FUNDAMENTOS
SISTEMAS DE UNIDADES
“Cualquier cantidad física se caracteriza mediante dimensiones, y las magnitudes asignadas a las dimensiones se llaman unidades. Algunas dimensiones básicas - como masa m, longitud L, tiempo t y temperatura T – se seleccionan como dimensiones primarias o fundamentales.
Mientras que otras – velocidad v, energía E y volumen V – se expresan en términos de las dimensiones primarias y se llaman dimensiones secundarias. Actualmente están en vigencia dos sistemas de unidades, el Sistema Inglés (USCS) y el Sistema Internacional o Métrico (SI). El sistema de unidades SI es un sistema simple y lógico basado en una relación decimal entre las distintas unidades que se usa oficialmente en la mayoría de países, a excepción de USA e Inglaterra. El sistema inglés no tiene base numérica sistemática evidente y la relación de sus unidades es arbitraria por lo tanto es un sistema más confuso” [1], sin embargo es importante estar familiarizado con éste debido a que Inglaterra y USA son principales productores de tecnología y de literatura que usan este sistema.
La industria exige contar con parámetros de control para los procesos y para los productos que sean comunes, con el fin de que la comercialización se realice de forma imparcial con prioridad en la calidad del producto o servicio. El comercio exterior entre los países, dio origen a la norma internacional para la industria ISO (Organización Internacional de Normalización) (del griego ἴσος, «isos», que significa «igual») esta se conforma por interés comercial de varios países en 1947. El sistema de normalización de la ISO está constituida por las normas, principalmente de las norma de países como: Alemania, Francia, Italia, España, entre otras.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Las unidades de dimensiones primarias en el SI son 7, de cuya combinación se derivan todas las unidades derivadas de dimensiones secundarias (Ver Tabla 1).
Tabla 1. Dimensiones fundamentales y sus unidades en SI.
Magnitud Símbolo Unidad Abreviación
Longitud L metro m
Masa M kilogramo kg
Tiempo T segundo s
Corriente eléctrica I ampere A
Temperatura absoluta T kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia X mol mol
Estas dimensiones primarias se combinan para dar las dimensiones secundarias, nosotros usaremos principalmente las listadas en la Tabla 2.
En el SI todos los nombres de unidades se escriben con minúscula, y sus abreviaturas también se escriben en minúscula a excepción de las provengan de un nombre propio como el Newton que se abrevia N. Los nombres de unidades tienen plural pero no sus abreviaturas. [2]
Tabla 2. Algunas magnitudes y sus unidades SI que usaremos en Ciencia de los Materiales
Magnitud Símbolo Unidades Base Unidades
Longitud L, l m m
Masa M kg kg
Área A, S m2 m2
Volumen V m3 m3
Tiempo T s s
Aceleración A m/s2 m/s2
Fuerza F kg m/s2 N
Esfuerzo N/m2 Pa
Presión P N/m2 Pa
Módulo de elasticidad E N/m2 Pa
Conductividad térmica k Kg m/(s K) ó J/(s K m) W/m K
Conductividad eléctrica A2 s3/(kg m2)óS/m S/m
Densidad kg/m3 kg/m3
Número de Avogadro NA 1/mol mol-1
Masa molar Mw kg/mol kg/mol
Elongación o deformación m/m adimensional
Fracción Peso de i (p/p) wi g/g adimensional
Fracción Volumen de i (v/v) fi m3/m3 adimensional
Fracción Molar de i xi mol/mol adimensional
PREFIJOS DEL SI
En el SI usualmente se anteponen prefijos a las unidades para lograr tener magnitudes fáciles de manejar cuando su orden de magnitud es muy grande o pequeño con respecto a la unidad SI definida. Entre las unidades del SI y los prefijos usados hay una relación decimal para expresar los múltiples de las distintas unidades, que se resume en la Tabla 3.
Tabla 3. Prefijos en el SI
Múltiplos Prefijo Abreviación
1012 tera T
109 giga G
106 mega M
103 kilo k
102 hecto h
101 deca da
100 - -
10-1 deci d
10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro
10-9 nano n
10-12 pico p
Cualquier unidad del SI puede usar prefijo, por ejemplo la longitud se mide en m en SI y uno de los prefijos comúnmente usado en la vida cotidiana es el de centi que indica que hay 102 cm en 1 metro o lo que es igual hay 10-2 m en 1 cm. Esto es equivalente para algunas unidades como:
1 cm = 10-2 m
1 centiPascal = 1 cPa = 10-2 Pa 1 centiNewton = 1 cN = 10-2 N
Sin embargo, para unidades de volumen o área, la Tabla 3 se usa de manera diferente:
1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m3
En este curso los prefijos serán de utilidad en diversas aplicaciones. Por ejemplo, los radios atómicos que consultaremos en las tablas periódicas normalmente se expresan en unidades de nanómetros (nm) o picometros (pm) debido a que son longitudes muy pequeñas en relación a la unidad primaria del SI (metros). Sin embargo, los radios atómicos pueden también reportarse usando cualquiera de los prefijo del SI, pero es menos común y práctico. Por otro lado, los esfuerzos mecánicos que se aplican sobre los materiales en operaciones de conformado en la industria usualmente son del orden de 109 Pa (Pascal es la unidad SI secundaria que mide esfuerzo) por ello es más fácil expresarlo en GPa o MPa. Estos prefijos facilitan las operaciones numéricas en algunos casos. Es importante aprender y entender cómo se usan los prefijos del SI y que significan, para tener sindéresis en el uso de las cantidades que se usan en ingeniería y considerar los órdenes de magnitud adecuadamente.
A continuación se presentan ejemplos de uso de prefijos del SI y el uso de la Tabla 3:
Ejemplo 1: Un átomo de hierro tiene un radio atómico de 126 pm (picometros) ¿a cuántos metros equivale esta medida?
