Efectos de la fluencia lenta en la variación de energía durante la propagación de una cavidad excavada en roca

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(1)1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERÍA. EFECTOS DE LA FLUENCIA LENTA EN LA VARIACIÓN DE ENERGÍA DURANTE LA PROPAGACIÓN DE UNA CAVIDAD EXCAVADA EN ROCA MAXIMILIANO VERGARA QUEZADA Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería Profesor Supervisor: MICHEL VAN SINT JAN FABRY Santiago de Chile, Agosto, 2009. 2009, Maximiliano Vergara Quezada.

(2) 2. A mi familia.

(3) 3. AGRADECIMIENTOS En primer lugar me gustaría agradecer al Don Michel Van Sint Jan, mi profesor guía, por su constante interés, por sus ideas, y el enorme apoyo que significó para este trabajo. Él siempre tuvo una excelente disposición para poderle plantear mis dudas y colaborar en el desarrollo de este estudio. Me gustaría agradecer a Don Loren Lorig y a la empresa ITASCA, quienes colaboraron haciendo disponible el programa numérico utilizado. Agradezco también a los profesores integrantes de la comisión por su disposición para ser parte de ésta y aportar con sus valiosos conocimientos y experiencias..

(4) 4. NOMENCLATURA Y ABREVIACIONES A. Factor de esfuerzo para el cálculo de N (adim.). α. Constante de amortiguamiento (adim.). B. Factor de orientación de fracturas para el cálculo de N (adim.). C. Factor de ajuste por gravedad para el cálculo de N (adim.). c. Cohesión (MPa). cres Cohesión residual (MPa) cmax Cohesión máxima (MPa) δt. Paso de tiempo que utiliza el modelo (s). D. Fracción de la resistencia máxima al corte desarrollada (adim.). Du Valor umbral para la degradación de la resistencia (adim.) ε. Deformación unitaria (adim.). E. Módulo de Young (MPa). FISH Φ Φm. FLACish, lenguaje de programación desarrollado por ITASCA Ángulo de fricción (°) Ángulo de fricción máximo (°). Φres Ángulo de fricción residual (°) fn. Fuerza normal en el contacto (MN). fs. Fuerza de corte en el contacto (MN). FLAC3D Fast Langrangian Analysis of Continua. Programa de modelación numérica del continuo (tres dimensiones) de ITASCA G. Módulo de corte (MPa). ks. Rigidez de corte de la fractura (Mpa/m). kn. Rigidez normal de la fractura (Mpa/m). K. Módulo volumétrico (Mpa). MRMR. Mining Rock Mass Rating.

(5) 5. ν. Razón de Poisson (adim.). N. Número de estabilidad de Mathews (adim.). Ψ. Ángulo de dilatancia de la fractura (°). PFC Particle Flow code. Programa de modelación numérica, mediante elementos discretos circulares en dos dimensiones, de ITASCA PFC3D Q’. Versión de PFC en tres dimensiones. Modificación del Tunnel Quality Index para el cálculo de N (adim.). RMR Rock Mass Rating (Beniawski) RQD Rock Quality Designation ζn. Tensión normal al contacto (Mpa). ζ1. Tensión principal mayor (Mpa). ζ3. Tensión principal menor (Mpa). ζxx, sxx. Tensión en la dirección X (horizontal) (Mpa). ζyy, syy. Tensión en la dirección Y (vertical) (Mpa). ζxy, sxy. Tensión de corte en el plano del modelo, X-Y (Mpa). ζzz, szz. Tensión fuera del plano del modelo (Mpa). S. Factor de forma del Gráfico de Mathews (m). smax Resistencia máxima al corte del contacto (Mpa) smax_cm. Resistencia máxima inicial al corte del contacto (Mpa). smax_cr. Resistencia máxima friccional al corte del contacto (Mpa). η. Tensión de corte en el contacto (Mpa). tc. Tiempo de cálculo del modelo (s). ts. Tiempo de simulación del modelo (s). tr. Tiempo real transcurrido en el modelo (s). Uct. Energía elástica almacenada en los contactos debido a tracción (MJ). Ucc. Energía elástica almacenada en los contactos debido a compresión (MJ). Ucs. Energía elástica almacenada en los contactos debido a fuerza de corte (MJ).

(6) 6. Ucb. Energía elástica almacenada en los bloques (MJ). UDEC Universal Distinct Element Code. Programa de modelación numérica, mediante elementos discretos en dos dimensiones, de ITASCA us. Desplazamiento de corte en el contacto (m). un. Desplazamiento normal en el contacto (m). VC. Volumen de control. W. Trabajo realizado en la deformación elástica (MJ). 3DEC. Versión del programa UDEC en tres dimensiones..

(7) 7. RESUMEN Al hacer una excavación en roca se genera una redistribución del estado de tensiones y la acumulación de energía elástica en el macizo rocoso. Eventualmente, el nuevo estado de tensiones puede producir la brusca rotura de un cierto volumen de roca, con la consecuente liberación de la energía acumulada. La repentina liberación de energía almacenada puede generar eventos sísmicos de magnitud suficiente para producir daños en las labores subterráneas. En este trabajo se desarrollaron las ecuaciones y se implementó el procedimiento para poder incluir, en el programa de elementos discretos UDEC, el efecto de la fluencia lenta de un macizo rocoso. Dicho procedimiento se aplicó a un modelo sencillo que trató de capturar algunas de las características esenciales del método de explotación minera por Block Caving o de su variante, el Panel Caving. El estudio se centró principalmente en un modelo en deformaciones planas de un macizo rocoso con dos sistemas de fractura, ortogonales entre sí y de persistencia infinita. Se encontró que al considerar el efecto de la fluencia lenta, la cantidad de energía almacenada en el macizo rocoso y que puede liberarse repentinamente (en menos de 0,2s) en forma de un evento sísmico, depende no solamente del volumen excavado, sino que también de la velocidad de propagación de la cavidad, la que se correlacionó con la velocidad de extracción. Sin embargo, para un mismo volumen extraído, la cantidad total de energía elástica liberada resultó prácticamente constante, independiente de la velocidad de extracción. En síntesis, los resultados muestran que al disminuir la velocidad de extracción la energía elástica acumulada se libera en una mayor cantidad de eventos, pero de menor magnitud. Palabras Claves: Estallidos de roca, Block Caving, fluencia lenta de fracturas en roca, comportamiento del macizo rocoso en el tiempo..

(8) 8. ABSTRACT The excavation of a volume of rock induces stress redistribution in the rock mass and an increase of the strain energy. The new stress state can eventually result in a sudden failure of a certain rock volume with the corresponding dissipation of stored energy. A sudden energy release can result in damage to the surrounding underground openings. In order to simulate the effect of rock creep in the computer software UDEC, a particular set of equations were developed in this work and implemented into the software. The procedure was used in a simple model which intends to capture some of the main features of the Block Caving and Panel Caving extraction techniques used in underground mining. The study focused on a plane strain, two dimensional models, including two orthogonal sets of persistent joints. The inclusion of rock creep into the numerical code demonstrated that the amount of stored energy that can suddenly (in less than 0,2s) be liberated as a seismic event is a function of the volume excavated and of the excavation rate. However, the total amount of energy released depended only on the volume extracted. In summary, the results show that as the extraction rate is decreased the strain energy is released in a larger number of events, but of smaller magnitude than those associated with higher extraction rates. Keywords: Rockburst, Block Caving, time-dependent behaviour of rockmass, long-term shear strength of rock joints..

