REPASO DE MECÁNICA CINEMÁTICA
Contenidos
1. Introducción 2. Cinemática
2.1. Vector de posición.
2.2. Velocidad.
2.3. Aceleración.
2.3.1.Componentes intrínsecas de la aceleración.
2.3.2.Aceleración tangencial
2.3.3.Aceleración normal 2.4. Clasificación de movimientos.
2.5. Movimientos en una dimensión.
2.6. Movimientos en dos dimensiones.
2.7. Relaciones entre las magnitudes lineales y las angulares.
3. Problemas.
Criterios de evaluación
VI.3 Reconocer las ecuaciones de los movimientos rectilíneo y circular y aplicarlas a situaciones concretas.
VI.8 Identificar el movimiento no circular de un móvil en un plano como la composición de dos movimientos unidimensionales rectilíneo uniforme (MRU) y rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).
1. Introducción
A lo largo de este tema se pretende refrescar algunos de los conceptos que se han tratado en cursos anteriores y que nos van a ser de gran utilidad para comprender los conceptos y contenidos que abordaremos a lo largo de este curso de Física.
2. Cinemática
Empezaremos recordando las magnitudes que sirven para describir el movimiento.
Tenemos que tener en cuenta el carácter relativo del movimiento:
todos los movimientos son relativos a su sistema de referencia (SR) . No obstante, la trayectoria de un cuerpo queda perfectamente definida si conocemos:
La posición del tiempo respecto del SR elegido (vector de posición).
La variación de la posición del tiempo con respecto al tiempo (velocidad).
La variación de la velocidad con respecto al tiempo
2.1. Vector de posición
El vector de posición , es el vector que une el origen del SR elegido, con la posición que ocupa el cuerpo.
Como se puede comprobar en la figura 1, el vector posición se puede expresar como:
La ecuación que nos proporciona la posición de un móvil en función del tiempo se denomina ecuación del movimiento, y tiene esta forma:
Otro concepto que debemos recordar es el de vector desplazamiento. Si una partícula se encuentra en el instante t0 y tiene como coordenadas P0(x0,y0,z0), con un vector de posición , y en el instante t1 está en la posición P1(x1,y1,z1) con un vector de posición , (ver figura 2) se denomina vector desplazamiento y lo representamos por , al vector:
Es decir, un vector con origen en el punto P0 y extremo en el P1 , y que generalmente, no coincidirá con la distancia recorrida (escalar).
2.2. Velocidad
La velocidad media se define como el vector desplazamiento respecto al incremento de tiempo:
Se deduce que la velocidad media es un vector cuya dirección y sentido coinciden con el del vector desplazamiento.
La velocidad instantánea (a partir de ahora velocidad) es la derivada del vector posición con respecto al tiempo:
El módulo de la velocidad a lo largo del curso lo denominaremos rapidez, ya que si decimos velocidad estamos incluyendo otras características como puede ser la dirección.
La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria en el punto donde se encuentra el cuerpo.
⃗r ⃗r
⃗r = x ⃗i+ y ⃗j+ z ⃗k 1
⃗r(t) = x(t) ⃗i+ y(t) ⃗j+ z(t) ⃗k 2
⃗r0
⃗r1
Δ ⃗r
⃗ 4 Vm= Δ ⃗rΔt
⃗v = lim 5
Δt→0
Δ ⃗r
Δt = lim
Δt→0 Vm⃗ = d ⃗rdt
FIGURA 2
3
Δ ⃗r = ⃗ r
1− ⃗ r
0La ecuación 5 se puede expresar como:
El sentido de la velocidad es el del desplazamiento del cuerpo.
2.3. Aceleración
La aceleración media se define como el cociente del incremento de la velocidad y el tiempo empleado, es decir:
Esta definición implica que hay aceleración siempre que cambie cualquier característica (módulo o dirección) de la velocidad.
La aceleración instantánea (a partir de ahora aceleración) se define como el ritmo de cambio de la velocidad, es decir siempre que haya cambios en la velocidad hay aceleración (observar que hablo de velocidad y no de rapidez)
que al igual que hicimos anteriormente, se puede expresar como:
2.3.1.Componentes intrínsecas de la aceleración
Dado que los efectos en el movimiento de un cuerpo son diferentes según varíe el módulo o la dirección de la velocidad, podemos hacer la clasificación siguiente:
un cuerpo posee aceleración tangencial si cambia el módulo de (rapidez) de la velocidad.
un cuerpo posee aceleración normal (o centrípeta) si cambia la dirección de la velocidad.
Estos dos tipos de aceleración se denominan componentes intrínsecas de la aceleración debido a que se definen respecto un sistema de referencia situado en el lugar que ocupa el móvil, es decir un punto de la trayectoria.
2.3.2.Aceleración tangencial.