Los radios atómicos son datos que se pueden encontrar en la tabla periódica y que miden longitud.
En el SI la longitud se mide en metros (m), sin embargo, los radios atómicos son cantidades muy pequeñas (del orden de 0,000000000005 m) y por ello normalmente se expresan usualmente en las tablas periódicas en picómetros, micrómetros o nanómetros ya que el número a reportar tendrá así menos dígitos pero expresan la misma cantidad. Analizando este caso en relación a la Tabla 3, metros corresponde al múltiplo 100 (es decir la unidad SI base), y para expresar esta cantidad usando prefijos el SI debemos usar los múltiplos indicados en la Tabla 3. Los prefijos indican a cuantos órdenes de magnitud equivale el prefijo en relación a la unidad SI base. Se debe tener muy claro cómo se usan estos prefijos para lograr resolver este ejercicio, si queremos saber a cuantos metros equivalen 126 pm debemos:
126 𝑝𝑚 10−12 𝑚
1 𝑝𝑚 = 126 × 10−12 𝑚
La división se refiere a los valores que tomamos de la Tabla 3, que indica que 1 pm = 10-12 m.
verifique en su calculadora que usted sabe cómo hacer esta operación.
Si queremos obtener el equivalente de esta medida usando el prefijo micro:
126 𝑝𝑚 10−12 𝑚 1 𝑝𝑚
1 𝜇𝑚
10−6 𝑚= 126 𝑝𝑚 10−6 𝜇𝑚
1 𝑝𝑚 = 0,000126 𝜇𝑚
Ejemplo 2: Un átomo de hierro tiene un radio atómico de 126 pm, mientras que el radio atómico del cromo es 0,128 nm (nanómetros) ¿Cuál es la suma de ambos radios?
Es importante tener en cuenta que es necesario tener las mismas unidades y prefijos para poder sumarlas (Leer Homogeneidad Dimensional). Para ello cambiaremos pm a nm:
126 𝑝𝑚 10−12 𝑚 1 𝑝𝑚
1 𝑛𝑚
10−9 𝑚= 126 𝑝𝑚 10−3 𝑛𝑚
1 𝑝𝑚 = 0,126 𝑛𝑚
Y ahora si puedo sumar los radios atómicos: 0,126 nm + 0,126 nm = 0,254 nm
Ejemplo 3: Explique porque tener una memoria USB de capacidad de 1 TB es mejor que de 1 B.
Es mejor porque 1B << 1TB, ya que 1012 B = 1 TB.
Es importante entender el signo del exponente en el uso del prefijo ya que es aquí donde se presenta las mayores confusiones en los estudiantes. Por ejemplo, 1 m es mayor que 1 m, entonces se requieren de varios m para tener el equivalente a 1 m o de menos de 1m para tener un m. Por esto 1 m = 106 m que es equivalente a 10-6 m = 1 m. Debe tener en cuenta que la Tabla 3 indica solamente 1 prefijo a cuantas unidades SI equivale (es decir la segunda opción y no al revés).
Para poder hacer estas operaciones asegúrese de entender cómo funciona su calculadora y debe tener claras las reglas de operación de exponenciales.
Reglas de operación de exponentes:
𝑛𝑥 𝑛𝑦 = 𝑛(𝑥+𝑦)
𝑛𝑥
𝑛𝑦 = 𝑛(𝑥−𝑦) (𝑛𝑥)𝑦 = 𝑛(𝑥𝑦)
𝑛0 = 1 𝑛−𝑥 = 1
𝑛𝑥
SISTEMA INGLÉS
En el sistema ingles algunas de las unidades se presentan en la Tabla 4. En Colombia y en países colonizados por el Reino Unido, este sistema aún es aplicado en la industria, se emplea en la notación dimensional, en la aplicación de normas y en la referenciación industrial de productos y materiales
Tabla 4. Unidades en el sistema inglés
Magnitud Símbolo Unidades Inglesas
Longitud L pie (ft)
Masa M libra-masa (lbm)
Tiempo T segundo (s)
Fuerza F libra-fuerza (lbf)
F
FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES Longitud
La longitud es una magnitud física que mide distancia.
Factores de Conversión de Unidades de Longitud 1 in = 2,54 cm
1 Å= 1 x 10-10 m 1 yd = 0,9144 m 1 ft = 0,3048 m
La unidad de longitud llamada ångström (Å) es usada para magnitudes de longitud pequeñas como las encontradas en longitudes de onda, distancias atómicas y distancias moleculares, no es una unidad del SI ni inglés.
Área
El área es una medida de superficie y para este curso es importante saber cómo calcular las áreas de figuras geométricas. El área es una dimensión secundaria derivada de la longitud, por esto al saberse los factores de conversión de unidades de longitud y los prefijos del SI es posible deducir los factores de conversión de unidades de volumen. Por ejemplo:
Si sabemos que 1 in = 2,54 cm, entonces si queremos saber 1 in2 a cuantos cm2 equivale:
1 in2 = 12 in2 = (1 in)2 = (2,54 cm)2 = 6,4516 cm3 Otro ejemplo:
1 nm2 = 12 nm2 = (1 nm)2 = (10-7 cm)2 = 10-14 cm2
Ejemplo: calcule el área perpendicular a la fuerza F (ver figura) para un cilindro de 10 cm de alto y de 5 cm de radio.
El área perpendicular a la fuerza es la que forma un ángulo de 90° con el vector, en este caso es el área de un círculo.
𝐴 = 𝜋 𝑟2
𝐴 = 𝜋 (0,025 𝑚)2 = 0,0020 m2
Ejemplo: Calcule el área perpendicular a la fuerza F, en m2, del prisma de dimensiones de 25 cm x 25 cm x 75 cm.
