IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 1 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
A partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat (siglo XVII) sobre problemas planteados por el caballero de Méré, se desarrolló la probabilidad como forma de obtener las leyes que rigen los juegos de azar. Se considera a Laplace (siglo XVIII) como uno de los padres de la probabilidad: publicó la “teoría analítica de
probabilidades”. En la actualidad, el cálculo de probabilidades es imprescindible en todas las ramas del saber. Por ejemplo, pensemos en su importancia a la hora de invertir en bolsa, elaborar seguros, predecir condiciones metereológicas, prever las ventajas de un determinado medicamento, etc.
Conceptos previos:
• Experimento determinista:
Su resultado se puede predecir a partir del conocimiento de las condiciones en las que se realiza. Del estudio de estos experimentos se encargan las ciencias experimentales.
Ej: a)Dejar caer un objeto desde una gran altura y medir el tiempo que tarda en caer al suelo. b)Poner agua en un cazo y ponerlo a calentar.
• Experimento aleatorio:
Su resultado no se puede predecir, a pesar de conocer las condiciones en las que se realiza. Del estudio de estos experimentos se encarga la probabilidad.
Ej: a)Lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz. b)Extraer una carta de la baraja y mirar de que palo es.
• Espacio muestral (asociado a un experimento aleatorio ):
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento. Se indica siempre con la letra E. Cada resultado posible recibe el nombre de suceso elemental.
Ej: a)En el experimento aleatorio de lanzar un dado, los sucesos elementales son 1,2,3,4,5,6 y por tanto el espacio muestral es E= {1,2,3,4,5,6}. b)En el experimento aleatorio de lanzar una moneda el espacio muestral es E={C,X}. c)En el e.a de lanzar dos monedas el espacio muestral es E={CC, CX, XC, XX}.
• Sucesos:
Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Se representan por letras mayúsculas A, B, C, D,...
Ej: a)En el e.a de lanzar un dado podemos considerar los sucesos:
A ={2,4,6} “obtener un número par”.
B ={1,3,5} “obtener un número impar”.
C={2,3,4,5,6} “Que salga par o mayor que uno” (o equivale a la unión “∪” de sucesos)
D={5} “que salga primo y mayor que 3” ( y equivale a la intersección “∩” de sucesos)
b)En el e.a. lanzar dos veces una moneda podemos considerar el suceso A: “sacar al menos una cara”, A ={CC, CX, XC}.
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 2
• Diremos que un suceso se ha verificado, si al efectuar un e.a el resultado obtenido forma parte de dicho suceso.
• La probabilidad se encarga de estudiar las expectativas de que un suceso se verifique. Puede haber muchas o pocas expectativas.
• Si E tiene n sucesos elementales, el número total de sucesos que se pueden formar con los elementos de E es 2n. Al conjunto de todos estos sucesos se le representa por S y se llama espacio de sucesos.
Ej: a)En el e.a. de lanzar una moneda el espacio muestral E tiene 2 elementos. El espacio de sucesos asociado a este experimento tiene 22=4 está formado por 4 sucesos, que son: S=
{
φ,{ } { }
C , X ,{
C,X}}
b)En el e.a. del lanzamiento de un dado el número de sucesos posible es 26=64.
-Tipos de Sucesos:
• Suceso elemental:
Contiene un único resultado del espacio muestral.
Ej: A: “obtener un 6 al lanzar un dado”
• Suceso seguro:
Es el que contiene todos los resultados posibles del experimento (es decir, contiene todos los elementos del espacio muestral). Por lo tanto, siempre ocurre.
Ej.: En el e.a de lanzar un dado, el suceso A:”sacar una puntuación menor o igual que 6”
es un suceso seguro.
• Suceso imposible:
Es el que no contiene ningún resultado posible del experimento. Nunca puede ocurrir.
Es el conjuntoφ.
Ej.: En el e.a. lanzar un dado, el suceso “sacar un número mayor que 6”.
• Suceso unión A∪B:
Es el que se verifica cuando se cumple A o B. Está formado por los elementos que están en A o en B o en los dos.
Ej.: A: sacar par, B: sacar menos de cuatro. A∪B={1,2,3,4,6}
• Suceso intersección A∩B:
Es el que se verifica cuando lo hace A y B. Está formado por los elementos que están en A y en B. Ej.: En el ejemplo anterior A∩B={2}.