(9) 9. 1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL ESTUDIO. 1.1 Introducción Una excavación en roca genera una redistribución en el estado de tensiones al interior del macizo rocoso y al mismo tiempo, produce una acumulación de energía debido a la deformación elástica de la roca. La energía acumulada debido al aumento del volumen de roca excavada puede exceder la resistencia del macizo rocoso, produciéndose una brusca liberación de energía mediante desplazamientos no elásticos y la propagación de ondas sísmicas. La sismicidad que puede producirse al aumentar el volumen excavado es particularmente importante en el caso de la minería subterránea. En la actividad minera subterránea asociada a la explotación de minas por el método del Block Caving o alguna de sus variantes como el Panel Caving, se han registrado sismos de magnitud considerable que provocan daños materiales y personales. Este método de explotación es utilizado en algunas de las minas más grandes alrededor del mundo, incluidas algunas en Chile como El Teniente, El Salvador, Andina y, en el futuro próximo, Chuquicamata. Para poder entender y modelar el comportamiento del macizo rocoso en la generación de eventos sísmicos, es necesario incluir en la modelación la fluencia lenta que se produce en las discontinuidades, lo que está asociado a la magnitud de la energía liberada. En este estudio se buscará mostrar cómo influye la velocidad de la propagación de una cavidad en la magnitud de la energía elástica liberada. Para esto, se construirá un modelo numérico basado en el método de los elementos discretos que incorpore los aspectos más relevantes del método Block Caving, utilizando propiedades geotécnicas y dimensiones geométricas dentro de valores tomados de casos reales.. 1.2 Motivación La explotación de minas por métodos como el Block Caving y Panel Caving se ha asociado con la generación de sismos con magnitud del orden de 3 e incluso 4 en la escala de Richter. La observación empírica en minas explotadas mediante este método muestra que al disminuir la velocidad de extracción se produce un aumento de la cantidad de eventos sísmicos pero disminuyendo la magnitud de éstos. Esta observación muestra que existe un efecto del tiempo en la respuesta de un macizo rocoso sometido a un cambio de tensiones. Sin embargo, hasta la fecha, no se ha estudiado satisfactoriamente el efecto de la variable tiempo en el comportamiento de las fracturas. El propósito de esta tesis es desarrollar una metodología para incorporar dicha variable en un análisis numérico e iniciar una línea de estudio relativa a la fluencia lenta en la propagación de una cavidad asociada a la explotación minera..

(10) 10. 1.3 Estructura del trabajo Este trabajo se compone de 7 capítulos. En el capítulo 2 se hace una revisión del problema y de los conceptos básicos relativos al método de explotación. En el capítulo 3, en base a esta información y a las interrogantes que motivan el estudio, se plantea la hipótesis y los objetivos del presente trabajo. En el capítulo 4 se presentan las propiedades geométricas y físicas de los materiales en base a las cuales se construyó el modelo numérico. En el capítulo 5 se hace una revisión de los estudios sobre la fluencia lenta en fracturas en roca. Se explica de qué forma se reprodujo este comportamiento en el modelo numérico desarrollado, teniendo en cuenta las limitaciones que ofrece para esto el programa computacional utilizado (UDEC). En el capítulo 6 se muestran los resultados de la modelación numérica del problema, que incluyen comentarios y análisis de resultados obtenidos. En el capítulo 7 se presentan las conclusiones en base a estos resultados y se indican además algunas recomendaciones para futuros trabajos..

(11) 11. 2. ANTECEDENTES. A continuación se presenta una breve descripción del método de explotación por Block Caving y de los estallidos de roca asociados a este método de explotación minera.. 2.1 Block Caving 2.1.1 Breve Descripción En el método de extracción por Block Caving, un gran volumen de roca mineralizada es cortado en su base, removiendo su soporte (Figura 2-1). La idea principal que hay detrás, es causar su hundimiento debido a la socavación o caving de forma natural, y de esta manera formar material fragmentado sin la necesidad de utilizar explosivos. Para cortar la base de este gran volumen de roca y provocar su caída, la zona debajo de él es perforada y tronada de manera de formar una cavidad que permita el hundimiento Al remover el soporte de la masa de roca, se inducirá un nuevo estado de esfuerzos, lo que producirá una propagación hacia arriba de nuevas fracturas y una apertura de las ya existentes. La roca, se hundirá y caerá hacia la cavidad desintegrándose en fragmentos pequeños. El mineral ya fragmentado “fluye” hacia el nivel de extracción. Este nivel consiste en una red de túneles construidos bajo el nivel de hundimiento y conectados con éste mediante conductos o “bateas”, a través de las cuales el material puede bajar. En los puntos de extracción, el mineral fracturado es removido generalmente por cargadores tipo LoadHaul-Dump (LHD) para luego ser procesado. El Block Caving se utiliza principalmente en yacimientos subterráneos masivos de gran extensión vertical. La gran ventaja de este tipo de explotación es su bajo costo, comparado con otros métodos de extracción subterránea, si se dan las condiciones favorables para su implementación.. Figura 2-1. Esquema de la explotación por Block Caving. Mina El Teniente.

(12) 12. Este método ha sido utilizado históricamente en rocas de baja resistencia, ya que éstas producen una fragmentación más pequeña. Los fragmentos de roca más pequeños pueden descender más fácilmente, disminuyendo el riesgo de colgaduras 1. Actualmente, la utilización de este método se ha extendido a macizos rocosos de mayor resistencia mecánica, que producen una fragmentación más gruesa que las aplicaciones tradicionales del método.. 2.1.2 Inicio y propagación del hundimiento del macizo rocoso El caving o hundimiento se produce como resultado de dos principales causas, la gravedad y los esfuerzos inducidos debido al corte de la base. El inicio y propagación del caving dependerá, fundamentalmente, de la resistencia del macizo rocoso, los esfuerzos inducidos por el corte de la base y por la orientación y resistencia de los sistemas de fracturas presentes. De la orientación de las discontinuidades dependerá la facilidad que tendrán los bloques formados por ellas para desplazarse. Al hacer la excavación inicial o corte, se logra que la base inferior del bloque de roca se comporte como una viga simplemente apoyada, y gracias a fuerzas externas, principalmente la gravitacional, se produzca el desprendimiento sucesivo de fragmentos de roca mineralizada, los que al ser extraídos permiten que la cavidad o “hundimiento” se transmita progresivamente hacia arriba.. 1. Situación en la que no caen nuevos bloques de roca, mientras que se extraen lo que ya han caído.

(13) 13. La propagación del caving se refiere al hundimiento continuo2 de la columna de mineral sobre la cavidad. Si los esfuerzos inducidos en el coronamiento de la cavidad son bajos o de tracción, los bloques podrán caer debido a la gravedad o deslizarse a través de las discontinuidades existentes. Una vez alcanzada la continuidad del hundimiento, la tasa de propagación de éste será controlada por la extracción del material desde los puntos de extracción. Duplancic y Brady (1999) desarrollaron un modelo conceptual basado en mediciones de sismicidad, en el cual, durante el proceso de generación y propagación del Block Caving pueden reconocerse las siguientes regiones conceptuales (Figura 2-2): i Zona excavada (caved zone): Esta región consiste de bloques que ya se han soltado y caído. El material de esta zona material provee soporte a los muros de la cavidad. ii Cavidad (air gap): Durante el proceso de caving se podría formar una cavidad sobre el material desprendido. El tamaño de la cavidad es función de la tasa extracción de mineral. iii Zona de colapso continuo (zone of loosening): En esta zona ocurren grandes desplazamientos y desprendimiento de fragmentos de roca, sin producir actividad sísmica. iv Zona sísmica (seismogenic zone): Corresponde al sector donde se genera la actividad sísmica, debido a la rotura frágil de la roca intacta y deslizamiento de las fracturas. Este comportamiento se debe a cambios en los esfuerzos causados por la propagación de la cavidad. v Macizo rocoso circundante (pseudo-continuous domain): en esta zona se producen deformaciones elásticas y corresponde al material que circunda la cavidad.. Figura 2-2. Modelo conceptual del caving desarrollado por Duplancic y Brady (1999). 2. Se produce un flujo continuo de material cayendo sobre la cavidad.