Es la que produce los cambios en la rapidez del móvil. Es un vector con las siguientes características:
Módulo: su valor equivale a la rapidez con la que cambia el módulo de la velocidad, es
⃗v = d ⃗rdt = vx ⃗i+ vy ⃗j+ vz ⃗k 6
⃗ 7
am= Δ ⃗v
Δt = ⃗v1− ⃗v0 Δt
⃗ 8 a = lim
Δt→0
Δ ⃗vΔt = lim
Δt→0 am⃗ = d ⃗v dt
⃗ 9 a = d ⃗v
dt = ax ⃗i+ ay ⃗j+ az ⃗k
Dirección: es tangente a la trayectoria en todos los puntos y por lo tanto, coincide con la dirección del vector velocidad.
Sentido: el mismo que el del movimiento si la rapidez aumenta y el contrario al movimiento si la rapidez disminuye.
Estas características se pueden reunir en la siguiente expresión:
siendo un vector unitario con dirección tangencial (tangente a la trayectoria).
2.3.3.Aceleración normal o centrípeta.
Cuando hay variación en la dirección de la velocidad decimos que ese cuerpo posee aceleración normal. Es un vector con las siguientes características:
Módulo: Su valor equivale a dividir el cuadrado de la rapidez entre el radio de curvatura, es decir:
Dirección: Es perpendicular a la dirección de la aceleración tangencial, es decir coincide con la dirección del radio de curvatura.
Sentido: Hacia el centro de la curva.
Al igual que hicimos con la aceleración tangencial, estas características se pueden reunir en la siguiente expresión:
Donde es un vector unitario perpendicular a (dirección radial). El signo menos indica que está dirigida hacia el centro, para lo que se ha supuesto como origen del sistema de referencia el centro de la curva.
Puesto que las componentes intrínsecas de la aceleración son perpendiculares, podemos concluir que:
⃗ 10
aT = d ⃗v dt
⃗uT
⃗ 11
aT = d ⃗v dt uT⃗
⃗ 12 aN = vr2
⃗uN ⃗uT
⃗ 13
aN = − vr2 uN⃗
⃗ 14
a = ⃗aT + ⃗aN ⇒ a =⃗ aT⃗ 2+ aN⃗ 2
FIGURA 3
Como se aprecia en la figura 3, en cualquier punto de la trayectoria, las componentes intrínsecas de la aceleración: la aceleración tangencial, tangente a la trayectoria y sentido el del movimiento; y la aceleración normal, perpendicular a la dirección de la aceleración tangencial y sentido hacia el centro de curvatura. La suma de las dos componentes intrínsecas es el vector aceleración.
2.4. Clasificación de los movimientos.
Según las componentes intrínsecas de la aceleración los movimientos se pueden clasificar en:
Si la aceleración tangencial es cero:
• Si la aceleración normal es cero ➙ Movimiento rectilíneo a velocidad constante (MRU)
• Si la aceleración normal es constante (Distinto de cero) ➙ Movimiento circular uniforme (MCU)
• Si la aceleración normal no es constante ➙ Movimiento circular acelerado (MCA) Si la aceleración normal es cero:
• Si la aceleración tangencial es cero ➙ Movimiento rectilíneo a velocidad constante (MRU)
• Si la aceleración tangencial es constante (Distinto de cero) ➙ Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
• Si la aceleración tangencial es cero ➙ Movimiento rectilíneo a velocidad constante (MRU)
Si la aceleración tangencial y normal son distintas de cero ➙ Movimiento curvilíneo
2.5. Movimientos en una dimensión
Movimiento rectilíneo uniforme
Se caracteriza porque su velocidad no varía con el tiempo, es decir permanece constante; la ecuación de este movimiento es:
Que al tratarse de un movimiento en una dimensión, esta ecuación vectorial puede transformarse en su escalar correspondiente.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
La variación de la velocidad es constante. El ejemplo más característico es el de caída libre. La ecuación que describe este movimiento es:
⃗r = ⃗r0+ ⃗vt 15
2.6. Movimientos en dos dimensiones
Son aquellos cuya trayectoria se describe en un plano. Estudiaremos sólo aquellos cuya trayectoria sea una parábola (movimientos parabólicos) o aquellos que tengan como trayectoria una circunferencia (movimientos circulares)
Movimientos de trayectoria parabólica.
Este movimiento puede ser considerado como la composición de dos movimientos rectilíneos, y por lo tanto la ecuación que lo describe está recogida en 16
Movimientos de trayectoria circular.
Los movimientos circulares son siempre acelerados, porque siempre van a poseer aceleración normal. Para describir estos movimientos es necesario definir las denominadas magnitudes angulares:
Posición angular,
Es el ángulo descrito en radianes.
En la figura 6, podemos comprobar que, si el ángulo está expresado en radianes, la relación entre ángulo y arco es el radio:
Velocidad angular,
Es la rapidez con la que se describe el ángulo, en el SI se expresa en rad/s.