El área a calcular se muestra en gris en la figura:
𝐴 = (25 𝑐𝑚)(75 𝑐𝑚) = 1875 𝑐𝑚2 Para cambiar de cm2 a m2:
1875 𝑐𝑚2 ( 1 𝑚 100 𝑐𝑚)
2
= 0,1875 𝑚2
Ejemplo: Calcule el área perpendicular a la fuerza F, en nm2, del prisma de dimensiones 25 cm x 28 cm x 75 cm.
En este caso la superficie normal a la fuerza difiere de la anterior:
𝐴 = (25 𝑐𝑚)(28 𝑐𝑚) = 700 𝑐𝑚2 Para cambiar de cm2 a nm2:
0,0700 𝑚2 ( 1 𝑛𝑚 10−9 𝑚)
2
= 7 × 1016 𝑛𝑚2
Verifique que sabe hacer esta operación en su calculadora.
Volumen
El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo, es una magnitud escalar derivada de la longitud, por esto al saberse los factores de conversión de unidades de longitud y los prefijos del SI es posible deducir los factores de conversión de unidades de volumen.
La unidad SI del volumen es el m3 mientras que en unidades inglesas es el ft3. El litro (l) es una unidad común para medir volumen a la cual también se le aplican prefijos del SI.
Factores de Conversión de Unidades de Volumen 1 ml = 1 cm3
1 l = 1000 ml 1 in3 = 16,39 cm3
Ejemplo: Una esfera tiene un diámetro de 5 cm, calcule su volumen en dm3.
Es importante conocer las ecuaciones para calcular el volumen de sólidos regulares, que en el caso de una esfera es:
F
F
𝑉 =4 3 𝜋𝑟3 𝑉 =4
3 𝜋 (25 𝑐𝑚)3 = 65,4498 𝑐𝑚3 Para cambiar de prefijo, cm3 a dm3: 64,4498 𝑐𝑚3 (10−1 𝑚
1 𝑑𝑚 )
2
= 6,4450 𝑚2
Masa
La masa es una medida de la cantidad de materia de un cuerpo, hay diferentes instrumentos de medición de masa. La balanza es un instrumento que sirve para medir la masa de los objetos por comparación usando un patrón de masa, los resultados obtenidos con este instrumento no varían con la magnitud de la gravedad. El rango de medida y precisión de una balanza puede variar desde varios kilogramos (con precisión de gramos) en balanzas industriales y comerciales; hasta unos gramos (con precisión de miligramos) en balanzas de laboratorio.
Las unidades de masa en el sistema inglés es la libra (lbm) y en el SI es el gramo (g).
Factores de Conversión de Unidades de Masa 1 lbm = 0,45359 kg
1 kg = 2,20462 lb 1 Ton = 1000 kg
Mol
Mol es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia. El número de Avogador (NA) relaciona cuantos átomos o moléculas hay en 1 mol de sustancia:
1 mol = 6,022 x 1022 átomos Masa Molecular
La masa molecular (Mw) relaciona la cantidad de moles que hay en 1 g de masa de algún compuesto o elemento.
𝑀𝑤 = 𝑛 𝑚
Dónde: Mw es la masa molecular de la sustancia, n son moles y m es la masa.
Fuerza
La fuerza (F) es una cantidad vectorial que se define como:
F = m a Dónde: m es la masa del cuerpo y a la aceleración.
En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la fuerza se define a partir de la masa y la aceleración y por eso en este sistema la fuerza es una magnitud derivada. En el SI la fuerza se mide en newton (N), que se define como la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s² a un objeto de 1 kg de masa. Las unidad de fuerza en el sistema inglés es la libra fuerza (lbf) definida como la fuerza gravitacional ejercida sobre una masa de 1 lbm (libra masa) en la tierra. La constante de aceleración de la fuerza de gravedad de la Tierra es aproximada a 9,81 m/s² en SI o 32,16 ft/s² en sistema inglés.
El kilopondio (kp) o kilogramo-fuerza (kgf) es la unidad de fuerza en el Sistema Técnico de Unidades (diferente del SI y del inglés). Se define como es la fuerza ejercida sobre una masa de 1 kg (según se define en el SI) por la gravedad estándar en la superficie terrestre, esto es 9,81 m/s2.
Factores de Conversión de Unidades de Fuerza 1N = 1 kg m/s2
1 lbf = 4,448222 N 1 kgf = 9,80665 kg m/s2 1 kp = 1 kgf = 9,81 N 1 lbf = 32,174 lbm 1 lbf = 4,448222 N 1 lbm = 0,45359 kgf 1 lbf = 0,45359 kgf
Peso
Cuando la aceleración es igual a la fuerza gravitacional local (9,81 m/s2 en la tierra) la fuerza se denomina peso. Es importante tener en cuenta que la masa de un cuerpo no cambia con la gravedad pero si su peso, por eso los cuerpos tienen menos peso en la luna que en la tierra aunque tengan la misma masa, ya que la gravedad de la luna es 1/6 de la de la tierra.
“La báscula de muelle elástico y el dinamómetro son instrumentos para medir el peso mediante la deformación elástica de un resorte que soporta la acción gravitatoria de dicho objeto a medir, en lugar de realizar una comparación de masas como en la balanza. Los resultados de las mediciones de báscula de muelle elástico y el dinamómetro varían con la magnitud de la gravedad, por lo tanto la lectura de peso de un cuerpo en la tierra y en la luna diferirían. Estos dispositivos son los más comúnmente usados en la vida cotidiana (báscula de baño, de supermercado, de camiones, etc) pero a pesar de que miden directamente el peso, estos dispositivos indicanla masa calculada indirectamente.”
Las unidades y sus factores de conversión para el peso son las mismas que para la fuerza.