• Suceso diferencia A-B:
Es el que se verifica cuando se cumple algún A que no está en B.
Ej.: En el ejemplo anterior B-A = {1,3} y A-B = {4,6}
• Suceso contrario o complementario de A:
Es el que contiene todos los resultados del experimento que no están en A.
Ej.: en el e.a. lanzar un dado el suceso contrario de A: “sacar par” es A : “sacar impar”. (el suceso complementario también se indica A’).
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 3 El suceso complementario verifica las siguientes operaciones:
(A’)’=A E'=φ φ'=E A∩A'=φ A∪A'=E '
B A B
A− = ∩
(
A∪B)
'= A'∩B'(
A∩B)
'=A'∪B' (las dos últimas operaciones se llaman Leyes de Morgan y se utilizan mucho en probabilidad)Comprueba todas estas operaciones en diagramas de Venn.
Ejercicios: Otras operaciones con sucesos puedes resolverlas utilizando estos diagramas:
=
∩B'
A A∪
(
A∩B)
= A∩(
A∪B)
==
∪E
A A'∩
(
B∪C)
=• Sucesos compatibles:
Son aquellos que se pueden verificar simultáneamente (pueden ocurrir a la vez) . Ej.: En el lanzamiento del dado: A ={2,4}y B{2,6} son compatibles, pues
φ
≠
=
∩B {2}
A .
En general, A y B son compatibles si A∩B≠φ
• Sucesos incompatibles:
Son aquellos que no se pueden verificar simultáneamente.
Ej.: A ={2,4} y C ={1,3} son incompatibles, pues A y B no comparten ningún suceso elemental.
En general, A y B son incompatibles si A∩B=φ
• Si realizamos N veces una experiencia aleatoria, llamamos:
Frecuencia absoluta de un suceso S: Es el número de veces que ocurre S, se expresa como f(S).
Frecuencia relativa de S: Es la proporción de veces que ocurre S, se obtiene:
fr(S)=f(S)/N
Ej: Lanzamos 1000 veces un dado y consideramos el suceso A={sacar par}. Si hemos contado que 620 veces a salido par, diremos que f(A) = 620. Y fr(A) = 0’62.
=
∩E A
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 4 Definición de probabilidad
La intuición nos dice que al lanzar un dado, tenemos 1/6 de posibilidades de que el número obtenido sea uno cualquiera de ellos. Si realizáramos el experimento de lanzar un dado un número muy grande de veces, la frecuencia relativa de una determinada puntuación estaría muy próxima a 1/6, tanto más próxima cuanto mayor fuera el número de veces que lanzáramos el dado (esto es lo que se conoce con el nombre de la “ley de los grandes números”, que dice que la frecuencia relativa de un suceso tiende a
estabilizarse a medida que N crece).
De forma intuitiva, a este número 1/6 es a lo que vamos a llamar probabilidad del suceso “sacar una determinada puntuación” en el lanzamiento de un dado.
Así pues, en un experimento aleatorio cualquiera, podemos asignar a cada suceso un número que va a representar su probabilidad de ocurrencia (es decir si tiene muchas o pocas expectativas de producirse). De manera formal:
Dado un espacio muestral E asociado a un experimento aleatorio. Llamamos probabilidad a la función:
P: S→R
A→ P(A)
que asocia a cada suceso A un número real llamado probabilidad de A, P(A), y que cumple los siguientes axiomas (un axioma es un enunciado que se toma por verdadero sin necesidad de demostrarlo):
1) P(E)=1
2) Sea A un suceso cualquiera, 0≤P(A)≤1
3) Si A y B son incompatibles, es decir A∩B=φ, entonces se cumple que:
) ( ) ( )
(A B P A P B
P ∪ = +
Propiedades de la probabilidad
Se deducen a partir de los axiomas anteriores y servirán para el cálculo de probabilidades en problemas reales.
1) P(A)=1−P(A). (en particular P(φ)=0, ya que P(E) = 1 )
2) Si A⊂B⇒P(A)≤P(B) y además: P(B)=P(A)+P(B−A). 3) Si A y B son compatibles, es decir P(A∩B)≠0, entonces se cumple:
) (
) ( ) ( )
(A B P A P B P A B
P ∪ = + − ∩
4) Si A1, A2, A3, ..., An son incompatibles dos a dos, entonces:
) ( ...