(14) 14. La velocidad a la cual se produce la propagación de la cavidad depende de las características del corte de la base del volumen de roca, la calidad de la roca, la resistencia de las discontinuidades y los esfuerzos presentes. Bajo producción continua, la tasa promedio de extracción será una función de la tasa de caving que se produce. Por otra parte, no siempre es posible alcanzar el caving continuo. Es posible que el estado de tensiones en el perímetro de la cavidad genere un efecto de arco (Terzaghi, 1936) que no permita la caída de bloques ni la propagación del hundimiento. La posibilidad de generar un arco estable se relaciona especialmente con el manejo que se haga de la extracción y la interacción de los puntos de extracción adyacentes. La formación de arcos o colgaduras interrumpe el proceso y es además potencialmente peligrosa, puesto que si se continúa la extracción y eventualmente se rompe el efecto de arco, se podría producir la caída de material desde una gran altura, transmitiendo gran cantidad de energía en forma de un sismo y de una onda de aire comprimido (air blast) con efectos devastadores.. 2.1.3 Potencial de hundimiento del macizo rocoso El potencial o capacidad del macizo rocoso para desarrollar caving depende de las propiedades naturales de la roca y de las condiciones atribuibles al proceso minero. Entre los factores naturales, se pueden mencionar las tensiones in situ, resistencia de la roca intacta y la orientación, espaciamiento, persistencia, resistencia al corte y a la tracción de las discontinuidades presentes. La extracción es también una variable importante a considerar. Controlando la tasa de extracción se puede impedir la formación de arcos estables y reducir la dilución del mineral. En el Anexo B se hace una revisión de la bibliografía referente al estudio del Block Caving..

(15) 15. 2.2 Estallidos de Roca en la explotación por Block Caving La generación de la cavidad en la explotación por Block Caving, produce una redistribución en el estado de tensiones. Esta redistribución puede llevar a una concentración de tensiones en algunos sectores del macizo rocoso, lo que se traduce en una acumulación de energía elástica debido a la deformación de la roca. Al aumentar el volumen de roca excavada, la energía acumulada puede exceder la resistencia del macizo rocoso, produciéndose una brusca liberación de energía. Esta liberación repentina de energía se conoce como estallido de roca o rockburst. La explotación de minas por este método de explotación se ha asociado con la ocurrencia de este fenómeno. La característica importante de los estallidos de roca es la fractura violenta de la roca que acompaña la liberación de energía. Los eventos sísmicos provocados por estallidos de roca son un problema grave que puede presentarse en la minería subterránea, por los daños materiales y personales que causan. Es importante estudiar la velocidad a la cual la energía se libera, ya que la liberación lenta de energía no resultaría en daño, en cambio, la liberación rápida de una gran cantidad de energía almacenada, produciría un estallido de roca. (Hanzeng, 1987; Daihua y Miller, 1987; Wiles, 2000). Como ya se ha dicho, las causas de la liberación de energía pueden ser el deslizamiento de una fractura ya existente o la rotura frágil de la roca intacta. Las condiciones que llevan a la generación de estallidos de roca son: que la presencia de esfuerzos inducidos por la excavación sean lo suficientemente altos para superar la resistencia del macizo rocoso y que el deslizamiento o fractura resultante sea mecánicamente inestable, liberando energía que no puede ser absorbida en el proceso de deslizamiento o fractura. La energía liberada será una función de la diferencia entre el esfuerzo máximo y la resistencia residual (Brown, 2002). En la mina El Teniente, la experiencia ha mostrado que la ocurrencia de los estallidos de roca es más probable en el estado temprano del hundimiento de un nuevo bloque (Brown, 2002)..

(16) 16. 3. HIPÓTESIS Y OBJETIVOS. 3.1 Hipótesis La hipótesis de este trabajo plantea que se produce fluencia lenta en aquellas fracturas del macizo rocoso que están sometidas a una solicitación mayor que cierto umbral, por lo que la resistencia mecánica de dichas fracturas disminuye con el tiempo. Debido a que la resistencia del macizo rocoso disminuye con el paso del tiempo, la rotura se produce con una solicitación menor, liberando menos energía y por lo tanto disminuyendo la posibilidad de generar estallidos de roca. Por otra parte, al aumentar la velocidad de extracción de mineral, aumenta la velocidad de incorporación del volumen de roca sometido a tensiones elevadas, lo que se traduce en un aumento de la energía total liberada en la ruptura de dicho volumen.. 3.2 Objetivos Los objetivos de este trabajo son: i Desarrollar un procedimiento para reproducir el efecto que la fluencia lenta tiene sobre la resistencia al corte de discontinuidades. ii Utilizar este procedimiento para evaluar la incidencia de la fluencia lenta en el comportamiento del macizo rocoso durante la propagación de una cavidad. iii Implementar un modelo numérico que simule algunas de las características esenciales del Block Caving, para lo cual se utilizarán características geométricas y propiedades geotécnicas inspiradas en casos reales. iv Mostrar el efecto de la velocidad de extracción en la variación de energía elástica acumulada en el macizo rocoso..

(17) 17. 4. IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO. 4.1 Programa computacional utilizado en la modelación numérica El modelo numérico fue desarrollado con el programa computacional UDEC (Universal Distinct Element Code). Dada la naturaleza discontinua del problema, la alternativa de utilizar como base un programa computacional que modele el problema mediante de elementos discretos parece la más adecuada. Esto, fundamentalmente debido a que el método de los elementos discretos permite representar de mejor manera la discontinuidad del problema, dando la posibilidad de modelar bloques de roca que puedan desplazarse, rotar y desprenderse. El método de los elementos discretos consiste en una discretización espacial del continuo mediante un conjunto de masas discretas vinculadas entre sí por elementos cuya rigidez corresponde a la porción del medio que representan. De esta manera, el macizo rocoso es representado por un conjunto de bloques y las fracturas son tratadas como las interfaces entre ellos. UDEC es un programa computacional que permite modelar problemas en dos dimensiones. Su formulación supone un estado de deformaciones planas, el cual considera la tensión fuera del plano. En el Anexo A se hace una descripción del programa UDEC y de su formulación.. 4.2 Geometría del modelo numérico La geometría del modelo se definió inspirada en las dimensiones del problema real. La gran restricción a la extensión vertical y horizontal es el costo computacional de agregar demasiados elementos en el modelo. Esto, dado un cierto tamaño definido para los bloques, tema que se tratará más adelante. La dimensión horizontal del modelo numérico se definió dada la cantidad de puntos de extracción (Drawpoints) y el ancho de ellos. Se modelaron tres puntos de extracción de manera de aislar el punto de extracción central del efecto que pudieran producir los bordes. Como se trata de un modelo en dos dimensiones, se modeló la dimensión mayor de la abertura del punto de extracción. Para esta abertura se escogió un ancho de 22,4m. Este valor va de acuerdo a lo que podría encontrarse en una explotación por Block Caving (Brown, 2000). Para el coronamiento de los pilares se definió un ancho de 1,5m. Las paredes de los puntos de extracción se definieron verticales, puesto que lo que interesa es modelar el proceso de desprendimiento de bloques y no el flujo de los bloques hacia el nivel de producción. En los extremos laterales se crearon contactos con la finalidad de generar fricción en el deslizamiento vertical de los bloques que se encuentran en el borde del modelo. Las.

(18) 18. propiedades de estos contactos son las mismas definidas para el resto de los contactos en el modelo. La extensión vertical se definió en 35m. Si bien la altura de explotación puede alcanzar varias decenas de metros en la realidad, es en la zona inferior donde se produce la actividad que se desea observar y medir. Se buscó una altura que fuera suficiente como para mantener una cierta cantidad de bloques sobre el punto de extracción, y así permitir la caída continua de ellos, en un tiempo suficiente para desarrollar redistribución de los esfuerzos antes de llegar a una eventual total inestabilidad del sistema. La altura debe ser suficiente para poder medir cambios en la energía en una zona un poco más alejada del punto de extracción. La porción de macizo rocoso simulada se apoyó sobre una estructura formada por bloques rígidos que sirvieron de soporte. Para escoger los sistemas de fracturas, se realizó un proceso iterativo de manera de calibrar el tamaño adecuado de bloques que permita una buena representación de lo que se quiere modelar. La elección de la orientación de los sistemas de fracturas, y el tamaño de los bloques por ellos formados, se detalla en la sección 6.2. Esta elección se hizo de tal manera de lograr primero una condición estable al no producir degradación de la resistencia de los contactos y posteriormente, provocar el colapso o caída masiva de bloques para algún tiempo de simulación. La Figura 4-1 muestra la geometría definida para el modelo. Las modificaciones que se hicieron posteriormente a la geometría fueron las diferentes orientaciones, arreglos de los sistemas de fracturas y la altura del corte bajo los puntos de extracción.. Figura 4-1. Vista del modelo numérico construido en UDEC.