Presión
La presión (P) es la fuerza que ejerce un fluido por unidad de área perpendicular1 a la fuerza aplicada, en los sólidos la contraparte de la presión es el esfuerzo (). La presión o esfuerzo se definen como:
𝜎 = 𝐹 𝐴
donde: es la presión o esfuerzo, F es la fuerza y A es el área perpendicular1 a la fuerza aplicada.
En unidades SI la presión se mide en pascales (Pa) que es una unidad derivada, 1 Pa = 1N/m2, y es muy común usar los prefijos del SI MPa y GPa en usos industrialed. En sistema inglés la unidad es el psi (lbf / in2).
Factores de Conversión de Unidades de Presión 1 Pa = 1N/m2
1 psi = lbf / in2 1 psi = 6894,75 Pa 0,000145 psi = 1 Pa 1 ksi = 1000 psi
Ejemplo: un estudiante que pesa 58 kgf se sienta sobre una silla que tiene dimensiones 25 cmx 25 cm x 55 cm (Ver Figura). ¿Qué esfuerzo soporta la silla en Pa?
El Pa es una unidad derivadaequivalente a 1 N/m2, por esto es necesario cambiar la fuerza a unidades SI:
𝐹 = 58 𝑘𝑔𝑓 9,81 𝑁1 𝑘𝑔𝑓 = 568,9800 𝑁
El área perpendicular a F se ilustra en gris:
𝐴 = (25 𝑐𝑚)(25 𝑐𝑚) ( 1 𝑚 100 𝑐𝑚)
2
= 0,0625 𝑚2
El esfuerzo se calcula como:
𝜎 = 568,98 𝑁
0,0625 𝑚2 = 9013,68 𝑃𝑎
1 Perpendicular: que la dirección de la fuerza forma un ángulo de 90° con la superficie a la cual se está aplicando la fuerza. Perpendicular es sinónimo de área normal o sección transversal.
F
F
Ejemplo: un estudiante con una masa de 58 kg se sienta sobre una silla que tiene dimensiones 25 cm x 25 cm x 75 cm (Ver figura). ¿Qué esfuerzo soporta la silla en MPa?
El ejercicio menciona la masa, pero necesitamos calcular el peso:
𝐹 = 𝑚 𝑎
𝐹 = (58 𝑘𝑔) (9,81𝑚𝑠2) = 568,9800 𝑁
En este caso la superficie normal a la fuerza difiere de la anterior:
𝐴 = (25 𝑐𝑚)(75 𝑐𝑚) ( 1 𝑚 100 𝑐𝑚)
2
= 0,1875 𝑚2
El esfuerzo es:
𝜎 = 598,98 𝑁
0,1875 𝑚2 = 3194,5600 𝑃𝑎
Si queremos expresar el esfuerzo en MPa:
3194,5600 𝑃𝑎 10−6 𝑀𝑃𝑎
1 𝑃𝑎 = 0,0032 𝑀𝑃𝑎
Ejemplo: se tiene un material de forma cilíndrica (ver figura) con un diámetro de 5 cm y una altura de 10 cm, al que se le aplica una fuerza (F) de 10 N para estirarlo. ¿Cuál es el área perpendicular a la fuerza F? ¿Cuál es el esfuerzo que se ejerce sobre el cilindro, en Psi?
El área perpendicular a la fuerza es al que forma un ángulo de 90° con el vector, en este caso es el área de un círculo.
𝐴 = 𝜋 𝑟2
𝐴 = 𝜋 (0,025 𝑚)2 = 0,0020 m2
El esfuerzo que se ejerce sobre el cilindro para estirarlo es:
𝜎 =𝐹 𝐴 𝜎 = 10 𝑁
0,0020 𝑚2 = 5000 𝑃𝑎 Si se requiere la respuesta en psi:
F
5000 𝑃𝑎 1 𝑝𝑠𝑖
6894,75 𝑃𝑎= 0,752 𝑝𝑠𝑖
Densidad
La densidad es la cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia, es una propiedad intensiva (no depende de la cantidad de materia que tiene el cuerpo) y se simboliza con la letra griega La densidad se define como:
𝜌 =𝑚 𝑣 Dónde: m es la masa y V el volumen del cuerpo.
Hay varios métodos para medir densidad que consisten en estimar de alguna forma la masa del elemento y su volumen, y la densidad se calcula a partir de la relación entre estas cantidades.
Factores de Conversión de Unidades de Densidad 1 g/cm3 = 1 g/ml
1 g/ml = 1000 kg/m3 1 g/cm3 = 1000 kg/l 1 lbm/in3 = 27,68 g/cm3
Ejemplo: se tiene una muestra de madera que pesa 58 kgf con dimensiones 25 cm x 25 cm x 75 cm. ¿Qué densidad tienen la muestra en kg/m3?
Para calcular la densidad debemos conocer la masa, pero el ejercicio nos da la fuerza en kgf por ello lo primero es cambiarla a unidades SI:
𝐹 = 58 𝑘𝑔𝑓 9.81 𝑁1 𝑘𝑔𝑓 = 568,98 𝑁
Si sabemos que 𝐹 = 𝑚 𝑎, podemos calcular la masa:
𝑚 = 568,98 𝑁
9,81 𝑚/𝑠2 = 58 𝑘𝑔
𝐴 = (25 𝑐𝑚)(25 𝑐𝑚)(75 𝑐𝑚) ( 1 𝑚 100 𝑐𝑚)
3
= 0,0469 𝑚3
La densidad es 𝜌 =𝑚𝑣:
𝜌 = 58 𝑘𝑔
0,0469 𝑚3 = 1236,6738 𝑘𝑔/𝑚3
COMPOSICIÓN DE MEZCLAS
“Una sustancia es una forma de materia que tiene una composición definida (constante) y propiedades características. Una mezcla es una combinación de dos o más sustancias en la cual la sustancia conserva sus propiedades características. Estas no tienen una composición constante, como por ejemplo los materiales compuestos. Las mezclas pueden ser homogéneas – si la composición de la mezcla es la misma en toda disolución – o por el contrario heterogéneas.