) ( ) ( ) ( ) ...
(A1 A2 A3 An P A1 P A2 P A3 P An
P ∪ ∪ ∪ ∪ = + + + +
Ejercicios:
1)Calcula la probabilidad de A∪B sabiendo que P(A)=0’4 y P(B)=0’5.
Sol: Si los sucesos A y B son incompatibles ( A∩B=φ⇒P(A∩B)=0 ) tendremos:
9 ' 0 5 ' 0 4 ' 0 ) ( ) ( )
(A∪B =P A +P B = + =
P .
Si los sucesos A y B son compatibles (A∩B≠φ⇒P(A∩B)≠0 ) tendremos:
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 5 )
( 5 ' 0 4 ' 0 ) (
) ( ) ( )
(A B P A P B P A B P A B
P ∪ = + − ∩ = + − ∩ . Por lo que no lo
podríamos calcular pues nos falta un dato.
2)Se sabe que la probabilidad de que un alumno haya aprobado matemáticas es 0’45, la de que haya aprobado lengua es 0’4, y la de que haya aprobado alguna de las dos materias es 0’7. Elegimos un alumno al azar. ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado ambas materias? ¿Son compatibles los sucesos “aprobar lengua” y “aprobar matemáticas”?
Sol: Llamamos L al suceso “aprobar lengua” y M al suceso “aprobar matemáticas”.
Sabemos que P(L) = 0’4 y P(M) = 0’45. Sabemos también que P(L∪M) = 0’7.
Nos piden calcular: P(L∩M).
Sabemos que
15 ' 0 7 ' 0 45 ' 0 4 ' 0
) (
) ( ) ( ) (
) (
) ( ) ( ) (
=
− +
=
∪
− +
=
∩
∩ ⇒
− +
=
∪M P L P M P L M P L M P L P M P L M L
P
. Además, como P(L∩M) ≠0, concluimos que L y M son compatibles.
3)De dos sucesos A y B conocemos: P(A)=0’65, P(B)=0’35, P(A∩B)=0’5. ¿Sabrías calcular P(A'∩B')?
Sol:
5 ' 0 ] 5 ' 0 35 ' 0 65 ' 0 [ 1
)]
( ) ( ) ( [ 1 ) (
1 ] )' [(
) ' ' (
=
− +
−
=
∩
− +
−
=
∪
−
=
∪
=
∩B P A B P A B P A P B P A B A
P
4)En una fiesta de 80 alumnos, en este momento, 50 están bailando, 20 están bebiendo y 10 bailan y beben al mismo tiempo. Ayúdate de un diagrama para calcular la
probabilidad de que un alumno elegido al azar ni baile ni beba en este instante.
Sol: 0’25.
Regla o ley de Laplace
Si en un experimento aleatorio todos los sucesos elementales son equiprobables (si un espacio muestral E tiene n sucesos elementales, diremos que son equiprobables si tienen la misma probabilidad de suceder, esta probabilidad será 1/n); la probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de resultados que forman el suceso A entre el número de resultados posibles.
Casos favorables a A P(A) = --- Casos posibles
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 6 Ejemplos:
1) En el e.a del lanzamiento de un dado consideramos el suceso A: sacar par, entonces P(A) = 3/6 , ya que A = {2,4,6}.
2) Una bolsa contiene tres bolas blancas, tres bolas rojas y tres bolas verdes.
Consideremos el siguiente e.a: Extraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la bolsa. Repetimos este proceso dos veces más. ¿Cuál sería la probabilidad del suceso A :obtener tres bolas de distinto color? ¿Y la probabilidad del suceso B :obtener dos bolas rojas y una verde sin importar el orden?.
Sol:
Mediante un diagrama de árbol se ve al hacer el recuento que P(A)=6/27 y P(B)=3/27.
3)¿Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar los resultados de dos dados correctos (sin trucar)?
Sol: 1/9
4)Se lanza una moneda 3 veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos resultados iguales consecutivos y solo dos?
Sol: ½
5)Se lanzan dos dados al suelo. A que apostarías, a que la suma sea 7 o a que sea 8.