(19) 19. 4.3 Modelos constitutivos tensión-deformación utilizados en el modelo Como ya se ha mencionado, en el programa UDEC, el macizo rocoso es representado mediante bloques y contactos. Para cada uno de ellos es preciso definir las propiedades físicas y el modelo constitutivo tensión-deformación que controla su comportamiento.. 4.3.1 Modelo del comportamiento de los bloques En UDEC los bloques son subdivididos en zonas de diferencias finitas. Estas zonas son capaces de deformarse pero no de romperse o dividirse para formar nuevos bloques. Dadas las condiciones del problema que se modela, los bloques estarán sometidos, en algunos casos, a grandes solicitaciones por prolongados periodos de tiempo. Esto puede producir grandes deformaciones en ellos. Debido a que UDEC no simula la rotura de los bloques, estas deformaciones podrían crecer indefinidamente y alejarse por completo de valores reales en el caso de utilizar una constitutiva elastoplástica. Para evitar este problema, se consideró la roca intacta como un material lineal elástico. Esto permite deformación de los bloques y la posibilidad de determinar los esfuerzos internos en ellos sin los inconvenientes antes mencionados. Se ha escogido un tamaño para los elementos de diferencias finitas tal que cada bloque quede dividido en 4 elementos triangulares.. 4.3.2 Modelo del comportamiento de los contactos Considerando que el estudio no se aplica estrictamente a una situación particular, se aceptó modelar los contactos con una constitutiva tensión-deformación elastoplástica con criterio de falla de Mohr-Coulomb. Se utilizó el modelo descrito en detalle en el Anexo A.2., pero asignándole a éste valores que permitan modelar el comportamiento residual, es decir, luego de alcanzada la resistencia máxima. La Figura 4-2 muestra un ejemplo de un ensayo numérico de corte directo, realizado en UDEC, en el cual se utilizó esta constitutiva. Se observa, tal cual lo esperado, cómo se alcanzó un valor máximo, luego del cual la resistencia cae a un valor residual. Se eligió este modelo, con respecto a los otros con los que cuenta el programa UDEC, fundamentalmente debido a su simplicidad, a que incorpora una menor cantidad de variables y a que estas son más fáciles de obtener en comparación a los otros modelos disponibles. El modelo de fluencia continua, que parece representar un comportamiento más real del esfuerzo de corte en el contacto, no permite incluir la cohesión ni la resistencia a la tracción. Se realizaron varias pruebas con el modelo de Barton-Bandis, con él surgió el problema de incorporar demasiadas variables al modelo y aumentar ostensiblemente el tiempo de cálculo.. Figura 4-2. Ensayo de corte directo simulado en UDEC.

(20) 20. 4.4 Propiedades mecánicas del macizo rocoso Con el objetivo de modelar materiales cuyas propiedades sean representativas de una explotación por Block Caving, se utilizó como guía un caso real. Se tomaron como referencia las propiedades del macizo rocoso encontradas en la mina El Teniente, mediante estudios previos relacionados con este yacimiento. Especialmente, se han considerado los valores propuestos por Karzulovic (2001) y Verbeken (2005) en sus respectivos estudios. A partir de esta información, se pudo asignar valores dentro de rangos realistas a los materiales del modelo numérico.. 4.4.1 Propiedades mecánicas de la roca intacta El material de los bloques se definió utilizando como referencia valores conocidos de la roca presente en El Teniente. En UDEC, el material es representado por el módulo volumétrico K y el módulo de corte G en lugar de módulo de Young E y razón de Poisson ν. K y G se calculan a partir de E y ν. Las propiedades de los bloques se detallan en la Tabla 4-1.. Tabla 4-1. Propiedades mecánicas de la roca intacta..

(21) 21. 4.4.2 Propiedades mecánicas de los contactos El macizo rocoso es representado en UDEC, como un conjunto de bloques separados entre sí por medio de contactos. Estos contactos se modelan asignándoles propiedades geométricas y de resistencia, que permitan definir el comportamiento de la ecuación constitutiva utilizada. Las propiedades asignadas a los contactos en el modelo se presentan en la Tabla 4-2.. Tabla 4-2. Propiedades mecánicas de las fracturas asignadas a los contactos en modelo numérico. Las propiedades de los contactos se han definido basándose en los estudios previos ya mencionados en esta sección. Con respecto al estudio de Karzulovic (2001), se han utilizado las propiedades correspondientes a vetillas de resistencia media con rellenos de anhidrita y calcopirita en él señaladas. Los valores de las rigideces normal y de corte fueron tomados del ábaco propuesto para ello en el estudio. Se utilizaron las curvas correspondientes a vetillas a “escala labor” de resistencia media, suponiendo un espesor de relleno de 4mm. Este valor se encuentra dentro del rango de 1 a 5mm, como se señala en el estudio para este tipo de estructuras.. 4.5 Condiciones de borde del modelo numérico Las condiciones de borde correspondieron a fijar desplazamientos, velocidades y esfuerzos en los límites del modelo.. 4.5.1 Condición de desplazamientos de los bloques En los bordes laterales, se asignó una condición de desplazamiento nulo en la dirección horizontal, dejando libre el desplazamiento vertical. En este borde se creó un contacto de iguales propiedades geotécnicas al resto de los contactos en el modelo, con el fin de crear fricción en el deslizamiento vertical. Al borde inferior se le asignó una condición de desplazamiento vertical nulo. Luego, al simular la excavación, se removió esta restricción bajo las aberturas para permitir la caída de los bloques. Al borde superior no se le asignaron restricciones de desplazamiento o velocidad..

(22) 22. 4.5.2 Estado tensional Otra condición de borde impuesta es el estado tensional in situ existente. Esto se define en UDEC mediante un comando especial. Además, debe definirse un estado de tensiones en los bordes del modelo que sea compatible con las tensiones in situ asignadas. Para definir los valores de las tensiones en terreno, se ha utilizado como referencia el estudio hecho por Verbeken (2005) para la mina El Teniente. Los valores son los indicados en la Tabla 4-3. Debido a que no se está modelando una situación particular, por simplicidad se asignaron las tensiones originales como tensiones principales, y no se asignó la tensión de corte que aparece al rotar el estado de tensiones original de acuerdo a los ejes X-Y del presente modelo.. Tabla 4-3. Estado de tensiones in situ asignadas al modelo numérico. Figura 4-3. Condiciones de borde del modelo numérico. 4.6 Energía elástica almacenada en el macizo rocoso 4.6.1 Cálculo de la energía elástica almacenada Las fuerzas que causan la deformación de un cuerpo elástico realizan un trabajo. Este trabajo es almacenado en el cuerpo sólido como energía elástica de forma análoga a como ocurriría al comprimir un resorte. De acuerdo al principio de conservación de energía, se puede suponer que la energía almacenada es igual al trabajo que se efectuó para deformar el cuerpo. El trabajo realizado corresponde, según su definición, a la integral de la fuerza aplicada multiplicada por el desplazamiento del punto sobre la cual actúa. En la Figura 4-4 se muestra la energía elástica almacenada en una barra de rigidez k cargada axialmente con una fuerza F que sufre una deformación u. La energía corresponde al área sombreada..

(23) 23. Figura 4-4. Barra de rigidez k, bajo una fuerza F, deformada en u. La energía elástica corresponde al área sombreada. En el caso de una barra cuadrada de largo L sección A y cargada axialmente se tiene:. La energía elástica almacenada en el macizo rocoso corresponde a la energía elástica almacenada en los bloques y en los contactos. En el caso de un bloque sobre el cual actúan esfuerzos en los tres ejes perpendiculares X, Y y Z, la energía almacenada en él, Ubi, se calcula de acuerdo a la ecuación 4-3. Esto considera que el programa UDEC incluye la tensión en el eje fuera del plano, pero no así las deformaciones de corte en este eje. Se supone un espesor de 1m para los bloques en la dirección fuera del plano. La energía de cada uno de los n bloques que pertenecen a una determinada zona de control son sumadas para obtener la energía total dentro de ella (ecuación 4-4).. En la ecuación 4-3 ζxx, ζyy, ζzz y ζxy son las tensiones en el bloque; A, el área de cada bloque; E y v, el módulo de Young y la razón de Poisson del material de los elementos. La energía en los contactos se divide en tres componentes: energía debido a deformación en tracción (Uct), compresión (Ucc) y corte (Ucs). En el caso de la deformación por corte, una vez que se ha producido la falla fs >fs max, la energía se disipa en forma de calor. La energía de cada contacto corresponde a la suma de estas tres componentes (ecuación 48). Luego, es posible calcular la energía de una determinada zona como la suma de la energía de los m contactos que pertenecen a ella (ecuación 4-9)..