Cualquier mezcla se puede separar en sus componentes puros por medios físicos sin cambiar las propiedades de sus componentes”. [4] Como una mezcla tienen varios componentes es necesario expresar las proporciones de dichos componentes en la mezcla para esto se usan porcentajes o fracciones. Sin embargo, el contenido de un componente en una mezcla puede determinarse en varias unidades y por eso surgen varias fracciones: masa, peso o molar.
Fracción masa, fracción volumen y fracción mol: [3]
Considere una mezcla general de N componentes (ver figura), cada uno de los cuales es una sustancia pura, de modo que la masa total, el volumen total y el número de moles totales son:
𝑚𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 = ∑𝑁𝑖=1𝑚𝑖 = 𝑚1+ 𝑚2+ ⋯ + 𝑚𝑁
𝑣𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= ∑ 𝑣𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑣1+ 𝑣2+ ⋯ + 𝑣𝑁
𝑛𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 = ∑ 𝑛𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑛1+ 𝑛2+ ⋯ + 𝑛𝑁
Donde:
mi: masa del componente i en la mezcla vi: volumen del componente i en la mezcla ni: moles del componente i en la mezcla.
i: cada uno de los componentes de la mezcla desde 1 hasta N
La ecuación para el volumen total no es válida para líquidos y gases ya que la suma del volumen no se conserva en todos los casos. La suma de los volúmenes se considera aditiva solo para líquidos incompresibles o sólidos. Esta segunda ecuación no es válida en todos los casos.
Por lo genera la mezcla se describe por su concentración, fracción o porcentaje que se llaman de acuerdo a la unidad de medida que se exprese. En la Tabla 5 se presentan algunas de las fracciones más usadas.
Componente 1: n1, m1, v1
Componente 2: n2, m2, v2 Componente 3: n3, m3, v3
. . .
Componente N: nN, mN, vN
Tabla 5. Fracciones y porcentajes de mezclas más usados
Fracción Porcentaje (%)
Fracción masa o Fracción peso/peso (w):
𝑤𝑖 = 𝑚𝑖
∑𝑁𝑖=1𝑚𝑖 Donde:
mi: masa del componente i en la mezcla
i: cada uno de los componentes de la mezcla desde i desde 1 hasta N
Porcentaje peso/peso (%w/w):
% 𝑤/𝑤 = 𝑚𝑖
∑𝑁𝑖=1𝑚𝑖 ∙ 100
% 𝑤/𝑤 = (𝑤𝑖) ∙ 100
Fracción volumen/volumen (f):
𝑓𝑖 = 𝑣𝑖
∑𝑁𝑖=1𝑣𝑖 Donde:
vi: volumen del componente i en la mezcla
i: cada uno de los componentes de la mezcla desde 1 hasta N
Porcentaje volumen/volumen (%v/v):
% 𝑣/𝑣 = 𝑣𝑖
∑𝑁𝑖=1𝑚𝑖 ∙ 100
% 𝑣/𝑣 = (𝑓𝑖) ∙ 100
Fracción molar (x):
𝑥𝑖 = 𝑛𝑖
∑𝑁𝑖=1𝑛𝑖 Donde:
ni: moles del componente i en la mezcla.
i: cada uno de los componentes de la mezcla desde 1 hasta N
Porcentaje mol/mol (%mol/mol):
% 𝑚𝑜𝑙/𝑚𝑜𝑙 = 𝑛𝑖
∑𝑁𝑖=1𝑛𝑖 ∙ 100
% 𝑚/𝑚 = (𝑥𝑖) ∙ 100
Estas concentraciones de componentes en una mezcla se relacionan entre sí, es decir los factores de conversión que se requieren para convertir de una de estas unidades de concentración a otra se requiere conocer la densidad o el peso molecular de cada especie i y de la mezcla:
Propiedades del Componente i en la Mezcla 𝜌𝑖 = 𝑚𝑖
𝑣𝑖
i: densidad de la sustancia i en la mezcla vi: volumen del componente i en la mezcla mi: masa del componente i en la mezcla i: componentes de la mezcla desde 1 hasta N
𝑀𝑤𝑖 = 𝑛𝑖 𝑚𝑖
Mwi: peso molecular de la sustancia i en la mezcla.
ni: moles del componente i en la mezcla.
mi: masa del componente i en la mezcla
Propiedades de la Mezcla 𝜌𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= 𝑚𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎
𝑣𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 𝜌𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= ∑𝑁𝑖=1(𝑚𝑖)
𝑣𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 𝜌𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= ∑𝑁𝑖=1(𝑣𝑖 𝜌𝑖)
𝑣𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 Si sabemos que: 𝑓𝑖 = 𝑣 𝑣𝑖
𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎
𝜌𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= ∑(𝑓𝑖 ∙ 𝜌𝑖)
𝑁
𝑖=1
mezcla: densidad de la mezcla
i: densidad de la sustancia i en la mezcla vi: volumen del componente i en la mezcla mi: masa del componente i en la mezcla i: componentes de la mezcla desde 1 hasta N
𝑀𝑤𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= 𝑚𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 𝑛𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎
𝑀𝑤𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= ∑𝑁𝑖=1(𝑛𝑖∙ 𝑀𝑤𝑖) 𝑛𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎
𝑀𝑤𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= ∑(𝑥𝑖∙ 𝑀𝑤𝑖)
𝑁
𝑖=1
Mwmezcla: peso molecular de la mezcla.
Mwi: peso molecular de la sustancia i en la mezcla.
