Curvas de Bézier. Facultad de Cs. de la Computación. Juan Carlos Conde Ramírez. Computer Graphics

Curvas de Bézier

Facultad de Cs. de la Computación

Juan Carlos Conde Ramírez

Computer Graphics

Contenido

1

Introducción

2

Polinomios de Bernstein

3

Curvas de Bézier

4

Curvas Compuestas

Contenido

1

Introducción

2

Polinomios de Bernstein

3

Curvas de Bézier

4

Curvas Compuestas

Meta: Formas complejas a partir de curvas 2D

Interpolación de puntos

Se sabe que los polinomios no son buenas herramientas matemáticas para el

problema de interpolación.

Spline cúbicos

Así que si consideramos un spline cúbico como una posible solución tenemos que:

I

Es una curva interpoladora con poca oscilación.

I

Es una curva constituida por trozos de polinomios de tercer grado

I

Es una curva que si se une entre si con continuidad hasta la segunda

derivada puede denir una curva en C

.

Arcos Polinomiales

La idea de unir sucesivamente arcos polinomiales fue propuesta por:

I

Paul de Casteljau (Citroën, 50's, reporte interno)

I

Pierre Bézier (Renault, 60's, Sistema UNISURF ampliamente publicado)

I

Aplicado en la industria automotriz

Arcos Polinomiales

En esta parte del curso el primer tipo de curva que estudiaremos son las curvas de Bézier.

IDEA

La idea subyacente en una curva de Bézier está en considerar una base especial

del espacio del polinomio que permite una buena interpretación geométrica de

los coecientes de un polinomio cuando se expresan en función de dicha base.

Contenido

1

Introducción

2

Polinomios de Bernstein

3

Curvas de Bézier

4

Curvas Compuestas

Descripción del Polinomio

Base de Bernstein (≈ 1912, Aproximación uniforme a funciones continuas).

Consideremos los polinomios (para n jo):

B

= n k

!

x

· ( 1 − x)

con 0 ≤ k ≤ n (1) donde

n

k

=

son los coecientes binomiales

Se denominan polinomios de Bernstein y sólo se denen para x ∈ [0,1]:

Ejemplos

Para n = 1 B

(x ) = 1 − x B

(x ) = x

Para n = 2

B

(x ) = (1 − x)

B

(x ) = 2x(1 − x)

B

(x ) = x

Ejemplos

Para n = 3

B

(x ) = ( 1 − x)

B

(x ) = 3x(1 − x)

B

(x ) = 3x

(1 − x)

B

(x ) = x

Ejemplos

Para n = 4

B

(x ) = (1 − x)

B

(x ) = 4x(1 − x)

B

(x ) = 6x

(1 − x)

B

(x ) = 4x

(1 − x)

B

(x ) = x

Contenido

1

Introducción

2

Polinomios de Bernstein

3

Curvas de Bézier

4

Curvas Compuestas

Curvas de Bézier simples I

Cuando un polinomio arbitrario de grado menor o igual que n se expresa como combinación lineal de los polinomios de Bernstein, se denomina curva de Bézier simple o de un tramo.

La representación en forma paramétrica es:

C (t) =

n

X

k=0

P

B

x 0 ≤ t ≤ 1 (2)

donde:

P

≡ (x

, y

) si la curva está en <

P

≡ (x

, y

, z

) si la curva está en <

Los coecientes P se denominan puntos de control de la curva de Bézier.

Curvas de Bézier simples II

Para n = 1

C (t) = P

B

(t) + P

B

(t) = P

( 1 − t) + P

(t) (3) C ( 0) = P

y C(1) = P

Por lo tanto C(t) es la recta que une los puntos del plano representados por los

coecientes P

, P

.

Curvas de Bézier simples III

Para n = 2

C (t) = P

B

(t) + P

B

(t) + P

B

(t) = P

( 1 − t)

+ P

2t(1 − t) + P

(t

) (4) Análogamente para t = 0 y t = 1:

C (0) = P

y C(1) = P

Con lo cual C(t) es la curva que interpola el primer y el tercer punto de control,

es decir, P

y P

.

Curvas de Bézier simples III

ACTIVIDAD 1

Partiendo de la ecuación resultante (4) utiliza los puntos:

P

= (0, 0) P

= ( 0, 1) P

= ( 1, 1)

Para encontrar y gracar los puntos intermedios para:

t = 0.15 t = 0.35 t = 0.5 t = 0.65 t = 0.85

Recuerda que para t = 0 y t = 1:

Curvas de Bézier simples IV

Si derivamos la Ec. (4):

C

(t) = − 2(1 − t)P

+ 2(1 − 2t)P

+ 2tP

De donde:

C

(0) = 2(P

− P

) (5)

C

( 1) = 2(P

− P

)

C

( 0) y C

( 1) son respectivamente vectores tangente a la curva C(t) en 0 y en

1, tienen la dirección de los vectores P

− P

y P

− P

. La curva C(t) es la

tangente a la poligonal que une P

, P

, P

.