Sol: A que sea 7
6)En una urna hay 12 bolas numeradas del 1 al 12. Las 5 primeras son azules. Las 4 siguientes son verdes. Las tres últimas son rojas. Extraemos una bola al azar. Calcula las siguientes probabilidades:
• Salga verde
• No salga azul
• Salga azul y par
• Salga azul o par
• Que sea roja sabiendo que es par.
• Que sea impar sabiendo que no es verde.
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 7 Sucesos dependientes e independientes. Probabilidad condicionada
• Diremos que los sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.
Ej:
Consideramos el e.a de lanzar una moneda dos veces. Sean los sucesos: A=Obtener cara en la primera tirada. B=Obtener cara en la segunda tirada. La probabilidad de B es 0’5, independientemente de que en la primer tirada haya salido o no cara.
• Diremos que los sucesos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.
Ej:
Consideramos el e.a de extraer sin reemplazamiento dos cartas de la baraja española.
Sean los sucesos: A=Sacar oro en la primera extracción. B=Sacar oro en la 2ª
extracción. La probabilidad de B dependerá de la ocurrencia o no de A. Si en la primera extracción ha salido oro, la probabilidad de B será 9/39; pero si en la primera
extracción no ha salido oro, la probabilidad de B será 10/39.
-Cuando nos pidan calcular la probabilidad de un suceso A sabiendo que ha ocurrido otro suceso B, estaremos calculando una probabilidad condicionada.
Dados dos sucesos A y B, tales que P(B)≠0, se llama probabilidad de A condicionada a B, al cociente:
) (
) ) (
/
( P B
B A B P
A
P = ∩
A partir de esta expresión se puede hallar la probabilidad del suceso intersección de dos sucesos dependientes:
) ( )·
/ ( )
(A B P A B P B
P ∩ =
Se puede extender a 3 sucesos dependientes:
) /
( )·
/ ( )·
( )
(S1 S2 S3 P S1 P S2 S1 P S3 S1 S2
P ∩ ∩ = ∩
y en el caso en que A y B sean independientes, tendremos:
) ( )·
( )
(A B P A P B
P ∩ = ( ya que en este caso P(A/B)=P(A) ).
Se puede extender a 3 o más sucesos independientes:
)]
( )·
( )·
( ) (
[P S1 ∩S2 ∩S3 =P S1 P S2 P S3 Ejemplos:
a)Extraemos una carta. Calcula la probabilidad de que sea el rey de oros sabiendo que la carta extraída es de oros.
Sol: P(Sea el rey sabiendo que es un oro) = Casos fav/Casos posibles = 1/10
Aplicando la fórmula anterior: ( )
) ) (
/
( P O
O R O P
R
P = ∩ =
10 1 400
40 40 10 40 1
=
=
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 8 b)Lanzamos un dado, calcula la probabilidad de obtener un 4, sabiendo que obtuvimos un número par. Sol:
3 1 6 2 2 1 6 1 ) (
) 4 ) ( / 4
( = = = =
par P
ypar Par P
P
c)Lanzamos una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
4 1 2 1 2 ) 1 ( )·
( ) / ( )·
( )
(C2 ∩C1 =P C2 P C1 C2 = P C2 P C1 = ⋅ = P
indep
d)En una asamblea de 25 personas hay 12 hombres y hay 14 personas que fuman.
Observamos que 5 hombres fuman. Después de resumir los datos en una tabla contesta a lo siguiente:
Si se elige una persona al azar de la reunión, cual es la probabilidad de que esa persona:
-Sea hombre P(H)=12/25 -Sea mujer fumadora P(M∩F)=9/25 -Sea mujer o persona fumadora
P(M∪F)=P(M)+P(F)-P(M∩F)=13/25+14/25-9/25=18/25 -Ni sea mujer ni fume
P(M’∩F’)=P[(M∪F)’]=1-P(M∪F)=1-18/25= 7/25 -Fume sabiendo que es mujer
P(F/M)=9/13
-Que sea hombre sabiendo que la persona no fuma.
P(H/F’)=7/11
Ejercicios de repaso de los visto hasta ahora:
1)Consideramos el experimento aleatorio de lanzar una moneda y un dado. Sea C= sacar cara y P= sacar par. Calcular la probabilidad de sacar cara y número par.
Sol: 1/4
2)Lanzamos una moneda 3 veces. Sea Ci = sacar cara en el lanzamiento i. Calcular la probabilidad de sacar tres caras. ¿Y la de sacar dos caras y una cruz?