Es posible convertir las fracciones de una base a otra usando las ecuaciones anteriores, esto es importante porque la materia prima que venden en la industria puede reportar especificaciones en diferentes unidades de concentración o dependiendo del material es más fácil calcular una fracción u otra.
Para pasar de una fracción molar a másica:
𝑤𝑖 = 𝑚𝑖
𝑚𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= 𝑛𝑖 ∙ 𝑀𝑤𝑖
∑𝑁𝑗=1(𝑛𝑗∙ 𝑀𝑤𝑗) = (𝑛𝑖∙ 𝑀𝑤𝑖)/𝑛𝑡𝑜𝑡
∑𝑁𝑗=1(𝑛𝑗∙ 𝑀𝑤𝑗)/𝑛𝑡𝑜𝑡 = 𝑥𝑖 ∙ 𝑀𝑤𝑖
∑𝑁𝑗=1(𝑥𝑗∙ 𝑀𝑤𝑗) Para pasar de una fracción másica a molar:
𝑥𝑖 = 𝑛𝑖
𝑛𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= 𝑚𝑖/𝑀𝑤𝑖
∑𝑁𝑗=1(𝑚𝑗/𝑀𝑤𝑗) = (𝑚𝑖/𝑀𝑤𝑖 )/𝑚𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎
∑𝑁𝑗=1(𝑚𝑗/𝑀𝑤𝑗)/𝑚𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 = 𝑤𝑖/𝑀𝑤𝑖
∑𝑁𝑗=1(𝑤𝑗/𝑀𝑤𝑗) Para pasar de una fracción másica a volumétrica:
𝑓𝑖 = 𝑣𝑖
𝑣𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= 𝑚𝑖/𝜌𝑖
𝑚𝑡𝑜𝑡/𝜌𝑡𝑜𝑡 = 𝑚𝑖/𝜌𝑖
∑𝑁𝑗=1(𝑚𝑗/𝜌𝑗)= (𝑚𝑖/𝜌𝑖)/𝑚𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎
∑𝑁𝑗=1(𝑚𝑗/𝜌𝑗)/𝑚𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= (𝑤𝑖/𝜌𝑖)
∑𝑁𝑗=1(𝑤𝑗/𝜌𝑗) Para pasar de una fracción volumétrica a másica:
𝑤𝑖 = 𝑚𝑖
𝑚𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= 𝑣𝑖∙ 𝜌𝑖
𝑣𝑡𝑜𝑡∙ 𝜌𝑡𝑜𝑡 = 𝑣𝑖 ∙ 𝜌𝑖
∑𝑁𝑗=1(𝑣𝑗∙ 𝜌𝑗) = 𝑣𝑖 ∙ 𝜌𝑖/𝑣𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎
∑𝑁𝑗=1(𝑣𝑗 ∙ 𝜌𝑗)/𝑣𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎= (𝑓𝑖 ∙ 𝜌𝑖)
∑𝑁𝑗=1(𝑓𝑗 ∙ 𝜌𝑗) La suma de las fracciones de los componentes de una mezcla siempre debe sumar 1.
∑ 𝑓𝑖 = 1
∑ 𝑤𝑖 = 1
∑ 𝑥𝑖 = 1
Ejemplo: se tiene una muestra de un material compuesto por 10 g de alúmina (Al2O3) y 90 g de cobre ¿Qué concentración de cada componente tiene la muestra?
Hay varias unidades para expresar concentración, así que lo haremos en varias para explicar cómo es el cambio de estas unidades:
En esta muestra tenemos dos componentes i en la muestra: alúmina y cobre.
La fracción peso de alúmina (walúmina) es:
𝑤𝑎𝑙ú𝑚𝑖𝑛𝑎 = 10 𝑔 𝑎𝑙ú𝑚𝑖𝑛𝑎
100 𝑔 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 = 0,1 𝑔 𝑎𝑙ú𝑚𝑖𝑛𝑎 1 𝑔 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 La masa de la muestra es 90 g cobre + 10 g alúmina = 100 g muestra.
Si tenemos una fracción de 0,1 de alúmina y solo dos componentes, eso quiere decir que el resto de la fracción para completar la unidad es la fracción de cobre. Se puede calcular por diferencia:
𝑤𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 1 − 𝑤𝑎𝑙ú𝑚𝑖𝑛𝑎 = 0,9 𝑔 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 1 𝑔 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 O se puede calcular análogamente al cálculo de la wcobre:
𝑤𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 10 𝑔 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
100 𝑔 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 = 0,9 𝑔 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 1 𝑔 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
A partir de las fracciones peso (walúmina y wcobre) podemos calcular fácilmente los % peso/peso de cada componente i de la mezcla al multiplicar por 100. En este caso la muestra tiene 90%
peso/peso de cobre y 10% peso/peso de alúmina.
Tarea: calcular fi y %volumen/volumen de esta muestra considerando lo siguiente: alúmina = 3,95 g/cm3 y cobre = 8,5 g/cm3.
Ejemplo: Un material compuesto de un polímero con alambres de cobre (ver figura), tiene en total 20 alambres cada uno de diámetro de 0,6 cm por 15 cm de largo ¿Cuál es la fracción volumen de polímeros?