(24) 24. Donde fsmax es la fuerza máxima resistida por el contacto, fs, y us fuerza y desplazamiento de corte en el contacto y fn, y un la fuerza y desplazamiento normal al contacto respectivamente.. El programa UDEC cuenta con una función capaz de calcular la energía en el modelo. Sin embargo, al utilizar esta función el tiempo de cálculo se hizo extremadamente alto. Por esta razón, la energía se calculó mediante una función escrita en lenguaje FISH, en base a las ecuaciones aquí expuestas. Los resultados de esta operación coincidieron de muy buena forma con los valores entregados por UDEC, con una diferencia menor al 1%. El cálculo ha sido realizado en varios instantes a lo largo de la simulación, de manera de conocer cómo varía la energía acumulada a lo largo del tiempo. Se ha mostrado que la densidad de energía se correlaciona bastante bien con estallidos de roca observados. (Wiles, 2000).. 4.6.2. Volúmenes. de. control. para. el. cálculo. de. la. energía. almacenada Con el fin de conocer cómo varía la energía elástica acumulada en las distintas zonas del modelo, se han definido volúmenes de control, en los cuales se ha medido la energía almacenada en contactos y bloques. En cada medición de la energía se contabilizó el volumen total de bloques, de esta forma, al calcular la densidad de energía, se considera el cambio que existe en la cantidad de material dentro de cada volumen de control. Estos volúmenes de control no incluyeron los elementos que forman los bordes, ya que se esperan valores distorsionados en estas zonas. Se definió el tercio inferior como un volumen de control, ya que en las pruebas efectuadas se observó que la formación de arcos estables ocurrió dentro de esta zona. Se definió la mitad superior como un volumen de control y finalmente, como otro, al espacio sobrante entre los dos volúmenes anteriores. El volumen de control 1 corresponde la mitad superior, el volumen de control 3 al tercio inferior y el 2 al espacio entre ambos. Los volúmenes del 4 al 12 son subdivisiones de los anteriores. Los volúmenes centrales 4,.

(25) 25. 5 y 6 se encuentran sobre los pilares centrales y el volumen 6 incluye la zona sobre ellos. En cambio, los volúmenes 9 y 12 sólo incluyen la zona entre pilares. Los volúmenes de control definidos se muestran en la Figura 4-5 y Figura 4-6.. Figura 4-5. Volúmenes de control para el cálculo de la energía elástica. Figura 4-6. Volúmenes de control para el cálculo de la energía elástica..

(26) 26. 5. FLUENCIA LENTA EN LAS FRACTURAS. 5.1 Dependencia temporal del comportamiento del macizo rocoso El efecto del tiempo en el comportamiento del macizo rocoso se manifiesta en una deformación lenta a carga constante (fluencia lenta o creep), disminución de resistencia y relajación de esfuerzos; tanto en las discontinuidades como en el material intacto (Hudson et al., 2002). Si un material, como en este caso roca, es sometido a una tensión constante por debajo de la tensión de fluencia, se puede deformar hasta alcanzar la rotura. Existe además un valor mínimo de la tensión aplicada que depende de cada material, bajo el cual nunca se llegará a la rotura. La fluencia lenta en la roca está asociada al microfracturamiento y al movimiento de dislocaciones en la estructura de los cristales de los minerales que la componen. La tasa de deformación es función de las propiedades de los minerales, la magnitud de la carga aplicada, el tiempo de exposición a ésta y la temperatura. A mayor temperatura y esfuerzos aumentará la velocidad de la deformación. Las características de esta deformación se muestran en la Figura 5-1. Luego de la deformación elástica instantánea (I) ocurre la fluencia lenta, la cual se divide en: fluencia primaria (II), que corresponde a un rápido aumento de la deformación; una deformación lenta o fluencia secundaria (III) y por último, una fase de deformación más rápida o fluencia terciaria (IV) que conduce a la rotura. De manera inversa, si se mantiene constante la deformación se tendrá una pérdida de carga o relajación. Se han desarrollado diferentes modelos para simular el comportamiento de la fluencia lenta. Entre ellos, los más comunes son relaciones constitutivas viscoelásticas y viscoelastoplásticas. Estos modelos representan el comportamiento por medio de componentes mecánicos como resortes, amortiguadores y deslizadores. En la Figura 5-2 se muestran en la diagonal estos componentes principales. Las combinaciones de ellos dan origen a diferentes modelos reológicos.. Figura 5-1. Etapas de la fluencia lenta (Croll y Walker, 1972).

(27) 27. Figura 5-2. Modelos reológicos (Hudson y Harrison, 2002). Por ejemplo, para el modelo de Maxwell y Kelvin, se tiene una deformación dependiente del tiempo dada por las ecuaciones 5-1 y 5-2 respectivamente..

(28) 28. En estas ecuaciones, ε es la deformación unitaria, t el tiempo, E corresponde al módulo de elasticidad del resorte y η al coeficiente de viscosidad del amortiguador. Otra forma de representar la fluencia lenta es ajustar los datos de ensayos a una de las tantas curvas empíricas existentes, del tipo envejecimiento, strain-hardening (deformación-endurecimiento) o time-hardening (tiempo-endurecimiento). Mirza (1978) sugiere algunas ecuaciones como las presentadas en la Figura 5-3 (Farmer, 1983). En estas ecuaciones ε es la deformación unitaria, t el tiempo y A, B, C, D, m, n, p y q corresponden a constantes de ajuste.. Figura 5-3. Ecuaciones empíricas para modelar la fluencia lenta en el macizo rocoso (Mirza 1978). 5.2 El efecto del tiempo en la resistencia al corte de las fracturas La deformación por fluencia lenta en el macizo rocoso corresponde a la deformación que se produce tanto en la roca intacta como en las fracturas. La evidencia muestra que la deformación por fluencia lenta que sufre la roca intacta es baja, y no logra explicar las deformaciones observadas en excavaciones subterráneas en rocas duras como las que se encuentran en yacimientos de minerales metálicos. Estas deformaciones serían entonces, el resultado de la reología de las discontinuidades y de la influencia del tiempo en el comportamiento de la zona fracturada que rodea las excavaciones (Malan et al., 1998)..

