M. en C. María de Jesús Acuña Macías
LEE CUIDADOSAMENTE LAS INDICACIONES Y CONTESTA LO QUE SE TE PIDE UNIDAD 1. CONJUNTOS
Propósitos:
Que el alumno conozca la noción de conjunto. Comprenda las operaciones entre ellos para que sea capaz de resolver problema s de su entorno y adquiera los conocimientos básicos para temas posteriores.
Subtemas:
Operaciones. Diagrama de Venn-Euler.
Producto cartesiano de dos conjuntos. Plano cartesiano.
Gráfica
Resuelve los siguientes ejercicios con la teoría de conjuntos:
1. Sean U={dígitos} y A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6} conjuntos de U. Hallar: a).- A U B; b).- A U C; c).- B ∩ C; d).- B ∩ B e) B-A f) C´
2. ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}? 3. Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
4. ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
5. Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o} 6. Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?
(1) (2) (3)
7. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos? a) A = { xI x es día de la semana}
b) B = {vocales de la palabra conjunto} c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
d) D = {x I x es un número par} e) E = {x I x < 15}
f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI} 8. Demuestre con diagrama de Venn que
2 9. En el diagrama de Venn como el siguiente, dibujar:
(a) ; (b)
10. Resuelve los siguientes problemas de conjuntos (use el diagrama de Venn) Problema I: Conos de helado
Hay conos de dos sabores: chocolate y vainilla. Usted y sus 24 amigos (25 personas en total), van a comprar conos. Si 15 personas compran conos de vainilla y 20 conos de chocolate, ¿cuántas personas compraron conos de chocolate y vainilla?
Problema II: Barras de chocolate
Un grupo de 50 personas va al supermercado a comprar barras de chocolate. Cada persona compra como mínimo una barra. El supermercado vende dos tipos de barras de chocolate: con relleno y sin relleno. Si 45 personas compran de los dos tipos de barras, y 47 compran como mínimo una barra con relleno cada uno, ¿cuántas personas compraron únicamente barras de chocolate sin relleno? Problema III: Invasión de extraterrestres
Un grupo de 100 extraterrestres llega en la nave Estrella 2000 para invadir su planeta. Estos extraterrestres se distinguen por dos características: sus ojos y sus colas. Algunos de ellos tienen ojos, pero no tienen cola, otros tienen cola pero no tienen ojos, y otros tienen ojos y cola. Si hay 75 extraterrestres que tienen ojos y 50 que tienen ojos y cola, ¿cuántos de ellos tienen ojos pero no tienen cola? ¿Cuántos tienen solamente cola?
Problema IV: Paseo al zoológico
Un grupo de 30 estudiantes decide ir de paseo al zoológico. Hay dos exhibiciones principales abiertas para visitas: la pajarera y la cueva del león. Ocho estudiantes visitan la pajarera, de los cuales seis visitan también la cueva del león. ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la cueva del león? ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la pajarera?
Problema V: Fiesta de disfraz
Hay 70 niños en la ciudad de Cartagena, y todos se van a vestir en forma especial para ir a una fiesta. Hay dos actividades para la noche de la fiesta: un baile y un concurso de disfraz. Si 30 niños fueron tanto al baile como al concurso de disfraz, y solamente 24 niños fueron únicamente al baile, ¿cuántos niños en total participaron en el concurso de disfraz? ¿Cuántos fueron únicamente al concurso de disfraz?
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Actualmente se están exhibiendo dos películas en un teatro de la ciudad: Ficción Increíble 3y Las matemáticas en las estrellas. Un total de 68 personas asistieron al teatro. Si 35 personas vieron Las matemáticas en las estrellas, y 10 vieron tanto Ficción Increíble 3 comoLas matemáticas en las estrellas, ¿cuántas personas vieron únicamente Ficción Increíble 3? ¿Cuántos boletas se vendieron en total en el teatro?
Dados los conjuntos: A = {0, 3, 7, 10} B = {-3, -1, 0, 3, 5} C = { -4, -2, 0, 2, 4} D = {-6.5, -4, -2.5, -1, 1.5, 3, 5.5} E = {-4, -3, 0, 1, 3, 5}
Realice los siguientes productos cartesianos y represéntelos en el plano cartesiano: a) A x D b) E x C c) B x D
d) A x E e) D x A f) C x D UNIDAD 2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Propósitos:
Que el alumno comprenda como surgió ron los sistemas de numeración en diferentes culturas de la antigüedad hastallegar al sistema decimal adoptadouniversalmente. Que opere con sistema s de numeración de diferentesbases para que comprenda los algoritmos de las operaciones s en el sistema decimal.
Subconjuntos:
Sistemas de numeración. Sistema decimal.
Sistema de diferentes bases. Sistema de base 2.