La definición de fracción volumen es: 𝑓𝑖 =𝑣𝑣𝑖
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Para calcular la fracción volumen de polímero y de cobre, debo calcular el volumen total del material:
𝑣𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (10 𝑐𝑚)(15 𝑐𝑚)(5 𝑐𝑚) = 750 𝑐𝑚3
Y los volúmenes de cada componente i: polímero y cobre. El volumen de los alambres se calcula con geometría de un cilindro por el número de cilindros:
𝑣𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒= (2 𝜋 𝑟2𝐿 )(20 𝑎𝑙𝑎𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠)
𝑣𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒= 2𝜋 (0,3 𝑐𝑚)2(15 𝑐𝑚)(20 𝑎𝑙𝑎𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠) = 169,6460 𝑐𝑚3 𝑣𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑣𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜− 𝑣𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝑣𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜= 750 𝑐𝑚3− 169,6460 𝑐𝑚3 = 580,3540 𝑐𝑚3 Ahora las fracciones volumen de cada componente:
𝑓𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒= 169,6460 𝑐𝑚3
750 𝑐𝑚3 = 0,2262 𝑓𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜 = 1 − 0,2262 = 0,7738
Si se quiere calcular el porcentaje volumen/volumen de cada componente en el material, es necesario multiplicar por 100 las fracciones: 22,62%v/v de cobre y 77,38%v/v de polímero. Si observa, los porcentajes deben sumar 100% mientras que las fracciones de todos los componentes siempre deben sumar 1.
Ejemplo: Calcule las fracciones masa (wi) de los componentes de cada componente para el material del ejercicio anterior si la densidad del cobre 8,96 g/cm3 es y la del polímero es 0,97 g/cm3.
Para resolver este ejercicio hay varias formas, una de ellas es mirando las ecuaciones para pasar de una fracción volumétrica a másica:
𝑤𝑖 = (𝑓𝑖 ∙ 𝜌𝑖)
∑𝑁𝑗=1(𝑓𝑗 ∙ 𝜌𝑗)
En este caso, la ecuación para cada componente se reemplaza de la siguiente manera:
𝑤𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 𝑓𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 𝜌𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒
𝑓𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 𝜌𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒+ 𝑓𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜 𝜌𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑤𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = (0,2262)(8,96 𝑔/𝑐𝑚3 )
(0,2262)(8,96 𝑔/𝑐𝑚3 ) + (0,7738)(0,97 𝑔/𝑐𝑚3 ) = 0,7297
𝑤𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜= 𝑓𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜 𝜌𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑓𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 𝜌𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒+ 𝑓𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜 𝜌𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑤𝑝𝑜𝑙í𝑚𝑒𝑟𝑜= (0,7738)(0,97 𝑔/𝑐𝑚3 )
(0,2262)(8,96 𝑔/𝑐𝑚3 ) + (0,7738)(0,97 𝑔/𝑐𝑚3 )= 0,2703 La suma de las fracciones es 0,7297 + 0,2703 = 1.
Observe la diferencia numérica entre fi y wi para cada componente ¿a qué se debe?
HOMOGENIDAD DIMENSIONAL
Es importante que al plantear una ecuación se tenga cuidado de verificar que a ambos lado de la igualdad haya consistencia dimensional, es decir que tenga las misma unidades a ambos lados.
Para lograr esto es necesario conocer como las unidades secundarias se derivan de las primarias y cambio de unidades.
Ejemplo: Se requiere calcular el peso de una manzana con una masa de 100 g.
Datos: g = 9,8 m/s2 y m = 0,1 kg Ecuaciones: w = m g
Cálculos:
w = 0,1 kg (9,8 m/s2) w = 0,98 kg m/s2 = 0,98 N
El peso tienen en SI unidades de fuerza (N) pero: 1 N = 1 kg m/s2. Entonces la ecuación tiene homogeneidad dimensional.
TÉCNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS [1]
Para resolver problemas se recomienda usar cuatro cuadrantes con el fin de presentar la solución de forma clara:
Datos: liste los datos del problema con sus unidades y determine que unidades debe cambiar para facilitar los cálculos. Identifique cuáles son las incógnitas a calcular a partir del enunciado y de las ecuaciones.
Esquema: realice un esquema sencillo del problema e incluya los datos.
Esquema del proceso:
Datos (incluir unidades):
Ecuaciones: Procedimiento (no válido sin unidades):
Ecuaciones: escriba las ecuaciones que relacionan los datos con las variables que desea calcular.
Recuerde que debe tener el mismo número de ecuaciones que incógnitas.
Cálculos: sustitutas los datos en las ecuaciones y resuelva el sistema de ecuaciones considerando las unidades en cada paso.
ANEXO 1: Tabla de conversión de unidades y prefijos Factores de Conversión de Unidades
Longitud 1 in = 2,54 cm 1 Å= 1 x 10-10 m 1 yd = 0,9144 m 1 ft = 0,3048 m Volumen 1 ml = 1 cm3 1 l = 1000 ml 1 in3 = 16,39 cm3 Densidad 1 g/cm3 = 1 g/ml 1 g/ml = 1000 kg/m3 1 g/cm3 = 1000 kg/l 1 lbm/in3 = 27,68 g/cm3 Presión
1 Pa = 1N/m2 psi = lbf / in2 1 psi = 6894,75 Pa 0,000145 psi = 1 Pa
Masa
1 lbm = 0,45359 kg 1 kg = 2,20462 lb Fuerza
1N = 1 kg m/s2 1 lbf = 4,448222 N 1 kgf = 9,80665 kg m/s2 1 kp = 1 kgf = 9,81 N 1 lbf = 4,448222 N 1 lbf = 0,45359 kgf Relación Masa-Fuerza 1 lbf = 32,174 lbm 1 lbm = 0,45359 kgf No Avogadro
1 mol = 6,022 x 1022 átomos
Mayúscula Minúscula Nombre Mayúscula Minúscula Nombre
Α α Alfa Ν ν Ni
Β Β Beta Ξ ξ Xi
Γ γ Gamma Ο ο Ómicron
Δ δ Delta Π π Pi
Ε ε Épsilon Ρ ρ Ro
Ζ ζ Dseda Σ σ Sigma
Η η Eta Τ τ Tau
Θ θ Teta Υ υ Ípsilon
Ι ι Iota Φ φ Fi
Κ κ Kappa Χ χ Ji
Λ λ Lambda Ψ ψ Psi
Μ μ Miu Ω ω Omega
Múltiplos Prefijo SI Abreviación
1012 tera T
109 giga G
106 mega M
103 kilo k
102 hecto h
101 deca da
100 - -
10-1 deci d
10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro
10-9 nano n
10-12 pico p
Letras Griegas
REFERENCIAS
[1] CENGEL, Y. A. Y BOLES, M. “Termodinámica”. Tomos 1 y 2. México: McGraw-Hill, 2012.