(29) 29. La influencia del tiempo en la resistencia al corte de fracturas en roca ha sido estudiada por diversos autores, distinguiendo el comportamiento entre fracturas limpias y con relleno. En el caso de este estudio, se han considerado fracturas con relleno. De la información que se tiene de la mina El Teniente, que ha sido utilizada como referencia, se sabe que la gran mayoría de las estructuras posee algún tipo de relleno, los cuales están formados por distintos minerales como anhidrita, calcopirita, cuarzo y molibdenita entre otros. En general, estos rellenos poseen cohesión y espesores de 1 a 10mm (Karzulovic, 2001). La estabilidad en el largo plazo de estructuras de roca, se encuentra fuertemente afectada por la presencia de movimientos de corte debido a fluencia lenta a lo largo de las discontinuidades (Höwing y Kutter, 1985). Diversos estudios concluyen que la deformación por fluencia lenta, en las fracturas del macizo rocoso, es una función de los esfuerzos normales y de corte que actúan sobre ellas. Esto se traduce en un aumento de la deformación al aumentar el esfuerzo de corte, y, para un esfuerzo de corte constante, como una disminución de la deformación al aumentar el esfuerzo normal sobre la fractura (Malan et al., 1998). Los resultados de ensayos de laboratorio muestran que existen valores umbrales del esfuerzo de corte, bajo los cuales no se producirá fluencia (Höwing y Kutter, 1985; Glamheden et al., 2004). Estos valores se encontrarían entre el 10 y el 50% de la resistencia máxima al corte. El potencial de falla por fluencia lenta en una fractura con relleno está determinado por el contenido de materiales cohesivos y por el espesor del relleno. Mayores espesores de relleno, y en especial, un mayor contenido de materiales cohesivos producirán un aumento de la deformación a carga constante y la velocidad a la que ésta ocurre. (Höwing y Kutter, 1985). La disminución de la cohesión en el material de relleno de la fractura, puede ser entendida a partir del comportamiento que exhiben los materiales cohesivos. Los ensayos de fluencia lenta sobre arcillas pueden entregar alguna idea acerca de la influencia del tiempo en la cohesión. Sin embargo, se debe tener en cuenta que el relleno de la fractura se compone, en parte, por minerales con una resistencia mayor. Los resultados de ensayos sobre arcillas muestran una dependencia de la resistencia al corte en el tiempo (Vaid y Campanella, 1977). La Figura 5-4 muestra el tiempo de falla de probetas de arcilla en ensayos triaxiales sobre las cuales se mantuvo una carga constante, la que correspondió a una fracción de la resistencia máxima en el corto plazo (no drenada). En este caso, la falla ha sido claramente identificada como una pérdida de resistencia luego de alcanzar un valor máximo para una cierta deformación axial. Se observa que a menores esfuerzos, el tiempo necesario para alcanzar la fluencia es mayor. En estos ensayos se logró un máximo tiempo de falla de 20 días para una tensión de corte igual al 50% de la resistencia máxima. En esta figura se aprecia también, que existe un límite inferior o valor umbral del esfuerzo de corte bajo el cual no se producirá nunca la fluencia de la probeta Al graficar el tiempo de falla versus la deformación axial, para los mismos ensayos de la Figura 5-4, se observa cómo mientras mayor es la carga aplicada, menor es el tiempo necesario para conseguir la fluencia (Figura 5-5). Se han realizado otros ensayos en suelos cohesivos que muestran también esta reducción de la resistencia en función del tiempo (Casagrande y Wilson por Peck et al., 1974; Meschyan, 1996)..

(30) 30. Figura 5-4. Fracción de la resistencia máxima no-drenada en el tiempo (minutos) en arcillas, bajo carga constante (Vaid y Campanella, 1977). Figura 5-5. Deformación axial en el tiempo en ensayos de esfuerzo constante (fracción de la resistencia máxima) sobre arcillas.(Vaid y Campanella, 1977). El estudio de Malan et al. (1998) muestra resultados de ensayos realizados sobre fracturas en roca reconstruidas en el laboratorio. En ellas se utilizaron rellenos artificiales y también de material obtenido de fracturas naturales, compuestas principalmente por cuarzo y moscovita. En los ensayos efectuados, la carga de corte aplicada se incrementó en pasos sucesivos, manteniéndose constante por periodos de 24 a 48 horas antes del siguiente incremento. Los resultados de estos ensayos muestran un aumento de la deformación con la razón tensión de corte-resistencia al corte última, además de un aumento de la deformación con el espesor de relleno y la presencia de materiales cohesivos. El tiempo de falla en fracturas de 2mm de espesor fue de aproximadamente 8 días. En estos ensayos la carga se aplicó en incrementos sucesivos. Por esta razón, el.

(31) 31. tiempo de falla no puede ser asociado a un nivel de carga único y no puede hacerse una adecuada correlación entre ambos. Los ensayos de fluencia lenta en roca intacta permiten conocer como cambia la resistencia en minerales más duros para diferentes magnitudes y tiempos de aplicación de carga. El estudio de Schmidtke y Lajtai (1985) muestra el resultado de 140 ensayos sobre probetas de granito, las cuales fueron sometidas a distintas cargas constantes en compresión uniaxial hasta provocar la rotura (Figura 5-6). Los resultados de los ensayos muestran un límite inferior correspondiente al 65% de la resistencia máxima obtenida en un ensayo rápido. La rotura, a este nivel de carga, se produjo aproximadamente a los 18 días. Cargas inferiores a este límite no produjeron rotura de las probetas dentro de un periodo de 45 días. Se puede observar que los ensayos se ajustaron a una función exponencial. Esto es importante, ya que implica que existe un valor asintótico hacia el cual tendería la curva y bajo el cual no se producirá la rotura. Dado que se trata de roca intacta muy dura, estos resultados corresponderían a un límite superior del valor umbral que produciría la carga en el caso del material de relleno de fracturas. El resultado de ensayos sobre fracturas limpias (Bieniawski, 1970; Fahimifar y Soroush, 2005) muestra una dependencia de la resistencia máxima al corte con la velocidad de la aplicación de la carga. La literatura sugiere también, que existe una disminución de la fricción en el tiempo debido a la destrucción de las rugosidades en fracturas sometidas a un esfuerzo de corte constante y prolongado (Afanas’ev y Abramov, 1975; Schneider, 1977). El estudio de Malan et al. (1998), concluyó que el desplazamiento por fluencia lenta en este tipo de fracturas es despreciable en comparación al producido en fracturas con relleno. Aún así, estos estudios tratan el caso de fracturas limpias, las que no corresponden a las consideradas en el presente modelo.. Figura 5-6. Nivel de esfuerzo (% de la resistencia instantánea a la compresión uniaxial) para tiempo de falla. Probetas de granito. (Schmidtke y Lajtai, 1985).

(32) 32. 5.3 Modelación del efecto del tiempo Para modelar la fluencia lenta de una manera realista, se requiere elaborar modelos que incluyan resortes o amortiguadores, como los mencionados en la sección 5.1. Sin embargo, en el programa UDEC no se cuenta con un modelo constitutivo capaz de incorporar la dependencia temporal en el comportamiento tensión-deformación de las fracturas. Una manera alternativa de reproducir este comportamiento, es reducir la resistencia máxima al corte de las fracturas. Esta metodología ha sido utilizada en alguna manera en otros estudios, como en el de Glamheden et al. (2004). Sin embargo, en este estudio no se ha correlacionado la disminución de resistencia con el tiempo o con el nivel de esfuerzo en el material. De acuerdo a la literatura, es el deslizamiento de corte en las fracturas lo que controla la deformación del macizo rocoso en el tiempo, por lo tanto, se puede suponer que la fluencia lenta es posible sólo en la medida que existan esfuerzos de corte actuando sobre ellas. Al disminuir la resistencia máxima al corte de la fractura en el tiempo, en lugar de calcular los desplazamientos, se está imponiendo la situación límite de relajación que se alcanzará debido a los efectos de la fluencia lenta provocada por un esfuerzo de corte que actúa sobre la fractura (Glamheden et al., 2004). De acuerdo a los ensayos como los mostrados en las Figura 5-4 y Figura 5-6, si se aplica una carga igual a una fracción de la resistencia máxima al corte, se producirá una deformación hasta alcanzar la fluencia en algún determinado tiempo. Desde otro punto de vista, para un cierto tiempo transcurrido, una fractura que sigue el comportamiento dado por una de estas curvas, no podrá estar sometido a un esfuerzo mayor al que la curva delimita, o de lo contrario ya habría fallado y se encontraría en su condición residual. Según el modelo constitutivo que se ha utilizado para modelar las fracturas en este estudio, la resistencia al corte está controlada por la tensión normal, el ángulo de fricción y la cohesión. Se ha supuesto que la fricción no tiene una dependencia temporal, y que la fricción residual se alcanza luego de alcanzar el ángulo de fricción máximo. En cambio, se ha supuesto que la cohesión sí experimenta una reducción en el tiempo dependiendo del nivel de esfuerzo al que está sometida la fractura, de manera de tener en cuenta que a esfuerzos mayores, el tiempo para llegar a la fluencia es menor. De la revisión de la literatura, resulta razonable suponer una reducción no-lineal de la cohesión decayendo hacia un valor residual. Con respecto al tiempo para alcanzar la condición residual, de los estudios se concluye que este tiempo es variable y dependiente de factores como el espesor de relleno, tipo de material, carga aplicada, velocidad de aplicación y tensión normal sobre la fractura. Además, ninguno de los estudios revisados muestra resultados de ensayos de corte sobre fracturas con relleno en los que se haya medido un tiempo de falla para distintas solicitaciones, como los mostrados anteriormente. Por esta razón, parece difícil poder determinar a ciencia cierta cual sería el tiempo para alcanzar la condición última para las fracturas consideradas en el presente modelo. La información antes analizada permite, sin embargo, tener algún orden de magnitud sobre la escala de tiempo en la que se desarrolla este fenómeno. El estudio sobre fracturas en roca de Malan et al. (1998) no permite conocer cabalmente la fracción de la resistencia máxima que se ha utilizado, debido al cambio de la carga.