4 11. Transforme las siguientes cantidades a sistema de numeración maya (base 20):
a. 56210 b. 213
c. 209 d. 3046
e. 9805 f. 7205
12. Transforme las siguientes cantidades a base binaria:
a. 160 b. 97
c. 129 d. 75
e. 215 f. 185
13. Transforme las siguientes cantidades a base decimal:
a. 1100100 b. 1010110110 c. 1101010101
d. 10010110 e. 1000011101 f. 10100111110
14. Realice las siguientes operaciones en base binaria:
a. 11011 x 11011 b. 10010 + 1011 c. 110011 –101 d. 11001011 1001 e. 101011011 1011 f. 101110110 – 10110 UNIDAD 3. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Propósitos:
Que el alumno comprenda que los conjuntos numéricos fueron creciendo para resolver problemas de aplicación práctica.
Que el alumno al aplicar los conocimientos previamente adquiridos desarrolle habilidades que le permitan operar correctamente.
Subtemas:
Propiedades de las operaciones binarias en los números Reales Números Reales.
Imaginarios. Complejos.
Valor absoluto de un número real. Intervalo.
Leyes de los exponentes.
Resuelve los siguientes ejercicios sobre números reales: 15. Para la siguiente lista de números:
a) Organiza cada uno de los números en el siguiente esquema, según el conjunto al que pertenece.
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b) Ubique cada uno de los números en la recata real.
16. Escribe en los espacios en blanco, de modo que cada fila y columna sumen 1.
¼ 1/4
1/4 1/8 5/8
17. Para cada uno de los números siguientes determine su expansión decimal e indique si esta es finita o periódica Infinita:
18. Determine el número racional que representa cada una de las siguientes expansiones decimales
19. Utilizando el Método de la criba de Erastótenes encuentre los números primos entre 500 y 700.
20. Descomponga las siguientes cantidades en sus números primos:
a. 21544 b. 48512
c. 82004 d. 4632
e. 5852 f. 32486
21. Encuentre el mínimo común múltiplo (m.c.m) y el (MCD) de las siguientes series de números:
a. 55, 25, 65 b. 51, 55, 5 c. 25, 7, 6, 18
d. 55, 10, 25 e. 520, 25, 3 f. 35, 98, 26
6 22. Realice las siguientes operaciones números enteros:
a. 38 + (-8) –(-7) +15= b. 125+[(-3)(4)(3)] – (-8) = c. (5)[8+(-2)] [(-15)(2)] = d. –7 + 4 + (-3) – 28 = e. [(6)(4)] – [(7)(3)] – [(8)(-1)] = f. [13 + (-8) +[(-3)(4)] - 6] g. 7+[(-3)(5)(8-2)] + (8)[ 9+(-6) + 2 +(-7)] =
23. Conteste correctamente las siguientes operaciones de números racionales:
a. 3 + 6 – 8 = b. - 8 2 = 4 5 3 3 15 c. - 5 + 7 – 8 = d. 3 x 16 x - 3 = 9 12 15 - 4 5 7
24. Obtener los porcentajes que se indican: Cuánto es: a) el 15% de 300 alumnos.
b) el 25% de 100 viviendas
c) el 150% de su peso inicial, que era de 3kg.
25. Aplica las propiedades de las potencias:
a) 2 1 2 1 2 1 = b) 23 + 62- 63· 23 – (-2)3 = c) 30 – 3-1 + 3-2– 3 –3 = d) 9091(9)392(9)2(9)2 e) (0,3)-1 + (0,2)-3 = f)
7
7
4
7
55
7
67
g)
3 7 4 7 2 1 3 53
3
3
2
2
3
2
3
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UNIDAD 4: OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS EN UNA VARIABLE Propósitos:
Que el alumno al comprender las operaciones con monomios y polinomios sea capaz de aplicarlas correctamente en el planteamiento y solución deproblemas que surgen en su entorno
SEBTEMAS:
Adición de monomios y polinomios.
Multiplicación de monomios y polinomios. División de monomios y polinomios
26. Determinar el valor de las siguientes operaciones de polinomios:
27. Dados los polinomios: P(x) = 4x2 – 1; Q(x) = x3 − 3x2 + 6x – 2; R(x) = 6x2 + x +
1; S(x) = 1/2x2 + 4; T(x) = 3/2x2 +5 y U(x) = x2 + 2 Calcular: a) P(x) + Q (x) b) P(x) − U (x) c) P(x) + R (x) d) 2P(x) − R (x) e) P(x) + 2 Q(x) − R(x)
8 UNIDAD 5: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN.
Propósitos:
Que el alumno opere con productos notables y factorizaciones para plantear y resolver problemas de otras disciplinas, que sean significativos para él.