Sol: 1/8 ; 3/8
3)Lanzamos tres dados simultáneamente (observar que esta experiencia es análoga a la de lanzar los tres dados sucesivamente). Sea el suceso 6i = Obtener 6 en el lanzamiento del dado i.
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 9 a)Calcular la probabilidad de obtener tres 6.
b)Calcular la probabilidad de obtener algún 6.
c)Calcular la probabilidad de obtener exactamente un 6.
Sol:
a)P (61∩62∩63) = 1/216
b)P (Algún 6) = 1 – P (no obtener ningún 6) = 91/216 c)P (obtener un solo 6) = 75/216
4)En una urna hay 2 bolas verdes y 1 roja. Realizando dos extracciones con
reemplazamiento, obtener la probabilidad de que cada bola sea de un color (haz un diagrama de árbol y el equivalente con probabilidades). ¿Y la probabilidad de que las dos sean verdes?¿Y las dos rojas?
Sol: P (Una de cada color) = 4/9
P (dos verdes ) = 4/9 P (dos rojas) = 1/9
5)Consideramos el experimento de extraer 2 cartas de una baraja, sea O1= Obtener oro en la 1ª extracción, y sea C2= Obtener copa en la 2ª extracción. Calcula la probabilidad de que se verifiquen O1 y C2 .
Sol: P (O1∩C2) = 10/156
6)Extrayendo 2 cartas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 oros?
(Ten en cuenta que la extracción simultánea es equivalente a la extracción sucesiva).
Sol: P (O1∩O2) = 9/156
7)Calcula la probabilidad de que al extraer 2 cartas se obtenga una de oros y otra de copas. (Ayúdate de un diagrama de árbol).
Sol: P(Sacar un oro y una copa) = 5/39
8)Una urna tiene 5 bolas verdes y 3 rojas. Se extraen 2 bolas sin reemplazamiento.
Calcula la probabilidad de extraer primero una bola verde y después una roja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola verde y otra roja sin importar el orden? (Ayúdate con un diagrama de árbol).
Sol: P (V1∩R2) = 15/56
P (Obtener una verde y una roja) = 15/28
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 10 9)Si realizamos 3 extracciones sucesivas de una carta en una baraja, ¿cuál es la
probabilidad de obtener oro-copa-espada, en este orden?
Sol: P (O1∩C2∩E3) = 25/1482
10)De dos sucesos A y B sabemos que P(A) = 0'5 ; P(B) = 0'3 ; P(A ∩ B) = 0'1.
Calcula:
a)P(A∪B) b)P(A/B) c)P(B/A)
d)¿Son A y B compatibles o incompatibles?
e)¿Son A y B dependientes o independientes?
f)P(A'∩B')
Sol: a) 0'7 b)0'33 c)0'2 d)Compatibles e)dependientes f)0'43
11)Sean A y B dos sucesos tales que: P(A) = 0'7; P(B) = 0'6; P(A∪B) = 0'9.
a)Justifica si a y B son independientes o dependientes.
b)P (A / B') c)P (B / A')
Sol: a)Dependientes b) 0'75 c)0'6666...
12)De dos sucesos sabemos: P(A) = 0'5; P(B) = 0'4; P(A∩B) = 0'1.
Calcula:
a) P (A∪B) b) P (A'∪B') c) P (A / B) d) P (A'∩B)
Sol: a)0'8 b)0'9 c)0'25 d)0'3
13)En una urna hay 5 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas. Se saca una bola al azar.
a)Sin meter la bola en la urna se saca otra. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra? (sin reemplazamiento)
b)Se vuelve a meter en la urna y se saca otra bola. ¿Cual es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea negra? (con reemplazamiento)
c)Sin meter la bola en la urna se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
Sol: a) 2/11 b) 20/121 c) 17/55
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 11 14)Pablo y Carlos echan una partida de dardos. Sabiendo que Pablo acierta en el blanco 3 de cada 5 veces, mientras que Carlos acierta 5 de cada 8 veces. Si ambos tiran a la diana a la vez, calcula:
a)Probabilidad de que únicamente Pablo de en el blanco.
b)Probabilidad de que los dos den en elk blanco.
c)Probabilidad de que al menos uno de los dos de en el blanco.