(33) 33. durante el ensayo. En el caso de arcillas (Vaid y Campanella, 1977), éstas corresponden a un material más blando, el cual podría sufrir mayores desplazamientos debido a la fluencia lenta, que minerales más duros. De todas formas los valores obtenidos en los ensayos en roca dura (Schmidtke y Lajtai, 1985) indican un límite superior en cuanto a la tensión mínima para producir fluencia lenta. Los materiales más blandos tendrían un umbral de carga menor y el tiempo hasta conseguir la rotura sería menor que en materiales más duros. En base a los estudios examinados, se ha supuesto un valor umbral correspondiente al 50% de la resistencia máxima en el corto plazo, con el cual se alcanzará la condición residual de la cohesión en un tiempo de 400 horas, lo que equivale a 17 días aproximadamente. Esto corresponde sólo a una estimación. Para obtener un valor real deberían realizarse ensayos de corte directo en los cuales se mida el tiempo de fluencia en las fracturas para distintos niveles de esfuerzo de corte.. 5.4 Modelo para la reducción de la resistencia al corte de las fracturas La dependencia del tiempo se ha representado como una reducción de la resistencia máxima de la fractura. De ésta forma, una solicitación de corte menor a la resistencia máxima y mayor a un cierto valor umbral, que se mantenga constante en el tiempo, provocará la rotura en algún instante de tiempo t. La literatura es concluyente en que el tiempo necesario para alcanzar la rotura es menor para solicitaciones de corte más cercanas a la resistencia máxima. Se ha supuesto un comportamiento de la cohesión depende de la solicitación y del depende solamente del desplazamiento en puede alcanzar su condición residual antes movilizar toda la fricción en el contacto.. resistencia al corte del contacto, tal que la tiempo transcurrido. La fricción, en cambio, el contacto. Bajo este supuesto, la cohesión que ocurra el desplazamiento necesario para. La resistencia máxima (smax) en la ecuación 5-3, sufre una disminución de la cohesión con el aumento de la solicitación de corte (η) y el tiempo (t). Debido a la disminución de la cohesión, la resistencia máxima pasa de un valor máximo inicial (smax_cm) a uno máximo friccional (smax_cr), el cual se calcula con el valor máximo del ángulo de fricción pero con el valor residual de la cohesión.. En estas ecuaciones ζn es la tensión normal sobre el contacto, cm la cohesión máxima, cr, la cohesión residual y θm.el ángulo de fricción máximo. La pérdida de resistencia al corte en la fractura, corresponde a una disminución de la resistencia máxima, es decir, dado un valor de la solicitación de corte η, la solicitación que.

(34) 34. produce la falla se hace cada vez menor a medida que el tiempo avanza. Esto no quiere decir que se induzca la falla con el tiempo, sino solamente que se limita la resistencia máxima al corte que puede resistir la fractura. Para incluir el efecto de la solicitación de corte en la disminución de la resistencia al corte de la fractura, debe considerarse que la resistencia al corte es variable con la tensión normal a la fractura. En la Figura 5-7 pueden observarse los gráficos de las ecuaciones 54 y 5-5, las cuales corresponden a la resistencia máxima inicial y la resistencia máxima friccional en función del esfuerzo normal ζn. Ambas rectas son paralelas y para un mismo valor de ζn, la diferencia entre ambas rectas corresponde a la diferencia entre la cohesión máxima y la residual, cm - cr. En base a la literatura (sección 5.2), se ha supuesto que la disminución de la resistencia al corte es también función del nivel de esfuerzo de corte en el contacto y que se tendrá un decaimiento más rápido de la cohesión para una solicitación de corte más cercana a la resistencia máxima. Para tomar en cuenta esto, se ha definido la razón D (ecuación 5-6), como la fracción de la resistencia máxima alcanzada, suponiendo como cota mínima el valor de resistencia máxima friccional. El valor D es función de la solicitación η y de la tensión normal ζn. La fracción D sólo tiene sentido si el esfuerzo de corte solicitante es mayor a la resistencia máxima friccional que se puede lograr. Según lo que se ha expuesto anteriormente, se ha definido un valor umbral Du sobre el cual se producirá la reducción de la cohesión. Este valor corresponde al 50% del valor de la resistencia al corte máxima. Sobre este umbral se producirá una reducción de la cohesión, mientras que valores de D menores a Du no producirán una reducción de la cohesión en el contacto. Valores mayores a 1 no son posibles, puesto que en ese caso, la falla ya se habrá producido con D =1.. Figura 5-7. Ecuaciones 5-4 y 5-5. Esfuerzo de corte y tensión normal en el contacto.

(35) 35. Para construir una función que tomara en cuenta las características que se buscaron en la reducción de la cohesión, se consideró lo siguiente: i Una reducción mayor, mientras la solicitación del esfuerzo de corte se encuentre más cercano al valor de resistencia máxima del contacto. ii Para un valor de D mayor a Du y un tiempo infinito, debe entregar el valor residual. iii La literatura sugiere una función de tipo exponencial. iv Debe considerarse un posible cambio en la solicitación sobre el contacto. Se encontró una función, la ecuación 5-7, que permite cumplir con las condiciones solicitadas. Por cierto, esta función sólo corresponde a una de las muchas funciones que pueden utilizarse para modelar este problema.. Donde k (1/hora) y a (adim.) corresponden a constantes de ajuste y cmi (MPa), a la cohesión máxima en el tiempo ti, cr (MPa) a la cohesión residual y D’ a un valor que permite que D sólo tenga validez entre Du y 1. Se ha supuesto que con D=1 el tiempo para alcanzar la cohesión residual es 1 hora, lo que correspondería al tiempo de ensayo estándar. El tiempo para que una solicitación.

(36) 36. equivalente a D=0,5, alcance la cohesión residual es de 400 horas. Con estos valores se ajustó la curva, llegando a valores de k=0,377 1/hr. y a=0,760. Dado que la ecuación es asintótica al valor de cohesión residual, se fijó como tiempo límite aquel para la cual la cohesión es 0,02% de su valor máximo. En la Figura 5-8, es posible visualizar el comportamiento de la cohesión representada por la ecuación 5-7. Se muestra el cambio de la cohesión para distintos valores de D constantes en el tiempo. Se observa que, mayores valores de D producen un decaimiento más rápido de la cohesión. Para realizar estos gráficos, se han utilizado cm = 4MPa y cr=0. El incluir en la ecuación 5-7, el valor de la cohesión obtenida en el paso anterior permite considerar cambios en la solicitación. Si se produce un cambio en la solicitación, este cambio será efectivo a partir del valor de la cohesión al que se ha llegado con la solicitación anterior. De esta manera, se está tomando en cuenta el tiempo transcurrido bajo la solicitación previa. Un ejemplo de cambio en la solicitación bajo este supuesto se muestra en la Figura 5-9. Se observa cómo se produce un cambio en la curva para tender a aquella descrita por el valor de D actualizado. No considerar esto, implicaría cambiarse entre las curvas D=cte. de la Figura 5-8, y por lo tanto, suponer una cohesión igual a la que obtendría si se hubiera tenido el valor nuevo de D desde el inicio (t=0).. Figura 5-8. Disminución de la cohesión en el tiempo para distintos valores del parámetro D. Figura 5-9. Disminución de la cohesión en el tiempo para cambio de la solicitación D.

(37) 37. Dada esta función de la cohesión, es posible calcular el tiempo con el cual se llega a la condición residual dado un cierto valor de D. La Figura 5-10 muestra cómo varía el tiempo de llegada al valor de cohesión residual para distintos valores de la solicitación, expresado en términos de D. Se observa cómo, para valores inferiores al valor umbral Du (en este caso 0,5) el valor residual nunca se alcanza. Para valores de D mayores, el tiempo para llegar al valor residual es menor a medida que aumenta la solicitación. Para D=1 el tiempo para alcanzar el valor residual es 1 hora. Se puede apreciar a simple vista que la forma de la curva es similar a la de la Figura 5-4.. Figura 5-10. Tiempo para alcanzar la cohesión residual según valor de D. 5.5 Consideración del tiempo en el presente modelo El programa UDEC determina el paso de tiempo δt bajo la hipótesis de que éste es suficientemente pequeño para que las velocidades y aceleraciones permanezcan constantes dentro de él. El paso de tiempo se calcula a partir de la frecuencia del sistema. Para esto, se utilizan los valores mínimos de esta frecuencia, calculados a partir de los bloques y los contactos..