Curvas de Bézier simples IV

ACTIVIDAD 2

1. Usando las reglas de derivación básicas (suma, resta, producto, división, potencia) DEMOSTRAR que:

C

(t) = − 2(1 − t)P

+ 2(1 − 2t)P

+ 2tP

dado que:

C (t) = P

(1 − t)

+ P

2t(1 − t) + P

(t

)

2. Sabiendo que de C

(t) con t = 0 y t = 1 se obtienen los 2 VECTORES

tangentes a la curva obtenida con C(t), GRAFICAR con un color diferente

dichos vectores en tu graca obtenida en la actividad anterior.

Curvas de Bézier simples V

Para n = 3

C (t) = P

B

(t) + P

B

(t) + P

B

(t) + P

B

(t) (6) C (t) = P

(1 − t)

+ P

3t(1 − t)

+ P

3t

(1 − t) + P

(t

)

Análogamente para t = 0 y t = 1:

C ( 0) = P

y C(1) = P

Curvas de Bézier simples VI

I

Es fácil imaginar el efecto de mover alguno de los puntos de control (lo que equivale a cambiar los coecientes de la curva polinomial C(t) respecto de la base de Bernstein.

I

Los polinomios de Bernstein B

(t) cuentan con propiedades importantes en el intervalo [0,1].

I

Dichas propiedades se transeren a las curvas de Bézier simples.

Curvas de Bézier simples VI

I

Es posible denir una curva de Bézier en cualquier intervalo [a,b] mediante un cambio de variable afín.

C (s) = ~

n

X

k=0

P

B

 s − a b − a



a ≤ s ≤ b (7)

I

donde t = 

s−a

b−a

, vericamos que 0 ≤ t ≤ 1 tal que:

para s = a obtenemos t = 0 para s = b obtenemos t = 1

I

Es claro que esta curva y la denida en la ecuación (2) son idénticas. Es

una reparametrización, aún dejando una curva invariable, no ocurre lo

Contenido

1

Introducción

2

Polinomios de Bernstein

3

Curvas de Bézier

4

Curvas Compuestas

Curvas de Bézier compuestas I

Una curva de Bézier simple es un polinomio (en cada componente) expresado en la base de Bernstein.

Presenta importantes propiedades geométricas relacionadas con la forma de la curva con sus coecientes o puntos de control.

Sin embargo, algunas deciencias estudiadas en la interpolación lineal se pre- sentan a menudo en su uso:

Se requiere un elevado grado de los polinomios para generar formas más complejas

−→ Presenta problemas numéricos (oscilación)

Curvas de Bézier compuestas II

SOLUCIÓN: pegar sucesivamente varias curvas de Bézier simples de bajo grado (generalmente 2 o 3) para constituir una curva de Bézier compuesta.

I

Consideremos en primer lugar la composición de dos curvas de Bézier desde un punto de vista geométrico.

I

Sean P

, P

,... ,P

puntos de control para la primera curva y Q

, Q

,... ,

Q

los de la segunda curva, donde n no necesariamente es igual.

Curvas de Bézier compuestas III

Por analogía es de suponerse que la primera curva se obtendrá de la interpolación entre P

y P

y la segunda entre Q

y Q

Por tanto si queremos que la curva compuesta sea continua la condición es:

P

= Q

(8)

Curvas de Bézier compuestas IV

Como es de suponerse deseamos que la curva compuesta tenga un cierto grado de suavizado.

PROPIEDAD: Vector tangencial a la curva de Bézier en sus puntos extremos está dado por:

T ~

= C

(0) = n(P

− P

) T ~

= C

(1) = n(P

− P

)

Geométricamente, lo importante es que el vector tangente a la primera curva en

P

tenga la dirección de P

− P

, mientras que el vector tangente a la segunda

curva tenga la dirección Q

− Q

= Q

− P

.

Curvas de Bézier compuestas V

Por lo tanto, una condición necesaria y suciente para que la tangente sea

continua entre la unión de dos curvas es que el punto Q

debe estar alineado

con P

y P

= Q

.

Curvas de Bézier compuestas VI

OBSERVACIONES:

I

La derivada de la suma compuesta no tiene porque ser continua, es decir, la construcción sólo garantiza continuidad de la dirección del vector tangente, pero no del propio vector.

I

Una curva continua en la que la dirección del vector tangente es continua,

se dice que posee continuidad geométrica o visual de clase G

.

Aplicación

"El optimista tiene siempre un proyecto, el pesimista una excusa"

[Anónimo]