Sol: a) 9/40 b) 3/8 c) 17/20
15)La probabilidad de que un alumno de 2º de bachillerato apruebe Matemáticas es 0'5 y la de que apruebe historia es 0'5 también. Sabiendo que la probabilidad de
aprobar historia habiendo aprobado matemáticas es de 0'3 . ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar no apruebe ninguna de las dos asignaturas? ¿Son ambos sucesos independientes? ¿Y compatibles?
Sol: Son compatibles y dependientes. P (M' ∩H') = 0'15
16)Una cadena de televisión tiene el 10% de programación infantil. Dentro de la programación infantil el 20% de los intermedios son largos. Dentro de la programación con intermedios largos el 2'5% es programación infantil. Se elige un programa al azar, calcular:
a)Probabilidad de que sea infantil y con intermedios largos.
b)Probabilidad de que tenga intermedios largos.
Sol: a) P(I∩L) = 0'02 b) P(I / L) = 0'8
17)Se estima en 0'64 la probabilidad de que un cliente pague con tarjeta en un
determinado establecimiento. En 0'22 la probabilidad de que la compra sea mayor de 50 euros. Y en 0'14 la probabilidad de que se cumplan ambas cosas. Calcula la
probabilidad de que la próxima venta:
a)No ascienda a más de 50 euros ni se pague con tarjeta.
b)Se pague con tarjeta y el importe no supere los 50 euros.
c)Ascienda a más de 50€ si se pagó con tarjeta.
Sol: a) 0'28 b) 0'5 c) 0'22
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 12 Teorema de las probabilidades totales y teorema de Bayes
Problema:
En un edificio con dos ascensores, la probabilidad de que una persona coja el ascensor A1 es 0'4 y la probabilidad de que coja el ascensor A2 es 0'6. La probabilidad de que el ascensor A1 falle es de 0'3 y la de que el ascensor A2 falle es de 0'4.
a)¿Qué probabilidad tiene una persona de que al coger el ascensor se quede averiado?
b)Supongamos que una persona se ha quedado encerrado dentro del ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que haya elegido el ascensor A1?
Solución:
Utilizando un diagrama de árbol en que reflejamos las probabilidades de los distintos sucesos, tendremos:
a) P (F) = P(A1∩F) + P(A2∩F) = P(A1)·P(F / A1) + P(A2)·P(F / A2) = = 0'4·0'3 + 0'6·0'4 = 0'12 + 0'24 = 0'36
Este es el TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
b) 0'33
24 ' 0 12 ' 0
12 ' 0 )
/ ( )·
( ) / ( )·
(
) / ( )·
( )
( ) ) (
/ (
2 2
1 1
1 1
1
1 =
= +
= +
= ∩
A F P A P A F P A P
A F P A P F
P F A F P
A
P
Este es el TEOREMA DE BAYES
En general:
El teorema de las probabilidades totales dice:
Dados n sucesos A1, A2, .... An incompatibles dos a dos, tales que E
A A
A1∪ 2 ∪...∪ n = , y un suceso cualquiera B del espacio muestral E. La probabilidad de B, llamada probabilidad total, se obtiene:
) / ( )·
( ...
) / ( )·
( ) / ( )·
( )
(B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P An P B An
P = + + +
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 13 El Teorema de Bayes afirma:
Dados n sucesos A1, A2, .... An incompatibles dos a dos, tales que E
A A
A1∪ 2 ∪...∪ n = , y un suceso cualquiera B del espacio muestral E.
Las probabilidades a posteriori P(Ai / B), se determinan mediante:
) (
) / ( )·
) ( /
( P B
A B P A B P
A
P i = i i
(se llaman probabilidades a posteriori a aquellas que se establecen con posterioridad a que se haya producido un fenómeno).
Ejemplo:
1) A) Tenemos tres bolsas de bolas: la bolsa A1 contiene 2 bolas rojas y 3 bolas negras, la bolsa A2 contiene 3 bolas R y 7 bolas N, y la bolsa A3 contiene 4 R y 4 N. Extraemos al azar una de las bolas de una de las bolsas también elegida al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que la bola extraída sea roja?
