolog´ıa de
X, y
C
es una base para la topolog´ıa de
Y
, entonces la colecci´on
D
=
{
B
×
C
:
B
∈ B
, C
∈ C}
es una base para la topolog´ıa sobre
X
×
Y
.
Algunas veces es ´
util expresar la topolog´ıa producto en t´erminos de una subbase.
Definici´
on 2.7
(Proyecciones)
.
Sean
π1
:
X
×
Y
−→
X
(
x, y
)
7→
x
.
π2
:
X
×
Y
−→
Y
(
x, y
)
7→
y
.
Las aplicaciones
π1
y
π2
se llaman proyecciones de
X
×
Y
sobre su primer y segundo factor,
respectivamente.
Si
U
es un subconjunto abierto de
X
, el conjunto
π
−11
(
U
) =
U
×
Y
, que es abierto en
X
×
Y
.
De modo similar, si
V
es abierto en
Y
, entonces
π
−12
(
V
) =
X
×
V ,
que tambi´en es abierto en
X
×
Y
. La intersecci´on de estos dos conjuntos es el conjunto
U
×
V
.
Teorema 2.2.
La colecci´on
S
=
π
−11
(
U
) :
U
es abierto en
X
∪
π
−12.5.
Subconjuntos especiales
2.5.1.
Conjuntos cerrados
Definici´
on 2.8
(Conjunto cerrado)
.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico. Un subconjunto
C
⊂
X
se dice que es cerrado si su
com-plementario
C
c=
X
−
C
es abierto. La familia de todos los cerrados de
X
se denotar´a por
C
.
Ejemplo 7
En un espacio topol´
ogico con la topolog´ıa indiscreta, los ´
unicos cerrados son
X
y Ø.
T
I=
{
Ø
, X
}
,
X
−
Ø =
X,
X
−
X
= Ø
.
En un espacio topol´
ogico con la topolog´ıa discreta, todos los subconjuntos de
X
son cerrados
(y por tanto, tambi´en abiertos).
T
D=
P
(
X
)
,
con
A
∈ T
D,
A
=
X
−
(
X
−
A
)
,
A
es abierto =
⇒
X
−
A
es cerrado
.
En la topolog´ıa cofinita (
X,
T
cf), un subconjunto
C
⊂
X
es cerrado si, y s´olo si,
C
=
X
´o
C
es finito.
Sea
X
un conjunto con la topolog´ıa conumerable
T
cn. Un subconjunto
C
⊂
X
es cerrado
⇐⇒
C
=
X
´o
C
es numerable.
El hecho de que un conjunto sea cerrado no implica, que este conjunto no pueda ser abierto;
de hecho, existen conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados. Por ejemplo, el espacio total
X
(en cualquier topolog´ıa
T
) o cualquier conjunto de un espacio con la topolog´ıa discreta. De
la misma manera, tambi´en existen conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, como cualquier
intervalo de la forma [
a, b
) en
R
con la topolog´ıa usual.
Teorema 2.3.
Dado un espacio topol´ogico
(
X,
T
)
, se satisfacen las siguientes propiedades:
1.
X
y
Ø
son cerrados.
2. Si
{
C
i:
i
∈
I
}
es una familia de cerrados en
X, entonces
T
i∈IC
ies un cerrado.
3. Si
{
C
i:
i
= 1
,
2
, . . . , n
}
es una familia finita de cerrados, entonces
S
ni=1C
ies un cerrado.
Ejemplo 8
La uni´
on arbitraria de cerrados no es, en general, un cerrado. Consideremos la familia
0
,
1
−
1
n
:
n
∈
N
CAP´
ITULO 2. ESPACIOS TOPOL ´
OGICOS
18
de intervalos cerrados en
R
. Su uni´
on es
[
n∈N0
,
1
−
1
n
= [0
,
1)
que es cerrado.
Los cerrados en la topolog´ıa inducida tambi´en son intersecciones de cerrados del espacio
total con el subespacio.