(38) 38. En esta ecuación mi corresponde a la masa asociada al nodo i del bloque i; ki, la rigidez de la masa que rodea al nodo i (de las que se busca el mínimo dentro del bloque); Mmin, la masa del bloque más pequeño en el sistema; Kmax, la máxima rigidez en contactos y frac, el factor de reducción que toma en cuenta que cada bloque pueda estar en contacto con varios bloques al mismo tiempo (0,01 por defecto). El δt corresponde, por lo tanto, a una unidad de tiempo real (segundos). Por otra parte, en UDEC, “ciclo” se refiere a un paso de cálculo del programa. Para llegar al equilibrio de un determinado sistema se requiere de una cierta cantidad de ciclos. Cada uno de estos ciclos corresponde a un δt de tiempo real. Por lo tanto, para simular un cierto periodo de tiempo real Δtr es necesario correr una cantidad N de ciclos. Δtr= N δt. (5-11). El tiempo real tr es totalmente distinto del tiempo de cálculo tc, empleado por el programa, ya que dependiendo del valor del δt utilizado, una situación que simule sólo algunos segundos de tiempo real, podría tardar varias horas de tiempo de cálculo. Para realizar el cálculo de la pérdida de resistencia, se ha definido en el modelo una variable de tiempo de simulación ts, distinta al tiempo real tr, que permite efectuar los cálculos que determinan las propiedades del material. De esta forma, el tiempo ts se convierte en el verdadero tiempo transcurrido en el modelo. Luego de revisar los contactos y realizar los cambios correspondientes, se corre una cantidad de ciclos en el programa que permitan llevar el modelo al equilibrio bajo las nuevas condiciones impuestas. Una vez alcanzado el equilibrio, la cantidad de tiempo real (tr) que transcurra en el programa posteriormente es indiferente para el modelo, ya que no se producirán cambios en él. Por esta razón, es posible incrementar el valor del tiempo utilizado para el cálculo, ts, y de esta forma, llevar el modelo a un tiempo posterior donde se aplicarán nuevos cambios. Esto permite un avance más rápido del tiempo en la simulación. En cada incremento Δts se considera también el tiempo Δtr que ha transcurrido antes de lograr el equilibrio en el modelo, aunque en la práctica es muy pequeño en comparación a Δts. El tiempo de simulación ts se incrementó en intervalos constantes, pero cuidando de que fuera suficientemente pequeño para que en el comienzo tomara en cuenta la rápida disminución de la resistencia. En la Figura 5-11 se muestra un diagrama con las tres variables de tiempo consideradas.. Figura 5-11. Los tres diferentes tiempos considerados en el modelo.

(39) 39. 5.6 Cálculo de la disminución de la resistencia al corte en los contactos El algoritmo para reducir la resistencia en los contactos se implementó a través de una función programada en lenguaje FISH. Esto se hizo mediante la siguiente secuencia: i Se revisan los contactos uno a uno, determinando para cada uno el valor de la fracción D a partir de los esfuerzos que actúan sobre él y las propiedades geotécnicas. Si D es mayor al valor Du, se produce la reducción, en caso contrario no se realiza cambio alguno. ii Si se trata de la primera vez que el contacto entra bajo un esfuerzo que produce un valor de D mayor a Du, y que por lo tanto, disminuye su resistencia, se guarda ese tiempo para el contacto. Luego, este tiempo es restado al tiempo de la simulación al momento de calcular el nuevo valor de la cohesión. iii A partir del valor de D y del tiempo en que se encuentre la simulación, se calcula el valor de la cohesión según la ecuación 5-7. iv Se cambia el valor de la propiedad en el contacto correspondiente. v Luego de revisar todos los contactos, se lleva el modelo al equilibrio. Esto significa correr el programa el tiempo necesario para que el sistema se estabilice en un nuevo punto de equilibrio, antes de realizar el siguiente incremento del intervalo de tiempo. Si se trata de la primera vez en que el contacto entra bajo un esfuerzo que produce un valor de D mayor a Du, y que por lo tanto disminuye su resistencia, ese tiempo es guardado para el contacto. Éste, corresponde a un tiempo “cero”, es decir, a partir de cuando comienza la degradación de la resistencia en el contacto. Luego, este tiempo es restado al tiempo de la simulación al momento de calcular el nuevo valor de la cohesión para cada nuevo incremento de Δt. De esta forma, no se considera el tiempo en el cual el contacto ha estado sometido a cargas inferiores a Du. Para poder controlar las propiedades de cada contacto de manera individual, se debieron asignar las propiedades mediante el comando joint. Al hacer esto, es posible acceder a la memoria del programa UDEC y realizar los cambios de cada propiedad en cada uno de los contactos del modelo..

(40) 40. Para poder simular la metodología aquí descrita es necesario entregar como datos de entrada los valores de las variables que se presentan en la Tabla 5-1, lo que va de acuerdo a los modelos constitutivos elegidos para representar el comportamiento de bloques y contactos.. Tabla 5-1. Parámetros de entrada del modelo numérico. 5.7 Resultado de la aplicación del método de reducción de resistencia Al implementar este método para la disminución de la resistencia en las fracturas consideradas en el modelo numérico, se encuentra que la pérdida de resistencia mecánica y la caída de bloques ocurren en forma gradual. En cada paso de tiempo se evalúan las variaciones de esfuerzos, que significa un cambio en la cohesión de cada contacto y por lo tanto en su resistencia. Luego, el modelo es llevado al equilibrio y se llega a una nueva condición estable en la que no se produce un aumento de los desplazamientos. Esto se repite hasta llegar a una situación de colapso, en la que el único equilibrio posible es luego de la caída total de los bloques..

(41) 41. 6. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES. Se realizó un estudio para observar el efecto del tamaño de los bloques y de la orientación y persistencia de los sistemas de fracturas. Luego, se eligió una configuración de fracturas y se hicieron simulaciones variando la velocidad de extracción. Se modeló una situación de extracción sin restricción, que consiste en sacar los bloques del sistema tan rápido como se desprenden de manera que no interfieran con la caída de otros bloques. Se modeló también una situación de extracción controlada, en la cual los bloques se extrajeron lentamente a distintas tasas.. 6.1 Condición inicial Antes de permitir la caída de bloques en el modelo, se aplicaron las tensiones in situ y las cargas en los bordes hasta alcanzar el equilibrio del sistema. Luego de alcanzar una situación de equilibrio, se simuló la excavación, para lo cual se removieron las restricciones que impedían la caída de bloques. Los resultados y análisis de la aplicación de las condiciones iniciales se muestran con mayor detalle en el Anexo C.. 6.2 Tamaño de bloques y orientación de las fracturas en el modelo Existe una gran cantidad de posibles propiedades geométricas que podrían definirse para los sistemas de fracturas en el modelo. Puede variarse su inclinación, separación entre fracturas y persistencia. Estas variables condicionarán el tamaño y forma de los bloques que los sistemas de fracturas generen. Definir un adecuado tamaño de los bloques es fundamental para poder modelar el problema. Dado que se supone una falla progresiva en los contactos, se quiere encontrar bloques con los cuales el modelo se mantenga relativamente estable en la condición estática inicial y que luego, debido a la reducción de las propiedades, estos caigan en forma gradual.. 6.2.1 Tamaño de los bloques En primer lugar, se intentó determinar el tamaño de bloques suponiendo una situación simple. Se simularon bloques cuadrados formados por dos sistemas de fracturas persistentes, como en la Figura 6-1-a. Luego, manteniendo todas las demás condiciones del modelo tales como esfuerzos, tamaño de la abertura, propiedades de los materiales, etc. constantes; se realizó una calibración para encontrar el tamaño de bloques que permitiera modelar lo que se buscaba. Se realizaron pruebas con bloques de distintos.

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