[2] Nava, H; Pezet, F; Mendoza, J. y Hernández, I. “El Sistema Internacional de Unidades”. Ed:
Los Cués, México, 2001, 145 páginas.
[3] VAN WYLEN, G.J. y Sonntag, R.E. “Fundamentals of Classical Thermodynamics”. 4ta Ed.
New York: John Wiley, 1994.
[4] CHANG, Raymond y COLLEGE, Williams. “Química”, 7a ed. Ed: Mac Graw Hill
EJERCICIO DE FUNDAMENTOS Diligencie las siguientes tablas.
Unidad Magnitud Abreviación Unidades Base
centímetro longitud cm cm
Pascal
Pulgada cúbica Metro por segundo cuadrado
kilogramo por metro cúbico
Newton
Magnitud Abreviación
Unidades SI
Abreviación Unidades Inglesas
Unidades Base SI
Longitud m in m
Peso Molecular Densidad Presión Masa Fuerza Volumen área
Valor Inicial Factor de conversión Valor Unidades
86 cm 2,54 cm = 1 in 33,8583 in
15,7 mm cm
10 Å m
150 m Å
2,9 ft m
10 MPa Pa
25 lb kg
10 l ml
1,3 kg lb
10 m nm
10 m2 cm2
35 in2 cm2
100 m3 cm3
5 m3 mm3
10 Pa N/m2
10 MPa kPa
10 psi Pa
1 atm Pa
15 Pa lbf/ft2
1 GPa Pa
1000 kg/m3 g/cm3
1000 kg/m3 g/ml
1 N lbf
¿Cuál es la densidad, en g/cm3, de un objeto rectangular de 2 yd de largo, 2 ft de ancho y 40 in de profundidad que pesa 3000 lbf?
Si la densidad del etanol es 0,79 g/cm3 ¿Cuál es la masa de 125 ml de etanol?
El agua tiene una densidad de 1 g/ml a 25°C. ¿Cuál es la densidad del agua en kg/l?
Un tanque de 3 kg que tiene un volumen de 0,2 m3 se llena con agua líquida. Si se supone que la densidad del agua es 1 g/ml, determine el peso del sistema combinado.
Determine la masa y el peso del aire contenido en una habitación cuyas dimensiones son 6 m x 6 m x 8 m. Suponga que la densidad del aire es 1,16 kg/m3.
Se tiene una mezcla de 20%w/w -Al2O3 y 80%w/w cobre. Calcule las fracciones: peso, volumen y mol de esta mezcla. Considere una densidad del cobre de 8960 kg/m3 y un peso molecular de cobre de 63,55 g/mol.
Se tiene una mezcla líquida de 1 litro agua (H2O), 0,01 mol de Cloro (Cl) y 0,01 mol de sodio (Na). Calcule las fracciones peso y molar de esta mezcla para cada componente, la masa total y las moles totales. ¿Cuál es el peso molecular y la densidad de la mezcla?
Una fuerza de 10 N se aplica a una muestra rectangular de acero de 0,4 pulgadas de ancho, 0,5 pulgadas de alto y 8 pulgadas de longitud, como se ilustra en las figuras. ¿Qué presión, en MPa, se está aplicando en la muestra?
Procedimiento Presión (MPa) Figura
Escriba las ecuaciones para calcular el área y el volumen de las siguientes superficies y sólidos:
Magnitud Ecuación Gráfico
Área de un círculo
Área de un cuadrado
Área de un rectángulo
Área superficial total de un cilindro
Área de un cubo
h
L
b F
L F
b h
Volumen de un cubo
Volumen de una esfera
Volumen de un cilindro
Volumen de un prisma rectangular
Se tiene un cubo de un material compuesto de acero con 18 partículas esféricas de carburo de tungsteno de 0,5 cm de radio cada una. Si la densidad del carburo de tungsteno es 15,63 g/cm³ y la del acero es 7,8 g/cm³. ¿Cuál es la fracción volumen carburo de tungsteno?
Homogeneidad Dimensional: compruebe que las siguientes ecuaciones tienen homogeneidad dimensional.
El módulo de elasticidad (Ef) de un material calculado a partir de un ensayo de flexión es:
Ef =4whF L33δ , donde: F es fuerza de flexión aplicada, L es distancia entre rodillos, w es ancho de la muestra, h es el grosor de la muestra, d es cantidad de desviación experimentada por el material durante el doblado en unidades de longitud. Compruebe que el módulo de elasticidad tiene unidades de presión.
La deformación ingenieril () que sufren las probetas de los materiales que son sometidos a una fuerza de estiramiento (esfuerzo de tensión) se define como: = (l – lo)/lo , donde: l: es la 10 cm
longitud final de la probeta después del ensayo y lo es la longitud inicial de la probeta. ¿Cuáles son las unidades de ?
La ecuación de Antoine describe la relación entre la temperatura y la presión de saturación del vapor de sustancias puras: log10𝑃 = 𝐴 −𝐶+𝑇𝐵 , donde: P es presión; T es temperatura; y A , B y C parámetros empíricos específicos para cada sustancia. ¿Cuáles son las dimensiones y las correspondientes unidades SI de las constantes A, B y C si las variables están en unidades fundamentales SI y el término de la izquierda es adimensional?