Subtemas:
Productos notables y factorización Simplificación de fracciones
28. Desarrolle los siguientes productos notables, en donde se requiera, utiliza el Teorema del Binomio o (Triángulo de Pascal):
a. ( x/2 + 2 ) 2 = b. ( x – 3 )3 = c. ( -2 + 2/x ) 2 = d. ( 4 – 2y )4 = e. ( 2y/3 – 2 ) 2 = f. ( 5 + 3x )5 = g. ( -2 – y )4 = h. ( 2y – x )3= i.
(y - 12)(y - 7)
j.(4x
3+ 15)(4x
3+ 5)
k. ( y – x/3 )2 = l.(a + 9)(a - 6)
29. Factorice los siguientes polinomios por factor común: a. 20 ab 2 – 15 a3b =
b. m5 – 2 m2 + 6 m =
c. 25 y 3 – 15 y2 – 10 y =
d. x2 – 8 x3 – 7 x 4 =
e. 56 ax5 – 14 x2y2 – 28 x3 =
30. Factorice las siguientes diferencias de cuadrados:
a. 25 x2 – 36 a4 = b. bx2 – b6 =
c. 36 m2 – 1 = d. 5 ab4 – 245 a =
e. 49x2 – 169 y2 = f. 4 – 49 a2b2 =
g. 100 – 25 f4 = h. 121 – 36 x4b6 =
i. 9 c8 – 16 = j. a9 – 144 a =
31. Factorice por agrupamiento los siguientes polinomios:
a. nx + ny + 5x + 5y = b. x3 – 5 x2 – 9x + 45 =
c. 6 x2 – 48x – x + 8 = d. x2 – 6x + 9 – y2 =
e. 15 x2 + 6ax + 20 xb + 8 ab = f. 3 a2 – a + 3a – 1 =
g. 8 ax + 2a – 4bx – b = h. 2 a2 – 4 ab – 3 ab + 6 b2 =
10 32. Factorice los siguientes trinomios:
a. 49 x2 – 42 xy + 9 y2 = b. 4 x2 – 4 xy + y2 = c. 6 x2 – 19 x + 3 = d. 6x2 – 23 x – 4 = e. 25 a2 + 40 ab + 16 b2 = f. 36 a2 – 60 ab + 25 b2 = g. 5 x2 – 29 x – 6 = h. 8 x2 – 2x – 3 = i. 24 + 14y + 2y2 = j. 1 – 6 y – 7y2 = k. 2 w2 – 17 w + 21 =
UNIDAD 6: OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES. Propósitos:
Que el alumno al comprender las operaciones con fracciones algebraicas y radicales sea capaz de plantear y resolver problemas de su entorno en términos de una fracción algebraica o de un radical.
Subtemas:
Operaciones con fracciones algebraicas. Radicales
33. Realice las siguientes operaciones de fracciones algebraicas:
a. x2 + 2x + 1 = b. x2 – 4 = x2 + 5x + 4 3x + 6 c. 2 a – 4 b = d. x3 + 27 = 12 b – 6 a x2 – 3x + 9 e. 2x + 4 . x2 – y2 = f. y3 + y2 . 4y2 –4y = x + y 4x + 8 y2 - 1 y3 g. x2 + 3x – bx – 3b . nx + nb = h. 2y – 14 6y – 30 = x2 – b2 4x + 12 y2 – 2y – 35 y2 - 25 i. x2 – 4x – 21 7x – x 2 = j. b2 – 2b – 8 4 –b 2 = x3 + 27 x3y – 3x2 y + 9xy 4b – b2 5b - 10
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35. Simplifica y elimine el radical (todas las letras denotan números reales positivos): a) b) c)
UNIDAD 7: ECUACIONES Y DESIGUALDADES. Propósitos:
Que el alumno sea capaz de plantear problemas de su entorno cuya solución se obtenga a partir de la resolución de una ecuación o de una desigualdad de primero y segundo grado. Que interprete el resultado obtenido.
Subtemas:
Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad, Ecuaciones de primer grado en una variable. Ecuación de segundo grado.
Resolución de una ecuación de segundo grado.
Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades. Desigualdad de segundo grado.
Resolución de una desigualdad de segundo grado.
36. Encuentre la solución delas siguientes ecuaciones de primer grado y compruebe: a. 7 x + 15 = 3 b. 3 ( 4/b) = 6 c. 6 y – 27 = 37 d. 3/x – 3 = 4 e. 11 a + 15 = 92 f. 6(3x – 1 ) – 2x = 2(2x – 5 ) – 8 g. 4 ( 5 – 3b/2 ) + b ( 2 – 1/4) = 10 h. 7( x + 3 ) – 3 ( x- 2 ) = 16 – (2 x - 3) i. 1/y + y = 15 j. k. [(4x+13 )/7] –1 = [(3x – 5)]/10 l.