Aceleración angular,
Es la rapidez con la que varía la velocidad angular, se expresa en rad/s2
Movimiento circular uniforme y uniformemente acelerado
Son análogas a las correspondientes del MRU y MRUA, sin más que sustituir las magnitudes lineales por las correspondientes angulares:
Para el MCU:
⃗r = ⃗r0+ ⃗v0t + 12 a t⃗2 16
θ
Δθ = ΔsR 17 ω
ω = dθdt 18
α
α = dωdt 19
FIGURA 4
Hay que tener en cuenta que el MCU es un movimiento periódico. Para caracterizar este movimiento se utilizan las siguientes magnitudes:
Período: Se define como el tiempo que tarda en dar una vuelta. Se representa por la letra T.
Frecuencia, f: Se define el número de vueltas que da en la unidad de tiempo, y por lo tanto es la inversa del período. Se expresa en hertzios, (Hz)
Para el MCUA, la ecuación es:
2.7. Relaciones entre las magnitudes lineales y las lineales.
Partiendo de la ecuación 17, la relación entre la distancia recorrida, s y el ángulo descrito, es:
ecuación que solo es aplicable cuando el ángulo está expresado en radianes.
La relación entre las velocidades (velocidad angular y lineal), se puede obtener partiendo de:
Para la aceleración tangencial y la aceleración angular:
Para la aceleración normal :
3. Problemas
1. Una partícula se mueve en el plano XY. Las ecuaciones del movimiento son x=4t2-1, y=t2+3 (en el S.I.) Calculad: a) El vector velocidad de la partícula. b) La v0 de la partícula. c) El vector aceleración.
d) El vector aceleración en t=1. e) La ecuación de la trayectoria. f) La distancia al origen, desde donde salió, cuando t=10 s
2. Un gran peñasco descansa sobre un barranco, 400 metros por encima de un pueblo, en tal posición que si rodase, saldría despedido con una rapidez de 50 m/s. Existe una laguna de 200 m de diámetro con su borde a 100 metros del borde del barranco, como aparece en la figura. Las casas
θ = θ0+ ωt 20
T = 1f 21
θ = θ0+ ωt + 12αt2 22
θ s = Rθ 23
v = st = Rθt = ωR 24
⃗ 25
aT = d ⃗v
dt = d(ωR)dt = αR
⃗ 26
aN = vR2 = ω2R2
R = ω2R
laguna. ¿Está en lo cierto? Dato: aceleración de la gravedad 9,8 ms-2
3. Un tren se está moviendo a 72 km/h cuando una lámpara que está colgando en el extremo del tren a 4,9 metros sobre el suelo, se suelta. Calcular la distancia recorrida por el tren en el tiempo que demora la lámpara en caer al suelo. ¿Dónde cae la lámpara con respecto al tren y a los raíles? Dato: aceleración de la gravedad 9,8 ms-2
4. Una persona está montada en un ascensor. En un instante determinado se le cae una moneda del bolsillo. Se desea saber el tiempo que tarda la moneda en golpear el suelo en los siguientes casos:
a) cuando sube con velocidad constante; b) cuando sube con aceleración constante.
5. Una pelota rueda por el rellano de una escalera con una rapidez de 1,5 m/s. Los escalones por los que cae tienen 0,2 m de altura y 0,2 m de profundidad. ¿En qué escalón
golpeará la pelota por primera vez, y con qué rapidez lo hará? Dato:
aceleración de la gravedad 9,8 ms-2
6. Una persona que se encuentra a 4 m de la pared de un frontón tira contra ella una pelota que sale de su mano a 2 m de altura sobre el suelo y con una velocidad inicial de m/s. Cuando la pelota rebota en la pared, la componente horizontal de su velocidad en ese momento cambia de sentido, y la componente vertical permanece inalterada. Determinad a qué distancia de la pared tocará la pelota en el suelo.
7. Una rueda parte del reposo y tiene aceleración angular constante de 2 rad/s2. (a) ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 segundos? (b) ¿Qué ángulo habrá girado la rueda después de 5 segundos? (c) ¿Cuántas revoluciones habrá realizado en 5 segundos? (d) Al cabo de 5 segundos,
¿cuál es la velocidad y la aceleración de un punto situado a 0,3 metros del eje de rotación?
Soluciones
1. (8t, 2t) m/s; (0, 0) m/s; (8, 2) m/s2; (8, 2) m/s2; x-4y+13=0;
412 m 2. Si
3. 20 m; En la vertical; 20 metros
4. a) ; b) ; siendo h la altura a la que
se encuentra la moneda y a la aceleración del ascensor.
5. Tercer escalón; 3,7 m/s 6. 18 m
7. a) 10 rad/s; b) 25 rad; c) 25/2 vueltas; d) 3 m/s; 30 m/s2
BIBLIOGRAFÍA
ALONSO y FINN: Física. Volumen I
HOLTON, G. Introducción a los conceptos y teorías de las ciencias físicas. Barcelona:
Reverté S.A., 1993
⃗vo= 10 ⃗i+ 10 ⃗j
t = 2hg t = 2h a + g