Sol:
(Nos ayudamos con un diagrama de árbol)
Tendremos:
4 ' 8 0
·4 3 1 10
· 3 3 1 5
·2 3 ) 1 (
) / ( )·
( ) / ( )·
( ) / ( )·
( ) (
) (
) (
) (
) (
3 3
2 2
1 1
3 2
1
= + +
=
→ +
+
=
→
∩ +
∩ +
∩
=
R P
A R P A P A R P A P A R P A P R P
R A P R A P R A P R P
B) Supongamos que extraemos sin mirar una bola de una de las bolsas y es roja. ¿Qué probabilidad hay de que proceda de la bolsa A1?
Sol:
Queremos calcular la probabilidad a posteriori P(A1/R):
3 1 4 ' 0
5
·2 3 1 ) / ( )·
( ) / ( )·
( ) / ( )·
(
) / ( )·
) ( / (
) (
) / ( )·
) ( / ) (
( ) ) (
/ (
3 3
2 2
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1
= + =
= +
→
=
∩ →
=
A R P A P A R P A P A R P A P
A R P A R P
A P
R P
A R P A R P
A R P
P R A R P
A P
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 14 Análogamente podemos calcular: P(A2 / R) = 1 /4 y P(A3 / R)= 5/12.
Se observa que si sumamos todas las probabilidades a posteriori se obtiene 1:
P(A1/R) + P(A2/R) + P(A3/R) = 1/3 + 1 /4 + 5/12 = 1
Ejercicios:
1)En un centro escolar, los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera entre inglés y francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudian inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos, y de los que estudian francés, son chicos el 40%. Elegido un alumno al azar,
a)¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?
b)Es una chica. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de francés?
(Utiliza un diagrama de árbol) Sol:
a) 0’69 b) 0’0869
2)Se tienen tres recipientes A, B y C. El recipiente A contiene 3 galletas de vainilla y 2 de chocolate, el B contiene 3 de chocolate y 2 de vainilla, y el C contiene 2 de chocolate y 1 de vainilla. Se elige un recipiente al azar y se coge una galleta también al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de chocolate?
Sol: 5/9
3)En un carrera de cross hay dos posibles caminos al llegar a una bifurcación; el primero lo eligen el 45% de los ciclistas y el resto elige el segundo. La probabilidad de no llegar a meta tomando el primer camino es del 5%, mientras que la de no llegar por el segundo es del 8%. Si en una carrera cierto ciclista no llega a la meta, calcula la probabilidad de que haya escogido el primer camino.
Sol: 0’338
4)En una ciudad en la que existe doble número de hombres que de mujeres hay una epidemia. El 6% de los hombres y el 11% de las mujeres están enfermos. Se elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:
a)Sea hombre b)Esté enferma c)Sea hombre, sabiendo que está enfermo.
Sol: a) 2/3 b) 0’076 c) 0’478
IES África Matemáticas CCSS II Enrique Jaén Curso 2016-17 15 5)En un armario hay 5 rifles con visor telescópico y 7 sin él. La probabilidad de hacer blanco con un rifle con visor es de 0’9 y la de hacer blanco con un rifle sin visor es de 0’6. Halla la probabilidad de hacer diana con un rifle elegido al azar.
Sol: 0’725
6)Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad. De tal manera que la 2ª línea cuenta con la mitad de autobuses que la primera, y la 3ª línea solo tiene la sexta parte de autobuses que la primera. Se sabe que el porcentaje de autobuses que se avería en cada línea es del 2%, 4% y 1% respectivamente.
Sabiendo que un autobús ha sufrido una avería. ¿Calcula la probabilidad de que sea de la primera línea.
Sol: 0’48
7)El 8% de los individuos de cierta población padece una determinada enfermedad. Para detectar la enfermedad se realiza una prueba que no es totalmente fiable. Los individuos que la padecen dan positivo en la prueba el 93% de los casos, y los individuos sanos dan negativo el 94% de los casos. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le dio positivo?
Sol: 0’43
8)En una fábrica hay tres máquinas de producción responsables de la fabricación de los artículos. La máquina A produce el 60% de los productos con un porcentaje de
desperfectos del 2%. La máquina B produce el 30% y falla un 3%. La máquina C se ocupa del 10% teniendo un porcentaje de desperfectos del 4%. El control de calidad de la empresa selecciona un artículo al azar y resulta defectuoso. ¿Cua´l es la probabilidad de que lo haya producido la máquina C?
Sol: 0’16