37. Modela el siguiente problema a través de una ecuación lineal con una variable y resuélvelo, después interpreta el resultado de acuerdo al con el problema. a) Juan, Pedro y Diego deciden hacer una “alcancía” para salir a divertirse un fin de
12 puso el triple del aporte de Juan. En total reunieron 6000 pesos. ¿Cuánto puso cada uno?
b) Se quieren separar 77 gramos de oro en dos partes de tal manera que la mayor tenga 19,5 gramos más que la menor ¿Cuántos gramos debe contener cada parte?
c) Hallar un número sabiendo que si a su triplo se le resta uno se obtiene lo mismo que si a su tercera parte se le suma uno.
¿Cuál es el número cuyo doble supera en 15 a su mitad?
d) Martín salió a recorrer, en forma sucesiva, varios negocios de su barrio y le fue proponiendo a sus dueños lo siguiente:
En una librería propuso: “Présteme tanto dinero como el que tengo ahora en mi billetera y gastaré 100$”.
En una perfumería y en un restaurante propone lo mismo. Al volver a su casa comenta: “¡Me quedé sin un centavo!”
¿Cuánto dinero tenía Martín al entrar a la librería?
38. Encuentre las raíces de cada una de las ecuaciones de segundo grado y compruebe: a. x2 + 6x = 0 b. 4 x2 – 1 = 0 c. 4x2 – 20 x = 0 d. x2 – 5x + 6 = 0 e. 5 x2 +15 x = 0 f. 3x2 + x – 10 = 0 g. x2 – 81 = 0 h. x2 – 8x + 16 = 0 i. 3x2 – 42 = 0 j. 12 x2 – 5x – 6 = 0
39. Resuelva los siguientes problemas con ecuaciones de segundo grado
a. Encuentre dos números consecutivos y positivos enteros cuyo producto sea 30. b. El número 365 tiene la característica de ser la suma de los cuadrados de dos
números naturales consecutivos. Indique cuáles son.
UNIDAD 8: SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE DESIGUALDADES. Propósitos:
Que el alumno sea capaz de plantear problemas de su entorno cuya solución se obtenga a partir de resolver un sistema de ecuaciones o de desigualdades y que interprete el resultado obtenido.
Subtemas:
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables Resolución de un sistema de tres ecuaciones lineales. Método gráfico.
40. Resuelva las siguientes desigualdades de primer grado y compruebe su respuesta:
a. 2 x + 5 3 b. –1 3x + 17 < 2 c. 5 x – 1 -6 d. –10 < 5 ( x +3 ) 5 e. 6 – 3y < 9 f. 2(5 – x ) > x + 19 -15
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g. 5 ( 9 – x ) > 4 ( x + 15 ) +12 h. 21 < 3(5 – 2x) < 39 i. –20 4( x – 8 ) 16 j. 5( x – 1 ) – 2 ) x – 3 ) 13
41. Realice las desigualdades de segundo grado y compruebe su respuesta: a. x2 – 9x + 14 0 b. x2 – 6x – 16 < 0
c. 3x2 – 13x + 4 < 0 d. x2 + 5x + 24 0
e. 64 – y2<0 f. x2 – 4x + 3 > 8
g. x2 – 2x – 15 0 h. x2 – x + 9 2x + 21
i. x2 – 5x – 20 < 16 j. y2 – 9y + 14 > 0
42. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: a. 2x + 4y = 2 3x + 9y = 7 b. 8x + y = 21 3x + y = 11 c. 8x – 3y = 5 5x – 2y = 4 d. 2x + y = -2 6x – 5y = 18 e. 7x – 15 = -2y 5y – 3 = 6x
43. Resuelva los siguientes problemas a través del planteamiento de un sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas.
a. ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?
b. Hallar dos números cuyos cocientes sean 4/5 y su producto 80
c. Encuentra dos números sabiendo que la mitad de su suma es 5 y el doble de su diferencia es 8.
44. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones 3x3: a. 6x – 4y – 5z = 12 4x – 2y – 3z = 8 5x + 3y – 4z = 4 b. 2x+ 5 y + 2z = 5 3x – 2y – 3z = -1 2x + 3y + 3z = 10
14 c. x + y + z = 4 x – 2y – z = 1 2x – y – 2z = –1 d. 3x – 2y – z = 3 2x – y + z = 4 x – 2y + 3z = 3 Bibliografía
Chávez Alejandro, Ibarra Rafael, Martínez Carlos, Álgebra, Ed. Pearson, México, 2003.
Cuellar Juan, Álgebra,Ed. ;Mc Graw Hill, México, 2004.
Lischutz, Seymour, Teoría de Conjuntos y temas afines. México, McGraw-Hill, 1990.