Proposici´
on 2.7.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico y sea
H
⊂
X. Un subconjunto de
F
⊂
H
es un cerrado
relativo si, y s´olo si, existe un cerrado
C
en el espacio total de forma que
F
=
C
∩
H.
Proposici´
on 2.8.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico y
(
H,
T
H)
un subespacio. Entonces todo subconjunto
C
⊂
H
cerrado en
(
H,
T
H)
es cerrado en
(
X,
T
)
si y s´olo si,
H
es cerrado en
(
X,
T
)
.
2.5.2.
Entornos
Definici´
on 2.9.
Dado un espacio topol´ogico
(
X,
T
)
, diremos que un subconjunto
U
⊂
X
es un entorno de un
punto
x
∈
X
si existe un abierto
A
tal que
x
∈
A
⊂
U
. El conjunto o familia de todos los
entornos de un punto
x
∈
X
ser´a denotado por
U
x.
U
x=
{
U
⊂
X,
∃
A
(abierto)
:
x
∈
A
⊂
U
}
.
Ejemplo 9
En un espacio topol´
ogico trivial, el ´
unico entorno posible de un punto es el espacio total.
En un espacio topol´
ogico discreto, un conjunto
U
∈ U
x⇐⇒
x
∈
U
. En particular, y puesto que
todos los subconjuntos de
X
son abiertos, los conjuntos unipuntuales tambi´en lo son.
En la topolog´ıa cofinita,
U
∈ U
x⇐⇒
x
∈
U, U
c=
X
−
U
es finito.
Proposici´
on 2.9.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico. Un conjunto
A
es abierto
⇐⇒
A
∈ U
x,
∀
x
∈
A
es entorno
de todos sus puntos.
Proposici´
on 2.10.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico y un punto
x
∈
X. La familia de entornos
U
xverifica las
siguientes propiedades:
1. Si
U
∈ U
x, entonces
x
∈
U
.
3. Si
U, V
∈ U
x, entonces
U
∩
V
∈ U
x.
4. Si
U
∈ U
x, existe
V
∈ U
xtal que
x
∈
V
⊂
U
y
V
∈ U
ypara todo
y
∈
V
.
La familia de todos los entornos es habitualmente muy grande y, con frecuencia, dif´ıcil de
manipular.
Definici´
on 2.10
(Base de entornos)
.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico, un punto
x
∈
X
y una subfamilia
B
x⊂ U
xde la familia de
entornos de
x.
B
xes una base de entornos de
x, o
base local
de
x, en
(
X,
T
)
si se verifica que
(U
: entorno)
∀
U
∈ U
x∃
V
∈ B
x:
V
⊂
U .
Ejemplo 10
1. (
R
,
T
u) espacio topol´
ogico, con la topolog´ıa usual. Una base de entornos para cada punto
x
∈
R
es la familia formada por los intervalos abiertos de centro
x
y radio
r >
0:
B
x=
{
(
x
−
r, x
+
r
) :
r >
0
}
.
U
∈ U
x=
⇒ ∃
A
∈ T
u:
x
∈
A
⊂
U
. Como los intervalos abiertos son base de
T
u,
∃
(
a, b
) :
x
∈
(
a, b
)
⊂
A subsetC
. Si tomamos
r < min
{|
x
−
a
|
,
|
x
−
b
|}
=
⇒
x
∈
(
x
−
r, x
+
r
)
⊂
(
a, b
)
⊂
U
.
2. En un espacio topol´
ogico trivial o indiscreto (
X,
T
I), la ´
unica base de entornos posible es la
formada ´
unicamente por el espacio total
X
.
3. Si el espacio topol´
ogico es discreto (
X,
T
D).
{
x
}
es un entorno de
x,
∀
x
∈
X
. Entonces la familia
formada s´
olo por este entorno
B
x=
{{
x
}}
es claramente una base de entorno de
x
.
Proposici´
on 2.11.
Sea
(
X,
T
)
un espacio topol´ogico y sea
H
⊂
X. Dado
x
∈
H, un subconjunto
V
⊂
H
es un
entorno relativo de
x
(V
∈ U
Hx
